Как найти площадь поршня если известна сила

Задача 1. Диаметр одного цилиндрического ведра в 1,2 раза больше, чем другого. В оба ведра налили по 5 л воды. В каком ведре давление на дно больше и во сколько раз?

Дано:
(d_1=1,2=d_2)
(V=5 text{л})
__________________
(frac{p_2}{p_1}-?)

Площадь дна каждого из ведер $$ S_1=frac{pi d^2_1}{4}, S_2=frac{pi d^2_2}{4} $$ Найдем высоту столба воды в каждом из ведер $$ V=ShRightarrow h_1=frac{V}{S_1}=frac{4V}{pi d^2_1}, h_2=frac{4V}{pi d^2_2} $$ Давление на дно в каждом из ведер $$ p_1rho gh_1=rho gcdotfrac{4V}{pi d^2_1}, p_2rho gh_2=rho gcdotfrac{4V}{pi d^2_2} $$ Отношение давлений $$ frac{p_2}{p_1}=frac{rho gcdot frac{4V}{pi d^2_2}}{rho gcdot frac{4V}{pi d^2_1}}=frac{d^2_1}{d^2_2}=left(frac{d_1}{d_2}right)^2 $$ Давление больше в узком ведре.
Отношение давлений равно отношению квадратов диаметров. $$ frac{p_2}{p_1}=1,2^2=1,44 $$ Ответ: больше в узком ведре; в 1,44 раза

Задача 2. Горизонтально расположенная труба заполнена водой и имеет два поршня. Площади поршней (S_1=10 text{см}^2, S_2=1 text{дм}^2). На поршень (B) действует сила (10 text{кН}). С какой силой нужно действовать на поршень (A), чтобы уравновесить силу, действующую на поршень (B)?

Дано:
(S_1=10 text{см}^2=0,001 text{м}^2)
(S_2=1 text{дм}^2=0,01 text{м}^2)
(F_2=10 text{кН}=10^4 text{Н})
__________________
(F_1-?)

При действии силы (F_2) на поршень (B) в воде возникает давление $$ p=frac{F_2}{S_2}. $$ По закону Паскаля давление передается во все стороны, и у поршня (A) получаем $$ p=frac{F_1}{S_1}. $$ Для уравновешивающей силы $$ frac{F_1}{S_1}=frac{F_2}{S_2}Rightarrow F-1=F_2frac{S_1}{S_2} $$ Подставляем $$ F_1=10^4cdot frac{0,001}{0,01}=10^3 (text{Н})=1 (text{кН}) $$ Ответ: 1 кН

Задача 3. U-образную трубку частично заполнили водой. В левое колено долили слой керосина высотой 25 см. В каком колене установился уровень выше? Найдите перепад высот (h) между уровнями поверхности воды в правом колене и уровнем керосина в левом колене. Ответ запишите в сантиметрах.

Дано:
(h_2=25 text{см}=0,25 text{м})
(rho_1=1000 text{кг/м}^3)
(rho_2=800 text{кг/м}^3)
__________________
(h-?)

На уровне под слоем керосина в обоих коленах трубки находится вода, а значит, давления на этом уровне по закону Паскаля одинаковы в обоих коленах. Можем записать $$ rho_2gh_2=rho_1gh_1Rightarrow h_1=frac{rho_2}{rho_1}h_2 $$ Поскольку плотность керосина меньше, уровень в левом колене с керосином выше.
Разность уровней begin{gather*} h=h_2-h_1=h_2-frac{rho_2}{rho_1}h_2\[7pt] h=left(1-frac{rho_2}{rho_1}right)h_2 end{gather*} Получаем: $$ h=left(1-frac{800}{1000}right)cdot 0,25=0,05 (text{м})=5 (text{см}) $$ Ответ: в левом колене с керосином; 5 см

Задача 4*. На дно мензурки налита ртуть и в нее опущен конец стеклянной трубки, запаянной сверху. Поверх ртути в мензурку налили слой воды высотой 25 см.
На какую высоту поднимется ртуть в стеклянной трубке?
Примите для расчетов (p_text{атм}=1,013cdot 10^5 text{Па}, g=9,8 text{м/с}^2)
Ответ укажите в миллиметрах.

На какую высоту поднимется ртуть при тех же условиях, если трубка не запаяна сверху?

Дано:
(rho_1=1000 text{кг/м}^3)
(rho_2=13600 text{кг/м}^3)
(h_1=25 text{см}=0,25 text{м})
(gapprox 9,8 text{м/с}^2)
(p_text{атм}=1,013cdot 10^5 text{Па})
__________________
(h_2-?, h’_2-?)

Рассмотрим запаянную трубку. На поверхность ртути, в которую опущен конец трубки, оказывают давление столб воды и атмосфера: $$ p=p_1+p_text{атм}=rho_1gh_1+p_text{атм} $$ Под действием этого давления ртуть в запаянной трубке поднимется на высоту $$ h_2=frac{p}{rho_2g}=frac{rho_1gh_1+p_text{атм}}{rho_2g} $$ Получаем $$ h_2=frac{1000cdot 9,8cdot 0,25+1,013cdot 10^5}{13600cdot 9,8}approx 0,778 (text{м})=778 (text{мм}) $$ Если трубка будет не запаяна, то при подъеме в ней ртути на нее сверху будет действовать атмосферное давление. Высота подъема begin{gather*} h’_2=frac{p-p_text{атм}}{rho_2g}=frac{rho_1gh_1}{rho_2g}=frac{rho_1}{rho_2}h_1\[7pt] h’_2=frac{1000}{13600}cdot 0,25approx 0,018 (text{м})=18 (text{мм}) end{gather*} Ответ: 778 мм; 18 мм

Примечание: заметим, что разность (h_text{атм}=778-18 = 760 text{мм}) – это нормальное атмосферное давление, измеренное в «миллиметрах ртутного столба» (см. §31 данного справочника). Поэтому (h_2=h’_2+h_text{атм}).

Задача 5. Малый поршень гидравлического пресса под действием силы 500 Н опустился на 9 см. При этом большой поршень поднялся на 3 см.
Какая сила действует на большой поршень со стороны жидкости?

Дано:
(F_1=500 text{Н})
(h_1=9 text{см}=0,09 text{м})
(h_2=3 text{см}=0,03 text{м})
__________________
(F_2-?)

Объем воды, вытесняемый при движении малого поршня вниз: (V=h_1S_1).
Жидкости практически несжимаемы, поэтому этот объем должен «прирасти» в цилиндре большого поршня за счет его движения вверх: (V=h_2S_2).
Получаем для выигрыша в силе: $$ h_1S_1=h_2S_2Rightarrow frac{S_2}{S_1}=frac{h_1}{h_2} $$ Выигрыш в силе равен отношению длин хода малого и большого поршней.
Выигрывая в силе, мы проигрываем в расстоянии.
Сила, действующая на большой поршень: $$ F_2=F_1frac{S_2}{S_1}=F_1frac{h_1}{h_2} $$ Подставляем: $$ F_2=500cdot frac{0,09}{0,03}=1500 (text{Н})=1,5 (text{кН}) $$ Ответ: 1,5 кН

Задача 6. Малый поршень гидравлического пресса площадью 1 м² под действием силы 2 кН опустился на 24 см. Площадь большего поршня 8 м². Найдите вес груза, который был поднят большим поршнем и высоту, на которую он был поднят.

Дано:
(S_1=1 text{м}^2)
(F_1=2000 text{Н})
(h_1=24 text{см}=0,24 text{м})
(S_2=8 text{м}^2)
__________________
(P-?, h_2-?)

Вес груза, который можно поднять с помощью пресса, равен силе (F_2), которая действует на большой поршень: $$ P=F_2=F_1frac{S_2}{S_1} $$ Получаем $$ P=2000cdot frac 81=16000 (text{Н})=16 (text{кН}) $$ Объем воды, вытесняемый при движении малого поршня вниз: (V=h_1S_1).
Жидкости практически несжимаемы, поэтому этот объем должен «прирасти» в цилиндре большого поршня за счет его движения вверх: (V=h_2S_2).
Следовательно $$ h_1S_1=h_2S_2Rightarrow h_2=h_1frac{S_1}{S_2} $$ Получаем begin{gather*} h_2=0,24cdot frac 81=0,03 (text{м})=3 (text{см}) end{gather*} Ответ: 16 кН; 3 см

Задача 7*. На дне аквариума лежал камень массой 390 г, полностью погруженный в воду. Когда его убрали, давление воды на дно аквариума уменьшилось на 25 Па. Найдите плотность камня, если длина аквариума 40 см, а ширина 14 см. ((g=9,8 text{м/с}^2)).

Дано:
(m=390 text{г}=0,39 text{кг})
(Delta p=25 text{Па})
(a=40 text{см}=0,4 text{м})
(b=14 text{см}=0,14 text{м})
(rho_0=1000 text{кг/м}^3)
(g=9,8 text{м/с}^2)
__________________
(rho-?)

Лежа на дне, камень занимал в аквариуме некий объем $$ V_text{к}=frac{m}{rho} $$ Остальной объем занимала вода. Их суммарный объем $$ V=V_text{в}+V_text{к}=Sh=abh $$ Высота слоя воды в аквариуме с камнем $$ h_1=frac{V_text{в}+V_text{к}}{ab} $$ Давление воды на дно в аквариуме с камнем begin{gather*} p_1=rho_0gh_1= rho_0gfrac{V_text{в}+V_text{к}}{ab} end{gather*} Когда камень забрали, в аквариуме осталась только вода объемом (V_text{в}).
Высота слоя воды в аквариуме без камня $$ h_2=frac{V_text{в}}{ab} $$ Давление воды на дно в аквариуме без камня $$ p_2=rho_0gh_2=rho_0gfrac{V_text{в}}{ab} $$ Разность давлений $$ Delta p=p_1-p_2=rho_0 gfrac{V_text{в}+V_text{к}}{ab}-rho_0gfrac{V_text{в}}{ab}=rho_0gfrac{V_text{к}}{ab}=frac{rho_0g}{ab}cdot frac{m}{rho} $$ Откуда плотность камня $$ rho=frac{rho_0g}{ab}cdot frac{m}{Delta p} $$ Подставляем $$ rho=frac{1000cdot 9,8}{0,4cdot 0,14}cdotfrac{0,39}{25}=2730 (text{кг/м}^3) $$ Ответ: 2730 кг/м³