В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.
Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.
-
Формула площади правильной пирамиды
- 1. Общая формула
-
2. Площадь правильной треугольной пирамиды
- 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды
Формула площади правильной пирамиды
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.
Sполн. = Sбок. + Sосн.
Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.
Площадь треугольника вычисляется по формулам:
1. Через длину основания (a) и высоту (h):
2. Через основание (a) и боковую сторону (b):
Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.
2. Площадь правильной треугольной пирамиды
Основание: равносторонний треугольник.
L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.
3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
Основание: квадрат.
| Площадь | Формула |
| основание | Sосн. = a2 |
| боковая поверхность | Sбок. = 2aL |
 |
|
| полная | Sполн. = a2 + 2aL |
 |
microexcel.ru
4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды
Основание: правильный шестиугольник
{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL + S}
На странице вы найдете онлайн-калькуляторы, которые помогут найти площадь полной и боковой поверхности правильной пирамиды, а также треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамиды. Кроме того приводятся формулы, по которым вы можете произвести расчет самостоятельно.
- калькулятор площади поверхности пирамиды
- формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему
- формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и высоту
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- примеры задач
Познакомьтесь с важными понятиями, которые необходимо знать для расчета площади поверхности пирамиды.
Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания.
Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей боковых граней и площади основания.
Площадь боковой поверхности пирамиды – это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.
Апофема — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания.
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему
{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL+S}
P – периметр основания пирамиды
L – апофема пирамиды
S – площадь основания пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = dfrac{na}{2} {Bigg( dfrac{a}{2 \tg ( dfrac{180°}{n})} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 \tg ( dfrac{180°}{n})} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
n – число сторон основания
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = dfrac{a^2 sqrt{3}+6aL}{4}}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = dfrac{a^2 sqrt{3}+6a sqrt{b^2 – dfrac{a^2}{4}}}{4}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = dfrac{3a}{2} {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = 2a {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = a^2+2aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = dfrac{3sqrt{3}a^2}{2}+3aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = dfrac{3sqrt{3}a^2}{2}+3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = 3a {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему
{S_{бок} = dfrac{1}{2}PL}
P – периметр основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = dfrac{na}{2} sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( dfrac{180°}{n})} Bigg) ^2} }
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
n – число сторон основания
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = dfrac{3}{2}aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = dfrac{3a sqrt{b^2 – dfrac{a^2}{4}}}{2}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = dfrac{3a}{2} sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} Bigg) ^2}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему
{S_{бок} =dfrac{1}{2}PL}
P – периметр основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = 2aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = 2a sqrt{b^2 – dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = 3aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = 3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = 3a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Примеры задач на нахождение площади поверхности пирамиды
Задача 1
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60см, боковые ребра равны 78см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение
Так как пирамида правильная четырехугольная, то воспользуемся соответствующей формулой площади поверхности через сторону основания и боковую грань.
S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}} = 60^2 + 2 cdot 60 sqrt{78^2- dfrac{60^2}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084- dfrac{3600}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084 – 900} = 3600 + 120 sqrt{5184} = 3600 + 120 cdot 72 = 3600 + 8640 = 12240 : см²
Ответ: 12240 см²
Проверим полученный ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной 6см и апофемой 10см.
Решение
Из условия мы знаем апофему и сторону правильной треугольной пирамиды, поэтому нам потребуется эта формула.
S_{бок} = dfrac{3}{2}aL = dfrac{3}{2} cdot 6 cdot 10 = dfrac{3}{2} cdot 60 = 90 : см²
Ответ: 90 см²
Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .
Задача 2
Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды сторона основания 6см и высота 4см.
Решение
Подставим значения в формулу и произведем расчет.
S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 2 cdot 6 sqrt{4^2+ Bigg( dfrac{6}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 60 : см²
Ответ: 60 см²
Проверка .
Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его являются треугольниками.
Онлайн-калькулятор площади поверхности пирамиды
Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.
У нее, как и у других многогранников, есть ребра. Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.
Виды пирамид
Существуют 3 вида пирамид:
- Прямоугольная — та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
- Правильная — у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
- Тетраэдр — пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.
Формула площади поверхности пирамиды
Для нахождения полной площади поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.
Самой простой является случай правильной пирамиды, поэтому нею мы и займемся. Вычислим полную площадь поверхности такой пирамиды. Площадь боковой поверхности равна:
Sбок=12⋅l⋅pS_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p
ll — апофема пирамиды;
pp — периметр основания пирамиды.
Полная площадь поверхности пирамиды:
S=Sбок+SоснS=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}
SбокS_{text{бок}} — площадь боковой поверхности пирамиды;
SоснS_{text{осн}} — площадь основания пирамиды.
Пример решения задачи.
Найти полную площадь треугольной пирамиды, если её апофема равна 8 (см.), а в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 3 (см.)
Решение
l=8l=8
a=3a=3
Найдем периметр основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной aa, то его периметр pp (сумма всех его сторон):
p=a+a+a=3⋅a=3⋅3=9p=a+a+a=3cdot a=3cdot 3=9
Тогда боковая площадь пирамиды:
Sбок=12⋅l⋅p=12⋅8⋅9=36S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 8cdot 9=36 (см. кв.)
Теперь найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника. В нашем случае треугольник равносторонний и его площадь можно вычислить по формуле:
Sосн=3⋅a24S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}
aa — сторона треугольника.
Получаем:
Sосн=3⋅a24=3⋅324≈3.9S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}=frac{sqrt{3}cdot 3^2}{4}approx3.9 (см. кв.)
Полная площадь:
S=Sбок+Sосн≈36+3.9=39.9S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}approx36+3.9=39.9 (см. кв.)
Ответ: 39.9 см. кв.
Еще один пример, немного сложнее.
Основанием пирамиды является квадрат с площадью 36 (см. кв.). Апофема многогранника в 3 раза больше стороны основания aa. Найти полную площадь поверхности данной фигуры.
Решение
Sквад=36S_{text{квад}}=36
l=3⋅al=3cdot a
Найдем сторону основания, то есть сторону квадрата. Его площадь и длина стороны связанны:
Sквад=a2S_{text{квад}}=a^2
36=a236=a^2
a=6a=6
Найдем периметр основания пирамиды (то есть, периметр квадрата):
p=a+a+a+a=4⋅a=4⋅6=24p=a+a+a+a=4cdot a=4cdot 6=24
Найдем длину апофемы:
l=3⋅a=3⋅6=18l=3cdot a=3cdot 6=18
В нашем случае:
Sквад=SоснS_{text{квад}}=S_{text{осн}}
Осталось найти только площадь боковой поверхности. По формуле:
Sбок=12⋅l⋅p=12⋅18⋅24=216S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 18cdot 24=216 (см. кв.)
Полная площадь:
S=Sбок+Sосн=216+36=252S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}=216+36=252 (см. кв.)
Ответ: 252 см. кв.
Возникают трудности с тем, чтобы найти площадь поверхности пирамиды? У нас вы можете заказать контрольную работу по геометрии!
Полная площадь боковой поверхности пирамиды состоит из суммы площадей его боковых граней.
В четырехугольной пирамиде различается два вида граней – четырехугольник в основании и треугольники с общей вершиной, которой образуют боковую поверхность.
Для начала потребуется рассчитать площадь боковых граней. Для этого можно использовать формулы площади треугольника, а можно также воспользоваться формулой площади поверхности четырехугольной пирамиды (только в случае, если многогранник правильный). Если пирамида правильная и в ней известна длина ребра a основания и проведенной к нему апофемы h, то:
Если по условиям даны длина ребра c правильной пирамиды и длина стороны основания a, то можно найти значение по следующей формуле:
Если же дана длина ребра в основании и противолежащий ей острый угол у вершины, то можно рассчитать площадь боковой поверхности по соотношению квадрата стороны a к удвоенному косинусу половины угла α:
Рассмотрим пример расчета площади поверхности четырехугольной пирамиды через боковое ребро и сторону основания.
Задача: пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Длина ребра b = 7 см, длина стороны основания a = 4 см. Подставим заданные значения в формулу:
Мы показали расчеты площади одной боковой грани для правильной пирамиды. Соответственно. Чтобы найти площадь всей поверхности необходимо умножить результат на количество граней, то есть на 4. Если пирамида произвольная и ее грани не равны между собой, то рассчитать площадь необходимо для каждой отдельной стороны. Если в основании лежит прямоугольник или параллелограмм, то стоит вспомнить их свойства. Стороны у этих фигур попарно параллельны, а соответственно грани пирамиды будут также попарно одинаковы.
Формула площади основания четырехугольной пирамиды напрямую зависит от того, какой четырехугольник лежит в основании. Если пирамида правильная, то площадь основания рассчитывается по формуле площади квадрата, если в основании лежит ромб, то потребуется вспомнить, как находится площадь ромба. Ели же в основании лежит прямоугольник, то найти его площадь будет довольно просто. Достаточно знать длины сторон основания. Рассмотрим пример расчета площади основания четырехугольной пирамиды.
Задача: Пусть дана пирамида, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами a = 3 см, b = 5 см. К каждой из сторон из вершины пирамиды опущена апофема. h-a=4 см,h-b=6 см. Вершина пирамиды лежит на одной линии с точкой пересечения диагоналей. Найдите полную площадь пирамиды.
Формула площади четырехугольной пирамиды состоит из суммы площадей всех граней и площади основания. Для начала найдем площадь основания:
Теперь рассмотрим грани пирамиды. Они попарно одинаковы, потому что высота пирамиды пересекает точку пересечения диагоналей. То есть, в нашей пирамиде есть два треугольника с основанием a и высотой h-a, а также два треугольника с основанием b и высотой h-b. Теперь найдем площадь треугольника по известной формуле: 
Теперь выполним пример расчета площади четырехугольной пирамиды. В нашей пирамиде с прямоугольником в основании, формула будет выглядеть так:
Формулы для расчета приведены под калькулятором.
Площадь четырехугольной пирамиды
Угол наклона граней в градусах (α)
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Четырехугольная пирамида
В формулах ниже будем использовать следующие обозначения:
a – длина первой стороны основания
b – длина второй стороны основания (для квадрата будет равна первой)
h – высота пирамиды
r – ребро пирамиды
d – диагональ основания
e – высота треугольника, образованного боковой гранью, т.е. высота, опущенная из вершины пирамиды на ее сторону
α – угол наклона грани пирамиды (угол между высотой треугольника боковой грани и плоскостью основания)
Во всех случаях площадь основания вычисляется тривиально – перемножением длин сторон основания. Ниже рассмотрим нахождение площадей боковых граней для разных случаев.
Площадь поверхности пирамиды через высоту
-
Находим высоту треугольника, образованного боковой гранью. Используем теорему Пифагора на прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, высотой треугольника боковой грани, и проекцией высоты треугольника на плоскость основания. Длина проекции очевидно равна половине длины противоположной стороны. Таким образом, высота треугольника, опущенная на сторону a
высота треугольника, опущенная на сторону b
-
Находим площади боковых граней, по формуле площади равнобедренного треугольника
- Общая площадь боковых граней
Площадь поверхности пирамиды через угол наклона
Расчет через один угол наклона возможен, только если в основании пирамиды лежит квадрат (иначе пришлось бы задавать два угла). Соответственно, сторона a равна стороне b, и все грани одинаковые.
-
Находим высоту треугольника, образованного боковой гранью, поделив длину проекции на плоскость основания на косинус угла наклона
-
Находим площадь боковой грани, по формуле площади равнобедренного треугольника
- Общую площадь боковых граней получаем, умножив площадь одной грани на 4.
Площадь поверхности пирамиды через длину ребра
Здесь есть ограничение: длина ребра должна быть больше чем половина диагонали основания (иначе это не пирамида)
-
Находим высоту треугольника, образованного боковой гранью. Используем теорему Пифагора на прямоугольном треугольнике, образованном ребром пирамиды, высотой треугольника боковой грани, и половиной стороны, на которую опущена высота. Таким образом, высота треугольника, опущенная на сторону a
высота треугольника, опущенная на сторону b
-
Находим площади боковых граней, по формуле площади равнобедренного треугольника
- Общая площадь боковых граней
