СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Эксперту
Справочник
Карточки
Теория
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
1 мая
Новый сервис: можно исправить ошибки!
29 апреля
Разместили актуальные шкалы ЕГЭ — 2023
24 апреля
Учителю: обновленный классный журнал
7 апреля
Новый сервис: ссылка, чтобы записаться к учителю
30 марта
Решения досрочных ЕГЭ по математике
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
НАШИ БОТЫ
 |
|
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Поиск
?
было в ЕГЭ
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория
Атрибут
Всего: 9 1–9
Добавить в вариант
Тип 7 № 323079 
i
На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Аналоги к заданию № 323079: 323283 323373 323375 … Все
Решение
·
Видеокурс
·
Помощь
Тип 7 № 323080
i
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Аналоги к заданию № 323080: 323383 323475 323477 … Все
Решение
·
3 комментария
·
Видеокурс
·
Помощь
Тип 7 № 323283
i
На рисунке изображён график некоторой функции 
Функция 
— одна из первообразных функции 
Найдите площадь закрашенной фигуры.
Аналоги к заданию № 323079: 323283 323373 323375 … Все
Решение
·
Прототип задания
·
Видеокурс
·
Помощь
Тип 7 № 323373
i
На рисунке изображён график некоторой функции Функция 
— одна из первообразных функции Найдите площадь закрашенной фигуры.
Аналоги к заданию № 323079: 323283 323373 323375 … Все
Решение
·
Прототип задания
·
Видеокурс
·
Помощь
Тип 7 № 323375
i
На рисунке изображён график некоторой функции Функция 
— одна из первообразных функции Найдите площадь закрашенной фигуры.
Аналоги к заданию № 323079: 323283 323373 323375 … Все
Решение
·
Прототип задания
·
Видеокурс
·
Помощь
Тип 7 № 323379
i
На рисунке изображён график функции Функция 
— одна из первообразных функции Найдите площадь закрашенной фигуры.
Аналоги к заданию № 323079: 323283 323373 323375 … Все
Решение
·
Прототип задания
·
Видеокурс
·
Помощь
Тип 7 № 323383
i
На рисунке изображён график некоторой функции Функция 
— одна из первообразных функции Найдите площадь закрашенной фигуры.
Аналоги к заданию № 323080: 323383 323475 323477 … Все
Решение
·
Прототип задания
·
Видеокурс
·
Помощь
Тип 7 № 323475
i
На рисунке изображён график некоторой функции Функция 
— одна из первообразных функции Найдите площадь закрашенной фигуры.
Аналоги к заданию № 323080: 323383 323475 323477 … Все
Решение
·
Прототип задания
·
Видеокурс
·
Помощь
Тип 7 № 323477
i
На рисунке изображён график некоторой функции Функция 
— одна из первообразных функции Найдите площадь закрашенной фигуры.
Аналоги к заданию № 323080: 323383 323475 323477 … Все
Решение
·
Прототип задания
·
Видеокурс
·
Помощь
Всего: 9 1–9
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
Лучшие онлайн-курсы для подготовки к ЕГЭ
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Первообразная функции»
Открытый банк заданий по теме первообразная функции. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов
Геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема
Задание №1164
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3.
Её площадь равна frac{4+3}{2}cdot 3=10,5.
Ответ
10,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1158
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].
Показать решение
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).
Ответ
7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1155
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3.
Её площадь равна frac{5+3}{2}cdot 3=12.
Ответ
12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1149
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].
Показать решение
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.
Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).
Ответ
5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1146
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.
Ответ
10
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №907
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=-4 и x=-1. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(-1)-F(-4), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x).
Поэтому S= F(-1)-F(-4)= (-1)^3+6(-1)^2+13(-1)-5-((-4)^3+6(-4)^2+13(-4)-5)= -13-(-25)=12.
Ответ
12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №307
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+18x^2+221x-frac12 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница S=F(-1)-F(-5).
F(-1)= (-1)^3+18cdot(-1)^2+221cdot(-1)-frac12= -204-frac12.
F(-5)= (-5)^3+18cdot(-5)^2+221cdot(-5)-frac12= -125+450-1105-frac12= -780-frac12.
F(-1)-F(-5)= -204-frac12-left (-780-frac12right)= 576.
Ответ
576
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №306
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x).Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(3), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
F(9)-F(3)=S, где S — площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0 и x=3,:x=9. Рассмотрим рисунок ниже.
Данная фигура — трапеция с основаниями 6 и 1 и высотой 2. Ее площадь равна frac{6+1}{2}cdot2=7.
Ответ
7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №104
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На координатной плоскости изображен график функции y=f(x). Одна из первообразных этой функции имеет вид: F(x)=-frac13x^3-frac52x^2-4x+2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
.png)
Показать решение
Решение
На рисунке видно, что заштрихованная фигура ограничена по оси абсцисс точками −4, −1, а по оси ординат графиком функции: f(x). Значит площадь фигуры мы можем найти с помощью разности значений первообразных в точках −4 и −1, по формуле определенного интеграла:
intlimits_{-4}^{-1}f(x)dx=F(-1)-F(-4)
Подставим значение первообразной из условия и получим площадь фигуры:
F(-1)-F(-4)=
=frac13-frac52+4+2-frac{64}{3}+frac{80}{2}-16-2=
=-frac{63}{3}+frac{75}{2}-12=-21+37,5-12=4,5
Ответ
4,5
Задание №103
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
Первообразная y=F(x) некоторой функции y=f(x) определена на интервале (−16; −2). Определите сколько решений имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [−10; −5].
Показать решение
Решение
Формула первообразной имеет следующий вид:
f(x) = F'(x)
По условию задачи нужно найти точки, в которых функция f(x) равна нулю. Принимая во внимание формулу первообразной, это значит, что, нужно найти точки, в которых F'(x) = 0, то есть те точки, в которых производная от первообразной равна нулю.
Мы знаем, что производная равна нулю в точках локального экстремума, т.е. функция имеет решения в тех точках, в которых возрастание F(x) сменяется убыванием и наоборот.
На отрезке [−10; −5] видно что это точки: −9; −7; −6. Значит уравнение f(x) = 0 имеет 3 решения.
.png)
Ответ
3
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$
Таблица первообразных
Первообразная нуля равна $С$
| Функция | Первообразная |
| $f(x)=k$ | $F(x)=kx+C$ |
| $f(x)=x^m, m≠-1$ | $F(x)={x^{m+1}}/{m+1}+C$ |
| $f(x)={1}/{x}$ | $F(x)=ln|x|+C$ |
| $f(x)=e^x$ | $F(x)=e^x+C$ |
| $f(x)=a^x$ | $F(x)={a^x}/{lna}+C$ |
| $f(x)=sinx$ | $F(x)-cosx+C$ |
| $f(x)=cosx$ | $F(x)=sinx+C$ |
| $f(x)={1}/{sin^2x}$ | $F(x)=-ctgx+C$ |
| $f(x)={1}/{cos^2x}$ | $F(x)=tgx+C$ |
| $f(x)=√x$ | $F(x)={2x√x}/{3}+C$ |
| $f(x)={1}/{√x}$ | $F(x)=2√x+C$ |
Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$
Правила вычисления первообразных:
- Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ – первообразная для $f(x)+g(x)$.
- Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ – первообразная для $k$ $f(x)$.
- Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ – постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx+b)$ – это первообразная для $f(kx+b)$.
Пример:
Найти первообразную для функции $f(x)=2sinx+{4}/{x}-{cosx}/{3}$.
Решение:
Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого
$f(x)=2sinx+{4}/{x}-{cosx}/{3}=2∙sinx+4∙{1}/{x}-{1/3}∙cosx$
Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$
$f_1=sinx$
$f_2={1}/{x}$
$f_3=cosx$
Для $f_1=sinx$ первообразная равна $F_1=-cosx$
Для $f_2={1}/{x}$ первообразная равна $F_2=ln|x|$
Для $f_2=cosx$ первообразная равна $F_3=sinx$
По первому правилу вычисления первообразных получаем:
$F(x)=2F_1+4F_2-{1}/{3}F_3=2∙(-cosx)+4∙ln|x|-{1}/{3}∙sinx$
Итак, общий вид первообразной для заданной функции
$F(x)=-2cosx+4ln|x|-{sin x}/{3}+C$
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
- Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
- Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Пример:
На рисунке изображен график функции $y=F(x)$ – одной из первообразных некоторой функции $f(x)$, определенной на интервале $(-3;5)$. Пользуясь рисунком, определите количество решений $f(x)=0$ на отрезке $(-2;2]$
Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий(или наоборот).
Выделим отрезок $(-2;2]$ и отметим на нем экстремумы.
У нас получилось $6$ таких точек.
Ответ: $6$
Неопределенный интеграл
Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x)+С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:
$∫f(x)dx$
Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)
$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ – пределы интегрирования
Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной
Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле
$S=∫_a^bf(x)dx$
Формула Ньютона – Лейбница
Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство
$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ – первообразная для $f(x)$
Пример:
На рисунке изображен график некоторой функции $у=f(x)$. Одна из первообразных этой функции равна $F(x)={2х^3}/{3}-2х^2-1$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение:
Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках $1$ и $-2$
$S=F(1)-F(-2)$
Первообразная нам известна, следовательно, осталось только подставить в нее значения и вычислить
$F(1)={2∙1}/{3}-2∙1-1={2}/{3}-2-1={2}/{3}-3$
$F(-2)={2(-2)^3}/{3}-2(-2)^2-1={2∙(-8)}/{3}-8-1=-{16}/{3}-9$
$S={2}/{3}-3-(-{16}/{3}-9)={2}/{3}-3+{16}/{3}+9={18}/{3}+6=6+6=12$
Ответ: $12$
Решение:
Площадь под графиком функции f(x) на отрезке [a; b] равна разности первообразных:
S = F(b) – F(a)
Нам необходимо найти площадь закрашенной фигуры на отрезке [-8; -6], то есть a = -8; b = -6. Значит S = F(-6) – F(-8).
Найдем F(-8):
F(-8) = (-8)3 + 21⋅(-8)2 +151⋅(-8) – 1
F(-8) = – 512 + 21⋅64 – 151⋅8 – 1
F(-8) = – 512 + 1344 – 1208 – 1
F(-8) = – 513 + 136
F(-8) = -377
Найдем F(-6):
F(-6) = (-6)3 + 21⋅(-6)2 +151⋅(-6) – 1
F(-6) = – 216 + 21⋅36 – 151⋅6 – 1
F(-6) = – 216 + 756 – 906 – 1
F(-6) = – 217 – 150
F(-6) = -367
Тогда площадь закрашенной фигуры равна:
S = F(-6) – F(-8) = -367 – (-377) = -367 + 377 = 10
Ответ: 10
Сегодня, я хотел бы показать как решаются задания ЕГЭ на тему “Первообразная” и “Площадь криволинейной трапеции”, рассмотрим несколько задач:
Пример 1:
Решение: Разбиваем нашу фигуру на известные нам геометрические фигуры (трапеция, треугольник, прямоугольник итд)
То есть представляем площадь нашей криволинейной трапеции как сумму площадей известных нам геометрических фигур.
Ответ: 24.
Пример 2 :
Решение:
Пример 3:
Решение:
Ответ: 9.
Задачи для самостоятельного решения ( для закрепления):
Источник заданий: Единый государственный экзамен. Математика. Профильный уровень. Комплекс материалов для подготовке учащихся. Учебное пособие. / А. В. Семенов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, П. И. Захаров ; под ред. И. В. Ященко ; Московский Центр непрерывного математического образования. – М. : Интеллект – Центр, 2018. – 160 с.
Если вам понравилась публикация ставим пальцы вверх и подписываемся! Спасибо всем за внимание!
Если у вас есть темы в которых вы испытываете трудности, пишите в комментариях и я постараюсь сделать публикации по ним.
Уважаемые читатели! Если Вам нравится мой канал и Вы хотели бы помочь в его развитии, Я буду очень рад вашей помощи. Для желающих помочь каналу материально: Вы можете помочь любой суммой Номер карты Яндекс Деньги : 410 0190 8602 9057. Спасибо!
