{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}
Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда необходимо знать длины трех его ребер. Для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используется формула, в которой сумма попарных произведений ребер параллелепипеда умножается на 2. По другому формулу можно трактовать как произведение площадей трех граней параллелепипеда (так как произведение ребер – это площадь грани). Кроме того на странице вы найдете калькулятор, с помощью которого в режиме онлайн можно найти площадь полной и боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.
В дополнение на сайте можно найти объем параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
Ребро — сторона прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина и высота – это ребра прямоугольного параллелепипеда.
Содержание:
- калькулятор площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
- примеры задач
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}
a – длина прямоугольного параллелепипеда
b – ширина прямоугольного параллелепипеда
c – высота прямоугольного параллелепипеда
Формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
{S_{бок} = 2(ac+bc)}
a – длина прямоугольного параллелепипеда
b – ширина прямоугольного параллелепипеда
c – высота прямоугольного параллелепипеда
Примеры задач на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
Задача 1
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 2 4 и 5.
Решение
Для нахождения площади поверхности воспользуемся первой формулой. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты параллелепипеда и произведем вычисления.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(2 cdot 4 + 4 cdot 5 + 2 cdot 5) = 2(8 + 20 + 10) = 2(38) = 76 : см^2
Ответ: 76 см²
Проверим ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3см 5см и 6см.
Решение
Задача аналогична предыдущей, поэтому повторим действия, подставив новые значения измерений параллелепипеда.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(3 cdot 5 + 5 cdot 6 + 3 cdot 6) = 2(15 + 30 + 18) = 2(63) = 126 : см^2
Ответ: 126 см²
Для проверки ответа используем калькулятор .
Задача 3
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 9м 24м 11м.
Решение
Еще одна типовая задача. Для ее решения также воспользуемся первой формулой.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(9 cdot 24 + 24 cdot 11 + 9 cdot 11) = 2(216 + 264 + 99) = 2(579) = 1158 : см^2
Ответ: 1158 см²
Проверка .
Задача 4
Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда у которого a=4см, b=5см, c=7см.
Решение
В этой задаче нам необхожимо найти площадь боковой поверхности. Поэтому мы будем использовать для ее решения вторую формулу.
S_{бок} = 2(ac+bc) = 2(4 cdot 7 + 5 cdot 7) = 2(28 + 35) = 2(63) = 126 : см^2
Ответ: 126 см²
Как всегда ответ можно проверить с помощью калькулятора .
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.
- Формула вычисления площади
- Пример задачи
Формула вычисления площади
Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:
S = 2 (ab + bc + ac)
Формула получена следующим образом:
- Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
- два основания: со сторонами a и b;
- четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
- Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).
Пример задачи
Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.
Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см2.
Измерение длины, площади, объема и времени
- Лабораторная работа №1. Измерение длины ребер, площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда. Погрешность прямых и косвенных измерений
- Лабораторная работа №2. Измерение времени с помощью секундомера. Погрешность серии прямых измерений
п.1. Лабораторная работа №1. Измерение длины ребер, площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда. Погрешность прямых и косвенных измерений
Цель работы
Научиться измерять длину с помощью линейки, определять площадь поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда, находить абсолютные и относительные погрешности косвенных измерений.
Теоретические сведения
Прямоугольный параллелепипед – это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту. |
Пусть
длина (AD=BC=A_1 D_1=B_1 C_1=a)
ширина (AB=CD=A_1 B_1=C_1 D_1=b)
высота (AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=c)
Площади верхней и нижней грани равны (S_1=ab), площади передней и задней граней равны (S_2=ac), площади левой и правой граней равны (S_3=bc).
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней: $$ S_{пов}=2S_1+2S_2+2S_3=2(ab+ac+bc) $$ Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех трех измерений: $$ V=abc $$
Пусть измерения проводятся ученической линейкой с ценой деления (triangle=1 мм).
Тогда инструментальная погрешность измерений равна половине цены деления: $$ d=frac{triangle}{2}=0,5 мм $$ Абсолютная погрешность измерений при работе с линейкой равна инструментальной погрешности, поэтому для всех измерений: (triangle a=triangle b=triangle c=d=0,5 мм)
Относительные погрешности измерений (в долях, без процентов): $$ delta_a=frac{triangle a}{a}=frac da, delta_b=frac{triangle b}{b}=frac db, delta_c=frac{triangle c}{c}=frac dc $$ Выведем необходимые формулы.
Рассмотрим нижнюю грань. Её площадь (S_1=ab) является произведением двух длин.
Значит, относительная погрешность измерения площади равна сумме относительных погрешностей длин: $$ delta_{S1}=delta_a+delta_b $$ Аналогично для остальных граней: $$ delta_{S2}=delta_a+delta_c, delta_{S3}=delta_b+delta_c $$ Абсолютная погрешность измерения площади нижней грани: $$ triangle S_1=S_1cdotdelta_{S1}=abcdot(delta_a+delta_b)=abcdotleft(frac da+frac dbright)=abdcdotleft(frac ab+frac1bright)=abdcdotfrac{b+a}{ab}= d(a+b) $$ Аналогично для остальных граней: $$ triangle S_2=S_2cdotdelta_{S2}=d(a+c), triangle S_3=S_3cdotdelta_{S3}=d(b+c) $$ Абсолютная погрешность суммы измерений равна сумме абсолютных погрешностей. Получаем для площади поверхности: begin{gather*} triangle S_{пов}=2(triangle S_1+triangle S_2+triangle S_3)=2(d(a+b)+d(a+c)+d(b+c))=\ =2d(a+b+a+c+b+c)=4d(a+b+c) end{gather*}
Абсолютная погрешность определения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда равна: $$ triangle S_{пов}=4d(a+b+c) $$ где (d) – инструментальная погрешность линейки, (a,b,c) – измеренные значения длины, ширины и высоты.
Найдем погрешность определения объема.
Объем равен произведению трех измерений, значит, относительная погрешность для объема равна сумме относительных погрешностей измерений: $$ delta_v=delta_a+delta_b+delta_c=frac da+frac db+frac dc=dleft(frac 1a+frac 1b+frac 1cright)=dcdotfrac{bc+ac+ab}{abc} $$ Абсолютная погрешность для объема: $$ triangle V=vcdotdelta_v=abccdot dcdotfrac{bc+ac+ab}{abc} = d(bc+ac+ab)=dcdotfrac{S_{пов}}{2} $$
Абсолютная погрешность определения объема прямоугольного параллелепипеда равна: $$ triangle V=dcdotfrac{S_{пов}}{2} $$ где (d) – инструментальная погрешность линейки, (S_{пов}) – площадь поверхности.
Приборы и материалы
Ученическая линейка, книга (или деревянный брусок).
Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Измерьте длину, ширину и высоту книги (бруска), (a,b,c).
3. Найдите площадь поверхности (S_{пов}) и объем (V).
4. Найдите абсолютные погрешности (triangle S_{пов}) и (triangle V).
5. Найдите относительные погрешности в процентах: $$ delta_{S_{пов}}=frac{triangle S_{пов}}{S_{пов}}cdot 100text{%}, delta_V=frac{triangle V}{V}cdot 100text{%} $$ 6. Дополнительное задание. Определите толщину одного листа книги, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
7. Сделайте выводы о проделанной работе.
Результаты измерений и вычислений
Инструментальная погрешность линейки (d=frac{1 мм}{2}=0,5 мм)
Результаты измерений:
a=218 мм
b=147 мм
c=32 мм
Площадь поверхности: begin{gather*} S_{пов}=2(ab+ac+bc)=2(218cdot 147+218cdot 32+147cdot 32)=\ =2(32046+6976+4704)=87452 (мм^2) end{gather*} Объем: $$ V=abc=218cdot 147cdot 32=1025472 (мм^2) $$ Абсолютная погрешность определения площади поверхности (округляем до двух значащих цифр с избытком): $$ triangle S_{пов}=4d(a+b+c)=4cdot 0,5cdot (218+147+32)=2cdot 397=794 (мм^2)approx 800 (мм^2) $$ Полученную величину площади поверхности также округляем до сотен. Получаем: $$ S_{пов}=(87500pm 800) (мм^2) $$ Абсолютная погрешность определения объема: $$ triangle V=dcdotfrac{S_{пов}}{2}=0,5cdotfrac{87452}{2}=21863 (мм^3)approx 22000 (мм^3) $$ Полученную величину объема также округляем до тысяч. Получаем: $$ V=(1025000pm 22000) (мм^3) $$
Относительные погрешности (округляем до двух значащих цифр с избытком): begin{gather*} delta_{S_{пов}}=frac{triangle S_{пов}}{S_{пов}}cdot 100text{%}=frac{800}{87500}cdot 100text{%} approx 0,92text{%}\ delta_v=frac{triangle V}{V}cdot 100text{%}=frac{22000}{1025000}cdot 100text{%}approx 2,2text{%} end{gather*} Измеряем толщину книги между обложками: (h=23 мм)
Количество страниц в книге (N=688)
Количество листов в 2 раза меньше. Получаем толщину одного листа: $$ t=frac{h}{N/2}=frac{2h}{N}=frac{2cdot 23}{688}approx 0,0669 (мм)=66,9 (мк) $$ Количество листов – величина точная, без погрешностей.
Абсолютная погрешность для толщины листа зависит только от (triangle h): $$ triangle t=frac 2Ntriangle h=frac 2N d=frac{2}{688}cdot 0,5approx 0,0015 (мм)=1,5 (мк) $$ Толщина листа: $$ t=(66,9pm 1,5) мк $$ Относительная погрешность: $$ delta_t=frac{triangle t}{t}cdot 100text{%}=frac{1,5}{66,9}cdot 100text{%}approx 2,3text{%} $$
Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.
Измерения проводились с помощью линейки с инструментальной погрешностью (d=0,5 мм).
Получена площадь поверхности книги $$ S_{пов}=(87500pm 800) мм^2, delta_{S_{пов}}approx 0,92text{%} $$ Объем книги: $$ V=(1025000pm 22000) мм^3, delta_Vapprox 2,2text{%} $$ Определяя толщину листа, мы использовали способ рядов и увеличили абсолютную точность измерений от 0,5 мм до 1,5 мк. Толщина листа: $$ t=(66,9pm 1,5) мк, delta_tapprox 2,3text{%} $$ С наибольшей точностью определена площадь поверхности, т.к. для нее относительная погрешность меньше всех.
С наименьшей относительной точностью определена толщина листа, зато абсолютная точность для этой величины очень высока – 1,5 микрона.
п.2. Лабораторная работа №2. Измерение времени с помощью секундомера. Погрешность серии прямых измерений
Цель работы
Научиться измерять время с помощью секундомера, определять абсолютную и относительную погрешность величины, полученной в серии прямых измерений.
Теоретические сведения
Математическим маятником называют груз небольших размеров, подвешенный на тонкой невесомой нерастяжимой нити.
Периодом колебаний математического маятника называют время, за которое он возвращается в исходную точку.
При отклонении математического маятника на малые углы (до 20°) период его колебаний (T) остается постоянной величиной. В действительности колебания постепенно затухают, но при достаточно длинной нити и тяжелом грузике, затухания происходят медленно.
Приборы и материалы
Секундомер, штатив, грузик на длинной нитке (не менее 50 см).
Ход работы
1. Закрепите нитку с грузиком в лапке штатива, как показано на рисунке.
2. Определите цену деления секундомера.
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний.
4. Повторите опыт 5 раз.
5. С помощью алгоритма определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений (см. §3 данного справочника) найдите точное значение и абсолютную погрешность времени 10 колебаний.
6. Найдите точное значение и абсолютную погрешность периода колебаний (T), рассчитайте относительную погрешность результата измерений.
7. Сделайте выводы о проделанной работе.
Результаты измерений и вычислений
Определение цены деления секундомера
Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: begin{gather*} a=5 с\ b=10 с end{gather*} Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.
Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*} |
Инструментальная погрешность секундомера равна половине цены деления: (d=frac{triangle}{2}=0,1 c)
Измерения времени 10 колебаний
№ опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Сумма |
(t, c) | 15,3 | 14,9 | 15,2 | 15,5 | 15,1 | 76,0 |
(triangle c) | 0,1 | 0,3 | 0 | 0,3 | 0,1 | 0,8 |
Найдем среднее время для 10 колебаний: begin{gather*} t_0=frac{15,3+14,9+15,2+15,5+15,1}{5}=frac{76,0}{5}=15,2 (c) end{gather*} Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_0): $$ triangle_1=|15,3-15,2|=0,1; triangle_2=|14,9-15,2|=0,3 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0,1+0,3+0+0,3+0,1}{5}=frac{0,8}{5}=0,16 (c) $$ Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,16right}=0,16 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(15,20pm 0,16) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T=(1,520pm 0,016) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T_0}cdot 100text{%}=frac{0,016}{1,520}cdot 100text{%}approx 1,1text{%} $$
Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.
Измерения проводились с помощью секундомера, для которого была определена цена деления (triangle=0,2 с) и соответствующая инструментальная погрешность (d=frac{triangle}{2}=0,1 с).
В данном случае абсолютная погрешность может быть заметно больше инструментальной, и поэтому для ее определения потребовалась серия экспериментов.
Полученный в серии из 5 экспериментов результат измерения времени 10 колебаний: $$ t=(15,20pm 0,16) c $$ Искомый период колебаний маятника: $$ T=(1,520pm 0,016) c, delta_T=1,1text{%} $$
Как найти площадь поверхности параллелепипеда
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности параллелепипеда онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками.
Через стороны
a:
b:
c:
Результат
Ответы:
Формула площади поверхности параллелепипеда через его ребра:
a, b, c – ребра параллелепипеда.
Площадь поверхности параллелепипеда
Содержание:
- Что такое площадь поверхности параллелепипеда
- Формула нахождения полной площади
- Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
- Примеры решения задач
Что такое площадь поверхности параллелепипеда
Определение
Параллелепипед — четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы. Частный случай этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.
В общем случае площадь — это численное значение, характеризующее размер двумерной геометрической фигуры.
Параллелепипед может существовать только в трех измерениях, поэтому для него вводится понятие площади поверхности. В геометрическом смысле площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Формула нахождения полной площади
В задачах чаще всего имеется дело с прямоугольным параллелепипедом. Для него полная площадь поверхности вычисляется следующим образом:
(S=2cdot(acdot b+acdot c+bcdot c))
где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.
Рассмотрим то, как данная формула выводится. Как уже упоминалось выше, площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней. Для наглядности возьмем параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Полная площадь его поверхности равняется сумме площадей всех граней: (S_{пар}=S_{AA_1D_1D}+S_{DD_1C_1C}+S_{CC_1B_1B}+S_{BB_1A_1A}+S_{ABCD}+S_{A_1B_1C_1D_1})
Согласно свойствам параллелепипеда, его противоположные грани равны между собой. Следовательно, нет необходимости вычислять площадь всех шести граней, можно ограничиться тремя, а затем их сумму умножить на 2:
(S_{пар}=2cdotleft(S_{AA_1D_1D}+S_{BB_1A_1A}+S_{ABCD}right))
Грани прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Площадь данной фигуры равняется произведению ее сторон:
(S_▭=acdot b)
У выбранных нами для расчета площади граней есть три общие стороны: AB, AD и AA1. Для удобства обозначим их как a, b и c соответственно.
Таким образом:
(S_{ABCD}=acdot b)
(S_{AA_1D_1D}=acdot c)
(S_{BB_1A_1A}=bcdot c)
Подставим данные значения в обозначенную выше формулу площади параллелепипеда:
(S_{пар}=2cdotleft(acdot b+acdot c+bcdot cright))
Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
Кроме полной площади поверхности, в расчетах иногда необходимо вычислить площадь боковой поверхности, то есть совокупность площадей боковых граней, без учета оснований.
Для этого есть три взаимосвязанные формулы:
- (S_{бок}=P_{осн}cdot h,) где (P_{осн}) — периметр основания параллелепипеда; h — высота. На рисунке выше она равняется стороне, обозначенной как c.
- (S_{бок}=2cdot acdot c+2cdot bcdot c), где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.
- (S_{бок}=2cdot ccdot(a+b).)
Примеры решения задач
Задача
Вычислить полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Дано: AB = 3, A1B = 6, AD = 5.
Решение
Для расчета полной площади необходимо знать длины трех сторон. В данном случае нам понадобится вычислить длину стороны AA1. Так как длина диагонали A1B известна, сделать это нетрудно.
Воспользуемся теоремой Пифагора:
(A_1B=sqrt{{AA_1}^2+{AB}^2})
Соответственно, ({AA_1}=sqrt{{A_1B}^2-{AB}^2}=sqrt{6^2-3^2}=sqrt{36-9}=sqrt{25}=5)
Подставим известные значения в формулу расчета площади поверхности:
(S=2cdot(acdot b+acdot c+bcdot c))
(S=2cdot(ABcdot AD+ABcdot AA_1+ADcdot AA_1)=2cdot(3cdot5+3cdot5+5cdot5)=2cdot(15+15+25)=2cdot55=110)
Ответ: S=110.
Задача 2
Вычислить длину стороны прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Дано: Sпов=96, Sбок=60, b=6.
Решение
Так как нам известна одна из сторон основания — b а в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, найти вторую сторону проще всего будет через площадь этого основания:
(S=acdot b)
Отличие площади боковой поверхности от полной в том, что в ней не учитываются нижняя и верхняя грани фигуры. Следовательно, их разность будет равняться двум площадям основания. Вычислим это значение:
(S_{пов}-S_{бок}=2cdot acdot b+2cdot acdot c+2cdot bcdot c-2cdot acdot c-2cdot bcdot c=2cdot acdot b)
Преобразуем выражение так, чтобы вычислить длину неизвестной стороны:
(2cdot acdot b=S_{пов}-S_{бок})
(a=frac{S_{пов}-S_{бок}}{2cdot b}=frac{96-60}{2cdot6}=frac{36}{12}=3)
Ответ: a=3.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 4.00 (Голосов: 7)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так