Математика • 9 класс
20
Площадь параллелограмма в координатах
-
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:
𝑆=𝑎⋅h,
где 𝑎 – основание, h – высота.
-
Рассмотрим параллелограмм, построенный на координатной плоскости, с координатами точек 𝐴 𝑥1; 𝑦1;𝐵 𝑥2; 𝑦2;𝐶 𝑥3; 𝑦3;𝐷 (𝑥4; 𝑦4).
Было полезно?
Предыдущий конспект
Следующий конспект
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Вспомним в начале, что такое векторное произведение.
Замечание 1
Векторным произведением для $vec{a}$ и $vec{b}$ является $vec{c}$, представляющий собой некоторый третий вектор $vec{c}= |[ab]|$, причём этот вектор обладает особенными свойствами:
- Cкаляр полученного вектора — произведение $|vec{a}|$ и $|vec{b}|$ на синус угла $vec{c}= |[ab]|= |vec{a}| cdot |vec{b}|cdot sin α left(1right)$;
- Все $vec{a}, vec{b}$ и $vec{c}$ образуют правую тройку;
- Полученный вектор ортогонален к $vec{a}$ и $vec{b}$.
Если для векторов присутствуют некоторые координаты ($vec{a}={x_1; y_1; z_1}$ и $vec{b}= {x_2; y_2; z_2}$), то их векторное произведение в декартовой системе координат можно определить по формуле:
$[a times b] = {y_1 cdot z_2 – y_2 cdot z_1; z_1 cdot x_2 – z_2 cdot x_1; x_2 cdot y_2 – x_2 cdot y_1}$
Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:
$[ab] = begin{array} {|ccc|} i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \ end{array}$.
Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.
Площадь параллелограмма, стороны которого определяются двумя векторами $vec{a}$ и $vec{b}$ равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.
Это соотношение совсем несложно вывести.
Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:
$S = a cdot b cdot sin α$
При этом длины сторон равны скалярным значениям векторов $vec{a}$ и $vec{b}$, что вполне себе подходит нам, то есть, скаляр векторного произведения данных векторов и будет площадью рассматриваемой фигуры.
Пример 1
Даны векторы $vec{c}$ c координатами ${5;3; 7}$ и вектор $vec{g}$ с координатами ${3; 7;10 }$ в декартовой системе координат. Найти, чему равна площадь параллелограмма, образованного $vec{c}$ и $vec{g}$.
Решение:
Отыщем векторное произведение для этих векторов:
$[c times g] = begin{array} {|ccc|} i & j & k \ 5 & 3 & 7 \ 3 & 7 & 10 \ end{array}= i cdot begin{array} {|cc|} 3 & 7 \ 7 & 10 \ end{array} – j cdot begin{array} {|cc|} 5 & 7 \ 3 & 10 \ end{array} + k cdot begin{array} {|cc|} 5 & 3 \ 3 & 7 \ end{array} = i cdot (3 cdot 10 – 49) – j cdot (50 -21) + k cdot (35-9) = -19i -29j + 26k={- 19; 29; 26}$.
Теперь найдём модульное значение для полученного направленного отрезка, оно и является значением площади построенного параллелограмма:
$S= sqrt{|19|^2 + |29|^2 + |26|^2} = sqrt{1878} ≈ 43, 34$.
«Примеры как вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах» 👇
Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.
Пример 2
Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами $vec{m}$ с координатами ${2; 3}$ и $vec{d}$ с координатами ${-5; 6}$.
Решение:
Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, $z$, можно принять за нуль.
Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:
$S = begin{array} {||cc||} 2 & 3\ -5 & 6 \ end{array} = sqrt{12 + 15} =3 sqrt3$.
Пример 3
Даны векторы $vec{a} = 3i – j + k; vec{b}= 5i$. Определите площадь образуемого ими параллелограмма.
$[ vec{a} times vec{b}] = (3i – j + k) times 5i = 15 [i times i] – 5 [j times i] + [5ktimes i]$
Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:
Рисунок 1. Разложение вектора по базису. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$[ vec{a} times vec{b}] = 5 k + 5 j$.
Время подсчётов:
$S = sqrt{|-5|^2 + |5|^2} = 5sqrt{2}$.
Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:
Пример 4
Вектор $vec{d} = 2a + 3b$, $vec{f}= a – 4b$, длины $vec{a}$ и $vec{b}$ равны между собой и равны единице, а угол между $vec{a}$ и $vec{b}$ равен 45°.
Решение:
Вычислим векторное произведение $vec{d} times vec{f}$:
$[vec{d} times vec{f} ]= (2a + 3b) times ( a – 4b) = 2 [a times a] – 8 [a times b] + 3 [b times a] – 12 [b times b]$.
Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: $[a times a]$ и $[b times b]$ равны нулю, $[b times a] = – [a times b]$.
Используем это для упрощения:
$[vec{d} times vec{f} ]= -8[a times b] + 3 [b times a] = -8[a times b] – 3[a times b] =-11[a times b]$.
Теперь воспользуемся формулой $(1)$ :
$[vec{d} times vec{f} ] = |-11 [a times b]| = 11 cdot |a| cdot |b| cdot sin α = 11 cdot 1 cdot 1 cdot frac12=5,5$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Задание.
На координатной плоскости изображен параллелограмм ABCD
с
вершинами в узлах сетки. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Варианты ответов:
Анализ. Обращаем
внимание, что одна клетка равна 2 единичным отрезкам!
Решение.
Для
нахождения площади параллелограмма ABCD можно
найти площадь треугольника BDC и
умножить полученное значение на 2, так как площади треугольников BDC
и
ABD равны. (Если
сомневаетесь в этом, находите отдельно площади треугольников BDC
и
ABD).
Для
нахождения площади треугольника BDC опустим высоту C
из вершины C
на
сторону BD. Так как треугольник тупоугольный,
то высота, опущенная из вершины острого угла лежит вне треугольника и
проецируется на продолжение стороны BD.
S=1/2 BD∙CH=1/2∙(6∙2)∙(3∙2)=1/2∙12∙6=72
Ответ. 3
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты (8; 0), (9; 2), (1; 6), (0; 4).
2
Найдите площадь ромба, вершины которого имеют координаты (6; 3), (9; 4), (10; 7), (7; 6).
3
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 6), (9; 6), (9; 9).
4
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 6), (9; 6), (7; 9).
5
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (10;9).
Пройти тестирование по этим заданиям
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: онлайн-калькулятор
Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах, нужны значения этих векторов или координаты точек. Онлайн-калькулятор выдает подробное решение и ответ. В зависимости от введенных данных программа подбирает формулы для расчета в нужной последовательности.
Сервисом пользуются школьники и студенты, когда надо быстро найти площадь параллелограмма – на контрольной, зачете, экзамене. Также по готовому решению задачи удобно изучать новую тему.
Как найти площадь параллелограмма
Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах, необходимо вычислить произведение длин векторов и синуса угла между ними. В заданиях, где длины векторов неизвестны, а даны координаты векторов, необходимо произвести следующие вычисления:
- Найти векторы a⇀ и b↔ по точкам.
- Вычислить произведение векторов.
- Рассчитать модуль вектора c→.
- Высчитать площадь S=a→×b→
Использование онлайн-калькулятора позволяет не думать о выборе способа решения, а просто ввести данные и получить поэтапные вычисления и ответ. Такой вариант подойдет учащимся, их родителям, преподавателям, инженерам.
Сервис позволяет узнать, чему равна площадь параллелограмма и других фигур, а также решить задачи на любую тему по алгебре и геометрии. Для этого не придется платить, регистрироваться на сайте, долго ждать. Расчеты производятся онлайн. Вы можете осваивать новую тему или сверяться с собственным решением неограниченное количество раз.
Если тема осталась непонятной, напишите консультанту. Наш сотрудник подберет вам преподавателя по выгодной цене или организует онлайн-помощь на зачете.
