Как найти площадь параллелограмма вписанного в треугольник

Здравствуйте, дорогие читатели канала. В этой статье рассмотрим решение 25 задачи из ОГЭ по математике.

Задача: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD

Решение:

Выполним построение чертежа и напишем, что нам известно:

Начнем решать задачу с “конца”, т.е. с того что нам нужно найти.

1) Площадь параллелограмма можно найти двумя способами:

2) Рассмотрим первую формулу площади параллелограмма. На рисунке нам не хватает высоты. Продолжим OF до стороны ВС получим EF=h.

В этой формуле мы не знаем сторону AD.

3) Рассмотрим вторую формулу площади параллелограмма через площадь треугольника.

Площадь треугольника с вписанной окружностью можно найти по следующей формуле:

Для того чтобы найти полупериметр, проведем еще один радиус ON окружности к стороне АВ.

Теперь подставим значение полупериметра в формулу площади треугольника, получаем:

Чтобы найти АК рассмотрим прямоугольный треугольник АОК.

Значит площадь параллелограмма через треугольник равна:

4) Из второго и третьего пункта возьмем получившиеся формулы площади параллелограмма, приравняем их и найдем сторону AD = BC:

Теперь ответим на главный вопрос задачи. Площадь параллелограмма равна:

Если вы знаете способ решения легче, пишите в комментариях.

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Формулы площадей фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

где a — одна из сторон треугольника, h — высота, проведенная к стороне треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

S = p p – a p – b p – c ,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1 2 a · b · sin γ ,

где a, b — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b .

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

a, b, c — стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата.

Формула площади квадрата по длине диагонали

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

где S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь параллелограмма,
a, h — длины сторон параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

где S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
α – угол между сторонами параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними

Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin β 2 = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
β , γ – угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба.

Формула площади ромба по длине стороны и углу

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
α — угол между сторонами ромба.

Формула площади ромба по длинам его диагоналей

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — площадь ромба,
d1, d2 — длины диагоналей ромба.

Формулы площади трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две ( a, b ) стороны параллельны (основания), а две другие ( c, d ) стороны не параллельны (боковые стороны).

Формула Герона для трапеции

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр трапеции.

Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
h — высота трапеции.

Формулы площади дельтоида

Дельтоид — это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна произведению длин неравных сторон на синус угла между ними.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
β — угол между неравными сторонами дельтоида.

Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна полусумме произведения каждой из пар равных сторон на синус угла между ними.

S = a 2 sin γ + b 2 sin α 2 ,

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины сторон дельтоида,
α — угол между равными сторонами b ,
γ — угол между равными сторонами a .

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь дельтоида равна произведению суммы неравных сторон на радиус вписанной окружности.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
r — радиус вписанной окружности.

Формула площади дельтоида по двум диагоналям

Площадь дельтоида равна половине произведения длин двух диагоналей.

где S — площадь дельтоида,
d1, d2 — диагонали дельтоида.

Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

Площадь произвольного выпуклого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженной на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — диагонали четырехугольника,
γ — любой из четырёх углов между диагоналями.

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника,
θ = α + β 2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна

S = p – a p – b p – c p – d ,

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями

Если в четырехугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

S = π r 2 ,

где S — площадь круга,
r — радиус круга.

Формула площади круга через диаметр

Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — площадь круга,
d — диаметр круга.

Площадь сегмента круга

Площадь кругового сегмента через угол в градусах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в градусах.

Площадь кругового сегмента через угол в радианах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в радианах.

Формула площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

где S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

Для вычисления площади параллелограмма применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

Площадь параллелограмма – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны между собой.

Площадь параллелограмма по основанию и высоте параллелограмма

Площадь параллелограмма по стороне и высоте, опущенной на эту сторону

Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между этими диагоналями

Площадь параллелограмма по вписанной окружности и стороне

Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

Площадь параллелограмма по вписанной окружности и углу между сторонами

Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Таблица с формулами площади параллелограмма

исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору)	эскиз	формула
1	основание и высота
2	сторона и высота, опущенная на эту сторону
3	две стороны и угол между ними
4	диагонали и угол между ними
5	вписанная окружность и сторона
6	вписанная окружность и угол между сторонами

Определения

Параллелограмм – это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны между собой.

Высота параллелограмма – это отрезок проведенный из вершины параллелограмма к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Некоторые свойства параллелограмма:

• Сумма углов параллелограмма равна 360 градусов
• Сумма углов, прилегающих к любой из сторон равна 180 градусов
• Противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину
• Противолежащие углы равны

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

Математически это можно записать следующим образом

где $a$ сторона параллелограмма, $h$ – высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $AD=BC=a$. Проведем высоты $DF$ и $AE$ (рис. 1).

Очевидно, что фигура $FDAE$ — прямоугольник.

[angle BAE=<90>^0-angle A, ] [angle CDF=angle D-<90>^0=<180>^0-angle A-<90>^0=<90>^0-angle A=angle BAE]

Следовательно, так как $CD=AB, DF=AE=h$, по $I$ признаку равенства треугольников $triangle BAE=triangle CDF$. Тогда

Значит по теореме о площади прямоугольника:

Теорема доказана.

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.

Математически это можно записать следующим образом

где $a, b$ стороны параллелограмма, $alpha $ — угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $BC=a, CD=b, angle C=alpha $. Проведем высоту $DF=h$ (рис. 2).

По определению синуса, получим

Значит, по теореме $1$:

Теорема доказана.

Площадь треугольника

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

Математически это можно записать следующим образом

где $a$ сторона треугольника, $h$ – высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, у которого $AB=a$. Проведем высоту $CH=h$. Достроим его до параллелограмма $ABCD$ (рис. 3).

Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $triangle ACB=triangle CDB$. Тогда

Значит по теореме $1$:

Теорема доказана.

Готовые работы на аналогичную тему

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.

Математически это можно записать следующим образом

где $a, b$ стороны треугольника, $alpha $ — угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, у которого $AB=a$. Проведем высоту $CH=h$. Достроим его до параллелограмма $ABCD$ (рис. 3).

Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $triangle ACB=triangle CDB$. Тогда

Значит по теореме $1$:

Теорема доказана.

Площадь трапеции

Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCK$, где $AK=a, BC=b$. Проведем в ней высоты $BM=h$ и $KP=h$, а также диагональ $BK$ (рис. 4).

По теореме $3$, получим

Теорема доказана.

Пример задачи

Найти площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равняется $a.$

Решение.

Так как треугольник равносторонний, то все его углы равняются $<60>^0$.

Тогда, по теореме $4$, имеем

Заметим, что результат этой задачи можно применять при нахождении площади любого равностороннего треугольника с данной стороной.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 05 2021

[spoiler title=”источники:”]

http://doza.pro/art/math/geometry/area-parallelogram

http://spravochnick.ru/geometriya/ploschad_formuly_ploschadi/kak_nayti_ploschad_parallelogramma_treugolnika_trapecii/

[/spoiler]

Скрыть

Окружность вписана в треугольник ABC с радиусами $$OM=ON=OP$$ и перпендикулярными сторонам AB, BC, AC соответственно. По теореме об отрезках касательных, имеем:

$$MB=BN, AM=AP, CN=CP$$.

Пусть $$BM=BN=x$$, а $$CN=CP=y$$. Тогда $$BC=AD=x+y$$. Отрезок $$NN_1=AH=8+6=14$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO. По теореме Пифагора найдем сторону AM:

$$AM=sqrt{AO^2-OM^2}=sqrt{10^2-6^2}=8$$

Значит, $$AP=AM=8$$. Найдем величину $$x+y$$ из формулы площади треугольника ABC:

$$S_{ABC}=frac{1}{2}(x+y)cdot14$$

Эту же площадь можно вычислить как

$$S_{ABC}=pcdot r$$,

где $$p=frac{1}{2}cdot(AB+BC+AC)=8+x+y$$ – полупериметр треугольника ABC; $$r=6$$ – радиус вписанной окружности. Приравниваем площади, получаем уравнение:

$$7cdot(x+y)=(x+y+8)cdot6$$

$$7(x+y)-6(x+y)=48$$

$$x+y=48$$

Значит, $$BC=AD=48$$ и площадь параллелограмма, равна:

$$S_{ABCD}=ADcdot H=48cdot14=672$$

2023-02-16   

Доказать, что площадь треугольника, вписанного в параллелограмм, не может быть больше половины площади этого параллелограмма.

Решение:

Первый случай. Предположим, что две вершины треугольника $A$ и $B$ лежат на одной и той же стороне $KL$ параллелограмма (рис.).

Если $S$ – площадь треугольника $ABC$, $m$ – его высота, опущенная на сторону $AB, S^{ prime}$ – площадь параллелограмма и $n$ – высота параллелограмма, опущенная на сторону $KL$, то

$S = frac{1}{2} m cdot AB, S^{ prime} = n cdot KL$

а поскольку

$m leq n$ и $AB leq KL$,

то

$S leq frac{1}{2} S^{ prime}$

Второй случай. Предположим, что вершины треугольника принадлежат различным сторонам параллелограмма (рис.). Тогда среди вершин треугольника заведомо найдутся две такие, которые находятся на противоположных сторонах параллелограмма. Пусть вершина $A$ лежит на стороне $KL$, вершина $B$ – на противоположной стороне $MN$ и вершина $C$ – на стороне $KN$.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную сторонам $KL$ и $MN$. Пусть $D$ – точка пересечения этой прямой со стороной треугольника $AB$, а $E$ – точка ее пересечения со стороной параллелограмма $LM$.

По доказанному выше (при рассмотрении первого случая) площадь треугольника $ACD$ не больше половины площади параллелограмма $KLEC$, а площадь треугольника $CDB$ не превосходит половины площади параллелограмма $CEMN$. Но отсюда следует, что площадь всего треугольника $ABC$ не превосходит половины площади параллелограмма $KLMN$.