Как найти площадь параллелограмма формула синус

Задание. Найти площадь параллелограмма, если его сторона равна 2 см, а высота, проведенная к этой стороне – 3 см.

Решение. Искомая площадь равна

$S=2 cdot 3 = 6$ (см²)

Ответ. $S=6$ (см²)

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти площадь параллелограмма, одна сторона которого равна 4 см, вторая на 3 см
больше и тупой угол параллелограмма равен $120^{circ}$.

Решение. Найдем вторую сторону параллелограмма:

$b=4+3=7$ (см)

Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна
$180^{circ}$, то делаем вывод, что угол между сторонами равен

$$alpha=180^{circ}-120^{circ}=60^{circ}$$

Тогда искомая площадь равна

$mathrm{S}=4 cdot 7 cdot sin 60^{circ}=28 cdot frac{sqrt{3}}{2}=14 sqrt{3}$ (см²)

Ответ. $mathrm{S}=14 sqrt{3}$ (см²)

Каким образом можно доказать утверждение о том, что площадь параллелограмма
есть число, получаемое в результате умножения длин двух его сторон,
являющихся смежными, и синуса угла, который образуется между ними?

Параллелограмм имеет смежные стороны длиной 26 см и 32 см. Один из углов
данной фигуры равен 150 градусам. Каким способом можно вычислить площадь
параллелограмма?

Прямая АС проведена через середины двух сторон параллелограмма, которые
являются смежными. Данная прямая отсекает от параллелограмма два
треугольника – FMD и АDС. Площадь одного из отсеченных треугольников
составляет 32 см кв. Как высчитать площадь параллелограмма?

Параллелограмм имеет стороны, длины которых составляют 10 см и 6 см. Данные
стороны образуют угол, равный 150 градусам. Как рассчитать площадь
параллелограмма в этом случае?

Проведенные диагонали делят параллелограмм на четыре треугольных фигуры.
Площадь одной из них равна 7 м кв. Каким образом можно найти площадь
параллелограмма?

Дан параллелограмм ABCD, на одной из сторон которого АВ поставлена точка М.
Известно, что площадь треугольника MCD составляет 38 см кв. Как найти
площадь параллелограмма?

Длина основания параллелограмма составляет 5 см, а его высота равна 3 см.
Как найти площадь параллелограмма?

Имеется параллелограмм ABCD. Посередине его стороны АВ поставлена точка Е,
из которой проведена прямая, образующая треугольник CDE площадью 36 см кв.
Каким образом можно найти площадь параллелограмма?

В каком виде представлена формула, которая предназначена для вычисления
площади параллелограмма?

Как найти площадь параллелограмма через синус, если известно, что длины его
сторон равны 8 см и 10 см, а синус одного из его углов составляет 0,05?

Имеется параллелограмм ABCD, в котором опущена высота на его сторону АВ. Ее
длина равна 12 см. При этом длина AD составляет 24 см. Каким образом можно
высчитать значение синуса угла А?

В параллелограмме проведены диагонали, длины которых равны 5 см и 28 см.
Между ними образован угол, составляющий 30 градусов. Как можно найти площадь
параллелограмма через синус в данном случае?

Представляется ли возможным высчитать площадь параллелограмма при условии,
что длины двух его диагоналей и образованный в месте их пересечения угол
являются известными величинами?

Возможно ли рассчитать площадь параллелограмма по диагоналям, длины которых
равны 6 см и 4 см? При этом известно, что образованный ими угол является
прямым.

На одной из сторон параллелограмма ABCD, обозначенной как ВС, отмечена точка
М. Чему будет равна площадь параллелограмма при условии, что площадь
треугольника МАD составляет 21 см кв.?

Параллелограмм ABCD имеет стороны длиной 10 см и 14 см, а также острый угол
в 60 градусов. Каким образом можно вычислить площадь параллелограмма?

Дан параллелограмм, через середины пары смежных сторон которого проведена
прямая. Она отсекает треугольную фигуру площадью 32 см кв. Чему в данном
случае равна площадь параллелограмма?

Формулы площадей через синус угла

Основные свойства площадей фигур:

1. Равные фигуры имеют равные площади.     Две фигуры состоящие   из одинаковых кусков – равновеликие.
2. Аддитивность:   Площадь фигуры, разрезанной на несколько частей, равна сумме площадей этих частей    ;
3. Площадь прямоугольника равна произведению ширины на длину … произведение сторон.

Задача 1:        В параллелограмме известны стороны    $7$,   $10$     и синус угла между ними   $frac{1}{2}$.   Найти площадь параллелограмма.

• Решение:       Опустим высоты $BH$ и $CK$   на основание $AD$ . Они помогут “увидеть” площадь.
• Что есть синус $angle BAH$ в прямоугольном треугольнике $bigtriangleup ABH$?    Отношение катета $BH$ к гипотенузе $AB$.     
• Формула синуса     позволит выразить высоту $BH$ через сторону $AB$ и синус $frac{1}{2}$. Высота   $CK$ такая же.
• Параллелограмм $ABCD$ состоит из кусков:    $bigtriangleup ABH$ и $4$-угольник $HBCD$.   Площадь – сумма площадей кусков.
• Прямоугольник $HBCK$ состоит из кусков $HBCD$ и $bigtriangleup DCK$. Площадь также “сумма кусков”.
• Треугольники $bigtriangleup ABH$ и   $bigtriangleup DCK$ одинаковые. Значит, параллелограмм и прямоугольник равновеликие.
• Площадь Параллелограмма $ABCD$ так же, как прямоугольника $HBCD$ равна высота на основание.
• $S_{ABCD}=S_{ABH}+S_{HBCD}=S_{HBCD}+S_{DCK}=S_{HBCK}=BHcdot HK=ABcdotsin angle BADcdot AD=7cdotfrac{1}{2}cdot10$

Теорема “о площади параллелограмма и треугольника через синус угла”:

1. Площадь параллелограмма     равна   произведению   сторон   на синус угла параллелограмма:
2. Формулы                  $S=acdot bcdotsin angle BAD$                    $S_{ABCD}=ABcdot BCcdotsin D$
3. Площадь треугольника     равна     половине произведения   сторон треугольника   на   синус угла между ними.
4. Формулы                   $S=frac{1}{2}cdot acdot bcdotsin angle C$                    $S_{bigtriangleup ABC}=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdotsin angle CBA$

Площадь треугольника также легко получить через площадь параллелограмма, равновеликого с двумя треугольниками, приставленными друг к другу по диагонали. Тогда площадь одного треугольника будет равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и с той же высотой.

Задача 2:        Диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения на отрезки $3$,   $5$ и $6$,   $7$ . Синус угла между диагоналями $0,2$.     Найти площади треугольников и всего четырехугольника.

• Дано:   $BO=3$     $OD=5$    $CO=6$    $AO=7$ … угол между   $sinangle AOB=0,2$.     Найти:    $S_{ABCD}=?$.
• Решение:       Диагонали делят четырехугольник на 4 треугольника.    Площадь = сумме 4-х площадей.
• Аддитивность:         $S_{ABCD}=S_{bigtriangleup AOB}+S_{bigtriangleup BOC}+S_{bigtriangleup COD}+S_{bigtriangleup AOD}$.        
• Площадь одного из них по формуле:    $S_{bigtriangleup AOB}=frac{1}{2}cdot AOcdot OBcdot sin angle AOB=frac{1}{2}cdot 7 cdot 3cdot 0,2=2,1$
• Каковы синусы остальных углов? Свойство: Синусы смежных углов равны:   $sinangle BOC=sinangle COD=sinangle AOD=0,2$
• Тогда, площади других треугольников   $frac{1}{2}cdot 3 cdot 6cdot 0,2=1,8$         $frac{1}{2}cdot 6 cdot 5cdot 0,2=3$              $frac{1}{2}cdot 5 cdot 7cdot 0,2=3,5$   
• Площадь четырехугольника равна сумме этих площадей    Ответ:     $S_{ABCD}=2,1+1,8+3+3,5=10,4$

Теоретически, по-другому:      Распишем получение площади   $S_{ABCD}$   в буквах, без числовых значений:

• $frac{1}{2}cdot OAcdot OBcdot sin angle AOB+frac{1}{2}cdot OBcdot OCcdot sin angle AOB+frac{1}{2}cdot OCcdot ODcdot sin angle AOB+frac{1}{2}cdot ODcdot OAcdot sin angle AOB$
• Вынос за скобки множителей   $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot sin angle AOBcdot left(OAcdot OB+OBcdot OC+OCcdot OD+ODcdot OAright)$
• $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot sin angle AOBcdot left(OBcdotleft(OA+OCright)+ODcdotleft(OA+OCright)right)=frac{1}{2}cdot sin angle AOBcdot AC cdot (OB+OD)$
• Получаем   $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot AC cdot BDcdot sin angle AOB$    $Rightarrow$   $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot (7+6) cdot (3+5)cdot 0,2=13cdot 0,8=10,4$

Задача 3:        В треугольнике известны стороны     $AB=10$ ,      $BC=12$ и угол $angle ABC=30$ . Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении 3 : 5, а точка   $K$ делит сторону $BC$ в отношении 2 : 3. Найти площади и отношение площадей треугольников   $ABK$ и   $MBC$.

• Дано:   $AB=10$,     $BC=12$,     $frac{AM}{MB}=frac{3}{5}$,       $frac{BK}{KC}=frac{2}{3}$,     $angle ABC=30$.           Найти:          $frac{S_{bigtriangleup ABK}}{S_{bigtriangleup MBC}}=?$
• Точка делит отрезок в известном соотношении. Находим части как систему уравнений   $frac{x}{y}=?$      $x+y=?$
• $frac{AM}{MB}=frac{3}{5}$,     аддитивность        $AM+MB=AB=10$       $Rightarrow$    $frac{AM}{AB}=frac{3}{3+5}$ $Rightarrow$    $AM=frac{15}{4}$,   $MB=frac{25}{4}$
• $frac{BK}{KC}=frac{2}{3}$,     $BK+KC=12$    из свойств пропорций    $BK=frac{24}{5}$,     $KC=frac{36}{5}$
• Найдем площадь через синус     $S_{bigtriangleup ABK}=frac{1}{2}cdot AB cdot BK cdot sin angle ABC = frac{1}{2}cdot 10 cdot frac{24}{5} cdot sin 30= 24 cdot 0,5=12$
• В треугольнике $MBC$ тот же угол,    $S_{bigtriangleup MBC}=frac{1}{2}cdot MB cdot BC cdot sin angle ABC = frac{1}{2}cdot frac{25}{4} cdot 12 cdot 0,5=frac{75}{4}$         
• отношение площадей треугольников     $frac{S_{bigtriangleup ABK}}{S_{bigtriangleup MBC}}=frac{12}{frac{75}{4}}=frac{16}{25}$                Ответ:         $frac{16}{25}$

Замечание, продолжение:   Можно ли найти отношение площадей при неизвестных значениях сторон и угла?

• Зная лишь как делят точки $M$ и   $K$ стороны треугольника, на какие пропорции ?!
• Дано только   $frac{AM}{MB}=frac{3}{5}$,       $frac{BK}{KC}=frac{2}{3}$.    Выразим отрезки через стороны    $AB$ и     $BC$.
• Выразим площади    $S_{bigtriangleup ABK}$ ,   $S_{bigtriangleup MBC}$ также через стороны $AB$ и     $BC$ и угол $angle ABC$.
• Составим отношение площадей, выразим через стороны и угол. Что получится? Что можно сделать, ?

Теорема “о площади четырехугольника через диагонали и синус угла”:

1. Площадь четырехугольника     равна   половине произведения   диагоналей   на синус угла между ними:
2. Формулы                  $S=frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2 cdotsin angle alpha$                    $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot AC cdot BDcdot sin angle AOB$
3. Площадь   ромба     равна     половине произведения   диагоналей.         … диагонали перпендикулярны!
4. Формулы             $S=frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2=frac{1}{2}cdot AC cdot BD$            $angle AOB=90$          $sin angle AOB=1$

Формулы площади треугольника:   

$S=frac{acdot h_a}{2}=frac{acdot bcdotsin C}{2}$                             $S=frac{bcdot h_b}{2}=frac{bcdot ccdotsin A}{2}$                             $S=frac{ccdot h_c}{2}=frac{ccdot acdotsin B}{2}$.

$sin A=frac{h_b}{c}=frac{h_c}{b}$                            $sin B=frac{h_a}{c}=frac{h_c}{a}$                         $sin C=frac{h_b}{a}=frac{h_a}{b}$.      

$S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ACcdot BCcdotsin C$              $S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdotsin B$                 $S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ACcdot ABcdotsin A$ .

Задача 4:     В прямоугольнике диагонали $10$ и угол между ними $30$. Найти площадь.

• Дано:    $ABCD$    – прямоугольник ,    $AC=10$   ,    $angle AOB=30$   Найти:            $S_{ABCD}$ .
• Решение:       В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются по середине    $AO=OB=5$     
• $bigtriangleup AOB$     и     $bigtriangleup COD$     равные    $Rightarrow$     $S_1=S_3$        ;
• $bigtriangleup BOC$     и     $bigtriangleup AOD$     равные    $Rightarrow$     $S_2=S_4$      .
• Смежные, $angle BOC=180-angle AOB=150$. Найдем отношение     $frac{S_1}{S_2}=frac{frac{1}{2}AOcdot OBcdotsin30}{frac{1}{2}BOcdot OCcdotsin150}$
• $sin30=sinleft(180-30right)=sin150$.       тогда      $frac{S_1}{S_2}=frac{frac{1}{2}cdot5cdot5cdotsin150}{frac{1}{2}cdot5cdot5cdotsin150}=1$     Значит,      $S_1=S_2$
• Аналогично:       $frac{S_3}{S_4}=frac{frac{1}{2}DOcdot OCcdotsin30}{frac{1}{2}AOcdot ODcdotsin150} =1$       $Rightarrow$      $S_3=S_4$,     площади равные.
• Диагонали рассекают прямоугольник на   четыре равновеликих: треугольника         $S_1=S_2=S_3=S_4$ .
• … тогда, по свойству аддитивности площадей          $S_1=S_2=S_3=S_4=frac{1}{4}S_{ABCD}$ .
• $S_{AOB}=S_1=frac{1}{2}AOcdot OBcdot sin 30=frac{1}{2}cdot 5cdot 5cdot frac{1}{2}=frac{25}{4}$        $Rightarrow$        $S_{ABCD}=4cdotfrac{25}{4}$
• Найдя площадь АОВ, нашли площадь прямоугольника умножением на 4.   Ответ:        $S_{ABCD}=25$

Задача 5:         Найти площадь ромба   $ABCD$,   если его высота   $EB=12$   , а меньшая диагональ $BD=13$.

• Дано:    ромб $ABCD$ , $BD=13$,    высота $EB=12$   ,   Найти:            $S_{ABCD}$ .
• Решение:        прямоугольный $bigtriangleup BED$,    подобен тем, на которые ромб делится диагоналями:        
• $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$    . Одинаковый “состав” углов. Все прямоугольные,
• Прямоугольный    $bigtriangleup BED$,   по Пифагору выразим катет       $DE=sqrt{BD^2-BE^2}=5$
• Диагонали в ромбе делятся пополам:       $BO=OD=frac{BD}{2}=6,5$             $AO=frac{AC}{2}$              $AC=2cdot AO$
• Для нахождения площади ромба нам нужно найти вторую диагональ.
• $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD$         $Rightarrow$         $frac{AO}{BE}=frac{OD}{ED}$        $Rightarrow$           $AO=frac{ODcdot BE}{ED}=frac{6,5cdot 12}{5}=15,6$         $AC=2cdot AO=31,2$
• Ответ: Площадь ромба через диагонали:     $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot ACcdot BD=0,5cdot 31,2cdot13=202,8$

Задача 6.       Площадь равнобедренного треугольника равна $100$   , а угол при вершине   $30^o$    1) Найти его боковые стороны .     2)   Найти тригонометрию $15^o$   

• Решение:       1)   Известны площадь и угол,   значит используем   формулу   площади через синус   $30^o$ .     
• Пусть боковая   сторона $a$   ,    $S=frac{1}{2}acdot acdotsin30$        ,     тогда    $100=frac{1}{2}a^2cdotsin30$     $Leftrightarrow$     $100=frac{1}{2}a^2cdotfrac{1}{2}$     $Rightarrow$      
• $a=sqrt{400}=20$                     Ответ:       $a=20$
• 2)    По теореме косинусов найдем основание     $c=sqrt{a^2+a^2-2cdot acdot acdotfrac{sqrt{3}}{2}}=asqrt{2-sqrt{3}}$
• Из вершины равнобедренного угла проведем биссектрису к   основанию.   По свойству равнобедренности
• она будет и высотой    $h$   (треугольник поделится на 2 прямоугольных с углами 15 градусов) и медианой,
• а значит основание   поделится пополам ,    как и угол 30 у вершины   поделится   по   15 градусов.
• По прямоугольнему треугольнику   (половинка):      $sin15=frac{0,5cdot c}{a}=frac{0,5cdot acdotsqrt{2-sqrt{3}}}{a}=frac{sqrt{2-sqrt{3}}}{2}$
• Площадь через основание    $S=frac{1}{2}cdot ccdot h$,     найдем высоту      $h=frac{2cdot S}{c}=frac{2cdot0,5cdot a^2cdotsin30}{acdotsqrt{2-sqrt{3}}}=frac{a}{2cdotsqrt{2-sqrt{3}}}$
• В прямоугольном треугольнике стороны $h$,   $frac{c}{2}$,   $a$.   Тогда     $cos15=frac{h}{a}=frac{frac{a}{2cdotsqrt{2-sqrt{3}}}}{a}=frac{1}{2cdotsqrt{2-sqrt{3}}}$

Интерактивные Упражнения