Как найти площадь параллелограмма зная только стороны - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти площадь параллелограмма

Главная
/
Математика
/
Геометрия
/
Как найти площадь параллелограмма

Чтобы найти площадь параллелограмма воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.

Узнать чему равна площадь параллелограмма (S) можно зная (либо-либо):

длину стороны a и длину высоты h
длины сторон a и b, и угол α
длины сторон a и b, и угол β
длины сторон a и b, и длину любой из диагоналей (d₁ или d₂)
длины диагоналей d₁ и d₂, и угол между ними γ

Подставьте значения в соответствующие поля и получите результат.

Зная длину стороны a и длину высоты h

Чему равна площадь параллелограмма если сторона

a = ,

а высота

h = ?

Ответ: S =

Чему равна площадь параллелограмма S если известны длина стороны a и длина высоты h, проведенной к этой стороне?

Формула

S = a⋅h

Пример

Если сторона параллелограмма a = 8 см, а высота h = 4 см, то:

S = 8 ⋅ 4 = 32 см²

Зная длины сторон a и b, и угол α

Чему равна площадь параллелограмма если сторона

a = ,

сторона

b = ,

а угол между ними

α = °

?
Ответ: S =

Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и угол между ними α?

Формула

S = a⋅b⋅sinα

Пример

Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а ∠α = 50° то:

S = 8 ⋅ 5 ⋅ sin 50 = 40 ⋅ 0.766 ≈ 30.64 см²

Зная длины сторон a и b, и угол β

Чему равна площадь параллелограмма если сторона

a = ,

сторона

b = ,

а угол между ними

β = °

?
Ответ: S =

Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и угол между ними β?

Формула

S = a⋅b⋅sin(180 – β)

Пример

Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а ∠β = 130° то:

S = 8 ⋅ 5 ⋅ sin(180-130) = 40 ⋅ 0.766 ≈ 30.64 см²

Зная длины сторон a и b, и длину диагонали (d₁ или d₂)

Чему равна площадь параллелограмма если сторона

a = ,

сторона

b = ,

а диагональ

d =

?
Ответ: S =

Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и длина любой из диагоналей d?

Формула

S = 2√p⋅(p-a)⋅(p-b)⋅(p-d), где p=(a+b+d)/2

Пример

Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а диагональ d = 11 см то:

p = (8 + 5 +11)/2 = 12

S = 2√12⋅(12-8)⋅(12-5)⋅(12-11) = 2⋅√12⋅4⋅7⋅1 = 2⋅√336 = 36.66 см²

Зная длины диагоналей d₁ и d₂, и угол между ними γ

Чему равна площадь параллелограмма если диагональ

d₁ = ,

диагональ

d₂ = ,

а угол между ними

γ = °

?
Ответ: S =

Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины диагоналей d₁ и d₂, и угол между ними γ?

Формула

S = ½⋅d₁⋅d₂⋅sinγ

Пример

Если диагональ параллелограмма d₁ = 11 см, диагональ d₂ = 7 см, а ∠γ = 45° то:

S = ½ ⋅ 11 ⋅ 7 ⋅ sin 45 = 38.5 ⋅ 0.7071 ≈ 27.22 см²

См. также

Источник

{S = a cdot h}

Найти площадь параллелограмма

На этой странице вы можете рассчитать площадь параллелограмма с помощью калькулятора по трем формулам. Просто введите известные вам данные – основание, высоту, стороны, диагонали и углы между ними и получите ответ.

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Содержание:

калькулятор площади параллелограмма
формула площади параллелограмма через сторону и высоту
формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними
формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
примеры задач

Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

{S = a cdot h}

a – сторона параллелограмма

h – высота параллелограмма

Формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними

{S=a cdot b cdot sin(alpha)}

a, b – стороны параллелограмма

α – угол между сторонами a и b

Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2 cdot sin(alpha)}

d₁, d₂ – диагонали параллелограмма

α – угол между диагоналями

Примеры задач на нахождение площади параллелограмма

Задача 1

Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 9 см и 12 см, а угол между ними 60 градусов.

Решение

Для решения задачи нам подойдет вторая формула, так как из условия нам известны стороны параллелограмма и угол между ними. Подставим значения в формулу и произведем расчет.

S = a cdot b cdot sin(alpha) = 9 cdot 12 cdot sin(60) = 108 cdot sin(60) = 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2

Ответ: 108 cdot 0.866 approx 93.53074 : см^2

Мы можем проверить ответ с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 см и 12 см, а угол между ними равен 30 градусов.

Решение

Задача похожа на предыдущую, поэтому ее решение будет выглядеть аналогично.

S = a cdot b cdot sin(alpha) = 8 cdot 12 cdot sin(30) = 96 cdot sin(30) = 96 cdot 0.5 = 48 : см^2

Ответ: 48 см²

И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .

Задача 3

Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота проведенная к ней 8 см.

Решение

В этом случае нам известны сторона параллелограмма и высота, поэтому воспользуемся первой формулой.

S = a cdot h = 12 cdot 8 = 96 : см^2

Ответ: 96 см²

И снова проверить ответ нам поможет калькулятор .

Источник

1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы

a, b – стороны параллелограмма

α, β – углы параллелограмма

Формула площади через стороны и углы параллелограмма, (S):

Калькулятор – вычислить, найти площадь параллелограмма:

a(сторона)=

b(сторона)=

α или β (угол в градусах)= ( sin α=sin β )

2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

a, b – стороны параллелограмма

H_b – высота на сторону b

H_a – высота на сторону a

Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):

3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

D – большая диагональ

d –меньшая диагональ

α, β – углы между диагоналями

Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , (S):

Калькулятор – вычислить, найти площадь параллелограмма:

D (большая диагональ)=

d (меньшая диагональ )=

α или β (угол в градусах)= ( sin α=sin β )

Формулы для параллелограмма:

Как найти стороны параллелограмма

Как найти диагонали параллелограмма

Острый угол и тупой угол параллелограмма

Углы между диагоналями параллелограмма

Формула суммы квадратов диагоналей параллелограмма

Высота параллелограмма и угол пересечения высот

Свойства и длина биссектрисы параллелограмма

Периметр параллелограмма

Все формулы по геометрии

Источник

Как найти площадь параллелограмма — три основных формулы

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Эта статья на еще одну математическую тему. Мы расскажем, как правильно посчитать площадь параллелограмма. Эту тему подробно изучают только в 8-м классе. И это говорит, что она не такая простая.

Но для начала давайте все-таки напомним, какая фигура называется параллелограммом.

Параллелограмм – это разновидность четырехугольников, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.

Классический параллелограмм выглядит вот так:

Впервые об этой фигуре подробно написал древнегреческий математик Евклид в своем известном произведении «Начала». Он же рассказал и о двух частных случаях параллелограмма, которые нам сегодня хорошо известны.

Это и прямоугольник, у которого противоположные стороны не только параллельны друг другу, но и пересекаются под прямым углом. И квадрат, у которого помимо параллельности противоположных сторон, все стороны еще и равны между собой.

И наконец, не лишним будет вспомнить, что подразумевается под термином «площадь».

Площадь геометрической фигуры – это размер плоскости, которая находится внутри сторон фигуры.

Ну а теперь объединим эти два понятия и расскажем, как надо считать площадь параллелограмма.

Формулы для расчета площади параллелограмма

Есть три основных формулы для вычисления площади параллелограмма:

если известна длина стороны и высота, проведенная к ней;
если известны длины сторон и углы между ними;
если известны длины диагоналей и угол между ними.

Теперь о каждом из этих способов подробнее.

Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота

Возьмем для примера такой параллелограмм:

В нем указаны две высоты – BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, который опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом.

В данном случае площадь считается весьма просто. Надо всего лишь перемножить длину высоты и длину стороны, к которой она проведена.

И то же самое касается, если знать длины стороны DC и высоты BF. Тогда для вычисления площади достаточно их перемножить.

Кстати, у этой формулы есть весьма интересное доказательство. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, то можно взять треугольник ABE и переставить его к стороне CD. Вот так это будет выглядеть:

В результате мы получим прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма превратилась в одну из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол

Площадь параллелограмма можно посчитать, если известны длины обеих его сторон и величина острого угла между ними.

Собственно, этот способ вытекает из предыдущего, Просто по исходным данным нужно вычислить высоту параллелограмма, а уже потом по ней посчитать площадь.

Согласно тригонометрии, синус острого угла в прямоугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем примере таким катетом является высота, а гипотенузой сторона «а». И получается:

Соответственно, чтобы посчитать значение высоты надо:

И наша конечная формула для расчета площади будет выглядеть следующим образом:

Как найти площадь параллелограмма через диагонали

Этот способ используется крайне редко, но знать его все равно нужно. Во всяком случае, на экзаменах у школьников такие примеры вполне могут встретиться.

В данном случае для вывода формулы используются весьма непростые математические вычисления. И мы не будем ими вас загружать. А просто покажем конечный результат:

Соответственно, здесь d1 и d2 – длины диагоналей, а y – острый угол между ними.

Вот и все, что мы хотели рассказать о вычислении площади параллелограмма.

Источник

Параллелограмм – это геометрическая фигура; четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

Формула вычисления площади
- По длине стороны и высоте
- По двум сторонам и углу между ними
- По двум диагоналям и углу между ними
Примеры задач

Формула вычисления площади

По длине стороны и высоте

Площадь параллелограмма (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:

S = a ⋅ h

По двум сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма находится путем умножения длин его обеих сторон и синуса угла между ними:

S = a ⋅ b ⋅ sin α

По двум диагоналям и углу между ними

Площадь параллелограмма равна одной второй произведения длин его диагоналей, умноженного на синус угла между ними:

S = ¹/₂ ⋅ d₁ ⋅ d₂ ⋅ sin α

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь параллелограмма, если длина его стороны равняется 7 см, а высоты – 4 см.

Решение:
Используем первую формулу, в которой задействованы известные нам по условиям задания значения: S = 4 см * 7 см = 28 см².

Задание 2
Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 6 и 8 см, а угол между ними – 30°.

Решение:
Применим вторую формулу, рассмотренную выше: S = 6 см * 8 см * sin 30° = 24 см².

Задание 3
Найдите площадь параллелограмма с диагоналями, равными 4 и 6 см. Угол между ними составляет 90°.

Решение:
Воспользуемся формулой, в которой фигурируют диагонали: S = 1/2 * 4 см * 6 см * sin 90° = 12 см².

Источник