Как найти площадь параллелограмма по двум векторам - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Площадь параллелограмма, построенного на векторах

Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах нужно вычислить модуль векторного произведения этих векторов.

Пусть заданы два вектора $ overline{a} = alpha_1 overline{p} + alpha_2 overline{q} $ и $ overline{b} = beta_1 overline{p} + beta_2 overline{q} $, синус угла между ними $ sin varphi $ и длины векторов $ |overline{p}|, |overline{q}| $. Тогда формула записывается следующим образом:

$$ S = Big | [overline{a}, overline{b}] Big | = |alpha_1 beta_2 – alpha_2 beta_1| cdot |overline{p}| cdot |overline{q}| cdot sin varphi $$

Примеры решений

Пример 1

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ overline{a} = overline{p}+3overline{q} $ и $ overline{b} = 2overline{p} – overline{q} $, длины которых равны $ |overline{p}|=2, |overline{q}| = 1 $, а угол между ними $ varphi = frac{pi}{6} $

Решение

Вычисляем векторное произведение векторов:

$$ [overline{a},overline{b}] = [overline{p}+3overline{q}, 2overline{p}-overline{q}] = $$

Выполняем поэлементное перемножение каждого из слагаемых:

$$ = 2[overline{p},overline{p}] – [overline{p},overline{q}] + 6 [overline{q},overline{p}] – 3[overline{q}, overline{q}] = $$

Учитывая свойства векторного произведения, такие как $ [overline{p},overline{p}]=0, [overline{q},overline{q}]=0 $, $ [overline{q},overline{p}]=-[overline{p},overline{q}] $ выполняем упрощение последнего полученного выражения:

$$ = 2 cdot 0 – [overline{p},overline{q}] – 6 [overline{p},overline{q}] – 3 cdot 0 = -7 [overline{p},overline{q}] $$

Находим модуль полученного векторного произведения, подставляя из условия задания длины векторов и угол между ними:

$$ S = |-7 [overline{p},overline{q}] | = 7 |overline{p}| |overline{q}| sin frac{pi}{6} = 7 cdot 2 cdot 1 cdot frac{1}{2} = 7 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ S = 7 $$

Пример 2

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ overline{a} = overline{p}+overline{q} $ и $ overline{b} = 2overline{p}-overline{q} $, если известны их длины $ |overline{p}| = 2 $, $ |overline{q}| = 3 $ и угол между ними $ varphi = frac{pi}{3} $

Решение

Вычисляем векторное произведение:

$$ [overline{a},overline{b}] = [overline{p}+overline{q}, 2overline{p}-overline{q}] = $$

Выполняем попарное умножение слагаемых, из которых состоят векторы:

$$ = 2[overline{p},overline{p}] – [overline{p},overline{q}] + 2 [overline{q},overline{p}]-[overline{q},overline{q}] = $$ $$ = 2 cdot 0 – [overline{p},overline{q}] – 2[overline{p},overline{q}]-0 = -3 [overline{p},overline{q}] $$

Берём модуль последнего выражения и подставляем недостающие данные из условия задачи:

$$ S = | [overline{a},overline{b}]| = |-3 [overline{p},overline{q}]| = 3cdot |overline{p}| |overline{q}| sin varphi = $$

$$ = 3 cdot 2 cdot 3 sin frac{pi}{3} =18 cdot frac{sqrt{3}}{2} = 9sqrt{3} $$

Ответ

$$ S = 9sqrt{3} $$

Источник

Четырехугольник и вектор на плоскости

Каждый школьник понимает, что параллелограмм является специальным видом плоских четырехугольников. Эта фигура состоит из двух пар параллельных пересекающихся отрезков. Она обладает следующими важными свойствами:

ее противоположные стороны и углы равны друг другу;
сумма всех четырех углов составляет 360 градусов;
если просуммировать лишь два смежных (прилежащих к одной стороне) угла, то получится значение 180 градусов;
любая диагональ делит фигуру на две равные части (треугольники);
пересечение диагоналей происходит в точке, которая является геометрическим и массовым центром параллелограмма;
любая секущая, которая проходит через геометрический центр, делит фигуру на две равные по площади части.

Специальные типы

Исходя из определения параллелограмма, как четырехугольника с параллельными и равными по длине противоположными сторонами, можно привести несколько видов фигуры, которые обладают высокой симметрией по отношению к ряду элементарных операций. Это следующие геометрические типы:

Квадрат. Все четыре стороны его равны по длине между собой, а углы составляют 90 градусов. Он является фигурой с достаточно высокой симметрией, и его площадь вычисляется просто как квадрат длины любой его стороны.
Прямоугольник. Еще один вид параллелограмма, все углы которого являются прямыми. Его симметрия несколько ниже, чем у квадрата, поскольку длины сторон равны лишь попарно. Площадь фигуры можно вычислить, перемножив длины смежных сторон.
Ромб. Специальный геометрический тип параллелограмма, который характеризуется тем, что длины всех его сторон являются одинаковыми. Углы фигуры попарно равны и отличаются от 90 градусов (два тупых и два острых).

Направленные отрезки и операция умножения

Площадь параллелограмма через векторы рассчитать легко, если знать понятие направленного отрезка и уметь работать с соответствующими математическими операциями. Поскольку любая точка на плоскости может быть представлена в виде набора двух координат в декартовой прямоугольной системе, то для P и Q можно записать:

P (x1, y1); Q (x2, y2).

Где числа x1, y1, x2 и y2 являются соответствующими координатами для точек P и Q по осям абсцисс и ординат. Чтобы получить вектор PQ-, который будет направлен из P в точку Q, необходимо из координат Q попарно вычесть значения для P:

PQ- = Q — P = (x2-x1, y2-y1).

Координаты направленного отрезка на плоскости определяются так же, как и для точки, набором из двух чисел. Чтобы построить такой вектор в системе координат, необходимо его начало расположить в точке (0, 0), а конец со стрелкой будет располагаться в точке (x2-x1, y2-y1). Из этой геометрической интерпретации следует, что существует бесконечное множество направленных отрезков, которые эквивалентны между собой. Получаются они друг из друга с помощью параллельного переноса по всей плоскости координат.

Как и числа, направленные отрезки также можно складывать между собой, вычитать и умножать. Рассматривая вопрос построение параллелограмма на векторах и нахождения его площади, необходимо изучить свойства векторного произведения. Оно представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат исходные направленные отрезки. Пусть a- и b- необходимо умножить векторно. Результатом произведения будет следующий вектор c-:

c- = [a-*b-] = |a-|*|b-|*sin (alfa).

Здесь alfa — угол между a- и b-, а |a-| и |b-| – длины соответствующих направленных отрезков.

Направление c- принято определять с помощью правила правой руки. Оно гласит: если четыре пальца ладони направить от конца первого умножаемого вектора к концу второго, то оттопыренный большой палец укажет направление результирующего векторного умножения.

Координаты вектора c- можно вычислить также, если воспользоваться понятием определителя матрицы. Пусть a- имеет координаты (a1, a2), а b- = (b1, b2), тогда формула для определения c- запишется в следующем виде:

c- = (0, 0, (a1*b2-b1*a2)).

Вектор c- имеет первые две нулевые координаты, поскольку он перпендикулярен плоскости, в которой находятся a- и b-.

Формула площади из геометрии

Чтобы получить формулу площади параллелограмма на векторах, необходимо вспомнить, как рассчитывается эта величина для треугольника. Если известна одна сторона (основание a) и высота, которая на нее опущена (h), то получается простое выражение:

S3 = ½*h*a.

Где S3 — площадь треугольника. Поскольку две таких плоских фигуры, которые соединены одной из своих сторон, образуют четырехугольник-паралелограм, то для него рассмотренную величину можно вычислить по формуле:

S4 = 2*S3 = h*a.

Пусть вторая сторона параллелограмма равна b, тогда с высотой h она связана через определение тригонометрической функции синус:

sin (alfa) = h/b => h = b*sin (alfa).

Если подставить это равенство в выражение для S4, то нахождение площади фигуры сведется к расчету произведения двух его смежных сторон и синуса угла между ними:

S4 = a*b*sin (alfa).

Поскольку угол alfa изменяется от 0 до 180 градусов, то функция синус всегда имеет положительное значение. Этой формулой часто пользуются на практике. Распространение инженерных калькуляторов позволяет быстро и с высокой точностью вычислять синусы любых углов.

Построение параллелограмма

Определить площадь четырехугольника с попарно параллельными сторонами можно не только через длины его сторон. Если внимательно посмотреть на формулу для S4, то можно заметить, что она идентична по виду векторному произведению направленных отрезков.

Пусть имеется два вектора a- и b-. Угол между ними равен alfa. Если их начала совместить в одной точке на плоскости, затем, от конца a- продолжить вектор b-, а из b- начертить a-, то получится параллелограмм, побудованый на a- и b-. Очевидно, что модуль векторного произведения этих направленных отрезков будет равен площади полученной фигуры:

S4 = a*b*sin (alfa) = |[a-*b-]|.

Применяя координатное выражение этого произведения, можно записать следующую формулу для площади:

S4 = |(a1*b2-b1*a2)|.

Где a- = (a1,a2) и b-=(b1,b2). Знак модуля необходим потому, что по правилу правой руки могут получаться отрицательные векторы. Площадь же является всегда величиной положительной.

Преимущество последней записанной формулы для S4 по сравнению с выражением, где необходимо знать длины и углы, заключается в том, что ее использование не требует никаких предварительных вычислений. Достаточно лишь знать координаты конца и начала образующих параллелограмм векторов.

Задача с тремя точками

Чтобы научиться пользоваться записанной простой формулой, следует решить простую задачу. Имеется три точки, координаты которых следующие:

A (1,-1);
B (2, 0);
C (-4, 3).

На вершинах этих точек следует построить параллелограмм, а затем, рассчитать его площадь S4.

Задачу проще всего решать через использование векторов. Выберем произвольную точку из трех заданных. Пусть это будет A. Из нее выходит два вектора: AB- и AC-. Их координаты определяются таким образом:

AB- = (2−1, 0-(-1)) = (1, 1); AC- = (-4−1, 3- (-1)) = (-5, 4).

Чтобы определить площадь параллелограмма на этих векторах, следует применить формулу для их векторного произведения. Порядок умножения направленных отрезков не имеет значения. Получается следующий результат:

S4 = [AB-*AC-] = 1*4 — (-5)*1 = 9.

Результат получен в единицах квадратных соответствующей двумерной системы координат.

Если была выбрана в качестве исходной не точка A, а B или C, то получился бы тот же результат, что можно доказать, проделав аналогичные вычисления.

Диагонали фигуры

Некоторые задачи по геометрии параллелограммов в качестве начального условия предлагают знание одной или двух его диагоналей. По этим данным необходимо вычислить характеристики всей фигуры, включая ее площадь. Решать такие задачи также удобно с использованием понятия векторов.

Если дана диагональ, выраженная вектором f- и основание, представленное направленным отрезком a-, то формула для площади параллелограмма имеет вид:

S4 = [a-*f-] = |a-|*|f-|*sin (beta).

Где beta — угол между a- и f-. Видно, что это выражение не отличается от предыдущих для S4. Доказать его справедливость несложно, если рассмотреть построенные на указанных векторах треугольники и использовать признаки их подобия.

Другой случай, когда даны обе диагонали параллелограмма f- и e-. Воспользовавшись геометрическими построениями на плоскать, можно показать справедливость следующего выражения:

S4 = ½*|[e-*f-]| = ½*|e-|*|f-|*sin (teta).

Здесь teta — это угол пересечения e- и f-. Таким образом, чтобы вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат вектора, следует вычислить половину модуля их векторного произведения.

Пример решения

Все разнообразие задач на определение площади параллелограмма сводится к знанию единственной формулы векторного произведения. Пусть известны две диагонали фигуры. Они имеют координаты:

e- = (2, -1); f- = (1, -4).

Чтобы определить величину S4, достаточно без промежуточных вычислений воспользоваться формулой векторного произведения заданных направленных отрезков:

S4 = ½*|[e-*f-]| = ½*|-8+1| = 3,5.

В связи с развитием интернета, всегда можно использовать калькулятор-онлайн для расчета величины S4. Соответствующий электронный ресурс можно знайти, воспользовавшись любой поисковой системой в браузере.

Трехмерное пространство

В пространственной системе координат каждый вектор задается тремя числами, поэтому их векторное произведение c- также будет представлять набор трех цифр. Построенный в пространстве параллелограмм на двух векторах будет иметь площадь, равную длине направленного отрезка c-. Для расчета его модуля следует использовать известное выражение: сумма квадратов трех координат под корнем.

Таким образом, площадь параллелограмма проще всего вычислять, используя операцию умножения векторов. Этот метод является универсальным не только для задач на плоскости, но и для решения проблем в трехмерной системе координат.

Источник

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Вспомним в начале, что такое векторное произведение.

Замечание 1

Векторным произведением для $vec{a}$ и $vec{b}$ является $vec{c}$, представляющий собой некоторый третий вектор $vec{c}= |[ab]|$, причём этот вектор обладает особенными свойствами:

Cкаляр полученного вектора — произведение $|vec{a}|$ и $|vec{b}|$ на синус угла $vec{c}= |[ab]|= |vec{a}| cdot |vec{b}|cdot sin α left(1right)$;
Все $vec{a}, vec{b}$ и $vec{c}$ образуют правую тройку;
Полученный вектор ортогонален к $vec{a}$ и $vec{b}$.

Если для векторов присутствуют некоторые координаты ($vec{a}={x_1; y_1; z_1}$ и $vec{b}= {x_2; y_2; z_2}$), то их векторное произведение в декартовой системе координат можно определить по формуле:

$[a times b] = {y_1 cdot z_2 – y_2 cdot z_1; z_1 cdot x_2 – z_2 cdot x_1; x_2 cdot y_2 – x_2 cdot y_1}$

Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:

$[ab] = begin{array} {|ccc|} i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \ end{array}$.

Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.

Площадь параллелограмма, стороны которого определяются двумя векторами $vec{a}$ и $vec{b}$ равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.

Это соотношение совсем несложно вывести.

Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:

$S = a cdot b cdot sin α$

При этом длины сторон равны скалярным значениям векторов $vec{a}$ и $vec{b}$, что вполне себе подходит нам, то есть, скаляр векторного произведения данных векторов и будет площадью рассматриваемой фигуры.

Пример 1

Даны векторы $vec{c}$ c координатами ${5;3; 7}$ и вектор $vec{g}$ с координатами ${3; 7;10 }$ в декартовой системе координат. Найти, чему равна площадь параллелограмма, образованного $vec{c}$ и $vec{g}$.

Решение:

Отыщем векторное произведение для этих векторов:

$[c times g] = begin{array} {|ccc|} i & j & k \ 5 & 3 & 7 \ 3 & 7 & 10 \ end{array}= i cdot begin{array} {|cc|} 3 & 7 \ 7 & 10 \ end{array} – j cdot begin{array} {|cc|} 5 & 7 \ 3 & 10 \ end{array} + k cdot begin{array} {|cc|} 5 & 3 \ 3 & 7 \ end{array} = i cdot (3 cdot 10 – 49) – j cdot (50 -21) + k cdot (35-9) = -19i -29j + 26k={- 19; 29; 26}$.

Теперь найдём модульное значение для полученного направленного отрезка, оно и является значением площади построенного параллелограмма:

$S= sqrt{|19|^2 + |29|^2 + |26|^2} = sqrt{1878} ≈ 43, 34$.

«Примеры как вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах» 👇

Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.

Пример 2

Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами $vec{m}$ с координатами ${2; 3}$ и $vec{d}$ с координатами ${-5; 6}$.

Решение:

Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, $z$, можно принять за нуль.

Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:

$S = begin{array} {||cc||} 2 & 3\ -5 & 6 \ end{array} = sqrt{12 + 15} =3 sqrt3$.

Пример 3

Даны векторы $vec{a} = 3i – j + k; vec{b}= 5i$. Определите площадь образуемого ими параллелограмма.

$[ vec{a} times vec{b}] = (3i – j + k) times 5i = 15 [i times i] – 5 [j times i] + [5ktimes i]$

Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:

Рисунок 1. Разложение вектора по базису. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$[ vec{a} times vec{b}] = 5 k + 5 j$.

Время подсчётов:

$S = sqrt{|-5|^2 + |5|^2} = 5sqrt{2}$.

Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:

Пример 4

Вектор $vec{d} = 2a + 3b$, $vec{f}= a – 4b$, длины $vec{a}$ и $vec{b}$ равны между собой и равны единице, а угол между $vec{a}$ и $vec{b}$ равен 45°.

Решение:

Вычислим векторное произведение $vec{d} times vec{f}$:

$[vec{d} times vec{f} ]= (2a + 3b) times ( a – 4b) = 2 [a times a] – 8 [a times b] + 3 [b times a] – 12 [b times b]$.

Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: $[a times a]$ и $[b times b]$ равны нулю, $[b times a] = – [a times b]$.

Используем это для упрощения:

$[vec{d} times vec{f} ]= -8[a times b] + 3 [b times a] = -8[a times b] – 3[a times b] =-11[a times b]$.

Теперь воспользуемся формулой $(1)$ :

$[vec{d} times vec{f} ] = |-11 [a times b]| = 11 cdot |a| cdot |b| cdot sin α = 11 cdot 1 cdot 1 cdot frac12=5,5$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Онлайн калькулятор. Площадь параллелограмма построенного на векторах.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь параллелограмма построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади параллелограмма построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

Выберите каким образом задается параллелограмм:

Введите значения векторов: Введите координаты трех любых вершин параллелограмма:

Инструкция использования калькулятора для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево” и “вправо” на клавиатуре.

Теория. Площадь параллелограмма построенного на векторах.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: онлайн-калькулятор

Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах, нужны значения этих векторов или координаты точек. Онлайн-калькулятор выдает подробное решение и ответ. В зависимости от введенных данных программа подбирает формулы для расчета в нужной последовательности.

Сервисом пользуются школьники и студенты, когда надо быстро найти площадь параллелограмма – на контрольной, зачете, экзамене. Также по готовому решению задачи удобно изучать новую тему.

В форме представления параллелограмма выберите способ «Двумя векторами сторон».
Введите значения векторов в соответствующие поля. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».
Получаем решение и ответ.

В форме представления параллелограмма выберите способ «Координатами точек».
Введите координаты вершин в соответствующие поля. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».
Получаем решение и ответ.

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Как найти площадь параллелограмма

Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах, необходимо вычислить произведение длин векторов и синуса угла между ними. В заданиях, где длины векторов неизвестны, а даны координаты векторов, необходимо произвести следующие вычисления:

Найти векторы a ⇀ и b ↔ по точкам.
Вычислить произведение векторов.
Рассчитать модуль вектора c → .
Высчитать площадь S = a → × b →

Использование онлайн-калькулятора позволяет не думать о выборе способа решения, а просто ввести данные и получить поэтапные вычисления и ответ. Такой вариант подойдет учащимся, их родителям, преподавателям, инженерам.

Сервис позволяет узнать, чему равна площадь параллелограмма и других фигур, а также решить задачи на любую тему по алгебре и геометрии. Для этого не придется платить, регистрироваться на сайте, долго ждать. Расчеты производятся онлайн. Вы можете осваивать новую тему или сверяться с собственным решением неограниченное количество раз.

Если тема осталась непонятной, напишите консультанту. Наш сотрудник подберет вам преподавателя по выгодной цене или организует онлайн-помощь на зачете.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах – формула и примеры решения задач