{S = a cdot h}
Найти площадь параллелограмма
На этой странице вы можете рассчитать площадь параллелограмма с помощью калькулятора по трем формулам. Просто введите известные вам данные – основание, высоту, стороны, диагонали и углы между ними и получите ответ.
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Содержание:
- калькулятор площади параллелограмма
- формула площади параллелограмма через сторону и высоту
- формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними
- формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
- примеры задач
Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
{S = a cdot h}
a – сторона параллелограмма
h – высота параллелограмма
Формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними
{S=a cdot b cdot sin(alpha)}
a, b – стороны параллелограмма
α – угол между сторонами a и b
Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2 cdot sin(alpha)}
d1, d2 – диагонали параллелограмма
α – угол между диагоналями
Примеры задач на нахождение площади параллелограмма
Задача 1
Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 9 см и 12 см, а угол между ними 60 градусов.
Решение
Для решения задачи нам подойдет вторая формула, так как из условия нам известны стороны параллелограмма и угол между ними. Подставим значения в формулу и произведем расчет.
S = a cdot b cdot sin(alpha) = 9 cdot 12 cdot sin(60) = 108 cdot sin(60) = 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2
Ответ: 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2
Мы можем проверить ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 см и 12 см, а угол между ними равен 30 градусов.
Решение
Задача похожа на предыдущую, поэтому ее решение будет выглядеть аналогично.
S = a cdot b cdot sin(alpha) = 8 cdot 12 cdot sin(30) = 96 cdot sin(30) = 96 cdot 0.5 = 48 : см^2
Ответ: 48 см²
И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .
Задача 3
Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота проведенная к ней 8 см.
Решение
В этом случае нам известны сторона параллелограмма и высота, поэтому воспользуемся первой формулой.
S = a cdot h = 12 cdot 8 = 96 : см^2
Ответ: 96 см²
И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .
Площадь параллелограмма через диагонали: онлайн-калькулятор
Чтобы найти площадь параллелограмма по диагоналям, необходимо перемножить значения диагоналей и синуса угла между ними, а полученный результат разделить пополам. На этом правиле построена программа по автоматическому решению на нашем сайте.
Онлайн-калькулятором пользуются школьники при подготовке к урокам, на самостоятельных и контрольных. Студентам сервис помогает без проблем сдать зачеты и экзамены.
Как найти площадь параллелограмма через диагонали
Программа подставляет введенные данные в формулу:
.S=12d1d2sinα
После этого все величины приводятся к общей единице измерения, если это необходимо. Так исключаются ошибки, которые часто допускаются при ручном переводе.
Что получают наши клиенты:
- Моментальный результат. Вы вводите данные, сразу получаете решение. Отсутствие регистрации позволяет сэкономить время.
- Последовательные расчеты. Доступен не только ответ, но и пошаговые вычисления.
- Бесплатное использование программы. За неограниченный доступ к программе не надо платить.
Использование калькулятора помогает вникнуть в новую или не до конца понятую тему. Тренировки в онлайн-подсчетах облегчают запоминание правила, алгоритма вычисления, дают возможность внедрить усвоенный материал в дальнейшем. Учителя, родители смогут быстрее проверять результаты учащегося.
Нахождение площади параллелограмма через диагонали и угол – это не единственный способ решить задачу. Используйте при необходимости другие калькуляторы на нашем сайте. Если никакой из способов не подошел и вы не можете найти решение, напишите консультанту. Он изучит ваш запрос, подберет преподавателя из нашего штата, который сможет объяснить материал по невысокой цене.
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.
В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.
Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете площади треугольника по теореме косинусов и синусов. Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так: 
Допустим, дан параллелограмм со сторонами a = 4 см, b = 6 см. Угол между ними α = 30°. Найдем площадь:
Площадь параллелограмма через диагонали
Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.
Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D = 7 см, d = 5 см. Угол, лежащий между ними α=30°. Подставим данные в формулу:
Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75
.
Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.
Параллелограмм – это геометрическая фигура; четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
-
Формула вычисления площади
- По длине стороны и высоте
- По двум сторонам и углу между ними
-
По двум диагоналям и углу между ними
- Примеры задач
Формула вычисления площади
По длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:
S = a ⋅ h
По двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма находится путем умножения длин его обеих сторон и синуса угла между ними:
S = a ⋅ b ⋅ sin α
По двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна одной второй произведения длин его диагоналей, умноженного на синус угла между ними:
S = 1/2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin α
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь параллелограмма, если длина его стороны равняется 7 см, а высоты – 4 см.
Решение:
Используем первую формулу, в которой задействованы известные нам по условиям задания значения: S = 4 см * 7 см = 28 см2.
Задание 2
Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 6 и 8 см, а угол между ними – 30°.
Решение:
Применим вторую формулу, рассмотренную выше: S = 6 см * 8 см * sin 30° = 24 см2.
Задание 3
Найдите площадь параллелограмма с диагоналями, равными 4 и 6 см. Угол между ними составляет 90°.
Решение:
Воспользуемся формулой, в которой фигурируют диагонали: S = 1/2 * 4 см * 6 см * sin 90° = 12 см2.
Как найти площадь параллелограмма — три основных формулы
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Эта статья на еще одну математическую тему. Мы расскажем, как правильно посчитать площадь параллелограмма. Эту тему подробно изучают только в 8-м классе. И это говорит, что она не такая простая.
Но для начала давайте все-таки напомним, какая фигура называется параллелограммом.
Параллелограмм – это разновидность четырехугольников, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.
Классический параллелограмм выглядит вот так:
Впервые об этой фигуре подробно написал древнегреческий математик Евклид в своем известном произведении «Начала». Он же рассказал и о двух частных случаях параллелограмма, которые нам сегодня хорошо известны.
Это и прямоугольник, у которого противоположные стороны не только параллельны друг другу, но и пересекаются под прямым углом. И квадрат, у которого помимо параллельности противоположных сторон, все стороны еще и равны между собой.
И наконец, не лишним будет вспомнить, что подразумевается под термином «площадь».
Площадь геометрической фигуры – это размер плоскости, которая находится внутри сторон фигуры.
Ну а теперь объединим эти два понятия и расскажем, как надо считать площадь параллелограмма.
Формулы для расчета площади параллелограмма
Есть три основных формулы для вычисления площади параллелограмма:
- если известна длина стороны и высота, проведенная к ней;
- если известны длины сторон и углы между ними;
- если известны длины диагоналей и угол между ними.
Теперь о каждом из этих способов подробнее.
Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота
Возьмем для примера такой параллелограмм:
В нем указаны две высоты – BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, который опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом.
В данном случае площадь считается весьма просто. Надо всего лишь перемножить длину высоты и длину стороны, к которой она проведена.
И то же самое касается, если знать длины стороны DC и высоты BF. Тогда для вычисления площади достаточно их перемножить.
Кстати, у этой формулы есть весьма интересное доказательство. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, то можно взять треугольник ABE и переставить его к стороне CD. Вот так это будет выглядеть:
В результате мы получим прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма превратилась в одну из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол
Площадь параллелограмма можно посчитать, если известны длины обеих его сторон и величина острого угла между ними.
Собственно, этот способ вытекает из предыдущего, Просто по исходным данным нужно вычислить высоту параллелограмма, а уже потом по ней посчитать площадь.
Согласно тригонометрии, синус острого угла в прямоугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем примере таким катетом является высота, а гипотенузой сторона «а». И получается:
Соответственно, чтобы посчитать значение высоты надо:
И наша конечная формула для расчета площади будет выглядеть следующим образом:
Как найти площадь параллелограмма через диагонали
Этот способ используется крайне редко, но знать его все равно нужно. Во всяком случае, на экзаменах у школьников такие примеры вполне могут встретиться.
В данном случае для вывода формулы используются весьма непростые математические вычисления. И мы не будем ими вас загружать. А просто покажем конечный результат:
Соответственно, здесь d1 и d2 – длины диагоналей, а y – острый угол между ними.
Вот и все, что мы хотели рассказать о вычислении площади параллелограмма.
