Как найти площадь параллелограмма изображенного на рисунке

Версия для печати и копирования в MS Word

Здравствуйте, дорогие читатели. В этом выпуске рассмотрим задачи на вычисление площади параллелограмма и трапеции. Начнем с самой простой задачи, которая не требует знания формулы.

Задача №1

Решение:

Для решения этой задачи, знание формул не требуется, то необходимо провести прямую через точку Е параллельно сторонам ВС и AD.

Так как Е – середина АВ, то ЕN – делит параллелограмм на два равных параллелограмма AEND и EBCN. Проведя во втором параллелограмме диагональ, у нас получится четыре равных по площади треугольника.

В такой задаче возможен вопрос, где нужно найти площадь трапеции AECD. Тогда 33*3=99

Задача №2 Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке:

Внимание! В таких задачах будьте внимательны, всегда есть лишние данные.

Задание №3

Решение: Для решения такой задачи из формулы площади параллелограмма S=ah, найдем обе высоты.

Наибольшая высота равна 4

Задание №4

Решение:

Площадь трапеции вычисляем по формуле:

Важно! В трапеции часто нужно проводить две высоты. В нашем случае также проведем две высоты. Так как трапеция равнобедренная, то после проведения высот, получим два прямоугольных треугольника с равными катетами.

Задача №5

Важно! Чертите ромб так, как параллелограмм, задачи будут решаться легко.

В этой задаче применили формулу площади параллелограмма, изучаемую в 9 классе: площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними.

Так же можно воспользоваться формулой из 8 класса: S=ah, но в этом случае придется находить высоту параллелограмма ВН.

Треугольник АВН прямоугольный, ВН – катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. ВН=3:2=1,5; Sромба=3*1.5=4.5

Задача №6. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 19 и 6

В этой задаче воспользуемся формулой площади ромба: Площадь ромба равна половине произведению его диагонали.

А как легко запомнить формулы читайте здесь

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Среди задач на вычисление площади параллелограмма из открытого банка ФИПИ есть и е, на которые достаточно краткого ответа, и с развернутым ответом. И те, и другие, перед вами. Любое из них может вам попасться на экзамене в этом году.

Вспоминаем, что площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah

Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+7) * 4 = 40

Значение длины второй стороны параллелограмма – лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 40

E8FC9F

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+4) * 4 = 28

Значение длины второй стороны параллелограмма – лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 28

5AEBBA

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+2) * 4 = 20

Значение длины второй стороны параллелограмма – лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 20

460490

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+8) * 4 = 44

Значение длины второй стороны параллелограмма – лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 44

29D63A

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (12+3) * 5 = 75

Значение длины второй стороны параллелограмма – лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 75

D97D85

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+5) * 12 = 96

Значение длины второй стороны параллелограмма – лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 96

B08979

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (12+8) * 5 = 100

Значение длины второй стороны параллелограмма – лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 100

956EDE

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (5+5) * 12 = 120

Значение длины второй стороны параллелограмма – лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 120

66228A 

Задания второй части ОГЭ с расширенным решением

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{25-9}$ = 4

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 4.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{4+4+2BM+2MC}2ast3=3ast(4+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(3+4)ast(BM+MC)=7ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{7ast(BM+MC)}2=3;ast;(;4;+;B;M;+;M;C)\7ast(BM+MC);=;6;ast;(;4;+;B;M;+;M;C)\7ast(BM+MC);=;24;+;6;ast;(B;M;+;M;C)\7ast(BM+MC);-;6;ast;(B;M;+;M;C);=;24\B;M;+;M;C;=;24\\\$

 То есть основание BC = 24.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(3+4)*24=168

Ответ:  168

701E1F

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 6 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{169-25}$ = 12

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{12+12+2BM+2MC}2ast5=5ast(12+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(6+5)ast(BM+MC)=11ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{11ast(BM+MC)}2=5ast(12+BM+MC)\11ast(BM+MC);=;10ast(12+BM+MC)\11ast(BM+MC);=;120;+;10ast(BM+MC)\11ast(BM+MC);-;10;(BM+MC);=;120\B;M+M;C;=;120\\\$

 То есть основание BC = 120.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(5+6)*120=1320

Ответ:  1320

B520E8

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{169-25}$ = 12

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{12+12+2BM+2MC}2ast5=5ast(12+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(7+5)ast(BM+MC)=12ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{12ast(BM+MC)}2=5ast(12+BM+MC)\12ast(BM+MC);=;10ast(12+BM+MC)\12ast(BM+MC);=;120;+;10ast(BM+MC)\12ast(BM+MC);-;10;(BM+MC);=;120\2ast(BM+MC);=;120\BM+MC;=;60\\\\$

 То есть основание BC = 60.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(7+5)*60=720

Ответ:  720

7AFAA8

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{169-25}$ = 12

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{12+12+2BM+2MC}2ast5=5ast(12+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(8+5)ast(BM+MC)=13ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{13ast(BM+MC)}2=5ast(12+BM+MC)\13ast(BM+MC);=;10ast(12+BM+MC)\13ast(BM+MC);=;120;+;10ast(BM+MC)\13ast(BM+MC);-;10;(BM+MC);=;120\3ast(BM+MC);=;120\BM+MC;=;40\\\\$

 То есть основание BC = 40.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(5+8)*40=520

Ответ:  520

15838B

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{169-25}$ = 12

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{12+12+2BM+2MC}2ast5=5ast(12+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(9+5)ast(BM+MC)=14ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{14ast(BM+MC)}2=5ast(12+BM+MC)\14ast(BM+MC);=;10ast(12+BM+MC)\14ast(BM+MC);=;120;+;10ast(BM+MC)\14ast(BM+MC);-;10;(BM+MC);=;120\4ast(BM+MC);=;120\BM+MC;=;30\\\\$

 То есть основание BC = 30.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(5+9)*30=420

Ответ:  420

221DAD

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{625-49}$ = 24

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{24+24+2BM+2MC}2ast7=7ast(24+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(13+7)ast(BM+MC)=20ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{20ast(BM+MC)}2=7ast(24+BM+MC)\20ast(BM+MC);=;14ast(24+BM+MC)\20ast(BM+MC);=;336;+;14ast(BM+MC)\20ast(BM+MC);-;14;(BM+MC);=;336\6ast(BM+MC);=;336\BM+MC;=;56\\\\$

 То есть основание BC = 56.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(13+7)*56=1120

Ответ:  1120

716CE8

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{625-49}$ = 24

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{24+24+2BM+2MC}2ast7=7ast(24+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(14+7)ast(BM+MC)=21ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{21ast(BM+MC)}2=7ast(24+BM+MC)\21ast(BM+MC);=;14ast(24+BM+MC)\21ast(BM+MC);=;336;+;14ast(BM+MC)\21ast(BM+MC);-;14;(BM+MC);=;336\7ast(BM+MC);=;336\BM+MC;=;48\\\\$

 То есть основание BC = 48.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(14+7)*48=1008

Ответ:  1008

A4192E

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{625-49}$ = 24

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{24+24+2BM+2MC}2ast7=7ast(24+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(15+7)ast(BM+MC)=22ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{22ast(BM+MC)}2=7ast(24+BM+MC)\22ast(BM+MC);=;14ast(24+BM+MC)\22ast(BM+MC);=;336;+;14ast(BM+MC)\22ast(BM+MC);-;14;(BM+MC);=;336\8ast(BM+MC);=;336\BM+MC;=;42\\\\$

 То есть основание BC = 42.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(15+7)*42=924

Ответ:  924

2E555E

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{625-49}$ = 24

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{24+24+2BM+2MC}2ast7=7ast(24+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(17+7)ast(BM+MC)=24ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{24ast(BM+MC)}2=7ast(24+BM+MC)\24ast(BM+MC);=;14ast(24+BM+MC)\24ast(BM+MC);=;336;+;14ast(BM+MC)\24ast(BM+MC);-;14;(BM+MC);=;336\10ast(BM+MC);=;336\BM+MC;=;33,6\\\\$

 То есть основание BC = 33,6.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(17+7)*33,6=806,4

Ответ:  806,4

DFC86B

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 19 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{625-49}$ = 24

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{24+24+2BM+2MC}2ast7=7ast(24+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(19+7)ast(BM+MC)=26ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{26ast(BM+MC)}2=7ast(24+BM+MC)\26ast(BM+MC);=;14ast(24+BM+MC)\26ast(BM+MC);=;336;+;14ast(BM+MC)\26ast(BM+MC);-;14;(BM+MC);=;336\12ast(BM+MC);=;336\BM+MC;=28\\\\$

 То есть основание BC = 28.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(19+7)*28=728

Ответ:  728

1D6569

---

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=7.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=7. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =19*(7+7)=19*14=266.

Ответ: 266

97C87B

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=3.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=3. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =11*(3+3)=11*6=66.

Ответ: 66

F8A0E6

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=9.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=9. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =12*(9+9)=12*18=216.

Ответ: 216

67503F

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=10.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=10. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =19*(10+10)=19*20=380.

Ответ: 380

D60F99

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=17, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=10.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=10. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =17*(10+10)=17*20=340.

Ответ: 340.

B435D4

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=18, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=1.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=1. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =18*(1+1)=18*2=36.

Ответ: 36

E097F7

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=4.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=4. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =7*(4+4)=7*8=56.

Ответ: 56

80A169

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 8.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=8.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=8. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =2*(8+8)=2*16=32.

Ответ: 32

569075

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=6.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=6. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =6*(6+6)=6*12=72.

Ответ: 72

FD6657

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=1.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=1. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =2*(1+1)=2*2=4.

Ответ: 4

A7594E