В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.
Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.
-
Формула площади правильной пирамиды
- 1. Общая формула
-
2. Площадь правильной треугольной пирамиды
- 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды
Формула площади правильной пирамиды
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.
Sполн. = Sбок. + Sосн.
Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.
Площадь треугольника вычисляется по формулам:
1. Через длину основания (a) и высоту (h):
2. Через основание (a) и боковую сторону (b):
Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.
2. Площадь правильной треугольной пирамиды
Основание: равносторонний треугольник.
L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.
3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
Основание: квадрат.
| Площадь | Формула |
| основание | Sосн. = a2 |
| боковая поверхность | Sбок. = 2aL |
 |
|
| полная | Sполн. = a2 + 2aL |
 |
microexcel.ru
4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды
Основание: правильный шестиугольник
Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его являются треугольниками.
Онлайн-калькулятор площади поверхности пирамиды
Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.
У нее, как и у других многогранников, есть ребра. Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.
Виды пирамид
Существуют 3 вида пирамид:
- Прямоугольная — та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
- Правильная — у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
- Тетраэдр — пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.
Формула площади поверхности пирамиды
Для нахождения полной площади поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.
Самой простой является случай правильной пирамиды, поэтому нею мы и займемся. Вычислим полную площадь поверхности такой пирамиды. Площадь боковой поверхности равна:
Sбок=12⋅l⋅pS_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p
ll — апофема пирамиды;
pp — периметр основания пирамиды.
Полная площадь поверхности пирамиды:
S=Sбок+SоснS=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}
SбокS_{text{бок}} — площадь боковой поверхности пирамиды;
SоснS_{text{осн}} — площадь основания пирамиды.
Пример решения задачи.
Найти полную площадь треугольной пирамиды, если её апофема равна 8 (см.), а в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 3 (см.)
Решение
l=8l=8
a=3a=3
Найдем периметр основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной aa, то его периметр pp (сумма всех его сторон):
p=a+a+a=3⋅a=3⋅3=9p=a+a+a=3cdot a=3cdot 3=9
Тогда боковая площадь пирамиды:
Sбок=12⋅l⋅p=12⋅8⋅9=36S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 8cdot 9=36 (см. кв.)
Теперь найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника. В нашем случае треугольник равносторонний и его площадь можно вычислить по формуле:
Sосн=3⋅a24S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}
aa — сторона треугольника.
Получаем:
Sосн=3⋅a24=3⋅324≈3.9S_{text{осн}}=frac{sqrt{3}cdot a^2}{4}=frac{sqrt{3}cdot 3^2}{4}approx3.9 (см. кв.)
Полная площадь:
S=Sбок+Sосн≈36+3.9=39.9S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}approx36+3.9=39.9 (см. кв.)
Ответ: 39.9 см. кв.
Еще один пример, немного сложнее.
Основанием пирамиды является квадрат с площадью 36 (см. кв.). Апофема многогранника в 3 раза больше стороны основания aa. Найти полную площадь поверхности данной фигуры.
Решение
Sквад=36S_{text{квад}}=36
l=3⋅al=3cdot a
Найдем сторону основания, то есть сторону квадрата. Его площадь и длина стороны связанны:
Sквад=a2S_{text{квад}}=a^2
36=a236=a^2
a=6a=6
Найдем периметр основания пирамиды (то есть, периметр квадрата):
p=a+a+a+a=4⋅a=4⋅6=24p=a+a+a+a=4cdot a=4cdot 6=24
Найдем длину апофемы:
l=3⋅a=3⋅6=18l=3cdot a=3cdot 6=18
В нашем случае:
Sквад=SоснS_{text{квад}}=S_{text{осн}}
Осталось найти только площадь боковой поверхности. По формуле:
Sбок=12⋅l⋅p=12⋅18⋅24=216S_{text{бок}}=frac{1}{2}cdot lcdot p=frac{1}{2}cdot 18cdot 24=216 (см. кв.)
Полная площадь:
S=Sбок+Sосн=216+36=252S=S_{text{бок}}+S_{text{осн}}=216+36=252 (см. кв.)
Ответ: 252 см. кв.
Возникают трудности с тем, чтобы найти площадь поверхности пирамиды? У нас вы можете заказать контрольную работу по геометрии!
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Площадь поверхности любой пирамиды равна сумме площади основания и площадей боковых граней. Если дана правильная пирамида, площадь ее поверхности вычисляется с помощью формулы, но нужно знать, как найти площадь основания пирамиды. Так как в основании пирамиды может лежать любой многоугольник, нужно уметь находить площади многоугольников, включая пяти- и шестиугольники. Площадь поверхности правильной квадратной пирамиды очень легко найти, если известны сторона квадрата (который лежит в основании) и апофема пирамиды.
-
1
-
2
В формулу подставьте значение периметра. Если периметр не дан, но известна сторона основания, периметр вычисляется умножением значения стороны на число сторон основания.
-
3
В формулу подставьте значение апофемы. Не перепутайте апофему с высотой. В задаче должна быть дана апофема; в противном случае воспользуйтесь другим методом.
- Например, апофема шестиугольной пирамиды равна 12 см. Формула запишется так: .
- Например, апофема шестиугольной пирамиды равна 12 см. Формула запишется так:
-
4
Вычислите площадь основания. Формула для вычисления площади основания зависит от фигуры, лежащей в основании. Чтобы узнать, как находить площади правильных многоугольников, прочитайте эту статью.
-
5
В формулу подставьте площадь основания. Найденное значение площади основания подставьте вместо
.
- В нашем примере площадь шестиугольного основания равна 41,57 квадратных сантиметров, поэтому формула запишется так:
- В нашем примере площадь шестиугольного основания равна 41,57 квадратных сантиметров, поэтому формула запишется так:
-
6
Перемножьте периметр основания и апофему. Полученный результат разделите на два. Вы найдете площадь боковой поверхности пирамиды.
-
7
Сложите два значения. Сумма площади боковой поверхности и площадь основания есть площадь поверхности пирамиды (в квадратных единицах).
Реклама
-
1
-
2
-
3
Возведите в квадрат сторону основания. Вы найдете площадь основания.
-
4
Перемножьте сторону основания и апофему. Результат разделите на 2, а затем умножьте на 4. Вы найдете площадь боковой поверхности пирамиды.
-
5
Сложите площадь основания и площадь боковой поверхности. Вы найдете площадь поверхности пирамиды (в квадратных единицах).
Реклама
Что вам понадобится
- Карандаш
- Бумага
- Калькулятор (по желанию)
- Линейка (по желанию)
Похожие статьи
Об этой статье
Эту страницу просматривали 112 740 раз.
Была ли эта статья полезной?
A pyramid is defined as a three-dimensional polyhedron with three or more triangle-shaped faces that meet above the base and a polygonal base. The triangle sides are the faces, while the apex is the point above the base. To construct a pyramid, the base is connected to the summit. The pyramid is known as a square pyramid when its base is square. A square pyramid has three triangular sides and a square base. In other terms, it has 8 edges, 5 vertices, and 4 faces.
Total Surface Area Formula of Square Pyramid
A square pyramid’s total surface area is equal to the total area covered by the four triangular sides and a square base. Its formula is equal to the sum of the base area and twice the product of base length and slant height.
TSA = a2 + 2al
where,
- TSA is the total surface area,
- a is the base length,
- l is the slant height.
In terms of the base length and height of the pyramid, the formula is expressed as:
TSA = a2 + 2a √(a2/4 + h2)
where,
- TSA is the total surface area,
- a is the base length,
- h is the height or altitude.
Lateral Surface Area Formula of Square Pyramid
A square pyramid’s lateral surface area is defined as the area covered by its four triangular faces. Its formula is equal to twice the product of base length and slant height. It can be interpreted as the total surface area reduced by the base area of a square pyramid.
LSA = 2al
where,
- LSA is the lateral surface area,
- a is the base length,
- l is the slant height.
In terms of the base length and height of the pyramid, the formula is expressed as:
LSA = 2a √(a2/4 + h2)
where,
- LSA is the lateral surface area,
- a is the base length,
- h is the height or altitude.
Sample Problems
Problem 1: Calculate the total surface area of a square pyramid if its base is 10 cm and its slant height is 13 cm.
Solution:
We have,
a = 10
l = 13
Using the formula we have,
TSA = a2 + 2al
= (10 × 10) + (2 × 10 × 13)
= 100 + 260
= 360 sq. cm
Problem 2: Calculate the total surface area of a square pyramid if its base is 6 cm and its slant height is 8.54 cm.
Solution:
We have,
a = 6
l = 8.54
Using the formula we have,
TSA = a2 + 2al
= (6 × 6) + (2 × 6 × 8.54)
= 36 + 102.53
= 138.53 sq. cm
Problem 3: Calculate the total surface area of a square pyramid if its base is 11 cm and height is 9 cm.
Solution:
We have,
a = 11
h = 9
Using the formula we have,
TSA = a2 + 2a√(a2/4 + h2)
= (11 × 11) + (2 × 11 √(112/4 + 92))
= 121 + 232.05
= 353.05 sq. cm
Problem 4: Calculate the total surface area of a square pyramid if its base is 14 cm and height is 10 cm.
Solution:
We have,
a = 14
h = 10
Using the formula we have,
TSA = a2 + 2a√(a2/4 + h2)
= (14 × 14) + (2 × 14 √(142/4 + 102))
= 196 + 341.8
= 537.8 sq. cm
Problem 5: Calculate the lateral surface area of a square pyramid if its base is 3 cm and slant height is 4.27 cm.
Solution:
We have,
a = 3
l = 4.27
Using the formula we have,
LSA = 2al
= 2 × 13 × 4.27
= 25.63 sq. cm
Problem 6: Calculate the lateral surface area of a square pyramid if its base is 13 cm and height is 10 cm.
Solution:
We have,
a = 13
h = 10
Using the formula we have,
LSA = 2a√(a2/4 + h2)
= 2 × 13 √(132/4 + 102)
= 310.1 sq. cm
Problem 7: Calculate the lateral surface area of a square pyramid if its base is 9 cm and height is 14 cm.
Solution:
We have,
a = 9
h = 14
Using the formula we have,
LSA = 2a√(a2/4 + h2)
= 2 × 9 √(92/4 + 142)
= 264.7 sq. cm
FAQs on Square Pyramid
Question 1: What is meant by a square pyramid?
Answer:
A square pyramid is a three-dimensional geometric figure with a square base and four triangular faces that meet at the point above the base called the apex.
Question 2: What is the lateral surface area of a square pyramid?
Answer:
The lateral surface area of a square pyramid is defined as the area covered by its four triangular faces. Its formula is equal to twice the product of base length and slant height.
Question 3: What is the formula to find the total surface area of a square pyramid?
Answer:
The formula to find the total surface area of a square pyramid is given as follows:
TSA = a2 + 2al
where TSA is the total surface area,
a is the base length, and
l is the slant height.
Question 4: What is the formula to find the lateral surface area of a square pyramid?
Answer:
The lateral surface area of a square pyramid can be interpreted as the total surface area reduced by the base area of a square pyramid. Now, the formula to find the lateral surface area of a square pyramid is given as follows:
LSA = 2al
where LSA is the lateral surface area,
a is the base length, and
l is the slant height.
Question 5: What is the formula to find the lateral surface area of a square pyramid in terms of the height of the pyramid?
Answer:
The formula to determine the lateral surface area of a square pyramid in terms of the height of the pyramid is given as follows:
LSA = 2a√(a2/4 + h2)
where LSA is the lateral surface area,
a is the base length, and
h is the height or altitude.
Last Updated :
02 Nov, 2022
Like Article
Save Article
Как найти площадь поверхности пирамиды
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.
Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.
Боковая поверхность через периметр и апофему
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему:
p – периметр основания пирамиды; l – апофема пирамиды.
Боковая поверхность через высоту и сторону основания
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:
a – сторона основания; h – высота пирамиды; n – число сторон в основании.
Полная поверхность через высоту и сторону основания
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:
a – сторона основания; h – высота пирамиды; n – число сторон в основании.
Полная площадь тетраэдра
Формула полной площадь тетраэдра:
a – сторона основания.
