Как найти площадь поверхности пирамиды
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.
Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.
Боковая поверхность через периметр и апофему
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему:
p – периметр основания пирамиды; l – апофема пирамиды.
Боковая поверхность через высоту и сторону основания
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:
a – сторона основания; h – высота пирамиды; n – число сторон в основании.
Полная поверхность через высоту и сторону основания
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:
a – сторона основания; h – высота пирамиды; n – число сторон в основании.
Полная площадь тетраэдра
Формула полной площадь тетраэдра:
a – сторона основания.
Площадь пирамиды вычисляется через суммирование площади являющегося правильным многоугольником основания и площадей имеющих треугольную форму боковых граней.
Если в пирамиду добавить множество граней, в конечном варианте она превратится в являющийся частным случаем пирамиды конус. Данное утверждение позволяет с одинаковым подходом решать задачи вычисления площадей пирамиды и конуса.
Онлайн калькулятор позволяет без личных значительных усилий вычисления сложной математической формулы через высоту определять S всей поверхности данной объемной правильной фигуры. В соответствующие поля нужно занести значения высоты h, стороны a и числа сторон n основания. На выходе после нажатия на кнопку вычисления моментально будет выдан требуемый результат.
Вычисление площади пирамид для строительства чего-то вроде индейских или древнеегипетских гигантских строений сегодня не требуется. Но пирамиды в виде пирамидальных элементов металлических и бетонных конструкций в строительстве применяются довольно часто. При проектировании зданий, мостов, иных сооружений важно рассчитывать как прочностные, так и геометрические параметры данных фигур, в том числе и площадь пирамид.
{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL + S}
На странице вы найдете онлайн-калькуляторы, которые помогут найти площадь полной и боковой поверхности правильной пирамиды, а также треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамиды. Кроме того приводятся формулы, по которым вы можете произвести расчет самостоятельно.
- калькулятор площади поверхности пирамиды
- формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему
- формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и высоту
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- примеры задач
Познакомьтесь с важными понятиями, которые необходимо знать для расчета площади поверхности пирамиды.
Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания.
Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей боковых граней и площади основания.
Площадь боковой поверхности пирамиды – это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.
Апофема — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания.
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему
{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL+S}
P – периметр основания пирамиды
L – апофема пирамиды
S – площадь основания пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = dfrac{na}{2} {Bigg( dfrac{a}{2 \tg ( dfrac{180°}{n})} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 \tg ( dfrac{180°}{n})} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
n – число сторон основания
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = dfrac{a^2 sqrt{3}+6aL}{4}}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = dfrac{a^2 sqrt{3}+6a sqrt{b^2 – dfrac{a^2}{4}}}{4}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = dfrac{3a}{2} {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = 2a {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = a^2+2aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = dfrac{3sqrt{3}a^2}{2}+3aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = dfrac{3sqrt{3}a^2}{2}+3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = 3a {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему
{S_{бок} = dfrac{1}{2}PL}
P – периметр основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = dfrac{na}{2} sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( dfrac{180°}{n})} Bigg) ^2} }
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
n – число сторон основания
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = dfrac{3}{2}aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = dfrac{3a sqrt{b^2 – dfrac{a^2}{4}}}{2}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = dfrac{3a}{2} sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} Bigg) ^2}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему
{S_{бок} =dfrac{1}{2}PL}
P – периметр основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = 2aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = 2a sqrt{b^2 – dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = 3aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = 3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = 3a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Примеры задач на нахождение площади поверхности пирамиды
Задача 1
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60см, боковые ребра равны 78см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение
Так как пирамида правильная четырехугольная, то воспользуемся соответствующей формулой площади поверхности через сторону основания и боковую грань.
S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}} = 60^2 + 2 cdot 60 sqrt{78^2- dfrac{60^2}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084- dfrac{3600}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084 – 900} = 3600 + 120 sqrt{5184} = 3600 + 120 cdot 72 = 3600 + 8640 = 12240 : см²
Ответ: 12240 см²
Проверим полученный ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной 6см и апофемой 10см.
Решение
Из условия мы знаем апофему и сторону правильной треугольной пирамиды, поэтому нам потребуется эта формула.
S_{бок} = dfrac{3}{2}aL = dfrac{3}{2} cdot 6 cdot 10 = dfrac{3}{2} cdot 60 = 90 : см²
Ответ: 90 см²
Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .
Задача 2
Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды сторона основания 6см и высота 4см.
Решение
Подставим значения в формулу и произведем расчет.
S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 2 cdot 6 sqrt{4^2+ Bigg( dfrac{6}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 60 : см²
Ответ: 60 см²
Проверка .
Формулы для расчета приведены под калькулятором.
Площадь четырехугольной пирамиды
Угол наклона граней в градусах (α)
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Четырехугольная пирамида
В формулах ниже будем использовать следующие обозначения:
a – длина первой стороны основания
b – длина второй стороны основания (для квадрата будет равна первой)
h – высота пирамиды
r – ребро пирамиды
d – диагональ основания
e – высота треугольника, образованного боковой гранью, т.е. высота, опущенная из вершины пирамиды на ее сторону
α – угол наклона грани пирамиды (угол между высотой треугольника боковой грани и плоскостью основания)
Во всех случаях площадь основания вычисляется тривиально – перемножением длин сторон основания. Ниже рассмотрим нахождение площадей боковых граней для разных случаев.
Площадь поверхности пирамиды через высоту
-
Находим высоту треугольника, образованного боковой гранью. Используем теорему Пифагора на прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, высотой треугольника боковой грани, и проекцией высоты треугольника на плоскость основания. Длина проекции очевидно равна половине длины противоположной стороны. Таким образом, высота треугольника, опущенная на сторону a
высота треугольника, опущенная на сторону b
-
Находим площади боковых граней, по формуле площади равнобедренного треугольника
- Общая площадь боковых граней
Площадь поверхности пирамиды через угол наклона
Расчет через один угол наклона возможен, только если в основании пирамиды лежит квадрат (иначе пришлось бы задавать два угла). Соответственно, сторона a равна стороне b, и все грани одинаковые.
-
Находим высоту треугольника, образованного боковой гранью, поделив длину проекции на плоскость основания на косинус угла наклона
-
Находим площадь боковой грани, по формуле площади равнобедренного треугольника
- Общую площадь боковых граней получаем, умножив площадь одной грани на 4.
Площадь поверхности пирамиды через длину ребра
Здесь есть ограничение: длина ребра должна быть больше чем половина диагонали основания (иначе это не пирамида)
-
Находим высоту треугольника, образованного боковой гранью. Используем теорему Пифагора на прямоугольном треугольнике, образованном ребром пирамиды, высотой треугольника боковой грани, и половиной стороны, на которую опущена высота. Таким образом, высота треугольника, опущенная на сторону a
высота треугольника, опущенная на сторону b
-
Находим площади боковых граней, по формуле площади равнобедренного треугольника
- Общая площадь боковых граней
Пирамида считается правильной, когда в ее основании лежит правильный многоугольник, и как следствие, боковые ребра пирамиды равны между собой. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды складывается из площадей ее конгруэнтных граней, количество которых зависит от сторон многоугольника в основании.
Площадь каждой грани – равнобедренного треугольника, вычисляем по формуле 
, где h=l, то есть высота треугольника – это апофема пирамиды. Вся площадь боковой поверхности пирамиды через апофему будет равна 
. Площадь полной поверхности через апофему: 
Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти через высоту или через апофему пирамиды. Если дана высота пирамиды, то через нее нужно, прежде всего, найти апофему, соединив их вершины в основании. Получится прямоугольный треугольник, где высота пирамиды и радиус описанной вокруг основания окружности – катеты, а апофема – гипотенуза. По теореме Пифагора находим апофему l:
Подставляем полученную апофему в площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
Для того чтобы вычислить площадь полной поверхности правильной пирамиды, добавим основание:
Площадь любой другой пирамиды можно найти по формуле:
