Вывод
формулы площади параллелограмма сводится
к построению прямоугольника, равного
данному параллелограмму по площади.
Примем одну сторону параллелограмма
за основание, а перпендикуляр, проведенный
из любой точки противолежащей стороны
на прямую, содержащую основание будем
называть высотой параллелограмма. Тогда
площадь параллелограмма будет равна
произведению его основания на высоту.
[4, c.
254]
Теорема.
Площадь
параллелограмма равна произведению
его основания на высоту.
Доказательство.
Рассмотрим параллелограмм
с площадью
.
Примем сторону
за
основание и проведем высоты
и
(рисунок 2.3.1). Требуется доказать, что
.
Рисунок
2.3.1
Докажем
сначала, что площадь прямоугольника
также равна
.
Трапеция
составлена из параллелограмма
и треугольника
.
С другой стороны, она составлена из
прямоугольника НВСК и треугольника
.
Но прямоугольные треугольники
и
равны
по гипотенузе и острому углу (их
гипотенузы
и
равны как противоположные стороны
параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как
соответственные углы при пересечении
параллельных прямых
и
секущей
),
поэтому их площади равны. Следовательно,
площади параллелограмма
и прямоугольника
также равны, то есть площадь прямоугольника
равна
.
По теореме о площади прямоугольника,
но так как
,
то
.
Теорема
доказана.
Пример
2.3.1.
В
ромб со стороной
и острым углом
вписана окружность. Определить площадь
четырёхугольника, вершинами которого
являются точки касания окружности со
сторонами ромба.[5, c.
150]
Решение:
Радиус
вписанной в ромб
окружности (рисунок 2.3.2)
,
поскольку
Четырёхугольник
является прямоугольником, так как его
углы опираются на диаметр окружности.
Его площадь
,
где
(катет, лежащий против угла
),
.
Рисунок
2.3.2
Итак,
Ответ:
Пример
2.3.2.
Дан
ромб
,
диагонали которого равны 3 см и 4 см. Из
вершины тупого угла
проведены высоты
и
Вычислить площадь четырёхугольника
Решение:
Площадь
ромба
(рисунок 2.3.3).
Рисунок
2.3.3
Далее,
из
находим
(см) и, следовательно,
(см). Тогда из
получим:
(см).
Итак,
Ответ:
Пример
2.3.3.
Площадь
четырёхугольника равна
Найти площадь параллелограмма, стороны
которого равны и параллельны диагоналям
четырёхугольника.
Решение:
Так
как
и
(рисунок 2.3.4), то
– параллелограмм и, значит,
.
Рисунок
2.3.4
Аналогично
получаем
откуда следует, что
.
Ответ:
.
2.4 Площадь треугольника
Существует
несколько формул для вычисления площади
треугольника. Рассмотрим те, что изучаются
в школе.
Первая
формула вытекает из формулы площади
параллелограмма и предлагается учащимся
в виде теоремы. [4, c.
254]
Теорема.
Площадь треугольника равна половине
произведения его основания на высоту.
Доказательство.
Пусть
– площадь треугольника
.
Примем сторону
за основание треугольника и проведем
высоту
.
Докажем что:
Рисунок
2.4.1
Достроим
треугольник
до параллелограмма
так, как показано на рисунке. Треугольники
и
равны по трем сторонам (
– их общая сторона,
и
как противоположные стороны параллелограма
),
поэтому их площади равны. Следовательно,
площадь S треугольника АВС равна половине
площади параллелограмма
,
т.е.
Теорема
доказана.
Важно
обратить внимание учащихся на два
следствия, вытекающих из данной теоремы.
А именно:
-
площадь
прямоугольного треугольника равна
половине произведения его катетов. -
если
высоты двух треугольников равны, то их
площади относятся как основания.
Эти
два следствия играют важную роль в
решении разного рода задач. С опорой на
данную доказывается еще одна теорема,
имеющая широкое применение при решении
задач.
Теорема.
Если
угол одного треугольника равен углу
другого треугольника, то их площади
относятся как произведения сторон,
заключающих равные углы.
Доказательство.
Пусть
и
– площади треугольников
и
,
у которых углы
и
равны.
Рисунок
2.4.2
Докажем,
что:
.
Наложим
треугольник
.
на треугольник
так, чтобы вершина
совместилась с вершиной
,
а стороны
и
наложились соответственно на лучи
и
.
Рисунок
2.4.3
Треугольники
и
имеют общую высоту
,
поэтому
,
.
Треугольники
и
также имеют общую высоту –
,
поэтому
,
.
Перемножая полученные равенства, получим
.
Теорема
доказана.
Вторая
формула. Площадь
треугольника равна половине произведения
двух его сторон на синус угла между
ними.
Существует несколько способов
доказательства этой формулы, и я
воспользуюсь одним из них.
Доказательство.
Из
геометрии известна теорема о том, что
площадь треугольника равна половине
произведения основания на высоту,
опущенную на это основание:
.
В
случае остроугольного треугольника
.
В случае тупого угла
.
Ho
,
а поэтому
.
Итак, в обоих случаях
.
Подставив вместо
в геометрической формуле площади
треугольника
,
получим тригонометрическую формулу
площади треугольника:
Теорема
доказана.
Третья
формула
для площади треугольника – формула
Герона
,
названа так в честь древнегреческого
ученого Герона Александрийского, жившего
в первом веке нашей эры. Эта формула
позволяет находить площадь треугольника,
зная его стороны. Она удобна тем, что
позволяет не делать никаких дополнительных
построений и не измерять углов. Ее вывод
основывается на второй из рассмотренных
нами формул площади треугольника и
теореме косинусов:
и
.
Далее
мы должны из второй формулы (теоремы
косинусов) выразить через
сначала
,
а затем и
и подставить в формулу для площади.
Прежде
чем перейти к реализации этого плана,
заметим, что
Точно
так же имеем:
Теперь
выразим косинус через
и
:
Так
как любой угол в треугольнике больше
и меньше
,
то
. Значит,
.
Теперь
отдельно преобразуем каждый из
сомножителей в подкоренном выражении.
Имеем:
Значит,
Подставляя
это выражение в формулу для площади,
получаем:
Тема
«Площадь треугольника» имеет большое
значение в школьном курсе математики.
Треугольник – простейшая из геометрических
фигур. Он является «структурным элементом»
школьной геометрии. Подавляющее
большинство геометрических задач
сводятся к решению треугольников. Не
исключение и задача о нахождении площади
правильного и произвольного
n-угольника.[6,c.238]
Пример
2.4.1.
Чему
равна площадь равнобедренного
треугольника, если его основание
,
а боковая сторона
?
Решение:
–равнобедренный,
Рисунок
2.4.4
Проведём
по свойству равнобедренного треугольника
–
медиана и высота. Тогда
В
по
теореме Пифагора:
Находим
площадь треугольника:
Ответ:
Пример
2.4.2.
В
прямоугольном треугольнике биссектриса
острого угла делит противоположный
катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить
площадь треугольника.[7, c.
78]
Решение:
Пусть
(рисунок 2.4.5). Тогда
и
(посколькуBD
–
биссектриса). Отсюда имеем
,
то есть
.
Значит,
Рисунок
2.4.5
Ответ:
Пример
2.4.3.
Найти
площадь равнобедренного треугольника,
если его основание равно
,
а длина высоты, проведённой к основанию,
равна длине отрезка, соединяющего
середины основания и боковой стороны.
Решение:
По
условию,
–
средняя линия
(рисунок 2.4.6). Так как
В
имеем:
или
,
откуда
Следовательно,
Рисунок
2.4.6
Ответ:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Как найти площадь параллелограмма — три основных формулы
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Эта статья на еще одну математическую тему. Мы расскажем, как правильно посчитать площадь параллелограмма. Эту тему подробно изучают только в 8-м классе. И это говорит, что она не такая простая.
Но для начала давайте все-таки напомним, какая фигура называется параллелограммом.
Параллелограмм – это разновидность четырехугольников, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.
Классический параллелограмм выглядит вот так:
Впервые об этой фигуре подробно написал древнегреческий математик Евклид в своем известном произведении «Начала». Он же рассказал и о двух частных случаях параллелограмма, которые нам сегодня хорошо известны.
Это и прямоугольник, у которого противоположные стороны не только параллельны друг другу, но и пересекаются под прямым углом. И квадрат, у которого помимо параллельности противоположных сторон, все стороны еще и равны между собой.
И наконец, не лишним будет вспомнить, что подразумевается под термином «площадь».
Площадь геометрической фигуры – это размер плоскости, которая находится внутри сторон фигуры.
Ну а теперь объединим эти два понятия и расскажем, как надо считать площадь параллелограмма.
Формулы для расчета площади параллелограмма
Есть три основных формулы для вычисления площади параллелограмма:
- если известна длина стороны и высота, проведенная к ней;
- если известны длины сторон и углы между ними;
- если известны длины диагоналей и угол между ними.
Теперь о каждом из этих способов подробнее.
Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота
Возьмем для примера такой параллелограмм:
В нем указаны две высоты – BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, который опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом.
В данном случае площадь считается весьма просто. Надо всего лишь перемножить длину высоты и длину стороны, к которой она проведена.
И то же самое касается, если знать длины стороны DC и высоты BF. Тогда для вычисления площади достаточно их перемножить.
Кстати, у этой формулы есть весьма интересное доказательство. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, то можно взять треугольник ABE и переставить его к стороне CD. Вот так это будет выглядеть:
В результате мы получим прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма превратилась в одну из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол
Площадь параллелограмма можно посчитать, если известны длины обеих его сторон и величина острого угла между ними.
Собственно, этот способ вытекает из предыдущего, Просто по исходным данным нужно вычислить высоту параллелограмма, а уже потом по ней посчитать площадь.
Согласно тригонометрии, синус острого угла в прямоугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем примере таким катетом является высота, а гипотенузой сторона «а». И получается:
Соответственно, чтобы посчитать значение высоты надо:
И наша конечная формула для расчета площади будет выглядеть следующим образом:
Как найти площадь параллелограмма через диагонали
Этот способ используется крайне редко, но знать его все равно нужно. Во всяком случае, на экзаменах у школьников такие примеры вполне могут встретиться.
В данном случае для вывода формулы используются весьма непростые математические вычисления. И мы не будем ими вас загружать. А просто покажем конечный результат:
Соответственно, здесь d1 и d2 – длины диагоналей, а y – острый угол между ними.
Вот и все, что мы хотели рассказать о вычислении площади параллелограмма.
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Площадь параллелограмма – определение и вычисление с примерами решения
Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Доказательство:
Пусть 
1) Проведем высоту 
к прямой, содержащей сторону 
параллелограмма.
2) 
(как соответственные углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
(по гипотенузе и острому углу).
3) Параллелограмм 
состоит из трапеции 
и треугольника 
а прямоугольник 
– из трапеции 
и треугольника 
Так как треугольники 
и 
равны, то равны и их площади, а потому равными будут площади параллелограмма 
и прямоугольника 
4) 
Но 
и поэтому 
Следовательно, 
Заметим, что если основание высоты 
– точка 
-совпадает с точкой 
или лежит на продолжении стороны 
то доказательство теоремы будет аналогичным.
В общем виде формулу площади 
параллелограмма можно записать так:
где 
– сторона параллелограмма, 
– высота, к ней проведенная.
Пример:
Докажите, что высоты ромба, проведенные из одной вершины, равны.
Доказательство:
Пусть 
– данный ромб, 
и 
– его высоты (рис. 232).
Ромб является параллелограммом, поэтому 
Но 
а значит 
Пример:
Периметр параллелограмма равен 36 см, а его высоты – 4 см и 5 см. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
1) Пусть 
– данный параллелограмм, 
и 
– его высоты (рис. 232), 
2) 
По условию 
поэтому 
3) Пусть 
см, тогда 
см.
4) Так как по формуле площади параллелограмма 
или 
имеем уравнение: 
То есть 
откуда 
(см).
5) Тогда 
Ответ. 40 
Площадь параллелограмма
С помощью формулы площади прямоугольника можно доказать формулу площади произвольного параллелограмма.
Теорема (формула площади параллелограмма)
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
где 
— сторона параллелограмма, 
— проведенная к ней высота.
Доказательство:
Пусть 
— данный параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 145, а). Проведем его высоты 
и докажем, что 
Четырехугольник 
является прямоугольной трапецией, площадь которой можно вычислить двумя способами — как сумму площадей параллелограмма 
и треугольника 
или как сумму площадей прямоугольника 
и треугольника 
Треугольники 
равны по гипотенузе и катету 
как противолежащие стороны параллелограмма, 
как расстояния между параллельными прямыми). Следовательно, эти треугольники имеют равные площади. Тогда площади параллелограмма 
и прямоугольника 
также равны, т.е. 
Случаи, когда точка 
не является внутренней точкой отрезка 
(рис. 145, б, в), рассмотрите самостоятельно.
Пример:
Площадь параллелограмма равна 
а длины его высот — 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
Решение:
Пусть дан параллелограмм с площадью 
и высотами 
(рис. 146).
Поскольку 
Следовательно, периметр параллелограмма равен 
Ответ: 42 см.
Решая приведенную задачу, можно заметить интересную закономерность: чем больше сторона параллелограмма, тем меньше проведенная к ней высота.
- Прямоугольник и его свойства
- Ромб и его свойства, определение и примеры
- Квадрат и его свойства
- Трапеция и ее свойства
- Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
- Четырехугольник и его элементы
- Четырехугольники и окружность
- Параллелограмм, его свойства и признаки
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Площадь
- Площадь параллелограмма
Назовем одну из сторон параллелограмма основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, – высотой параллелограмма.
Теорема
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту
Доказательство
Дано: ABCD – параллелограмм, S – площадь ABCD, ВН и СК – высоты
Доказать: S = AD 
BH
Доказательство:
Докажем, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Рассмотрим трапецию АВСК: с одной стороны, она составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK. Но с другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но 
DCK = АВН (по гипотенузе (АВ = CD, т.к. они противоположные стороны параллелограмма) и острому углу(углы 1 и 2 как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей AD)), а равные фигуры имеют равные площади, поэтому их площади равны.
площадь параллелограмма ABCD и прямоугольника НВСК также равны, т.е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, т.е. S = BC BH, а так как BC = AD, то S = AD BH. Теорема доказана
Советуем посмотреть:
Понятие площади многоугольника
Площадь квадрата
Площадь прямоугольника
Площадь треугольника
Площадь трапеции
Теорема Пифагора
Теорема, обратная теореме Пифагора
Формула Герона
Площадь
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 459,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 467,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 5,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 502,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 503,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 510*,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 513,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 603,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 832,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1241,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы
a, b – стороны параллелограмма
α, β – углы параллелограмма
Формула площади через стороны и углы параллелограмма, (S):
Калькулятор – вычислить, найти площадь параллелограмма:
a(сторона)=
b(сторона)=
α или β (угол в градусах)= ( sin α=sin β )
S=
2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
a, b – стороны параллелограмма
Hb – высота на сторону b
Ha – высота на сторону a
Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):
3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
D – большая диагональ
d –меньшая диагональ
α, β – углы между диагоналями
Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , (S):
Калькулятор – вычислить, найти площадь параллелограмма:
D (большая диагональ)=
d (меньшая диагональ )=
α или β (угол в градусах)= ( sin α=sin β )
S=
Формулы для параллелограмма:
Как найти стороны параллелограмма
Как найти диагонали параллелограмма
Острый угол и тупой угол параллелограмма
Углы между диагоналями параллелограмма
Формула суммы квадратов диагоналей параллелограмма
Высота параллелограмма и угол пересечения высот
Свойства и длина биссектрисы параллелограмма
Периметр параллелограмма
Все формулы по геометрии
