Как найти площадь под гиперболой

Логарифм и экспонента

Электронная версия книги является свободно распространяемой и
доступна по адресу
ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logarithms.zip

6. Площадь под гиперболой

Вернемся к нашему закону движения. Мы теперь умеем вычислять
T(1; 2) (время движения от точки 1 до точки 2) с любой заданной точностью
при помощи неравенства

Сейчас мы выясним геометрический смысл величины T(1;
2). Оказывается, что она равна площади под графиком гиперболы между вертикалями
x = 1 и x = 2 (серая область на рис.).

Площадь серой области равна T(1;2)

Так что можно даже найти T(1; 2) с помощью
взвешивания: надо нарисовать на однородной фанерке график гиперболы затем
выпилить участок между x = 1 и x = 2, как на рисунке, а потом
взвесить (и поделить на вес квадрата 1×1
в том же масштабе).

Будем обозначать площадь под гиперболой между вертикалями
x = a и x = b через S(a; b).
Оказывается, что

S (a; b) = T(a; b)

при любых a и b. Как и раньше, для начала мы
рассмотрим случай a = 1, b = 2.

Вспомним, что мы начинали с неравенства

Как доказать для S аналогичное неравенство

глядя на наш рисунок? Совсем просто: надо заметить, что
интересующая нас область (как говорят, «криволинейная трапеция») целиком
помещается в квадрате 1 x 1
и содержит внутри себя прямоугольник ширины 1 и высоты .

Как мы получали более точные оценки для времени? Делили
отрезок на части. Здесь можно поступить точно так же и сравнить криволинейную
трапецию с двумя ступенчатыми фигурами.

Надо только найти площади этих фигур.

Ширина каждого из прямоугольников, их составляющих, равна
. Высоты прямоугольников равны (поскольку при значение равно ). В итоге
получаем нижнюю оценку:

и верхнюю оценку:

Ровно такие же оценки были для T(1; 2), и это не
случайно.

Вспомним, как мы оценивали время движения от точки u
до точки v, большей u. Длина отрезка равна v – u.
Скорость растет от u до v. Поэтому

Аналогичная оценка для S(u; v) заключает
криволинейную трапецию между двумя прямоугольниками:

Ширины этих прямоугольников одинаковы и равны v – u,
а высоты равны (для большего) и (для меньшего). Поэтому для S(u;
v) получаем оценку:

— ту же самую, что и для T(u; v).

Поэтому все наши оценки для T годятся и для S.
В частности, для S(1; 2) получаем оценку:

заключающую число S(1; 2) в тот же промежуток длины , что и T(1; 2). Поэтому разница между S(1; 2) и T(1; 2)
меньше при всех n. Вспоминая наши рассуждения про аксиому Архимеда,
заключаем, что S(1; 2) = T(1; 2). Аналогичное рассуждение показывает, что S(a;
b) = T(a; b) при любых a и b, как мы и
обещали.

7. Свойства площади под гиперболой

Докажем два важных свойства площади под гиперболой.

Свойство 1. Если a < b < c, то

В общем, тут и доказывать нечего: на картинке видно, что
площадь S(a; c) составлена из двух частей — S(a;
b) и S(b; c).

Свойство 2. Для любого числа k > 0 и любых
чисел a, b (где a < b) выполняется равенство

Это свойство нам уже знакомо для T: мы видели, что
T(1; 2) равно T(k; 2k). Для площадей его можно
объяснить так. Нарисуем наш график на резиновой пленке и растянем эту пленку в
k раз по горизонтали. Вот что получится, например, при a = 1, b
= 2 и k = 2 (который надо сравнить с той же картинкой до растяжения на
рис. в начале главы 6):

Для дополнительного реализма мы растянули даже и надписи на
графике. Конечно, после растяжения эти надписи утратили силу: точка 1 на оси
x при растяжении переместилась в точку 2, а точка 2 — в точку 4. При этом
ординаты точек графика не изменились, так что он перестал быть графиком , а стал
графиком

Растянутый график с правильными пометками показан ниже.

При растяжении площадь увеличилась вдвое (поскольку ширины
всех прямоугольников удвоились, а высоты остались прежними). Если теперь сжать
график по высоте вдвое, как на рисунке, то площадь уменьшится вдвое, то есть до
прежнего значения. При этом пометки вновь испортятся: на оси y надо 1
заменить на , а  — на все ординаты точек графика уполовинятся, так что от графика мы вернемся снова к

В итоге мы видим, что S(2; 4) получается из S(1;
2) двукратным растяжением по горизонтали и двукратным сжатием по вертикали. При
этом увеличение площади при растяжении в точности компенсируется ее уменьшением
при сжатии, так что S(2; 4) = S(1; 2).

В общем случае, растянув пленку в k раз по горизонтали
и сжав ее в k раз по вертикали, мы из S(a; b)
получим S(ka; kb). Заметим, что наш график (который можно
записать уравнением xy = 1) при таком растяжении-сжатии остается
неизменным, так как один сомножитель произведения xy увеличивается в k
раз, а другой во столько же раз уменьшается.

Свойство 2 доказано.

Из этого свойства вытекает, что S(a; b)
на самом деле зависит лишь от отношения .
В самом деле, положив мы получаем, что

В частности, S(1; k) = S(k; k²)
= S(k²; k³) = …

при любом k > 1. Другими словами, что если мы
нашинкуем область под графиком на полоски, проведя разрезы при x = 1,
k, k², k³, …, то все полоски будут
иметь одинаковую площадь: увеличение ширины (каждая полоска в k раз шире
предыдущей) компенсируется уменьшением высоты.

8. Натуральный логарифм

Назовем натуральным логарифмом числа a величину
S(1; a), то есть площадь криволинейной трапеции под графиком
гиперболы между прямыми x = 1 и x = a. Натуральный логарифм
числа a обозначается ln a.

Отступление о логарифмах

Вообще-то в школе определяют логарифм по какому-то основанию.
Логарифм по основанию c обозначается log_c и
определяется по формуле

log_c c^x = x.

Например, log₁₀ 100 = 2, так как 100 = 10².
Для тех, кто про это уже слышал, мы объясним (в следующих разделах), что
натуральный логарифм есть действительно логарифм по некоторому основанию. Это
основание обозначают буквой e и называют… как? Правильно, основанием
натуральных логарифмов. Оказывается, что оно равно

e = 2,718281828459045…

Мнемоническое правило: сначала два и семь, потом дважды год
рождения Льва Толстого (1828), а затем углы равнобедренного прямоугольного
треугольника.

Но если вы про логарифмы ничего не знаете, тоже не страшно —
считайте сказанное нами определение натурального логарифма и спите спокойно.
(Конец отступления.)

Как выразить S(a; b) через логарифмы?
Это можно сделать двумя способами.
Пусть 1 < a < b.

Первый способ. По свойству 1

S(1; b) = S(1; a) + S(a;
b),

то есть

ln b = ln a + S(a; b),

откуда

S(a; b) = ln b – ln a.

Второй способ . Из свойства 2, как мы видели, следует, что

Эти два способа, естественно, должны давать один и тот же
результат, так что

при 1 < a < b. Обозначим отношение через c.
Тогда b = ac, и получается:

ln c = ln ac – ln a,

или, что то же самое,

ln ac = ln a + ln c.

Это самое главное свойство логарифмов, так что мы его обведем
в рамку:

Заметим, что мы доказали его (и вообще определили логарифм)
только для чисел, больших единицы, — ведь S(a; b) было
определено лишь при a < b.

Из этого свойства следует, что

ln a² = ln (aa)
= ln a + ln a = 2ln a,

затем

ln a³ = ln (a²a)
= ln a² + ln a = 2ln a + ln a = 3ln a

и вообще

при любом n = 1, 2, 3, …

Отступление: логарифмы чисел, меньших единицы

Естественно положить S(a; a) равным нулю
(криволинейная трапеция вырождается в отрезок). Но как определить S(a;
b) при b < a?

Формально это определение (как и любое математическое
определение) может быть произвольным. Но в математике произвол ограничивается
здравым смыслом. В данном случае здравый смысл подсказывает, что свойство

S(a; c) = S(a; b) +
S(b; c)

хорошо бы сохранить для любых a, b, c,
независимо от того, в каком порядке они расположены на прямой. В частности, при
a = c
это свойство превращается в

S(a; a) = S(a; b) +
S(b; a).

Мы уже договорились, что S(a; a) = 0,
поэтому S(a; b) и S(b; a) должны быть
противоположными числами. Так что надо положить

S(a; b) = –S(b; a)

при b < a.

Несложно проверить, что при таком определении действительно
выполняется равенство S(a; c) = S(a; b)
+ S(b; c), в каком бы порядке ни шли числа a, b,
c. (Несложно-то несложно, но довольно хлопотно: есть шесть возможных
порядков:

a ≤ b ≤ c, a ≤ c ≤ b, b ≤ a ≤ c,
b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b и c ≤ b ≤ a,

и все их надо разобрать.)

В частности, при таком определении S(a; b)
получаем, что ln 1 = S(1; 1) = 0. А при 0 < a < 1 получаем, что

ln a = S(1; a) = –S(a; 1)

по нашему соглашению, а

по второму свойству площадей под гиперболой. Таким образом,

при 0 < a < 1. При этом, как можно проверить, формула
для логарифма произведения сохраняется и для чисел, меньших единицы.

Любопытному читателю самое время спросить: а можно ли
как-нибудь разумно определить логарифмы отрицательных чисел? Оказывается, что
можно, но для этого нужны так называемые комплексные числа, и об этом мы
говорить не будем. (Конец отступления.)

Историческое отступление

Основное свойство логарифмов позволяет быстро перемножать
числа с помощью таблицы логарифмов. Вернее, умножение сводится к одному сложению
и трем поискам в таблице логарифмов. Сейчас, когда есть калькуляторы, это никому
не нужно, но раньше умножали в столбик. Кто умеет это делать, знает, что для
многозначных чисел это довольно хлопотно (гораздо сложнее, чем складывать).
Поэтому замена умножения на сложение имела вполне практический смысл и ускоряла
вычисления в несколько раз.

Объясним, как это делается. Пусть нам надо перемножить два
числа a и b. Найдем в таблице их логарифмы ln a и ln b.
Сложим их; получится некоторое число. Мы знаем, что это число равно логарифму
произведения ab. Поэтому если теперь посмотреть таблицу логарифмов
«справа налево» (как поступают с меню небогатые люди в дорогих ресторанах) и
найти там число, у которого логарифм равен ln a + ln b, то это
число как раз и будет произведением ab.

Еще больший выигрыш можно получить для деления (которое
соответствует вычитанию логарифмов). Ведь делить уголком сложнее, чем умножать в
столбик. (Кстати, умеете ли вы делить уголком? Разделите 123 123 123 на 123 и
проверьте результат умножением.)

Наконец, тот же метод можно применить для извлечения
квадратных корней, поскольку извлечение квадратного корня соответствует делению
логарифма пополам. В самом деле, поэтому и (Аналогичный метод годится для корней
любой степени.)

Эти приемы вычислений изобрел шотландец Непер в конце XVII
века; он же составил первую таблицу натуральных логарифмов (точнее, у него были
не совсем логарифмы, а нечто очень близкое). (Конец отступления.).

 Число e

По определению это число, натуральный логарифм которого равен
единице:

ln e = 1.

Другими словами, S(1; e) = 1 — от графика под
гиперболой надо отрезать столько, чтобы площадь получалась единичной.

Отсюда следует, что ln eⁿ = nln e
= n, так что наше определение натурального логарифма согласуется со
школьным определением логарифма по основанию e.

Чему равно число e? Где надо провести такой разрез? Мы
знаем, что S(1; 2) < 1, так что в точке 2 его проводить рано. С другой
стороны, , так что

так что в точке 4 такой разрез проводить поздно. Отсюда
заключаем, что e находится между 2 и 4.

Более точную оценку дает такая теорема:

Например, при n = 10 получаем, что e находится
между 1,1¹⁰  и 1,1¹¹, то есть между 2,59… и 2,85… При
n = 100 получаем более тесные границы: между 1,01¹⁰⁰ =
2,701… и 1,01¹⁰¹ = 2,738… Можно заметить, что правая граница в этой теореме больше левой в раз,
поэтому с ростом n разница между ними становится сколь угодно малой.

Докажем сформулированную теорему. Для этого рассмотрим
значение , то есть площадь криволинейной трапеции ширины (от x = 1 до ),
показанной на рисунке.

Эта трапеция заключена между прямоугольниками, ширина
которых , а высота равна 1 для большего и для меньшего.

Их площади равны (больший) и (меньший), так что

и

Умножим первое неравенство на n и получим:

Но по свойству логарифма степени левую часть можно записать
как

И это меньше единицы, значит, число

не доходит до e (раз площадь до него меньше единицы).
Аналогичным образом второе неравенство после умножения на n + 1 дает

то есть

поэтому число

не меньше e, что и требовалось доказать.

В заключение приведем еще несколько формул, которые
доказываются в курсах математического анализа:

где n! = 123…n,
а бесконечная сумма понимается так: с ростом количества слагаемых в правой части
погрешность формулы становится сколь угодно малой:

и вообще

для логарифма есть формула

справедливая при | x | < 1; при x = 1 эта
формула тоже верна:

Последнюю формулу несложно доказать, исходя из равенства

и принятого нами определения логарифма как площади.

Шень А.

Общие сведения

Вычислить площадь фигуры на плоскости считается довольно простой операцией. Для ее выполнения необходимо знать только формулу. Существенно усложняет задачу фигура, ограниченная прямыми.

Одной из них считается криволинейная трапеция. Ее площадь можно определить только при нахождении значений определенного интеграла.

Операция интегрирования считается довольно сложной, поскольку необходимо знать основные правила. Перед нахождением площади криволинейной трапеции специалисты рекомендуют внимательно изучить и освоить правила интегрирования основных функций.

Разбирается неопределенный интеграл, а затем осуществляется переход к более сложным операциям.

Информация об интегралах

С понятием интеграла связано много направлений научных отраслей. Обозначается он символом «∫». С помощью интеграла открываются большие возможности по быстрому и эффективному нахождению значений следующих величин: площади криволинейной трапеции, объема тела вращения, поверхности, пути при неравномерном движении, массы неоднородного физического тела и так далее.

Упрощенный вариант представления и определения интеграла — сумма бесконечно малых слагаемых. Интеграл бывает нескольких типов: одинарный, двойной, тройной, криволинейный и так далее. Для любого элемента он может быть двух типов:

1. Неопределенный.
2. Определенный.

Операция нахождения первого типа значительно проще второго. Это объясняется тем, что во втором случае следует не только найти первообразную, но и выполнить правильную подстановку значений.

Неопределенным интегралом функции вида f(х) называется такая первообразная функция F(х), производная которой равна подинтегральному выражению. Записывается это таким образом: ∫(f(x)) = F(х) + С.

Последняя величина является константой, поскольку при выполнении операции нахождения производной константа равна 0.

Для нахождения первообразной используется специальная таблица интегралов:

Рисунок 1. Таблица интегралов и их первообразные.

В таблице приведены простые функции. Для нахождения площади фигуры, которая ограничена линиями, достаточно значений первообразных на рисунке 1. Вычисление определенного интеграла заключается в получении первообразной и подстановке начального и конечного значений. Следует отметить, что константа при этом не берется. Существует способ, чтобы найти определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница позволяет быстро и эффективно вычислить площадь фигуры. Для этого нужно подставить значения ее границ (a и b) в первообразные: F(x)|(a;b) = F(b) – F(a).

Криволинейные фигуры

Криволинейная фигура (трапеция) — класс плоских фигур, которые ограничены графиком неотрицательной и непрерывной функции, а также осью ОУ и прямыми (х = а, х = b). Она изображена на рисунке 2. Для нахождения ее площади следует использовать определенный интеграл.

Рисунок 2. Фигуры с криволинейными сторонами.

Интегрирование разбивает фигуру на прямоугольные части. Длина каждой из них равна ординате y = f(х) через промежутки, которые очень малы, по оси декартовой системы координат (есть еще и полярная) ОХ на отрезке [a;b]. Ширина является бесконечно малым значением. При интегрировании находятся площади прямоугольников и складываются. Для того чтобы не путаться в графиках, геометрическую фигуру следует заштриховать.

Криволинейная трапеция — геометрическая фигура с неровными сторонами, которые образовались в результате пересечения графика непрерывной функции с осями абсцисс и ординат.

Применение обыкновенных методов нахождения площади этой фигуры невозможно, поскольку она обладает одной или несколькими неровными сторонами (кривыми линиями).

Способы вычисления и рекомендации

Для расчетов площади криволинейной трапеции используется несколько методов. Их условно можно разделить на следующие: автоматизированные и ручные. Первый из них выполняется при помощи специализированного программного обеспечения (ПО). Примером является онлайн-калькулятор, который не только находит площадь заданной фигуры, но и изображает ее в декартовой системе координат.

Существует и другое ПО, которое является более «мощным». К нему можно отнести наиболее популярные среды: Maple и Matlab. Однако существует множество программ, написанных на языке программирования Python. Программы нужны также при освоении темы интегрирования. Если необходимо рассчитать множество интегралов и площадей криволинейных фигур, то без них не обойтись.

Новичку для автоматизированных вычислений рекомендуется применять различные онлайн-калькуляторы. Однако следует выделить неплохую программу, которая обладает довольно неплохими функциональными возможностями.

Она называется Integral calculator и представляет собой очень удобное приложение для Android-устройств. Кроме того, можно скачать подобное ПО для Linux, Mac и Windows.

Программа — это калькулятор, который используется для нахождения интегралов и производных, а также его можно применять для решения уравнений интегрального и дифференциального типов. Integral calculator обладает такими функциональными возможностями:

1. Вычисление производных.
2. Нахождения первообразных для определенных и неопределенных интегралов.
3. Решение систем уравнений.
4. Выполнения операций над матрицами и определителями.
5. Построение графиков заданных функций в 2D и 3D.
6. Расчет точек перегиба.
7. Вычисление рядов Фурье.
8. Решение дифференциальных уравнений линейного типа первого и второго порядков.

Однако специалисты не рекомендуют использовать приложения такого типа, поскольку нужно уметь решать подобные задачи самостоятельно. Любые математические операции развивают мышление, а злоупотребление ПО приводит к значительной деградации. Решать какие-либо задачи рекомендуется также людям, которые не имеют отношения к математической сфере.

Основной алгоритм

При нахождении площади криволинейной трапеции рекомендуется следовать определенному алгоритму. Он поможет избежать ошибок, поскольку задача разбивается на несколько простых подзадач, решение которых довольно просто контролировать. Алгоритм имеет следующий вид:

1. Нужно прочитать и понять условие задачи.
2. Начертить декартовую систему координат.
3. Построить график заданной функции.
4. Изобразить линии, ограничивающие фигуру.
5. После определения границ нужно аккуратно заштриховать фигуру.
6. Вычислить неопределенный интеграл функции, которая дана в условии.
7. Посчитать площадь, подставив значения ограничивающих прямых в первообразную.
8. Проверить решение задачи при помощи программы.

Первый пункт — внимательное чтение условия задачи. Этап считается очень важным, поскольку формирует дальнейший алгоритм. Необходимо выписать все известные данные, а затем подумать над дальнейшим решением задачи. Следует обратить особое внимание на график функции, который при возможности нужно упростить. Далее следует выписать линии, которые будут ограничивать фигуру.

Следующий пункт считается наиболее простым, поскольку нужно начертить обыкновенную систему координат. В условии должен быть указан ее тип. Если обозначена полярная система, то следует ее начертить. Во всех остальных случаях изображается декартовая система координат.

Третий пункт алгоритма — правильное построение графика функции. В этом случае нет необходимости составлять таблицу зависимости значения функции от аргумента. График должен быть схематичным. Например, если это парабола, то нужно ее изобразить. В этом случае необходимо ознакомиться с основными базовыми функциями и их графиками.

Следующим шагом является правильное изображение прямых. Если ее уравнение имеет следующий вид “x = 5” или что-то подобное, то она будет проходить параллельно оси ОУ. Например, при y = 10 прямая проходит параллельно оси ОХ. В других случаях нужно составить таблицу зависимостей значений уравнения прямой от переменной. Следует брать всего два значения аргумента, поскольку их достаточно для проведения прямой.

После всех операций образуется фигура, которая ограничена линиями. Ее необходимо заштриховать. После этого вычисляется неопределенный интеграл заданной функции. Необходимо воспользоваться табличными значениями первообразных на рисунке 2. Однако здесь есть небольшой нюанс: константу записывать нет необходимости. Она «уничтожается» при подстановке в формулу Ньютона-Лейбница.

В полученное значение следует подставить значения границ. Кроме того, необходимо обратить особое внимание на знак формулы. При отрицательном значении границы формула принимает следующий вид: F(x)|(-a;b) = F(b) – F(-a) = F(b) + F(a). Проверка правильности решения выполняется с помощью ПО.

Примеры решения

Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют решить несколько задач. В качестве примера можно взять криволинейные трапеции, изображенные на рисунке 2.

Разновидность параболы

В первом примере функция вида y = -x^2 + 2x и ось ОХ образуют фигуру. Необходимо найти ее площадь. Из функции видно, что ветви параболы направлены вниз (отрицательный знак перед квадратом). Точки пересечения находятся следующим образом:

1. Тело функции приравнивается к 0: -х^2 + 2x = 0.
2. Выносится общий множитель: -x(x-2) = 0.
3. Решаются обе части уравнения.
4. Первый корень: -х1 = 0 или х1 = 0.
5. Для нахождения второго нужно решить другую часть уравнения: х2-2 = 0. Отсюда, х2 = 2.

Ветви параболы проходят через координаты по ОХ: 0 и 2 соответственно. Координата «х» вершины точки параболы находится с помощью подстановки в формулу: x = -b/(2*a) = -2 / -2 = 1. В этом случае координата «у» вычисляется следующим образом: y = -(1^2) + 2 * 1 = -1 + 2 = 1. Точка с координатами (1;1) является вершиной параболы. Границы интегрирования — координаты по ОХ, через которые проходят ветви параболы.

После всех операций следует вычислить неопределенный интеграл функции, воспользовавшись таблицей на рисунке 1: ∫ (-х^2 + 2x) dx = – (x^3 / 3 + x^2) + C = x^2 – x^3 / 3 + C. После этого следует подставить начальное и конечное значения (константа убирается): S = x^2 – x^3 / 3 = (2^2 – 2^3 / 3) – (0^2 – 0^3 / 3) = 4 – 8/3 = 4 / 3 (кв. ед.). Последняя запись является единицей измерения площади. Она обозначается в условных единицах, так как в условии задачи размерность сторон фигуры не указана.

Гипербола, степенная и прямая

На следующем рисунке изображен график функции гиперболы (у = 1 / х). Прямые, которые ограничивают график, описываются следующими законами: у1 = -2 и у2 = -1. Для вычисления площади заданной фигуры следует взять интеграл: ∫(1/х) dx = ln (|x|) + С. Для окончательного решения необходимо подставить значения в натуральный логарифм: S = ln (2) – ln (1) = 0,6931 – 0 = 0,6931 (кв. ед.).

Фигура, которая ограничена прямыми y1 = -1 и y2 = 1, и представлена функцией вида y = 3^x. Площадь находится следующим образом: S = ∫ (3^x) dx = 3^x / (ln(|3|)) = [3^1 / (ln(3))] – [3^(-1) / (ln(3))] = (3 / 1,0986) – ((1/3) / 1,0986) = 2,7307 – 0,3034 = 2,4273 (кв. ед.).

Последняя фигура представлена графиком прямой y = 0,5х + 1, которую ограничивают прямые х1 = -1 и х2 = 2. Значение площади можно найти таким способом: S = ∫ (0,5х + 1) dx = (0,5 * х^2) / 2 + x = [((0,5 * 2^2) / 2) + 2] – [((0,5 * (-1)^2) / 2) + (-1)] = 3 – 0,75 = 2,25 (кв. ед.).

Для определения значения площади криволинейной фигуры (трапеции) необходимо использовать определенные интегралы. При решении нужно внимательно следить за знаками и первообразными из таблицы на рисунке 1.

1. Определенный интеграл

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Вычислить
   интеграл:
   .

РЕШЕНИЕ:

Для
вычисления определенного интеграла
используем формулу Ньютона-Лейбница:

Сначала
находим первообразную для подинтегральной
функции:

.

Так
как в формуле Ньютона-Лейбница можно
использовать любую первообразную, то
возьмем такую первообразную, для которой
.

Получим:

.

Заметим,
что сначала в первообразную подставляется
верхний предел интегрирования а затем
нижний. В отличие от неопределенного
интеграла, при вычислении которого
получается семейство функций, определенный
интеграл равен конкретному числу.

1. Вычислить
   интеграл:
   .

РЕШЕНИЕ:

По
формуле Ньютона-Лейбница:

1. Вычислить
   интеграл:
   .

РЕШЕНИЕ:

Используем
замену переменной:
.
Тогда.
Один из синусов войдет в дифференциал.
Останется.
Меняем пределы интегрирования: на нижнем
пределе,
следовательно.
Верхний предел:.

Имеем:

По
свойству определенного интеграла, можно
поменять местами пределы интегрирования
(это делается для удобства вычислений,
чтобы нижний предел был меньше верхнего),
при этом поменяется знак перед интегралом:

Заметим,
что при использовании замены переменной
в определенном интеграле ненужно
возвращаться к старой переменной, как
это делалось при вычислении неопределенных
интегралов, поскольку одновременно с
заменой переменной мы меняем пределы
интегрирования.

1. Вычислить
   интеграл:
   .

РЕШЕНИЕ:

Снова
используем замену переменной в
определенном интеграле:

5.
Вычислить интеграл:
.

РЕШЕНИЕ:

Используем
метод интегрирования по частям:

ЗАДАЧИ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Вычислить
   определенный интеграл:

а)б)в)г)

д)е)ж)з)и)

1. Вычислить
   определенный интеграл, используя
   замену переменной:

а)б)в)г)д)

е)ж)з)и)к)

1. Вычислить
   определенный интеграл, используя
   интегрирование по частям:

а)
б)в)г)д)

е)ж)з)

1. Приложения определенного интеграла

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Найти
   площадь фигуры, ограниченной линиями:
   и.

РЕШЕНИЕ:

Первая
линия представляет собой параболу с
вершиной в точке (0;4) и ветвями, направленными
вниз. Вторая линия тоже парабола, ветви
которой направлены вверх. Изобразим
эти линии:

Площадь
фигуры, заключенной между двумя линиями
и,
на отрезкегде,
вычисляется по формуле:

.

В
нашей задаче:
и.

Чтобы
найти пределы интегрирования a
и b,
нужно определить абсциссы точек
пересечения этих двух линий. Находим
их, решая систему уравнений:

Имеем:

Следовательно,
.

Находим
площадь фигуры:

(кв. единиц)

1. Найти
   площадь фигуры, ограниченной линиями:
   ,,,.

РЕШЕНИЕ:

Первая
линия представляет собой логарифмическую
кривую. Линии
исовпадают с осямиисоответственно. Линияпараллельна оси.

Изобразим
эти линии:

Из рисунка
видно, что удобнее решать эту задачу,
проецируя криволинейную трапецию на
ось ординат. В противном случае ее
придется разбивать на две фигуры. Тогда
формула для вычисления площади будет
иметь вид:

.

В
нашей задаче
.
Следовательно.

Пределы
интегрирования
и.

Получим:

(кв. единицы)

1. Найти
   площадь фигуры, ограниченной линиями:
   ,,и расположенной в первой четверти.

РЕШЕНИЕ:

Кривая
– гипербола, кривая– парабола с вершиной в начале координат.– прямая, параллельная оси абсцисс.

Изобразим
эти линии:

Искомая
площадь
выразится как разность площадей:

.

Каждая
из этих площадей может быть найдена
через соответствующий определенный
интеграл.

Площадь
– это площадь под линиейна отрезкеDF.
Найдем пределы интегрирования (абсциссы
точек D
и F,
которые совпадают
с абсциссами точек A
и B).

Точка
А
– точка пересечения прямой и гиперболы:

Точка
В
– точка пересечения прямой и параболы:

Тогда

(кв. единиц).

Площадь
– это площадь под гиперболойна отрезкеDE.
Найдем абсциссу точки E,
которая совпадает
с абсциссой точки F.

Точка
F
– точка пересечения параболы и гиперболы:

Тогда

(кв. единиц)

Площадь
– это площадь под параболойна отрезкеEF:

(кв. единиц)

Находим
искомую площадь:

(кв.
единицы)

1. Найти
   объем тела, полученного от вращения
   вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной
   линиями:,.

РЕШЕНИЕ:

Линия
представляет собой параболу с вершиной
в точке (-2;0) и ветвями, направленными
вправо.–
прямая, являющаяся биссектрисой первого
и третьего координатных углов.

Изобразим
эти линии:

Вращаемая
фигура – криволинейный треугольник
ОАВ.
Объем тела, полученного от вращения
вокруг оси
криволинейной трапеции, образованной
линияминаходится по формуле:

.

В нашем
случае искомый объем выразится через
разность:

Найдем
эти объемы.

– объем тела,
образованного вращением вокруг оси
абсцисс фигуры, ограниченной сверху
параболой
на отрезкеАС.
Найдем абсциссу точки С,
которая совпадает
с абсциссой точки В:

.

Так
как под знаком интеграла должна стоять
функция, зависящая от х, то из исходной
функции
выражаем:.
Тогда

(куб. единиц)

Аналогично
находим объем
.
Это тело образовано вращением вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной сверху
прямойна отрезкеOD.
Тогда

(куб. единиц).

Тогда
искомый объем будет равен:

(куб.
единиц).

5.
Вычислить объем тела, полученного от
вращения вокруг оси ординат фигуры,
ограниченной линиями:
,.

РЕШЕНИЕ:

Линия
представляет собой параболу с вершиной
в точке (1;-1) и ветвями, направленными
вверх.– ось абсцисс.

Изобразим
эти линии:

Так
как вращение происходит вокруг оси
ординат, то формула для вычисления
объема принимает вид:

.

Тогда
искомый объем
выразится как разность:

.

Найдем
эти объемы. Для этого найдем уравнения
кривых ОА
и ОВ
в виде
:

.

Решаем
это квадратное уравнение, считая
параметром:

Таким
образом,

–
уравнение линии АВ.

–
уравнение линии ОВ.

Тогда

Находим
искомый объем:

ЗАДАЧИ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

1. Вычислить
   площадь фигуры, ограниченной линиями:
   параболой
   ,
   прямымии осью ординат.

1. Вычислить
   площадь фигуры, ограниченной линиями:
   ветвью гиперболы
   ,
   прямымии осью абсцисс.

1. Вычислить
   площадь фигуры, ограниченной линиями:
   параболой
   ,
   прямойи осями координат.

1. Вычислить
   площадь фигуры, ограниченной линиями:
   параболой
   и осью абсцисс.

1. Вычислить
   площадь фигуры, ограниченной параболами
   ,
   прямыми.

1. Вычислить
   площадь фигуры, ограниченной линиями:
   параболой
   ,
   прямой.

1. Вычислить
   площадь фигуры, ограниченной линиями:
   параболой
   ,
   прямой.

1. Вычислить
   площадь фигуры, ограниченной линиями:
   ,
   прямыми.

1. Вычислить
   объем тела, полученного от вращения
   вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной
   линиями: гиперболой
   и прямыми.

1. Вычислить
   объем тела, полученного от вращения
   вокруг оси ординат фигуры, ограниченной
   кривой
   и отрезкомоси ординат.

1. Вычислить
   объем тела, полученного от вращения
   вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной
   линиями: параболойи прямыми,
   где.

1. Вычислить
   объем тела, полученного от вращения
   вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной
   параболами:
   .

1. Вычислить
   объем тела, полученного от вращения
   вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной
   линиями: кривой
   и прямыми.

1. Вычислить
   объем тела, полученного от вращения
   вокруг оси ординат фигуры, ограниченной
   линиями: кривой
   и прямыми.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая  определяет ось , прямые  параллельны оси  и парабола  симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ:  – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы  и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования.  Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой  всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
 – именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке  некоторая непрерывная функция  больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось  задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу  либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую  можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке  над осью  расположен график прямой ;
2) на отрезке  над осью  расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс  зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой  и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
 – нижний предел интегрирования,  – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция  (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

1.9. Объём тела вращения

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Площадь фигуры ограниченной линиями

Что умеет?

• Находит точки пересечения указанных кривых линий
• Умный робот определяет области, где лежат фигуры, чтобы вычислить их площади. Она делает это, находя точки, где графики пересекаются.
• Помогает находить площади под графиками, вычисляя интегралы.

Примеры кривых

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
  гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
  арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
  гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
  гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
  функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x),
  Ci(x),
  Shi(x),
  Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

– умножение

3/x

– деление

x^2

– возведение в квадрат

x^3

– возведение в куб

x^5

– возведение в степень

x + 7

– сложение

x – 6

– вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi

– число Пи

e

– основание натурального логарифма

i

– комплексное число

oo

– символ бесконечности