Как найти площадь поверхности сегмента шара - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности сегмента шара, а также разберем пример решения задачи для демонстрации их практического применения.

Определение сегмента шара
Формулы для нахождения площади сегмента шара
- Площадь основания
- Площадь сферической поверхности
- Площадь полной поверхности
Пример задачи

Определение сегмента шара

Сегмент шара (или шаровый сегмент) – это часть шара, отсеченная плоскостью. На чертеже ниже закрашен зеленым цветом.

R – радиус шара;
r – радиус основания сегмента;
h – высота сегмента; это длина перпендикуляра от центра его основания (точка O₂) до точки на поверхности шара.

Связь между радиусом основания сегмента, его высотой и радиусом шара:

Формулы для нахождения площади сегмента шара

Площадь основания

Основанием шарового сегмента является круг, площадь (S) которого находится по стандартной формуле (в расчетах число π округляется до 3,14):

S_осн. = πr²

Примечание: если известен диаметр круга (d), чтобы найти радиус (r), нужно первое разделить на второе, то есть: r = d/2.

Площадь сферической поверхности

Чтобы найти площадь (S) сферической/внешней поверхности шарового сегмента, необходимо знать его высоту и радиус самого шара.

S_{сфер. пов.} = 2πRh

Площадь полной поверхности

Чтобы найти площадь (S) полной поверхности сегмента шара, необходимо сложить площади его основания и внешней поверхности.

S_полн. = S_осн. + S_{сфер. пов.} = π (2Rh + r²)

Пример задачи

Дан шар радиусом 6 см. Найдите полную площадь шарового сегмента, если известно, что его высота равняется 2,4 см, а радиус основания – 4,7 см.

Решение

Воспользуемся формулами, приведенными выше, подставив в них известные по условиям задачи значения.

S_осн. = 3,14 ⋅ (4,7 см)² = 69,3626 см²

S_{сфер. пов.} = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 см⋅ 2,4 см = 90,432 см²

S_полн. = S_осн. + S_{сфер. пов.} = 69,3626 см² + 90,432 см² = 159,7946 см²

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. сегмент.

Пример сферического сегмента (окрашен синим цветом). Вторая половина сферы также представляет собой сферический сегмент

Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом^[1].
Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то высота обоих сегментов равна радиусу сферы, и каждый из таких сферических сегментов называют полусферой.

Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Поверхностью шарового сегмента является объединение сферического сегмента и круга (основания шарового сегмента), границы которых совпадают.

Объём и площадь поверхности[править | править код]

Если радиус основания сегмента равен , высота сегмента равна , тогда объём шарового сегмента равен ^[2]

${displaystyle V={frac {pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),}$

площадь поверхности сегмента равна

или

${displaystyle A=2pi r^{2}(1-cos theta ).}$

Параметры , и связаны соотношениями

${displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},}$

${displaystyle r={frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.}$

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

${displaystyle A=2pi {frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=pi (a^{2}+h^{2}).}$

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) ${displaystyle h=r-{sqrt {r^{2}-a^{2}}},}$ в нижней части сферы ${displaystyle h=r+{sqrt {r^{2}-a^{2}}},}$ следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение и можно привести другое выражение для объёма:

${displaystyle V={frac {pi h^{2}}{3}}(3r-h).}$

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

${displaystyle V=int _{x}^{r}pi left(r^{2}-x^{2}right)dx=pi left({frac {2}{3}}r^{3}-r^{2}x+{frac {1}{3}}x^{3}right)={frac {pi }{3}}r^{3}(cos theta +2)(cos theta -1)^{2}.}$

Применение[править | править код]

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сфер[править | править код]

Объём объединения двух сфер радиусов r₁ и r₂ равен
^[3]

${displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}}$

где

${displaystyle V^{(1)}={frac {4pi }{3}}r_{1}^{3}+{frac {4pi }{3}}r_{2}^{3}}$

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

${displaystyle V^{(2)}={frac {pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{frac {pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r₁ + r₂ — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h₁ и h₂ приводит к выражению ^[4]^[5]

${displaystyle V^{(2)}={frac {pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}right).}$

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт[править | править код]

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ₁ и φ₂ данная площадь равна ^[6]

${displaystyle A=2pi r^{2}|sin varphi _{1}-sin varphi _{2}|.}$

Площадь квадратного участка поверхности шара[править | править код]

Участок, вырезанный на сфере радиуса r четырьмя дугами больших кругов, имеющими одинаковую угловую длину θ и попарно перпендикулярными (сферический квадрат, аналог квадрата на плоскости), имеет площадь

${displaystyle A=8r^{2}(1-cos theta /2).}$

Если угол θ мал (по сравнению с 1 радианом), то справедливо приближённое равенство, основывающееся на приближении ${displaystyle cos xto 1-x^{2}/2}$ при

${displaystyle Aapprox 8r^{2}{frac {theta ^{2}}{8}}=r^{2}theta ^{2}.}$

Например, площадь квадратного участка поверхности Земли (R_⊕ = 6378 км) со сторонами, равными 1 градусу, составляет

${displaystyle A(1^{circ })=8cdot R_{oplus }^{2}(1-cos 0{,}5^{circ })approx R_{oplus }^{2}cdot left({frac {pi }{180}}right)^{2}approx 12,391,{text{км}}^{2}.}$

1 квадратная секунда поверхности Земли имеет площадь в 3600² раз меньше: A(1′′) ≈ 12 391 км² / (60 · 60)² ≈ 956 м².

Обобщения[править | править код]

Сечения других тел[править | править код]

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферы[править | править код]

Объём -мерного сегмента гиперсферы высотой и радиуса в -мерном евклидовом пространстве определяется по формуле ^[7]

${displaystyle V={frac {pi ^{frac {n-1}{2}},r^{n}}{,Gamma left({frac {n+1}{2}}right)}}int limits _{0}^{arccos left({frac {r-h}{r}}right)}sin ^{n}t,mathrm {d} t,}$

где Gamma (гамма-функция) задаётся выражением ${displaystyle Gamma (z)=int _{0}^{infty }t^{z-1}mathrm {e} ^{-t},mathrm {d} t.}$

Выражение для объёма можно переписать в терминах объёма единичного -мерного шара ${displaystyle C_{n}={pi ^{n/2}/Gamma left[1+{frac {n}{2}}right]}}$ и гипергеометрической функции ${displaystyle {}_{2}F_{1}}$ или регуляризованной неполной бета-функции ${displaystyle I_{x}(a,b)}$ как

${displaystyle V=C_{n},r^{n}left({frac {1}{2}},-,{frac {r-h}{r}},{frac {Gamma [1+{frac {n}{2}}]}{{sqrt {pi }},Gamma [{frac {n+1}{2}}]}}{,,}_{2}F_{1}left({tfrac {1}{2}},{tfrac {1-n}{2}};{tfrac {3}{2}};left({tfrac {r-h}{r}}right)^{2}right)right)={frac {1}{2}}C_{n},r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}left({frac {n+1}{2}},{frac {1}{2}}right).}$

Формула для площади поверхности может быть записана в терминах площади поверхности единичного -мерного шара ${displaystyle A_{n}={2pi ^{n/2}/Gamma left[{frac {n}{2}}right]}}$ как

${displaystyle A={frac {1}{2}}A_{n},r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}left({frac {n-1}{2}},{frac {1}{2}}right),}$

где

Также справедливы следующие формулы^[8]:
${displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),quad V=V_{n}p_{n}(q),}$ где
${displaystyle q=1-h/r(0leq qleq 1),quad p_{n}(q)={frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1)}{2}},}$

${displaystyle G_{n}(q)=int limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.}$

При

${displaystyle G_{n}(q)=sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{binom {k}{i}}{frac {q^{2i+1}}{2i+1}}.}$

Было показано^[9], что при и ${displaystyle p_{n}(q)to 1-F({q{sqrt {n}}}),}$ где — стандартное нормальное распределение.

Литература[править | править код]

А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, П. С. Александров. Основные понятия сферической геометрии // Энциклопедия элементарной математики. Книга 4 – Геометрия. — Москва: ГИФМЛ, 1963.

Примечания[править | править код]

Источник

{S_{бок} = 2pi Rh} newline
{S_{осн} = pi h(2R-h)} newline
{S_{полн} = S_{бок}+S_{осн}}

С помощью приведенных на странице онлайн калькулятора и формулы вы можете рассчитать площадь поверхности шарового сегмента, которая состоит из площади боковой поверхности и площади основания. Введите радиус шара и высоту шарового слоя и получите результат.

Шарово́й сегмент — часть шара, отсеченная от него плоскостью.

Содержание:

калькулятор площади поверхности шарового сегмента
формула площади боковой поверхности шарового сегмента
формула площади основания шарового сегмента
формула площади полной поверхности шарового сегмента

Формула площади боковой поверхности шарового сегмента

{S_{бок} = 2pi Rh}

R – радиус шара

h – высота шарового сегмента

Формула площади основания шарового сегмента

{S_{осн} = pi h(2R-h)}

R – радиус шара

h – высота шарового сегмента

Формула полной поверхности шарового сегмента

{S_{осн} = S_{бок} + S_{осн}}

S_бок – площадь боковой поверхности шарового сегмента

S_осн – площадь основания шарового сегмента

Источник

Как рассчитать площадь шарового сегмента

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности шарового сегмента онлайн. Для расчета задайте радиус и высоту.

Шаровой сегмент — часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Через радиус и высоту

Результат

Ответы:

Формула площади шарового сегмента через радиус и высоту:

π – константа равная (3.14); r – радиус шара; h – высота шарового сегмента.

Источник

Сегмент шара

Сферический сегмент

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью.

Формулы:
$S_{lateral}=2 pi R H$ — площадь боковой поверхности
— площадь основания
$V=pi H^2(R- frac{1} {3} H)$ — формула объема

Сегмент шара

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Площадь боковой поверхности

Слой шара

Сферический слой

Шаровой слой — часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

Формулы:
$S_{lateral}=2 pi R (H_2-H_1)$ — площадь боковой поверхности
$V = pi left[ H_2^2 left( R - frac{1} {3} H_2 right) - H_1^2 left( R - frac{1} {3} H_1 right) right]$ — объем

Шаровой слой

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Площадь боковой поверхности

Источник

Определение сегмента шара

Формулы для нахождения площади сегмента шара

Площадь основания

Площадь сферической поверхности

Площадь полной поверхности

Пример задачи

Объём и площадь поверхности[править | править код]

Применение[править | править код]

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сфер[править | править код]

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт[править | править код]

Площадь квадратного участка поверхности шара[править | править код]

Обобщения[править | править код]

Сечения других тел[править | править код]

Сегмент гиперсферы[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

Содержание:

Формула площади боковой поверхности шарового сегмента

Формула площади основания шарового сегмента

Формула полной поверхности шарового сегмента

Как рассчитать площадь шарового сегмента

Через радиус и высоту

Сегмент шара

Шаровой слой

Вам также может понравиться

Макроэкономика как найти импорт

Как найти диаметр если известна длина стороны

Как найти мой эмаль в телефоне

Добавить комментарий Отменить ответ