Как найти площадь поверхности параллелепипеда задачи

Как найти площадь поверхности параллелепипеда задачи

Всего: 20    1–20

Добавить в вариант

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его площадь поверхности.

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Объем первого куба в 8 раз больше объема второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2 и 7. Найдите его площадь поверхности.

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 5 и 7. Найдите его площадь поверхности.

Площадь поверхности куба равна 864. Найдите его объем.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 12. Диагональ параллелепипеда равна 18. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 4. Объем параллелепипеда равен 140. Найдите площадь его поверхности.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 8 и 5. Объем параллелепипеда равен 280. Найдите площадь его поверхности.

Объем одного куба в 729 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объем одного куба в 125 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Всего: 20    1–20

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.

  • Формула вычисления площади

  • Пример задачи

Формула вычисления площади

Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:

S = 2 (ab + bc + ac)

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Формула получена следующим образом:

  1. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
    • два основания: со сторонами a и b;
    • четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
  2. Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).

Пример задачи

Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.

Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см2.

Источник

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}

Прямоугольный параллелепипед

Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда необходимо знать длины трех его ребер. Для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используется формула, в которой сумма попарных произведений ребер параллелепипеда умножается на 2. По другому формулу можно трактовать как произведение площадей трех граней параллелепипеда (так как произведение ребер – это площадь грани). Кроме того на странице вы найдете калькулятор, с помощью которого в режиме онлайн можно найти площадь полной и боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.

В дополнение на сайте можно найти объем параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.

Ребро — сторона прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина и высота – это ребра прямоугольного параллелепипеда.

Содержание:
  1. калькулятор площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
  2. формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
  3. формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
  4. примеры задач

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}

a – длина прямоугольного параллелепипеда

b – ширина прямоугольного параллелепипеда

c – высота прямоугольного параллелепипеда

Формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

{S_{бок} = 2(ac+bc)}

a – длина прямоугольного параллелепипеда

b – ширина прямоугольного параллелепипеда

c – высота прямоугольного параллелепипеда

Примеры задач на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

Задача 1

Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 2 4 и 5.

Решение

Для нахождения площади поверхности воспользуемся первой формулой. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты параллелепипеда и произведем вычисления.

S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(2 cdot 4 + 4 cdot 5 + 2 cdot 5) = 2(8 + 20 + 10) = 2(38) = 76 : см^2

Ответ: 76 см²

Проверим ответ с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3см 5см и 6см.

Решение

Задача аналогична предыдущей, поэтому повторим действия, подставив новые значения измерений параллелепипеда.

S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(3 cdot 5 + 5 cdot 6 + 3 cdot 6) = 2(15 + 30 + 18) = 2(63) = 126 : см^2

Ответ: 126 см²

Для проверки ответа используем калькулятор .

Задача 3

Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 9м 24м 11м.

Решение

Еще одна типовая задача. Для ее решения также воспользуемся первой формулой.

S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(9 cdot 24 + 24 cdot 11 + 9 cdot 11) = 2(216 + 264 + 99) = 2(579) = 1158 : см^2

Ответ: 1158 см²

Проверка .

Задача 4

Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда у которого a=4см, b=5см, c=7см.

Решение

В этой задаче нам необхожимо найти площадь боковой поверхности. Поэтому мы будем использовать для ее решения вторую формулу.

S_{бок} = 2(ac+bc) = 2(4 cdot 7 + 5 cdot 7) = 2(28 + 35) = 2(63) = 126 : см^2

Ответ: 126 см²

Как всегда ответ можно проверить с помощью калькулятора .

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед»

(blacktriangleright) Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Другими словами, это прямая призма, основания которой – прямоугольники.
(эти определения эквивалентны).

Тогда:

1) противоположные грани равны между собой;

2) боковые ребра перпендикулярны основаниям, то есть являются высотами;

3) как следствие, формула для объема принимает вид: ({Large{V=abc}}), где (a, b, c) – три различных боковых ребра.

(blacktriangleright) Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины.

1) Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

2) Диагональ (d) можно найти по формуле: ({Large{d^{,2}=a^2+b^2+c^2}}).


Задание
1

#2863

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны (4) и (5), а боковое ребро равно (3). Найдите наибольшую площадь его грани.

Заметим, что все варианты для площадей его граней – это всевозможные попарные произведения чисел (3,4,5), то есть (3cdot
4), (4cdot 5) или (3cdot 5). Среди этих произведений наибольшим является (4cdot 5=20).

Ответ: 20


Задание
2

#2864

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны (185), (185) и (37); а ребра другого равны (185, 37) и (37). Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?

Отношение их объемов равно: [dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{185cdot 185cdot 37}{185cdot 37cdot 37}=
dfrac{185}{37}=5.]

Ответ: 5


Задание
3

#2865

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны (a, b) и (b), а ребра другого равны (a, a) и (b). На сколько площадь полной поверхности первого параллелепипеда больше, чем площадь поверхности второго параллелепипеда, если (a=1000, b=1001).

Площадь полной поверхности первого параллелепипеда [S_1=2(ab+b^2+ab)] Площадь полной поверхности второго параллелепипеда [S_2=2(ab+ab+a^2)] Следовательно, [S_1-S_2=2(b^2-a^2)=2(b-a)(b+a)=2(1001-1000)(1001+1000)=4002.]

Ответ: 4002


Задание
4

#3974

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед (ABCDA_1B_1C_1D_1). Во сколько раз объем пирамиды (AA_1BD) меньше объема этого параллелепипеда?

Пусть (AB=x), (AD=y), (AA_1=z). Тогда объем параллелепипеда равен [V_{par}=S_{ABCD}cdot AA_1=xycdot z.] Так как (S_{ABD}=0,5S_{ABCD}) (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании лежит прямоугольник), то объем пирамиды [V_{pir}=dfrac13cdot S_{ABC}cdot AA_1=
dfrac13cdot dfrac12xycdot z=dfrac16xyz.] Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ:

6


Задание
5

#2867

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани (AA_1D_1D) равна (5), а (AB=2sqrt6). Найдите диагональ параллелепипеда.

Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе диагонали равны. Следовательно, (A_1D=AD_1). Рассмотрим диагональ (A_1D) и диагональ параллелепипеда (B_1D). Треугольник (A_1B_1D) прямоугольный, так как ребро (A_1B_1) перпендикулярно грани (AA_1D_1D) (по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза [B_1D=sqrt{A_1B_1^2+A_1D^2}=sqrt{5^2+(2sqrt6)^2}=7.]

Ответ: 7


Задание
6

#2641

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами (2, 3) и (6). Найдите его диагональ.

Пусть (AB=2, AD=3 , AA_1=6).

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника (ABD) ((angle
A=90^circ)) имеем: (BD^2=AB^2+AD^2).

Из прямоугольного треугольника (BB_1D) ((angle B=90^circ)) по теореме Пифагора (B_1D^2=BD^2+BB_1^2).

Подставляя (BD^2) из первого равенства во второе, получим:

[B_1D^2=AB^2+AD^2+BB_1^2=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49 quad Leftrightarrow quad B_1D=7.]

Ответ: 7


Задание
7

#2689

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите объём фигуры, получившейся после удаления маленького прямоугольного параллелепипеда из большого.

Объём оставшейся фигуры равен разности объёмов большого прямоугольного параллелепипеда (каким он был до удаления) и маленького (удалённого).

Таким образом, искомый объём равен [0,8cdot 1cdot 1,2 – 0,3cdot 0,5cdot 0,55 = 0,8775,.]

Ответ: 0,8775

Учащимся старших классов будет полезно научиться решать задачи ЕГЭ на нахождение объема и других неизвестных параметров прямоугольного параллелепипеда. Опыт предыдущих лет подтверждает тот факт, что подобные задания являются для многих выпускников достаточно сложными.

При этом понимать, как найти объем или площадь прямоугольного параллелепипеда, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена по математике.

Основные нюансы, которые стоит запомнить

  • Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, являются его гранями, их стороны — ребрами. Вершины этих фигур считаются вершинами самого многогранника.
  • Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как это прямой многогранник, то боковые грани представляют собой прямоугольники.
  • Так как параллелепипед — это призма, в основании которой находится параллелограмм, эта фигура обладает всеми свойствами призмы.
  • Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию. Следовательно, они являются его высотами.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе со «Школково»!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь вы найдете весь необходимый материал, который потребуется на этапе подготовки к единому государственному экзамену.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня. Вы можете потренироваться, например, с решением задач на тему “Призма”.

Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Вы также можете сразу приступить к решению задач по теме «Прямоугольный параллелепипед» в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений разной степени сложности. База заданий регулярно пополняется.

Проверьте, легко ли вы сможете найти объем прямоугольного параллелепипеда, прямо сейчас. Разберите любое задание. Если упражнение дается вам легко, переходите к более сложным задачам. А если возникли определенные сложности, рекомендуем вам планировать свой день таким образом, чтобы ваше расписание включало занятия с дистанционным порталом «Школково».

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

                  
Решение задач на тему «Прямоугольный параллелепипед»

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=759

Задача 1.Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да,
вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 3 и 4. Пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равна 94. Най­ди­те тре­тье ребро, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны. 

По­яс­не­ние.

Обо­зна­чим
из­вест­ные ребра за http://reshuege.ru/formula/19/19034064db55a4b3099824e4b3234f03.png и http://reshuege.ru/formula/44/4439b9a985b5783868743ea79e4f6d10.png, а не­из­вест­ное
за http://reshuege.ru/formula/1f/1fddb94489a68066feaa03abac6eb4cb.png. Пло­щадь
по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как http://reshuege.ru/formula/6e/6e89e5f6c569730eefd6f204468ab82a.png. Вы­ра­зим http://reshuege.ru/formula/1f/1fddb94489a68066feaa03abac6eb4cb.png: http://reshuege.ru/formula/f1/f101492b80447fc1a0fd73b3b743d54a.png, от­ку­да
не­из­вест­ное ребро

http://reshuege.ru/formula/c7/c73da39df5ea5585245ca44b30cf80c3.png.

Ответ: 5.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=764

Задача 2. Два
ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны,
равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те
его диа­го­наль. 

По­яс­не­ние.

Пусть длина тре­тье­го ребра, ис­хо­дя­ще­го
из той же вер­ши­ны, равна http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png,
тогда пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да даётся фор­му­лой http://reshuege.ru/formula/b9/b9c142d7b2d521f2e276622648e9740f.png. По
усло­вию пло­щадь по­верх­но­сти равна 16, тогда http://reshuege.ru/formula/32/32ffb9a47b836b1ea4b89ad6d8a203cb.png от­ку­да http://reshuege.ru/formula/54/54d244f1d0fd2eaa82a2f1c074d2f6da.png

Длина диа­го­на­ли пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равна квад­рат­но­му корню из суммы квад­ра­тов его из­ме­ре­ний, по­это­му http://reshuege.ru/formula/e5/e577ee7226e6f1db1abe5d47663cd173.png.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние
о том, как не надо ре­шать эту за­да­чу.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за http://reshuege.ru/formula/19/19034064db55a4b3099824e4b3234f03.png и http://reshuege.ru/formula/44/4439b9a985b5783868743ea79e4f6d10.png, а не­из­вест­ное
за http://reshuege.ru/formula/1f/1fddb94489a68066feaa03abac6eb4cb.png. Пло­щадь
по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как http://reshuege.ru/formula/6e/6e89e5f6c569730eefd6f204468ab82a.png. Вы­ра­зим http://reshuege.ru/formula/1f/1fddb94489a68066feaa03abac6eb4cb.png:

http://reshuege.ru/formula/f1/f101492b80447fc1a0fd73b3b743d54a.png,

от­ку­да не­из­вест­ное ребро

http://reshuege.ru/formula/6e/6efa78de9a426dd4a6837be7d78f5c96.png,

Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­хо­дит­ся
как

http://reshuege.ru/formula/ee/ee8bac2fcc96338c10de6abe74b4d345.png.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=772Ответ: 3.


Задача3.Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед
опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти. 

По­яс­не­ние.

Вы­со­та и сто­ро­на та­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равны диа­мет­ру сферы, то есть это куб со сто­ро­ной 2. Пло­щадь по­верх­но­сти
куба со сто­ро­ной http://reshuege.ru/formula/83/83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png:

http://reshuege.ru/formula/6e/6eb63858b2b443af383e1d092eacdaea.png

Ответ: 24.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=781

Задача 4. Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно
4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен http://reshuege.ru/formula/b8/b87c138964cee630fa6b15a51bee8ef3.png, где http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png – пло­щадь грани, а http://reshuege.ru/formula/25/2510c39011c5be704182423e3a695e91.png — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к
ней ребра. Имеем

http://reshuege.ru/formula/ff/ffb4f1cd06a9177330df540afe84089d.png.

Ответ: 48.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=782

Задача 5.Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да,
пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру. 

По­яс­не­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен http://reshuege.ru/formula/b8/b87c138964cee630fa6b15a51bee8ef3.png, где http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png – пло­щадь грани, а http://reshuege.ru/formula/25/2510c39011c5be704182423e3a695e91.png – вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к
ней ребра. Тогда пло­щадь грани

http://reshuege.ru/formula/a5/a564bbe468ef443059e1c5734fa31e2a.png.

Ответ: 8.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=784Задача 6.Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да,
пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани. 

По­яс­не­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен http://reshuege.ru/formula/b8/b87c138964cee630fa6b15a51bee8ef3.png, где http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png — пло­щадь грани, а http://reshuege.ru/formula/25/2510c39011c5be704182423e3a695e91.png — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к
ней ребра. Тогда

http://reshuege.ru/formula/9a/9af0bd3a4f190436bad5f6d85a7550c9.png

Ответ: 5.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=784Задача 7. Три
ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны,
равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба. 

По­яс­не­ние.

Объем куба http://reshuege.ru/formula/43/43535fd108f2c5a29b422647c82b8fa6.png равен
объ­е­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да

http://reshuege.ru/formula/6b/6bbc4f5f43c0cd6aa8bf5a215dede874.png

Зна­чит, ребро куба

http://reshuege.ru/formula/7e/7efaf3d3273818735949262148c8b0a7.png

Ответ: 6.

 Задача 8.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=807Два
ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны,
равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равна

http://reshuege.ru/formula/fd/fd68da7a72daec90e15457431a18e760.png.

Длина тре­тье­го ребра тогда http://reshuege.ru/formula/9b/9b04e450115bc14a07e4af722ed52ac3.png. По­лу­чим,
что объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да

http://reshuege.ru/formula/b2/b26409acc90755d3efd16e2c8469b1d9.png.

Ответ: 32.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=807Задача
9. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие
из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те
его диа­го­наль. 

По­яс­не­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

http://reshuege.ru/formula/11/11dc87e6a2634565fb3227e3847f2582.png.

От­сю­да най­дем тре­тье ребро:

http://reshuege.ru/formula/d9/d974e85e09d4c6544224d7536b228807.png.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равна

http://reshuege.ru/formula/5e/5e8f1271ec5d6f72bcb728882fddc10a.png.

Ответ: 7.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=822

Задача 10. Диа­го­наль пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равна http://reshuege.ru/formula/23/23119775abd0f5e44d5d6d464dc9c5b5.png и об­ра­зу­ет углы 30http://reshuege.ru/formula/08/080e9604620a20dbce9c4f12a20b75a1.png, 30http://reshuege.ru/formula/08/080e9604620a20dbce9c4f12a20b75a1.png и 45http://reshuege.ru/formula/08/080e9604620a20dbce9c4f12a20b75a1.png с плос­ко­стя­ми гра­ней па­рал­ле­ле­пи­пе­да.
Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­про­тив
угла в http://reshuege.ru/formula/44/44de464791e3ceb24af62d3f4a85903d.png равно http://reshuege.ru/formula/81/81ae4b64dad383cd6198842c1889da58.png, по­сколь­ку
об­ра­зу­ет с за­дан­ной диа­го­на­лью и диа­го­на­лью одной из гра­ней рав­но­бед­рен­ный
тре­уголь­ник. Два дру­гие ребра по по­стро­е­нию лежат в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках
на­про­тив угла в http://reshuege.ru/formula/92/920bb6f12a119bc7b83de6e1454ab1d7.png и равны, по­это­му по­ло­ви­не диа­го­на­ли.
Тогда объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

http://reshuege.ru/formula/5f/5fa2dbf10eb2c762e276c7b2d17a5f95.png

Ответ: 4.

Задача 11.

Ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да,
вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2, 3. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти. 

По­яс­не­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна удво­ен­ной сумме по­пар­ных про­из­ве­де­ний его
из­ме­ре­ний

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=844 

http://reshuege.ru/formula/ff/ffeaef80b575e71298dcf9e8eb09383e.png.

Ответ: 22.

Задача 12.Два
ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны,
равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти
па­рал­ле­ле­пи­пе­да. 

По­яс­не­ние.

Обо­зна­чим из­вест­ные ребра за http://reshuege.ru/formula/19/19034064db55a4b3099824e4b3234f03.png и http://reshuege.ru/formula/44/4439b9a985b5783868743ea79e4f6d10.png, а не­из­вест­ное
за http://reshuege.ru/formula/1f/1fddb94489a68066feaa03abac6eb4cb.png. Пло­щадь
по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да вы­ра­жа­ет­ся как

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=854http://reshuege.ru/formula/6e/6e89e5f6c569730eefd6f204468ab82a.png.

Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­хо­дит­ся
как

http://reshuege.ru/formula/11/11ff3d01cae9bbbe9898e886125cfe17.png.

Вы­ра­зим http://reshuege.ru/formula/1f/1fddb94489a68066feaa03abac6eb4cb.png:

http://reshuege.ru/formula/5e/5e2313542c1dd2470974332e17642857.png.

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти

http://reshuege.ru/formula/df/df57625838250d3c9771052b3bdcc4d8.png

http://reshuege.ru/formula/5e/5e20ebd201aa927707f559dfa4853251.png

Ответ: 64.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=855Задача
13.Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие
из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 6. Най­ди­те
пло­щадь его по­верх­но­сти.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро из вы­ра­же­ния для
объ­е­ма:

http://reshuege.ru/formula/87/8759add9ef38641f825739c8ed7b075c.png.

Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да

http://reshuege.ru/formula/05/052afee407138dcfee2466766bd9bb4e.png.

Ответ: 22.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=654Задача
14.Най­ди­те угол http://reshuege.ru/formula/34/34b9cc66d7c06c45f608c01acf573790.png пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го http://reshuege.ru/formula/ba/babe5885836d3d843cee98722b3b64c9.png, http://reshuege.ru/formula/d4/d4f5b7ba82b251c7d2b2e47e216f3088.png, http://reshuege.ru/formula/97/9772c996248e10dc017deaab6ef0385e.png.
Дайте ответ в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

В пря­мо­уголь­ни­ке http://reshuege.ru/formula/df/df692ec392f1655529b4a4ba0d35c153.png от­ре­зок http://reshuege.ru/formula/76/764141f5117f5eb7321c3431271aa852.png яв­ля­ет­ся
диа­го­на­лью, http://reshuege.ru/formula/b8/b8fb90232b5a6b4fdbf4280907f2687f.png По
тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

http://reshuege.ru/formula/2f/2f139b8d761b0f7a5fab172c03435ac7.png

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/dd/dd0b828cac15a9ee5e127f8969cae745.png рав­но­бед­рен­ный: http://reshuege.ru/formula/80/80601ff82131f1d1b79aef18a39ca6a8.png, зна­чит,
его ост­рые углы равны http://reshuege.ru/formula/af/af673b847ae14b2231328eb2cf4cbde5.png

Ответ: 45.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=3484Задача 15. Най­ди­те угол http://reshuege.ru/formula/c4/c48ae99c355f04a971bc297eb67a01f6.png пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png=4, http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png=3, http://reshuege.ru/formula/c6/c6c6e1da9fe0595f201c9ba1c729104e.png=5.
Дайте ответ в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/58/582b3cf093ac9c773565724217b8f943.png По
тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

http://reshuege.ru/formula/b0/b08777cba6f33a69dd8164f0d82230a9.png

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/81/81666229970c65bee1ac93d6cbcb6e61.png Так
как http://reshuege.ru/formula/0a/0a5a4d7386065c6c6ac19c303768c7e1.png=http://reshuege.ru/formula/34/34224af1e60139894b273c6d1ce42615.png=http://reshuege.ru/formula/a4/a4d9ea3f46a6821c46e2aaa3efb0f1c9.png то
тре­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/06/06e4a9c21137811c9d2c5f1650b0113f.png яв­ля­ет­ся
рав­но­бед­рен­ным, зна­чит, углы при его ос­но­ва­нии равны по http://reshuege.ru/formula/0f/0f5556c3ef4e416a69787ebc07b7067e.png.

Ответ: 45.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=711Задача 15. В
пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де http://reshuege.ru/formula/1f/1f98fd4abe2a7ebc84481105039f3a71.png из­вест­но,
что http://reshuege.ru/formula/1f/1f3849513b027e01b51a5baa4f18600b.png, http://reshuege.ru/formula/6b/6b5a8b885a1af392fbc89b1830d55f20.png, http://reshuege.ru/formula/39/399cbf60c74dc97bcb6fbe063ef9ec23.png. Най­ди­те
длину ребра http://reshuege.ru/formula/49/49f3ee9283b111edad91e72f33f0c9b0.png.

По­яс­не­ние.

Най­дем диа­го­наль http://reshuege.ru/formula/87/87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png пря­мо­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png по
тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

http://reshuege.ru/formula/85/856b0193270bac274cc9c25cf697c3ac.png.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/72/7297c677a58aebca7976ac8f92a13a40.png. По
тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

http://reshuege.ru/formula/97/97e6ffd426a0bd2563d848132f4bb28e.png.

Ответ: 1.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=6434Задача16. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де http://reshuege.ru/formula/1f/1f98fd4abe2a7ebc84481105039f3a71.png ребро http://reshuege.ru/formula/57/57172348fa5f51bfcae241eb72585232.png,
ребро http://reshuege.ru/formula/95/95d869370d924ae743c01e3a1ee93b2e.png,
ребро http://reshuege.ru/formula/0f/0f7086090462b1d66b6f34756b146e23.png.
Точка http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png —
се­ре­ди­на ребра http://reshuege.ru/formula/a4/a4fbcf16c8ef3f542de054ec3ef96895.png Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го
через точки http://reshuege.ru/formula/a5/a54c8c353567bd70449ffc01eaf2f2a8.pnghttp://reshuege.ru/formula/32/323b515dec6e9a6563cad1790f7590bc.png и http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png.

По­яс­не­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные
грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/12/12552270642be8b3d20d0d36718a1065.png —
па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, реброhttp://reshuege.ru/formula/7f/7fd8b3095e5d4d960988af5098635490.png пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням http://reshuege.ru/formula/d6/d6bce8b6aaf0e84258b09ce9150f0c69.png и http://reshuege.ru/formula/63/630ec7b01b8a7df81104a3af46d08cd7.png, по­это­му
углы http://reshuege.ru/formula/d0/d0332f88ed0d80a3f1d7fafb8ea8c352.pngи http://reshuege.ru/formula/8d/8d6556e731dc9444991a1ff7201fb996.png — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние http://reshuege.ru/formula/12/12552270642be8b3d20d0d36718a1065.png —
пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/c3/c379e4382f460c2a69558ea8c3ae6a43.png по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем http://reshuege.ru/formula/fd/fdc8c405e1cdb100e781dfc53027accd.png

http://reshuege.ru/formula/b2/b2d2c7ab5dd1710409403021f23cdb77.png

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/12/12552270642be8b3d20d0d36718a1065.png равна:

http://reshuege.ru/formula/b1/b11d5a4d74e3d75ed78fe0e077fdf4e4.png

Ответ:5.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=6436Задача 17. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де http://reshuege.ru/formula/1f/1f98fd4abe2a7ebc84481105039f3a71.png из­вест­ны длины рёбер: http://reshuege.ru/formula/ce/ce5f826d1c6987d882d2e27320cf1f4e.png, http://reshuege.ru/formula/96/96693ce07b8bf239bd4cb7c84c146d0d.png, http://reshuege.ru/formula/a9/a9f67183948c9ed92797363a68644a9b.png. Най­ди­те
пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png, http://reshuege.ru/formula/4b/4be60c01260fad068dd84cb934d15c36.png и http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png.

По­яс­не­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные
грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му се­че­ние http://reshuege.ru/formula/d6/d6447e7ada74668aa970350b73aa765a.png  −  па­рал­ле­ло­грамм.
Кроме того, ребро http://reshuege.ru/formula/c2/c231c6cab35221efb8c4de0d626dd13e.png пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png и http://reshuege.ru/formula/69/69ec0415bc412c855233fa7b94453787.png. По­это­му
углы http://reshuege.ru/formula/ce/cef1dc53e993d556747db8c9f65185f3.png и http://reshuege.ru/formula/ad/ad5c2c15c2c7c6bbb5076082113791bb.png − пря­мые.По­это­му се­че­ние http://reshuege.ru/formula/d6/d6447e7ada74668aa970350b73aa765a.png —
пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png най­дем http://reshuege.ru/formula/d5/d5eddb5f6f95fea6489d51a85820c149.png

http://reshuege.ru/formula/c6/c6d52ae161e58fece94a5dadced06129.png

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/d6/d6447e7ada74668aa970350b73aa765a.png равна:

http://reshuege.ru/formula/95/9536c723db36fc70adff448a0ebc23cf.png

Ответ:572.

Задача 18. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равны 8 и 2, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 144. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти
этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.
http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=21400
По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да: http://reshuege.ru/formula/07/07ab02629924aa5db329c1ff9382a0dc.png. Най­дем
пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:http://reshuege.ru/formula/9e/9eb9516a0dc26f276f2033655125a549.png

Ответ: 212

Задача 19. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равны 6 и 4, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 240. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти
этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да: http://reshuege.ru/formula/3d/3d04f6b5c63350550117453a234d85da.png. Най­дем
пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да: http://reshuege.ru/formula/e7/e7e2066fc4b802758013a8dd39358266.png

Ответ: 248

Задача 20.

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равны 8 и 5, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 280. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти
этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Най­дем тре­тье ребро пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да: http://reshuege.ru/formula/d1/d176b853811d139beeb94c3647bc7f48.png. Най­дем
пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:http://reshuege.ru/formula/4a/4a3c0eba18561ef77dc873d572791848.png

Ответ: 262

Задача 21. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 рёбра AB, BC и диа­го­наль бо­ко­вой сто­ро­ныBC1 равны со­от­вет­ствен­но 7, 3 и http://reshuege.ru/formula/e2/e2c6d941101117715885a1822aa920c7.png  Най­ди­те объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1.

По­яс­не­ние.

http://mathb.xn--c1ada6bq3a2b.xn--p1ai/get_file?id=19400C по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём CC1:

http://reshuege.ru/formula/2d/2d1c272815503893890902cb728529ba.png

Найдём пло­щадь ос­но­ва­ния пря­мо­уголь­но­го
па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

http://reshuege.ru/formula/79/79f5658ae599e7879af175a666528c2b.png

Найдём объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

http://reshuege.ru/formula/62/62cdf089914263c70863fa95dbe15d93.png

Ответ: 126.

Задача 22.

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равны 7 и 4, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 140. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти
этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

По­яс­не­ние.

Объём пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да
равен про­из­ве­де­нию длин его рёбер: http://reshuege.ru/formula/a9/a910e17f5d2f16331eca90b7d1b6cc1c.png от­ку­да тре­тье ребро http://reshuege.ru/formula/ce/ce54e34560930d2f6c4754d53f31684d.png Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да
— сумма пло­ща­дей всех его гра­ней:

http://reshuege.ru/formula/4d/4d72b7030059562b4ac13820cd9a8731.png

Ответ: 166.

Источник

Добавить комментарий