Как найти площадь полной поверхности цилиндра задачи

(blacktriangleright) Объем цилиндра ({Large{V=S_{text{осн}}cdot
h=pi r^2h}})

Про прямые круговые цилиндры (C_1) и (C_2) известно, что у (C_1) радиус основания в два раза больше, чем у (C_2), но у (C_2) высота в три раза больше, чем у (C_1). Найдите отношение объёма цилиндра (C_2) к объёму (C_1).

Обозначим высоту цилиндра (C_1) через (h_1), а высоту цилиндра (C_2) через (h_2). Обозначим радиус основания цилиндра (C_1) через (r_1), а радиус основания цилиндра (C_2) через (r_2). Тогда [r_1 = 2r_2,qquad h_2 = 3h_1,.]

Объём цилиндра (C_1) равен (pi {r_1}^2 h_1 = 4pi {r_2}^2 h_1), а объём цилиндра (C_2) равен (3pi {r_2}^2 h_1), тогда [dfrac{V_{C_2}}{V_{C_1}} = dfrac{3pi {r_2}^2 h_1}{4pi {r_2}^2 h_1} = 0,75]

Ответ: 0,75

Объем цилиндра равен (64pi), а площадь боковой поверхности равна (32pi). Найдите площадь полной поверхности цилиндра, деленную на (pi).

Формулы для нахождения объема и боковой поверхности цилиндра: (V = pi R^2 h), (S_{text{бок}} = 2pi R h). Зная величину объема и боковой поверхности, можно выразить радиус цилиндра: [frac{V}{S_{text{бок}}} = frac{pi R^2 h}{2pi R h} = frac{R}{2} = frac{64pi}{32pi} = 2] (Rightarrow) (R = 4). Площадь полной поверхности складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований: [S_{text{полн}} = 2pi R h + 2 pi R^2 = 32pi + 2 cdot 16pi = 64pi.] Осталось разделить полученный объем на (pi), тогда окончательно получаем (64).

Ответ: 64

Объем цилиндра равен (100pi), а площадь боковой поверхности равна (25pi). Найдите высоту цилиндра.

Формулы для нахождения объема и боковой поверхности цилиндра: (V = pi R^2 h), (S_{text{бок}} = 2pi R h). Зная величину объема и боковой поверхности, можно выразить радиус цилиндра: [frac{V}{S_{text{бок}}} = frac{pi R^2 h}{2pi R h} = frac{R}{2} = frac{100pi}{25pi} = 4] (Rightarrow) (R = 8). Подставим значение радиуса в формулу объема и найдем из этой формулы искомую высоту: [V = pi R^2 h = 64pi h = 100pi] (Rightarrow) (displaystyle h = frac{100}{64} = 1,5625).

Ответ: 1,5625

Объём цилиндра [V = dfrac{200}{sqrt{pi}},] а отношение радиуса его основания к его высоте равно (5). Найдите площадь полной поверхности этого цилиндра.

[V_{text{цил}} = pi R^2 H = dfrac{200}{sqrt{pi}},] (dfrac{R}{H} = 5), где (R) – радиус основания цилиндра, (H) – его высота, тогда (R = 5H), следовательно, [pi cdot 25 H^3 = dfrac{200}{sqrt{pi}}qquadRightarrowqquad H^3 = dfrac{8}{pisqrt{pi}},] откуда (H = dfrac{2}{sqrt{pi}}), (R = dfrac{10}{sqrt{pi}}). [S_{text{полн}} = 2pi R H + pi R^2 = 2pi R(H + R) = 2picdotdfrac{10}{sqrt{pi}}cdotdfrac{12}{sqrt{pi}} = 240.]

Ответ: 240

(AD) – ось цилиндра, (BC) – его образующая, (S_{ABCD} = dfrac{16sqrt{3}}{sqrt[3]{pi^2}}), (angle CAD = 60^circ). Найдите объём цилиндра.

Так как (AD) и (BC) – высоты цилиндра, то (ABCD) – прямоугольник, тогда [S_{ABCD} = ADcdot DC = Hcdot R = dfrac{16sqrt{3}}{sqrt[3]{pi^2}}.]

Рассмотрим прямоугольный треугольник (ADC):
Т.к. (angle DAC = 60^circ), то [AD = mathrm{tg}, angle ACDcdot DC = mathrm{tg}, 30^circcdot R = dfrac{R}{sqrt{3}},] т.е. (H = dfrac{R}{sqrt{3}}) или (R = sqrt{3}H).

Подставляя выражение для (R) в (S_{ABCD}), получим: [H^2cdotsqrt{3} = dfrac{16sqrt{3}}{sqrt[3]{pi^2}},] откуда (H = dfrac{4}{sqrt[3]{pi}}), тогда (R = dfrac{4sqrt{3}}{sqrt[3]{pi}}).

[V_{text{цил}} = pi R^2 H = picdot dfrac{16cdot 3}{sqrt[3]{pi^2}}cdotdfrac{4}{sqrt[3]{pi}} = 192.]

Ответ: 192