Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Вспомним в начале, что такое векторное произведение.
Замечание 1
Векторным произведением для $vec{a}$ и $vec{b}$ является $vec{c}$, представляющий собой некоторый третий вектор $vec{c}= |[ab]|$, причём этот вектор обладает особенными свойствами:
- Cкаляр полученного вектора — произведение $|vec{a}|$ и $|vec{b}|$ на синус угла $vec{c}= |[ab]|= |vec{a}| cdot |vec{b}|cdot sin α left(1right)$;
- Все $vec{a}, vec{b}$ и $vec{c}$ образуют правую тройку;
- Полученный вектор ортогонален к $vec{a}$ и $vec{b}$.
Если для векторов присутствуют некоторые координаты ($vec{a}={x_1; y_1; z_1}$ и $vec{b}= {x_2; y_2; z_2}$), то их векторное произведение в декартовой системе координат можно определить по формуле:
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
$[a times b] = {y_1 cdot z_2 – y_2 cdot z_1; z_1 cdot x_2 – z_2 cdot x_1; x_2 cdot y_2 – x_2 cdot y_1}$
Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:
$[ab] = begin{array} {|ccc|} i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \ end{array}$.
Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.
Площадь параллелограмма, стороны которого определяются двумя векторами $vec{a}$ и $vec{b}$ равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.
Это соотношение совсем несложно вывести.
Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:
$S = a cdot b cdot sin α$
При этом длины сторон равны скалярным значениям векторов $vec{a}$ и $vec{b}$, что вполне себе подходит нам, то есть, скаляр векторного произведения данных векторов и будет площадью рассматриваемой фигуры.
Пример 1
Даны векторы $vec{c}$ c координатами ${5;3; 7}$ и вектор $vec{g}$ с координатами ${3; 7;10 }$ в декартовой системе координат. Найти, чему равна площадь параллелограмма, образованного $vec{c}$ и $vec{g}$.
Решение:
Отыщем векторное произведение для этих векторов:
$[c times g] = begin{array} {|ccc|} i & j & k \ 5 & 3 & 7 \ 3 & 7 & 10 \ end{array}= i cdot begin{array} {|cc|} 3 & 7 \ 7 & 10 \ end{array} – j cdot begin{array} {|cc|} 5 & 7 \ 3 & 10 \ end{array} + k cdot begin{array} {|cc|} 5 & 3 \ 3 & 7 \ end{array} = i cdot (3 cdot 10 – 49) – j cdot (50 -21) + k cdot (35-9) = -19i -29j + 26k={- 19; 29; 26}$.
Теперь найдём модульное значение для полученного направленного отрезка, оно и является значением площади построенного параллелограмма:
$S= sqrt{|19|^2 + |29|^2 + |26|^2} = sqrt{1878} ≈ 43, 34$.
«Примеры как вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах» 👇
Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.
Пример 2
Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами $vec{m}$ с координатами ${2; 3}$ и $vec{d}$ с координатами ${-5; 6}$.
Решение:
Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, $z$, можно принять за нуль.
Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:
$S = begin{array} {||cc||} 2 & 3\ -5 & 6 \ end{array} = sqrt{12 + 15} =3 sqrt3$.
Пример 3
Даны векторы $vec{a} = 3i – j + k; vec{b}= 5i$. Определите площадь образуемого ими параллелограмма.
$[ vec{a} times vec{b}] = (3i – j + k) times 5i = 15 [i times i] – 5 [j times i] + [5ktimes i]$
Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:
Рисунок 1. Разложение вектора по базису. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$[ vec{a} times vec{b}] = 5 k + 5 j$.
Время подсчётов:
$S = sqrt{|-5|^2 + |5|^2} = 5sqrt{2}$.
Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:
Пример 4
Вектор $vec{d} = 2a + 3b$, $vec{f}= a – 4b$, длины $vec{a}$ и $vec{b}$ равны между собой и равны единице, а угол между $vec{a}$ и $vec{b}$ равен 45°.
Решение:
Вычислим векторное произведение $vec{d} times vec{f}$:
$[vec{d} times vec{f} ]= (2a + 3b) times ( a – 4b) = 2 [a times a] – 8 [a times b] + 3 [b times a] – 12 [b times b]$.
Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: $[a times a]$ и $[b times b]$ равны нулю, $[b times a] = – [a times b]$.
Используем это для упрощения:
$[vec{d} times vec{f} ]= -8[a times b] + 3 [b times a] = -8[a times b] – 3[a times b] =-11[a times b]$.
Теперь воспользуемся формулой $(1)$ :
$[vec{d} times vec{f} ] = |-11 [a times b]| = 11 cdot |a| cdot |b| cdot sin α = 11 cdot 1 cdot 1 cdot frac12=5,5$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: онлайн-калькулятор
Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах, нужны значения этих векторов или координаты точек. Онлайн-калькулятор выдает подробное решение и ответ. В зависимости от введенных данных программа подбирает формулы для расчета в нужной последовательности.
Сервисом пользуются школьники и студенты, когда надо быстро найти площадь параллелограмма – на контрольной, зачете, экзамене. Также по готовому решению задачи удобно изучать новую тему.
Как найти площадь параллелограмма
Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах, необходимо вычислить произведение длин векторов и синуса угла между ними. В заданиях, где длины векторов неизвестны, а даны координаты векторов, необходимо произвести следующие вычисления:
- Найти векторы a⇀ и b↔ по точкам.
- Вычислить произведение векторов.
- Рассчитать модуль вектора c→.
- Высчитать площадь S=a→×b→
Использование онлайн-калькулятора позволяет не думать о выборе способа решения, а просто ввести данные и получить поэтапные вычисления и ответ. Такой вариант подойдет учащимся, их родителям, преподавателям, инженерам.
Сервис позволяет узнать, чему равна площадь параллелограмма и других фигур, а также решить задачи на любую тему по алгебре и геометрии. Для этого не придется платить, регистрироваться на сайте, долго ждать. Расчеты производятся онлайн. Вы можете осваивать новую тему или сверяться с собственным решением неограниченное количество раз.
Если тема осталась непонятной, напишите консультанту. Наш сотрудник подберет вам преподавателя по выгодной цене или организует онлайн-помощь на зачете.
Как определить площадь параллелограмма, построенного на векторах
Определение
Площадь параллелограмма, построенного на векторах, определяется как произведение их длин на синус угла между ними.
Если по условию задачи даны длины этих векторов, то вычисление площади параллелограмм не вызывает затруднений. Для этого необходимо воспользоваться формулой:
( S=left|aright|timesleft|bright|timessinbeta)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Что такое модуль векторного произведения
Векторным произведением некоторых векторов m и n является третий вектор p.
(overline p;=left|overline mright|timesleft|overline nright|\)
Определение
Модуль векторного произведения, то есть скаляр вектора p определяется как произведение модулей векторов m и n, на синус лежащего между ними угла α. Это определение записывается математическим языком так:
(left|pright|=left|mright|timesleft|nright|timessinalpha\)
Все три эти вектора образуют правую тройку. Это значит, что если привести их к общему началу из конца третьего вектора (р), то кратчайший поворот от первого вектора (m) ко второму вектору (n) будет совершаться против часовой стрелки.
Допустим, вектора заданы координатами:
(overline m=left{x_1;y_1;z_1right}\)
(overline n=left{x_2;y_2;z_2right}\)
В декартовой системе координат их произведение можно будет вычислить по формуле:
(left[mtimes nright]=left{y_1times z_2-y_2times z_1;ztimes x_2-z_2times x_1;x_2times y_2-x_2times y_1right}\)
Примечание
В этом виде запомнить формулу достаточно сложно. Значительно проще представить ее в другой форме:
(left[mtimes nright]=begin{vmatrix}i&j&k\x_1&y_1&z_1\x_2&y_2&z_2end{vmatrix}\\\)
Как рассчитать площадь обычного параллелограмма
Пример
Рассмотрим еще один пример. Дан параллелограмм с длиной сторон a – 5 см, b – 6 см и углом между ними равным 30^0\\\. Необходимо найти его площадь.
Для решения необходимо заменить длины сторон векторными значениями a и b. После этого воспользуемся формулой определения площади параллелограмма, построенного на векторах.
(S=left|5right|timesleft|6right|timessin30^0=30timesfrac12=15\\\)
Таким образом, площадь данного параллелограмма равна 15 квадратным сантиметрам.
Пример решения задачи в трехмерном пространстве
Пример
Даны два вектора, а и b, имеющие в декартовой системе следующие координаты:
(left{4,;2,;6right}\\\)
(left{4,;8,;11right}\\\)
Требуется найти площадь, образуемого ими параллелограмма.
Для решения требуется найти векторное произведение заданных векторов:
(left[atimes bright]=begin{vmatrix}i&j&k\4&2&6\4&8&11end{vmatrix}=ibegin{vmatrix}2&6\8&11end{vmatrix}-jbegin{vmatrix}4&6\4&11end{vmatrix}+kbegin{vmatrix}4&2\4&8end{vmatrix}=ileft(2times11-48right)-jleft(44-24right)+kleft(32-8right)=-26i-20j+24k=left{-26;-20;24right}\\\)
Для полученного отрезка, имеющего направление, найдем модульное значение. Оно и будет площадью параллелограмма, построенного на векторах а и b.
(S=sqrt{left|26right|^2}+sqrt{left|20right|^2}+sqrt{left|24right|^2}=sqrt{676+400+576}=sqrt{1652}\\\)
После извлечения квадратного корня получаем, что площадь параллелограмма равна 40,64.
Пример решения в двухмерном пространстве
Пример
Вычислить площадь параллелограмма, заданного векторами a и b. Их координаты:
(left{4;;5right}\\\)
(left{-7;;8right}\\\)
Оба эти вектора лежат в одной плоскости. Поэтому третью их координату принимаем за 0. Тогда площадь данного параллелограмма будет равна:
(S=sqrt{32+35}=sqrt{67}approx8.2\\\)
Площадь параллелограмма, построенного на векторах
Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах нужно вычислить модуль векторного произведения этих векторов.
Пусть заданы два вектора $ overline{a} = alpha_1 overline{p} + alpha_2 overline{q} $ и $ overline{b} = beta_1 overline{p} + beta_2 overline{q} $, синус угла между ними $ sin varphi $ и длины векторов $ |overline{p}|, |overline{q}| $. Тогда формула записывается следующим образом:
$$ S = Big | [overline{a}, overline{b}] Big | = |alpha_1 beta_2 – alpha_2 beta_1| cdot |overline{p}| cdot |overline{q}| cdot sin varphi $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ overline{a} = overline{p}+3overline{q} $ и $ overline{b} = 2overline{p} – overline{q} $, длины которых равны $ |overline{p}|=2, |overline{q}| = 1 $, а угол между ними $ varphi = frac{pi}{6} $ |
| Решение |
|
Вычисляем векторное произведение векторов: $$ [overline{a},overline{b}] = [overline{p}+3overline{q}, 2overline{p}-overline{q}] = $$ Выполняем поэлементное перемножение каждого из слагаемых: $$ = 2[overline{p},overline{p}] – [overline{p},overline{q}] + 6 [overline{q},overline{p}] – 3[overline{q}, overline{q}] = $$ Учитывая свойства векторного произведения, такие как $ [overline{p},overline{p}]=0, [overline{q},overline{q}]=0 $, $ [overline{q},overline{p}]=-[overline{p},overline{q}] $ выполняем упрощение последнего полученного выражения: $$ = 2 cdot 0 – [overline{p},overline{q}] – 6 [overline{p},overline{q}] – 3 cdot 0 = -7 [overline{p},overline{q}] $$ Находим модуль полученного векторного произведения, подставляя из условия задания длины векторов и угол между ними: $$ S = |-7 [overline{p},overline{q}] | = 7 |overline{p}| |overline{q}| sin frac{pi}{6} = 7 cdot 2 cdot 1 cdot frac{1}{2} = 7 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ S = 7 $$ |
| Пример 2 |
| Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ overline{a} = overline{p}+overline{q} $ и $ overline{b} = 2overline{p}-overline{q} $, если известны их длины $ |overline{p}| = 2 $, $ |overline{q}| = 3 $ и угол между ними $ varphi = frac{pi}{3} $ |
| Решение |
|
Вычисляем векторное произведение: $$ [overline{a},overline{b}] = [overline{p}+overline{q}, 2overline{p}-overline{q}] = $$ Выполняем попарное умножение слагаемых, из которых состоят векторы: $$ = 2[overline{p},overline{p}] – [overline{p},overline{q}] + 2 [overline{q},overline{p}]-[overline{q},overline{q}] = $$ $$ = 2 cdot 0 – [overline{p},overline{q}] – 2[overline{p},overline{q}]-0 = -3 [overline{p},overline{q}] $$ Берём модуль последнего выражения и подставляем недостающие данные из условия задачи: $$ S = | [overline{a},overline{b}]| = |-3 [overline{p},overline{q}]| = 3cdot |overline{p}| |overline{q}| sin varphi = $$ $$ = 3 cdot 2 cdot 3 sin frac{pi}{3} =18 cdot frac{sqrt{3}}{2} = 9sqrt{3} $$ |
| Ответ |
| $$ S = 9sqrt{3} $$ |
Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равняется произведению длин этих векторов на угол угла, который лежит между ними.
Хорошо, когда по условиям даны длины этих самых векторов. Однако бывает и так, что применить формулу площади параллелограмма, построенного на векторах можно только после расчетов по координатам.
Если повезло, и по условиям даны длины векторов, то нужно просто применить формулу, которую мы уже подробно разбирали в статье площадь параллелограмма. Площадь будет равняться произведению модулей на синус угла между ними:
Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма построенного на векторах.
Вернемся к проблеме, когда длины векторов не указаны в условиях. Если ваш параллелограмм лежит в декартовой системе координат, то потребуется сделать следующее.
Расчет длин сторон фигуры, заданной координатами
Для начала находим координаты векторов и отнимаем от координат конца соответствующие координаты начала. Допустим координаты вектора a(x1;y1;z1), а вектора b(x3;y3;z3).
Теперь находим длину каждого вектора. Для этого каждую координату необходимо возвести в квадрат, потом сложить полученные результаты и из конечного числа извлечь корень. По нашим векторам будут следующие расчеты:
Теперь потребуется найти скалярное произведение наших векторов. Для этого их соответствующие координаты множатся и складываются.
Имея длины векторов и их скалярное произведение, мы можем найти косинус угла, лежащего между ними 
.
Теперь можем найти синус этого же угла: 
Теперь у нас есть все необходимые величины, и мы можем запросто найти площадь параллелограмма построенного на векторах по уже известной формуле.
