{S = a cdot h}
Найти площадь параллелограмма
На этой странице вы можете рассчитать площадь параллелограмма с помощью калькулятора по трем формулам. Просто введите известные вам данные – основание, высоту, стороны, диагонали и углы между ними и получите ответ.
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Содержание:
- калькулятор площади параллелограмма
- формула площади параллелограмма через сторону и высоту
- формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними
- формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
- примеры задач
Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
{S = a cdot h}
a – сторона параллелограмма
h – высота параллелограмма
Формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними
{S=a cdot b cdot sin(alpha)}
a, b – стороны параллелограмма
α – угол между сторонами a и b
Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2 cdot sin(alpha)}
d1, d2 – диагонали параллелограмма
α – угол между диагоналями
Примеры задач на нахождение площади параллелограмма
Задача 1
Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 9 см и 12 см, а угол между ними 60 градусов.
Решение
Для решения задачи нам подойдет вторая формула, так как из условия нам известны стороны параллелограмма и угол между ними. Подставим значения в формулу и произведем расчет.
S = a cdot b cdot sin(alpha) = 9 cdot 12 cdot sin(60) = 108 cdot sin(60) = 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2
Ответ: 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2
Мы можем проверить ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 см и 12 см, а угол между ними равен 30 градусов.
Решение
Задача похожа на предыдущую, поэтому ее решение будет выглядеть аналогично.
S = a cdot b cdot sin(alpha) = 8 cdot 12 cdot sin(30) = 96 cdot sin(30) = 96 cdot 0.5 = 48 : см^2
Ответ: 48 см²
И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .
Задача 3
Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота проведенная к ней 8 см.
Решение
В этом случае нам известны сторона параллелограмма и высота, поэтому воспользуемся первой формулой.
S = a cdot h = 12 cdot 8 = 96 : см^2
Ответ: 96 см²
И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .
Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны равны и параллельны.
Онлайн-калькулятор площади параллелограмма
Параллелограмм обладает некоторыми полезными свойствами, которые упрощают решение задач, связанных с этой фигурой. Например, одно из свойств заключается в том, что противоположные углы параллелограмма равны.
Рассмотрим несколько способов и формул с последующим решением простых примеров.
Формула площади параллелограмма по основанию и высоте
Данный способ нахождения площади является, наверно, одним из основных и простых, так как он практически идентичен формуле по нахождению площади треугольника за небольшим исключением. Для начала разберем обобщенный случай без использования чисел.
Пусть дан произвольный параллелограмм с основанием aa, боковой стороной bb и высотой hh, проведенной к нашему основанию. Тогда формула для площади этого параллелограмма:
S=a⋅hS=acdot h
aa — основание;
hh — высота.
Разберем одну легкую задачу, чтобы потренироваться в решении типовых задач.
Найти площадь параллелограмма, в котором известно основание, равное 10 (см.) и высота, равная 5 (см.).
Решение
a=10a=10
h=5h=5
Подставляем в нашу формулу. Получаем:
S=10⋅5=50S=10cdot 5=50 (см. кв.)
Ответ: 50 (см. кв)
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
В этом случае искомая величина находится так:
S=a⋅b⋅sin(α)S=acdot bcdotsin(alpha)
a,ba, b — стороны параллелограмма;
αalpha — угол между сторонами aa и bb.
Теперь решим другой пример и воспользуемся вышеописанной формулой.
Найти площадь параллелограмма если известна сторона aa, являющаяся основанием и с длиной 20 (см.) и периметр pp, численно равный 100 (см.), угол между смежными сторонами (aa и bb) равен 30 градусам.
Решение
a=20a=20
p=100p=100
α=30∘alpha=30^{circ}
Для нахождения ответа нам неизвестна лишь вторая сторона данного четырехугольника. Найдем ее. Периметр параллелограмма дается формулой:
p=a+a+b+bp=a+a+b+b
100=20+20+b+b100=20+20+b+b
100=40+2b100=40+2b
60=2b60=2b
b=30b=30
Самое сложное позади, осталось только подставить наши значения для сторон и угла между ними:
S=20⋅30⋅sin(30∘)=300S=20cdot 30cdotsin(30^{circ})=300 (см. кв.)
Ответ: 300 (см. кв.)
Формула площади параллелограмма по диагоналям и углу между ними
S=12⋅D⋅d⋅sin(α)S=frac{1}{2}cdot Dcdot dcdotsin(alpha)
DD — большая диагональ;
dd — малая диагональ;
αalpha — острый угол между диагоналями.
Даны диагонали параллелограмма, равные 10 (см.) и 5 (см.). Угол между ними 30 градусов. Вычислить его площадь.
Решение
D=10D=10
d=5d=5
α=30∘alpha=30^{circ}
S=12⋅10⋅5⋅sin(30∘)=12.5S=frac{1}{2}cdot 10 cdot 5 cdotsin(30^{circ})=12.5 (см. кв.)
Ответ: 12.5 (см. кв.)
Решение контрольной работы по геометрии онлайн – от профильных экспертов Студворк!
Тест по теме «Площадь параллелограмма»
1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы
a, b – стороны параллелограмма
α, β – углы параллелограмма
Формула площади через стороны и углы параллелограмма, (S):
Калькулятор – вычислить, найти площадь параллелограмма:
a(сторона)=
b(сторона)=
α или β (угол в градусах)= ( sin α=sin β )
S=
2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
a, b – стороны параллелограмма
Hb – высота на сторону b
Ha – высота на сторону a
Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):
3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
D – большая диагональ
d –меньшая диагональ
α, β – углы между диагоналями
Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , (S):
Калькулятор – вычислить, найти площадь параллелограмма:
D (большая диагональ)=
d (меньшая диагональ )=
α или β (угол в градусах)= ( sin α=sin β )
S=
Формулы для параллелограмма:
Как найти стороны параллелограмма
Как найти диагонали параллелограмма
Острый угол и тупой угол параллелограмма
Углы между диагоналями параллелограмма
Формула суммы квадратов диагоналей параллелограмма
Высота параллелограмма и угол пересечения высот
Свойства и длина биссектрисы параллелограмма
Периметр параллелограмма
Все формулы по геометрии
Как найти площадь параллелограмма — три основных формулы
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Эта статья на еще одну математическую тему. Мы расскажем, как правильно посчитать площадь параллелограмма. Эту тему подробно изучают только в 8-м классе. И это говорит, что она не такая простая.
Но для начала давайте все-таки напомним, какая фигура называется параллелограммом.
Параллелограмм – это разновидность четырехугольников, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.
Классический параллелограмм выглядит вот так:
Впервые об этой фигуре подробно написал древнегреческий математик Евклид в своем известном произведении «Начала». Он же рассказал и о двух частных случаях параллелограмма, которые нам сегодня хорошо известны.
Это и прямоугольник, у которого противоположные стороны не только параллельны друг другу, но и пересекаются под прямым углом. И квадрат, у которого помимо параллельности противоположных сторон, все стороны еще и равны между собой.
И наконец, не лишним будет вспомнить, что подразумевается под термином «площадь».
Площадь геометрической фигуры – это размер плоскости, которая находится внутри сторон фигуры.
Ну а теперь объединим эти два понятия и расскажем, как надо считать площадь параллелограмма.
Формулы для расчета площади параллелограмма
Есть три основных формулы для вычисления площади параллелограмма:
- если известна длина стороны и высота, проведенная к ней;
- если известны длины сторон и углы между ними;
- если известны длины диагоналей и угол между ними.
Теперь о каждом из этих способов подробнее.
Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота
Возьмем для примера такой параллелограмм:
В нем указаны две высоты – BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, который опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом.
В данном случае площадь считается весьма просто. Надо всего лишь перемножить длину высоты и длину стороны, к которой она проведена.
И то же самое касается, если знать длины стороны DC и высоты BF. Тогда для вычисления площади достаточно их перемножить.
Кстати, у этой формулы есть весьма интересное доказательство. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, то можно взять треугольник ABE и переставить его к стороне CD. Вот так это будет выглядеть:
В результате мы получим прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма превратилась в одну из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол
Площадь параллелограмма можно посчитать, если известны длины обеих его сторон и величина острого угла между ними.
Собственно, этот способ вытекает из предыдущего, Просто по исходным данным нужно вычислить высоту параллелограмма, а уже потом по ней посчитать площадь.
Согласно тригонометрии, синус острого угла в прямоугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем примере таким катетом является высота, а гипотенузой сторона «а». И получается:
Соответственно, чтобы посчитать значение высоты надо:
И наша конечная формула для расчета площади будет выглядеть следующим образом:
Как найти площадь параллелограмма через диагонали
Этот способ используется крайне редко, но знать его все равно нужно. Во всяком случае, на экзаменах у школьников такие примеры вполне могут встретиться.
В данном случае для вывода формулы используются весьма непростые математические вычисления. И мы не будем ими вас загружать. А просто покажем конечный результат:
Соответственно, здесь d1 и d2 – длины диагоналей, а y – острый угол между ними.
Вот и все, что мы хотели рассказать о вычислении площади параллелограмма.
Как найти площадь параллелограмма
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Как найти площадь параллелограмма
Чтобы найти площадь параллелограмма воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.
Узнать чему равна площадь параллелограмма (S) можно зная (либо-либо):
- длину стороны a и длину высоты h
- длины сторон a и b, и угол α
- длины сторон a и b, и угол β
- длины сторон a и b, и длину любой из диагоналей (d1 или d2)
- длины диагоналей d1 и d2, и угол между ними γ
Подставьте значения в соответствующие поля и получите результат.
Зная длину стороны a и длину высоты h
Чему равна площадь параллелограмма если сторона
a = ,
а высота
h = ?
Ответ: S =
0
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длина стороны a и длина высоты h, проведенной к этой стороне?
Формула
S = a⋅h
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, а высота h = 4 см, то:
S = 8 ⋅ 4 = 32 см2
Зная длины сторон a и b, и угол α
Чему равна площадь параллелограмма если сторона
a = ,
сторона
b = ,
а угол между ними
α = °
?
Ответ: S =
0
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и угол между ними α?
Формула
S = a⋅b⋅sinα
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а ∠α = 50° то:
S = 8 ⋅ 5 ⋅ sin 50 = 40 ⋅ 0.766 ≈ 30.64 см2
Зная длины сторон a и b, и угол β
Чему равна площадь параллелограмма если сторона
a = ,
сторона
b = ,
а угол между ними
β = °
?
Ответ: S =
0
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и угол между ними β?
Формула
S = a⋅b⋅sin(180 – β)
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а ∠β = 130° то:
S = 8 ⋅ 5 ⋅ sin(180-130) = 40 ⋅ 0.766 ≈ 30.64 см2
Зная длины сторон a и b, и длину диагонали (d1 или d2)
Чему равна площадь параллелограмма если сторона
a = ,
сторона
b = ,
а диагональ
d =
?
Ответ: S =
0
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и длина любой из диагоналей d?
Формула
S = 2√p⋅(p-a)⋅(p-b)⋅(p-d), где p=(a+b+d)/2
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а диагональ d = 11 см то:
p = (8 + 5 +11)/2 = 12
S = 2√12⋅(12-8)⋅(12-5)⋅(12-11) = 2⋅√12⋅4⋅7⋅1 = 2⋅√336 = 36.66 см2
Зная длины диагоналей d1 и d2, и угол между ними γ
Чему равна площадь параллелограмма если диагональ
d1 = ,
диагональ
d2 = ,
а угол между ними
γ = °
?
Ответ: S =
0
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины диагоналей d1 и d2, и угол между ними γ?
Формула
S = ½⋅d1⋅d2⋅sinγ
Пример
Если диагональ параллелограмма d1 = 11 см, диагональ d2 = 7 см, а ∠γ = 45° то:
S = ½ ⋅ 11 ⋅ 7 ⋅ sin 45 = 38.5 ⋅ 0.7071 ≈ 27.22 см2
