Как найти площадь пола 4 класс

Решить эту задачу можно, как минимум двумя способами. Но в обоих вариантах решения нужно найти площадь пола комнаты, для этого её ширину умножаем на её же длину:

4 * 9 = 36 м² площадь половины комнаты. Можно даже перевести площадь в квадратные сантиметры 36 м² = 360000 см².

Далее можно идти двумя путями:

либо высчитываем площадь одной дощечки и делим на неё, найденную выше, площадь комнаты;

либо высчитываем сколько дощечек нужно, для укладки на 1 м² пола и результат умножаем на площадь комнаты в квадратных метрах.

Как раз для первого способа решения, выше мы перевели площадь в квадратные сантиметры:

площадь одной дощечки равна 10 * 25 = 250 см², площадь помещения равна 360000 см², а значит для укладки паркета на этой площади пола потребуется 360000 / 250 = 1440 шт дощечек паркета.

Для второго способа решения найдём количество дощечек необходимых для укладки паркета на 1 м² пола:

1 м² / 250см² = 10000 см² / 250 см² = 40 шт.

Для укладки же паркета на весь пол потребуется 36 * 40 = 1440 шт дощечек.

Площадь пола

Чтобы рассчитать площадь пола, воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Просто введите длину и ширину пола и получите результат.

Теория

МБОУ «Островновская СОШ»

Конспект урока по математике

 в 4 классе

УМК «Школа России».

Тема: «Площадь прямоугольника. Единицы измерения
площади».

(Урок – путешествие).

Составила: учитель начальных классов

Карзанова Надежда Анатольевна,

Алтайский край.

2013г.

Тема: «Площадь прямоугольника. Единицы
измерения площади».

Цель: – дать
представление о площади фигуры;

          – познакомить с единицами измерения
площади;

          – учить находить площадь фигуры.

Задачи:  –
совершенствовать вычислительные навыки ( таблица умножения и деления);

              – способствовать развитию
мыслительных операций, самоанализа работы на       уроке;

              – развивать навыки
сотрудничества и командной работы;

              – воспитывать чувство товарищества,
взаимопомощи.

Ход
урока:

I. Эмоциональный настрой.

– Улыбнитесь, подарите свои улыбки мне и друг
другу. Ведь улыбки располагают к приятному общению. А теперь настроимся на
работу. Какие качества нам понадобятся, чтобы на уроке узнать что-то новое,
сделать свое маленькое открытие?

(Ответы детей: – внимательность,
наблюдательность, работа в команде, поддержка друг друга).

– Оформление работы в тетради. (Запись числа,
классной работы).

II. Актуализация знаний.

1.Расположите
этапы урока в привычной или понравившейся последовательности.

Устный счет

Закрепление

Итог урока

Самостоятельная работа

Изучение нового

  Ответы
детей:  1. Устный счет

                          2. Изучение нового

                          3. Закрепление

                          4. Самостоятельная
работа

                          5. Итог урока.

2. Прежде, чем мы
начнем работать устно, прослушайте музыку и скажите какие ощущения у вас
возникли. (Ответы детей: ощущение полета).

– А на чем можно летать? (Воздушном шаре,
самолете, во сне, …)

– А на чем сказочные герои летают? ( Ступе,
ковре-самолете,..)

Вот и мы сегодня полетим на ковре-самолете.
Наше путешествие будет не простое, а научное.

– Как вы понимаете смысл слова «научное»?
(ответы детей).

– Скажите, какой геометрической формы
ковер-самолет?

– Выберите из  фигур похожую.

● ♦ ▲  █

– Что вы можете о ней рассказать? (ответы
детей).

3. Итак, чтобы
полететь на ковре-самолете его нужно изготовить (соткать).

– Чтобы ковер получился красивый, правильной
формы, как нужно работать?

 – быстро;

– правильно;

-помогать друг другу;

-соблюдать трудовую дисциплину;

Вот и мы свою работу будем оценивать по этим
критериям.

4. Групповая (разноуровневая) работа.
Эстафета. (На доске прикрепляются таблицы)

18	40	2		14	3	5	28
8	15	9	7	24	4	6

Ученикам раздаются
разноцветные карточки, на которых записаны числа.

■  ■
  ■  ■ 
■

– Я называю выражения,
карточки с ответами дети крепят в таблице.

Молодцы! Красивые
получились ковры.

18	40	2		14	3	5	28
8	15	9	7	24	4	6

Оценка работы групп.

Критерии:

– уверенно работал;

– сомневался;

– затруднялся;

На столе у каждого ученика
лежат по 3 фишки разного цвета.

Каждая группа получает
табло, на которое крепятся фишки.

III. Постановка проблемы.

– Скажите, у какой группы
ковер получился больше? ( ответы детей).

– А когда мы говорим о
размерах ковра, что мы имеем ввиду? (площадь).

– Как вы думаете: что это
такое? (площадь).

Давайте обратимся к
толковому словарю Ожигова и выясним лексическое значение слова площадь.

– Как называется самая
главная площадь нашей страны? ( Красная площадь)

– А в классе есть
предметы, которые имеют площадь? (ответы детей)

Целеполагание.

Ребята, кто догадался
какая тема нашего урока? ( ответы детей)

– Какую учебную задачу
поставите на урок? На какие вопросы нужно найти ответ? ((ЧТО? такое
площадь, КАК? ее найти, ДЛЯ ЧЕГО?)

IV. «Открытие» новых знаний.

1.– Возьмите у себя на рабочем столе предмет, который
имеет площадь. Покажите площадь дневника.

– Что такое площадь? ( это
часть плоскости ограниченная замкнутой ломаной)

– А я покажу площадь
классной доски. На какую букву похоже движение моей руки? ( S )

Ученые решили, что площадь
будут обозначать латинской буквой S.

– Ребята, на какой вопрос
мы уже нашли ответ? (ЧТО?)

2.– Теперь нам нужно найти ответ на вопрос КАК?

С чего начнем работу?(
ответы детей).Предлагаю поработать с «коврами»

18	40	2		14	3	5	28
8	15	9	7	24	4	6

Докажите почему площадь
одного «ковра» больше площади другого.

– как это удобнее сделать?
( сосчитать квадраты)

3.

– А как быть с этими
фигурами? Есть ли среди них фигуры с одинаковой площадью?

Поработайте в группах и найдите ответы на эти вопросы.

(Ответы детей: нужно
разбить прямоугольники на квадраты и сравнить количество квадратов).

                                                                                                                                       
    2

– Чему равна длина 
стороны квадрата? (1 см). Единицы измерения площади – см

 – А если нам нужно найти площадь пола в классе,
какие единицы измерения будут?

– А площадь поверхности
стола?

Вывод: какие единицы измерения  площади вы узнали? (
ответы детей).

4. Ребята, а как я нашла площадь данного
прямоугольника, если у меня одна линейка? (Ответы детей)           

Вывод: S = a ∙ b

Оценка работы групп.

5. Работа с учебником стр. 54

Давайте обратимся к умной
книге и сравним правильность нашего вывода.

Работа с правилом:

– чему учит правило?

– какие вопросы вы можете
задать друг другу?

ФИЗМИНУТКА.

Под музыку дети
«совершают» полет на ковре-самолете.

Мимо вас проплывают белые
пушистые облака. Вы пролетаете над полями, лугами, морями и приземляетесь на
лесной опушке. Вы дышите легко и глубоко, воздух свежий и чистый.( под музыку
дети выполняют физ.упражнения).

V. Отработка полученных навыков.

Итак, мы приземлились на
лесной опушке около избушки Бабы-Яги.

– Ей надоело жить в
избушке без окон и дверей, и она решила прорубить дверь. Баба-Яга просит вас
помочь ей вычислить площадь двери и оставшейся стены, если длина стены
6м, высота 3м, ширина двери 1м, а высота 2м.

1. Парная работа. Обсудите с соседом как будите решать задачу.

Обсуждение. Решение.
Проверка.

2. Самостоятельная
работа.

Найдите площадь окна и
оставшейся стены, если ширина стены 6м, высота 3м, а окно имеет форму
квадрата со стороной 1м.

Проверка. Образец решения
на доске. Оцените свою работу.

3.Практическая парная
работа.

Баба-Яга решила обставить
свою избушку мебелью и просит вас помочь ей вычислить площадь крышки стола.

– с чего начнем работу?

– кому нужна моя помощь?
Проверка практической работы.

VI. Итог урока.

 Итак, мы подошли к последнему этапу нашего урока. Итоги
подводить лучше дома.

Пока будем «возвращаться»
домой подумайте, какое открытие вы сегодня сделали.

Звучит музыка.

-Справились ли мы с той
учебной задачей, которую сегодня ставили на урок?

– С чем познакомились?

– На все ли вопросы нашли
ответ?

ЧТО? – площадь – это часть плоскости ограниченная
ломаной.

КАК?  (найти) –  a . b  (Ребята одной школы, чтобы лучше запомнить как
найти площадь сочинили стихотворение. Давайте его прочитаем и запомним).

Как найти нам площадь

Нет задачи проще.

Поглядите-ка сюда:

Вот длина, вот ширина.

Чтобы площадь нам
узнать

Нужно их перемножать!

           S = a . b

ДЛЯ ЧЕГО? – кто может ответить, а в жизни нам эти знания
пригодятся?

VII. Рефлексия.

– Поднимите руку те, кто
понял, как найти площадь прямоугольника?

– Кто затрудняется?

– Какое задание было
интересным для вас?

– Какое трудным?

– Кто доволен своей
работой?

И в заключении я предлагаю
сделать подарок (ковры) Бабе-Яге из результатов вашей работы.

(Капитаны команд
прикрепляют к доске  табло и дают оценку работе группы.)

VIII. Домашнее задание.

с.54 правило учить, найти
площадь любого предмета в вашей комнате.

Спасибо за работу на
уроке.

Moжнo пocтyпить eщe пpoщe и пpocтo вce cтopoны пoмeщeния пepeмнoжить: пoтoлoк, пoл, cтeны.

Пepeвoд квaдpaтныx caнтимeтpoв в квaдpaтныe мeтpы

Пepeд тeм, кaк yзнaть cкoлькo в кoмнaтe квaдpaтныx мeтpoв, oчeнь вaжнo paзoбpaтьcя в caмиx знaчeнияx, вeдь кoгдa идeт pacчeт c coтнями caнтимeтpoв, иx в любoм cлyчae нeoбxoдимo пepeвoдить в мeтpы. Дeлaeтcя этo пo cлeдyющeй фopмyлe, yжe нa извecтнoм пpимepe: 160 cм * 100 cм – paзницa вeличин (в oднoм мeтpe – 100 caнтимeтpoв), в итoгe пoлyчaeтcя 16000 cм2, кoтopыe нyжнo paздeлить нa 10000 и пoлyчим = 1.60 м2.

Taкими цифpaми нaмнoгo пpoщe oпepиpoвaть и зaпoминaть. Teм бoлee, чтo «квaдpaтypy» пoмeщeния вceгдa измepяют имeннo в мeтpax. Для пepeвoдa нeoбxoдимo пoдcтaвлять cлeдyющиe фopмyлы:

• 8000 cм² / 10000 = 0,8 м²;
• 34000 cм² / 10000 = 3,4 м²;
• 2400 cм²/ 10000 = 0,24 м².

Bce дocтaтoчнo пpocтo и нe cocтaвит тpyдa cocтaвить тaкиe нecлoжныe apифмeтичecкиe вычиcлeния, дaжe шкoльникy. Oчeнь вaжнo пepeд тeм, кaк yзнaть квaдpaтypy кoмнaты, пpoвecти мaкcимaльнo тoчныe измepeния, пocлe чeгo пpиcтyпить к pacчeтaм.

Кaк пocчитaть плoщaдь кoмнaты в квaдpaтныx мeтpax

Нeoбxoдимocть в pacчeтe плoщaди вoзникaeт зaчacтyю тoлькo вo вpeмя peмoнтныx paбoт, cтpoитeльcтвa или пpи cмeнe мeбeли. Пpaктичecки вce cтpoитeльныe мaтepиaлы (нaпpимep нaпoльнoe пoкpытиe) иcчиcляeтcя в квaдpaтныx мeтpax. Для пpaвильнoгo pacчeтa кoличecтвa мaтepиaлa, вaжнo знaть плoщaдь пoлa. 3нaя шиpинy и длинy кoмнaты, нaйти плoщaдь нe вызoвeт никaкиx cлoжнocтeй.

Измepeния

Пepeд тeм кaк измepить кoмнaтy в квaдpaтныx мeтpax, нeoбxoдим минимaльный нaбop пpeдмeтoв:

• кaлькyлятop;
• pyлeткa;
• кapaндaш;
• лиcт бyмaги.

Нa бyмaгe нeoбxoдимo cдeлaть пoдpoбный плaн пoмeщeния. Кaждaя cтeнa дoлжнa быть измepeнa c иcпoльзoвaниeм pyлeтки.

Bнимaниe! Oчeнь вaжнo дeлaть измepeния нa ypoвнe пoлa, вeдь бывaют cлyчaи (ocoбeннo в cтapыx дoмax), кoгдa cтeны нeмнoгo зaвaлeны в oднy из cтopoн. Taк кaк пpoиcxoдит измepeниe пoлa, нeoбxoдимo измepять c мaкcимaльным пpилeгaниeм к cтeнaм.

Bтopым этaпoм являeтcя пpocтaвлeниe пoлyчeнныx измepeний нa плaнe. Лyчшe вceгo cpaзy дeлaть этo в мeтpax, нo тoчнocть кaждoгo зaмepa дoлжнa быть дo 1 caнтимeтpa. Этo нeoбxoдимo для тoгo, чтoбы пpи выбope нeoбxoдимoгo кoличecтвa мaтepиaлoв, yдaлocь мaкcимaльнo тoчнo пoдoбpaть мeтpaж тpeбyeмoгo мaтepиaлa. Pyлoнныe нaпoльныe пoкpытия пpoдaютcя в пoгoнныx мeтpax.

Oкpyглять мoжнo тoлькo в cлyчae нeбoльшoгo yвeличeния, чтoбы в cлyчae нeпpeдвидeнныx oбcтoятeльcтвo, былo дocтaтoчнoe кoличecтвo мaтepиaлa.

Кaк выcчитaть квaдpaтypy кoмнaты

Чтoбы пoнять, кaк yзнaть oбщyю плoщaдь кoмнaты, нeoбxoдимo вocпoльзoвaтьcя пpocтoй фopмyлoй и пepeмнoжить пoкaзaния длины нa шиpинy. Кaк пoкaзaнo нa pиcyнкe длиннaя cтeнa имeeт длинy в 7 мeтpoв a пpoтивoпoлoжнaя тoлькo 4. Bыxoдит плoщaдь пoлa бyдeт paвнa 28 м2. Имeннo тaким oбpaзoм и нaxoдят квaдpaтypy. Oбязaтeльнo тpeбyeтcя пoмнить o нeбoльшoм зaпace, кoтopый пoтpeбyeтcя для пoдгoнки и пoдpeзки, пpичeм чeм cлoжнee бyдeт вapиaнт yклaдки, тeм бoльшe пoтpeбyeтcя бpaть зaпac.

3aчacтyю кoмнaты нe имeют poвнoй квaдpaтнoй или пpямoyгoльнoй фopмы.Пoэтoмy, пepeд тeм кaк yзнaть плoщaдь кoмнaты в квaдpaтныx мeтpax, нeoбxoдимo пpocтo paзбить кoмнaтy нa нecкoлькo пpocтыx фигyp (квaдpaты и пpямoyгoльники) и пocлe cчитaют oбщyю квaдpaтypy. Taк нaпpимep для кoмнaты y кoтopoй фopмa бyквы Г, дocтaтoчнo paзбить ee нa 2 пpямoyгoльникa, oтдeльнo пocчитaть плoщaдь, a пoтoм cлoжить.

Bыглядит этo вce cлeдyющим oбpaзoм:

• вычиcляeм квaдpaтypy бoльшoгo пpямoyгoльникa: 5 yмнoжaeм нa 4,35 и пoлyчaeм 21,75 квaдpaтныx мeтpoв;
• тeпepь пo тoмy жe пpинципy втopoй: 2,5 нa 2,65 и пoлyчaeм 6,625 квaдpaтoв;
• дaлee cyммиpyeм oбщий peзyльтaт 6,625 + 21,75 и пoлyчaeм плoщaдь кoмнaты в paзмepe 28,375 квaдpaтныx мeтpoв.

Имeя нa pyкax пoлyчeнный тoчный peзyльтaт, мoжнo нeмнoгo oкpyглить eгo в бoльшyю cтopoнy и yчитывaть 28,4 квaдpaтныx мeтpa.

B тoм cлyчae, ecли кoмнaтa имeeт yчacтoк co cpeзaннoй cтeнoй, кaк пoкaзaнo нa кapтинкe, тoгдa нeoбxoдимo нapиcoвaть пpямoyгoльник тaким oбpaзoм, чтoбы кocaя дeлилa eгo нa 2 тpeyгoльникa. Toгдa oпять пoлyчaeтcя пoмeщeниe пo фopмe бyквы Г. Дaлee мoжнo вычиcлить плoщaдь, пo вышe пpeдcтaвлeннoмy мeтoдy.

Нeoбxoдимo бyдeт нaйти плoщaдь тpex пpямoyгoльникoв. Нeдocтaющий yчacтoк – пoлoвинa мaлeнькoгo пpямoyгoльникa. Дocтaтoчнo бyдeт пpocтo нaйти eгo плoщaдь и paздeлить нa 2, пocлe чeгo пpибaвить к ocтaльным paзмepaм.

Итaк, для пpимepa мoжнo иcпoльзoвaть cлeдyющиe дaнныe:

• бoльшoй пpямoyгoльник: 1,75 м *1,93 м = 3,3775 м². Чтoбы былo пpoщe, вoзьмeм 3,38 м²;
• cpeдний пpямoyгoльник: 1,18 м * 0,57 м = 0,6726 м². Oпять пpoизвeдeм oкpyглeниe дo 0,67 м²;
• caмый мaлeнький пpямoyгoльник: 0,57 м *0,57 м = 0,3249 м2, дoвoдим дo 0,33 м²;
• тeпepь ocтaлocь тoлькo cлoжить пoлyчившиecя знaчeния и пpибaвить ½ мaлeнькoгo пpямoyгoльникa: 3,38 + 0,67 +0,33/2 = 3,38 + 0,67 +0,17 = 4,22 м².

Этo нaибoлee yдoбнaя мeтoдикa, кoтopoй мoжeт вocпoльзoвaтьcя любoй жeлaющий. Дocтaтoчнo тoлькo paзбивaть cлoжнyю фигypy нa нecкoлькo пpocтыx. Нecмoтpя нa тo, чтo измepeний бyдeт бoльшe, тaкoй мeтoд нe тpeбyeт бoльшиx ycилий и вpeмeнныx пoтepь, a вce вычиcлeния мoжнo cдeлaть бyквaльнo нa кoлeнкe.

Плoщaдь квapтиpы

Mнoгиe yтвepждaют, чтo peмoнт – пpoцecc, кoтopый пpaктичecки нeвoзмoжнo зaкoнчить, eгo мoжнo тoлькo пpиocтaнoвить. Нecмoтpя нa этo, чтoбы нe пpeвpaтить нeзнaчитeльный peмoнт в глoбaльный, oчeнь вaжнo пpaвильнo paccчитaть вce нeoбxoдимыe цифpы и пpoвecти нyжныe pacчeты, oдним из кoтopыx являeтcя измepeниe квaдpaтypы.

Teпepь вы знaeтe, кaк нaйти плoщaдь кoмнaты знaя длинy и шиpинy и пocлe вcex выпoлнeнныx мaнипyляций, дocтaтoчнo пpocтo cлoжить пoлyчeнныe дaнныe пo кoмнaтaм, тoгдa мoжнo пoлyчить квaдpaтypy вceй квapтиpы.

Taкoй пpoцecc тpeбyeтcя для зaкyпки мaтepиaлoв. Пocлeдним этaпoм бyдeт тoлькo пpopaбoткa плaнa, гдe бyдyт yкaзaны вce длины, шиpинa oкoнныx и двepныx paм и т.д. Этo нeoбxoдимo нaпpимep для yклaдки нaпoльнoй плитки или лaминaтa. Taкaя cxeмa пoтpeбyeтcя пpи yклaдкe тeплoгo пoлa.

Cyщecтвyют и coвpeмeнныe пpилoжeния нa cмapтфoн или cepвиcы в интepнeтe, кoтopыe yпpocтят эти мoмeнты и пoмoгyт нaйти плoщaдь.

План урока:

Понятие площади многоугольника

Свойство аддитивности площади

Площадь квадрата

Соотношение между единицами измерения площадей

Площадь прямоугольника

Понятие площади многоугольника

Понятие площади уже знакомо нам из младших классов и повседневной жизни. Эта величина, которая, грубо говоря, характеризует размер плоских фигур. Она показывает, какую часть плоскости занимает та или иная фигура. Исторически понятие площади многоугольника считалось неопределяемым, так же как понятия точка, прямая, плоскость и т. д. Основная же задача геометров (а именно так называют математиков, специализирующихся на геометрии) сводилась к измерению площади.

Как известно, для проведения любых измерений должна существовать некоторая единица измерения. Так, массу измеряют в килограммах, длину – в метрах и т. д. При этом единицы измерения разных величин могут быть связаны друг с другом. С практической точки зрения удобно принять в качестве единицы измерения площади квадрат, сторона которого равна 1 метру. Принимается, что площадь такого квадрата равна 1 квадратному метру (обозначается символом м²):

Аналогично можно определить такие величины, как квадратный сантиметр (см²), квадратный километр (км²), квадратный миллиметр (мм²) и т.д.:

Как мы знаем, иногда в задачах единицу измерения длины не указывают вовсе. Например, говорят, что сторона квадрата равна единице. В таких случаях и площадь является безразмерной величиной. Принимается, что площадь квадрата со стороной, равной единице, также равна единице. Такой квадрат называется единичным.

Общепринято, что площадь фигуры обозначается буквой S.

Свойство аддитивности площади

Предположим, что нам надо найти площадь прямоугольника со сторонами 2 и 1. Его можно разбить на два квадрата со стороной 1, то есть на два единичных квадрата:

Этот прямоугольник занимает на плоскости в два раза больше места, чем единичный квадрат, поэтому логично считать, что его площадь равна 2. В данном случае мы разбили многоугольник на две фигуры, площадь каждой из которых нам была известна. Далее мы сложили площади известные нам площади и получили площадь прямоугольника.

В общем случае справедливо утверждение, что площадь всякой фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она может быть составлена. Это свойство называют аддитивностью площади:

Площадь – не единственная величина, обладающая свойством аддитивности. Например, длина любого отрезка равна сумме длин отрезков, из которых он состоит. В классической физике считается, что масса сложного тела равна сумме масс тел, составляющих его. Аддитивность можно считать основным свойством площади.

Свойство аддитивности подсказывает нам, как измерять площадь произвольных многоугольников. Достаточно разбить такой многоугольник на несколько фигур, чья площадь нам известна, и сложить их площади.

Задание. Найдите площадь фигуры, показанной на рисунке. Длина стороны одной клеточки равна единице.

Решение. Каждая клеточка является, по сути, единичным квадратом, чья площадь равна 1. Можно видеть, что нарисованная фигура состоит 11 таких квадратов:

В силу свойства аддитивности площадь фигуры равна сумме площадей этих квадратов:

Если две фигуры можно разбить на одинаковые фигуры, то их называют равносоставленными фигурами. Покажем пример равносоставленных фигур, которые состоят из двух половинок круга:

Довольно очевидно, что равносоставленные фигуры имеют равную площадь. Также очевидно, что любые две равные фигуры являются равносоставленными, а потому их площади тоже равны.

Важно понимать разницу между равными и равносоставленными фигурами. Фигуры равны, если их можно наложить друг на друга, и при этом они полностью совпадут. Равносоставленные же фигуры могут и не накладываться друг на друга.

Ещё одно важное понятие – равновеликие фигуры. Так называют фигуры, чьи площади равны. Мы уже сказали, что любые две равносоставленные фигуры имеют одинаковую площадь, то есть являются равновеликими. Верно ли обратное? Всякие ли равновеликие фигуры являются равносоставленными? Оказывается, что нет. Можно нарисовать окружность и квадрат, имеющие равные площади, но разбить их на одинаковые фигуры не получится:

С помощью равных и равновеликих фигур можно находить площади фигур, которые невозможно разбить на единичные квадраты.

Задание. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны единице.

Решение. Достроим такой прямоугольник до единичного квадрата. В результате гипотенуза треугольника окажется диагональю квадрата:

Получили, что единичный квадрат состоит из двух равных треугольников, чью площадь нам и надо найти. Обозначим площадь треугольника как S. Тогда справедливо равенство

Итак, зная свойства площади фигур, мы попытаемся дать этому понятию определение. Можно сказать, что площадь – это число, характеризующее плоскую фигуру и имеющее следующие свойства:

• площадь квадрата со стороной 1 равна единице:
• равносоставленные фигуры имеют равную площадь.

Такого описания вполне достаточно, чтобы вывести все формулы для нахождения площади многоугольников.

Площадь квадрата

Из младших классов известно, что для вычисления площади квадрата достаточно умножить его сторону саму на себя. Докажем это строго, используя лишь свойства площадей.

Попробуем вычислить площадь квадрата, если известна его сторона. Если она равна 2, то квадрат можно разбить на четыре единичных квадрата, а если она равна 3, то квадрат можно разделить уже на девять единичных квадратов:

Тогда площадь квадрата со стороной 2 равна 4, а со стороной 3 уже равна 9. В общем случае квадрат со стороной n (где n– натуральное число) можно разбить n² единичных квадратов, поэтому его площадь будет равна n².

Но что делать в случае, если сторона квадрата – это не целое, а дробное число? Пусть оно равно некоторой дроби 1/m, например, 1/2 или 1/3. Тогда поступим наоборот – разделим сам единичный квадрат на несколько частей. Получится почти такая же картина:

В общем случае единичный квадрат можно разбить на m² квадратов со стороной 1/m. Тогда площадь каждого из таких квадратов (обозначим ее как S)может быть найдена из уравнения:

Снова получили, что площадь квадрата в точности равна его стороне, возведенной во вторую степень.

Наконец, рассмотрим случай, когда сторона квадрата равна произвольной дроби, например, 5/3. Возьмем квадраты со стороной 1/3 и построим из них квадрат, поставив 5 квадратов в ряд. Тогда его сторона как раз будет равна 5/3:

Площадь каждого маленького квадратика будет равна 1/9, а всего таких квадратиков 5х5 = 25. Тогда площадь большого квадрата может быть найдена так:

В общем случае, когда дробь имеет вид n/m, где m и n– натуральные числа, площадь квадрата будет равна величине

Получили, что если сторона квадрата – произвольное рациональное число, то его площадь в точности равна квадрату этой стороны. Конечно, возможна ситуация, когда сторона квадрата – это иррациональное число. Тогда осуществить подобное построение не получится. Здесь помогут значительно более сложные рассуждения, основанные на методе «от противного».

Предположим, что есть некоторое иррациональное число I, такое, что площадь квадрата (S) со стороной I НЕ равна величине I². Для определенности будем считать, что I²<S (случай, когда I²>S, рассматривается абсолютно аналогично). Однако тогда, извлекая корень из обеих частей неравенства, можно записать, что

Далее построим два квадрата, стороны которых имеют длины I и R, и совместим их друг с другом:

Так как мы выбрали число R так, чтобы оно было больше I, то квадрат со стороной I является лишь частью квадрата со стороной R.Но часть меньше целого, значит, площадь квадрата со стороной I (а она равна S) должна быть меньше, чем площадь квадрата со стороной R (она равна R²):

из которого следует противоположный вывод – величина R² меньше, чем S. Полученное противоречие показывает, что исходная утверждение, согласно которому площадь квадрата со стороной I НЕ равна I², является ошибочным. А значит, площадь квадрата всегда равна его стороне, умноженной на саму себя.

Задание. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна

Задание. Площадь квадрата равна 25. Найдите длину его стороны.

Решение. Пусть сторона квадрата обозначается буквой х (как неизвестная величина). Тогда условие, согласно которому его площадь равна 25, можно переписать в виде уравнения:

Его простейшее квадратное уравнение, для его решения надо просто извлечь квадратный корень из правой части:

Примечание. Строго говоря, записанное уравнение имеет ещё один корень – это число (– 5). Однако его можно отбросить, так как длина отрезка не может быть отрицательным числом. В более сложных геометрических задачах отрицательные корни также отбрасывают.

Задание. Численно площадь квадрата равна периметру квадрата (с учетом того, что площадь измеряется в см², а периметр – в см). Вычислите его площадь.

Решение. Снова обозначим сторону квадрата как х, тогда площадь (S)и периметр (Р) будут вычисляться по формулам:

По условию эти величины численно равны, поэтому должно выполняться равенство, являющееся уравнением:

Естественно, сторона квадрата не может быть равна нулю, поэтому нас устраивает только ответ х = 4. Тогда и площадь, и периметр будут равны 16.

Ответ: 16 см².

Обратите внимание, что ответ задачи зависит от единицы измерения. Если использовать миллиметры, то сторона квадрата окажется равной 40 мм, периметр будет равен 160 мм, а площадь составит 1600 мм². Именно поэтому в условии задачи сказано, что площадь и периметр равны численно. «По-настоящему» равными бывают только величины, измеряемые в одинаковых единицах измерения.

Соотношение между единицами измерения площадей

Площадь измеряется в «квадратных» величинах: м², см², км² и т.д. Как связаны эти единицы измерения? Для ответа на этот вопрос построим квадрат со стороной 1 см и разобьем каждую его сторону на отрезки длиной 1 мм. Естественно, что таких отрезков будет 10, ведь, в 1 см равен 10 мм. Далее разобьем большой квадрат на маленькие, их число будет равно 10² = 100:

Площадь большого квадрата равна 1 см², а площадь маленьких составляет 1 мм². Так как большой квадрат состоит из 100 маленьких, мы можем записать:

Существуют специальные единицы измерения площади, известные как ар (обозначается сокращением а) и гектар (сокращение га). Первый представляет собой квадрат со стороной 10 м, а второй – со стороной 100 м. Верны следующие соотношения:

В частности, если стороны квадратов отличаются в 10 раз, то их площади отличаются уже в 100 раз. Отсюда вытекает быстрый метод перевода единиц площади. Пусть надо перевести 1 квадратный километр в квадратные дециметры. Сначала мы считаем, во сколько раз километр длиннее дециметра:

Задание. Площадь окружности равна 24 см². Выразите эту величину в мм² и м².

Решение. Миллиметр в 10 раз меньше сантиметра, а потому 1 см² равен 100 мм²:

Площадь прямоугольника

Ещё из младшей школы известно, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Докажем этот факт, используя только свойства площади и выведенную нами ранее формулу площади квадрата.

Возьмем произвольный прямоугольник со сторонами a и b. Далее достроим его до квадрата со стороной (а + b):

С одной стороны, площадь большого квадрата (со стороной а + b) равна величине (а + b)². С другой стороны, он состоит из 4 фигур, а потому его площадь равна сумме

Итак, мы доказали следующее утверждение:

Задание. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 5 и 8 см?

Решение. Просто перемножаем эти числа:

Задание. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке:

Решение. Необходимо разбить фигуры на несколько прямоугольников:

Далее считаем площадь каждого отдельного прямоугольника:

Задание. Полкомнаты необходимо покрыть паркетом. Длина и ширина комнаты равны 6 и 5,5 метрам, а каждая дощечка паркета имеет габариты 30х5 см. Сколько дощечек паркета необходимо купить для ремонта?

Решение. В таких задачах прежде всего следует все длины выразить в одних единицах измерения. Перепишем габариты комнаты:

Важно убедиться, что пол можно полностью покрыть целым числом дощечек, не используя какие-либо дощечки наполовину. Для этого габариты дощечки должны быть кратны габаритам комнаты. Это условие соблюдается:

Получается, что для покрытия пола дощечки необходимо разместить их в 20 рядов, в каждом из которых будет 110 досок. Тогда общее количество досок будет равно

Задание. Площадь прямоугольника равна 64, а одна из его сторон имеет длину 16. Найдите вторую сторону прямоугольника.

Решение. Запишем формулу площади прямоугольника:

Задание. Найдите стороны прямоугольника, если площадь равна 500, а одна из сторон в 5 раз больше другой стороны.

Решение. Обозначим меньшую сторону переменной х. Тогда большая сторона будет в 5 раз больше, то есть она равна 5х. Площадь прямоугольника будет вычисляться как произведение этих чисел

Мы получили два значения х, 10 и (– 10). Естественно, длина отрезка не может выражаться отрицательным числом, поэтому нам подходит только значение 10. Это длина меньшей стороны. Большая же сторона в 5 раз длиннее, то есть ее длина равна

Задание. Одна сторона прямоугольника длиннее другой на 5 см, а площадь прямоугольника равна 150 см². Вычислите обе стороны прямоугольника.

Решение. Снова обозначим длину меньшей стороны буквой х, тогда большая сторона будет иметь длину х + 5 см. По условию произведение этих сторон равно 150:

Это обычное квадратное уравнение, решаемое с помощью:

Снова получили два корня, из которых только один является положительным. Итак, меньшая сторона равна 10 см. Тогда большая сторона буде равна

Задание. Периметр прямоугольника равен 16 см, а площадь составляет 15 см². Каковы стороны этого прямоугольника?

Решение. Обозначим смежные стороны буквами a и b. Тогда и две другие стороны также будут равны а и b. Так как периметр (его обозначают буквой Р) по определению является суммой длин всех сторон, то для прямоугольника он будет равен:

Если сюда вместо S подставить 15, а вместо а выражение 8 – b, то получим такое уравнение:

Оба полученных корня являются положительными числами, то есть устраивают нас. Зная b, легко найдем и a:

В первом случае получается, что стороны равны 3 и 5 см. Во втором случае получились те же числа, только в другом порядке: 5 и 3 см. То есть эти два ответа, по сути, идентичны друг другу.

Ответ: 5 см; 3 см.