Как найти площадь поверхности сферы формула

Как найти площадь поверхности сферы формула

Калькулятор площади сферы

Рассчитайте онлайн площадь поверхности шарообразного объекта (сферы).

Что известно

Длина

Размерность

Раcсчитать

Оглавление:

  • 📝 Как это работает?
  • 🤔 Частые вопросы и ответы
  • 📋 Похожие материалы
  • 📢 Поделиться и комментировать

Что такое калькулятор площади поверхности шара?

Калькулятор площади шара (сферы)

Калькулятор расчета площади шара (сферы) — это онлайн инструмент, который помогает определить площадь поверхности сферы на основе заданных параметров. Площадь поверхности сферы представляет собой сумму всех площадей ее точечных элементов.

Для использования калькулятора расчета площади шара (сферы) необходимо знать радиус сферы. Радиус — это расстояние от центра сферы до любой ее точки. Введите значение радиуса в соответствующее поле в калькуляторе и нажмите на кнопку “Рассчитать”.

Какую формулу использует калькулятор?

Формула для расчета площади поверхности шара (сферы) выглядит следующим образом:

S = 4πr2

где S обозначает площадь поверхности, π (пи) — математическую константу, примерное значение которой равно 3,14159, а r — радиус сферы.

Калькулятор автоматически применяет эту формулу, используя введенное значение радиуса, и выводит площадь поверхности шара (сферы) в соответствующем поле.

Как определить радиус шара (сферы)

Радиус шара (сферы) можно определить несколькими способами, в зависимости от доступных данных:

  1. Измерение. Если у вас есть физический объект в форме шара, вы можете использовать линейку или мерную ленту для измерения расстояния от центра шара до его внешней поверхности. Полученное значение будет радиусом шара.
  2. Информация о диаметре. Если у вас есть информация о диаметре шара (расстояние между двумя точками на его внешней поверхности, проходящих через его центр), вы можете разделить значение диаметра на 2, чтобы получить радиус. Формула для этого: r = D/2, где r – радиус, D – диаметр.
  3. Заданная площадь поверхности. Если вам известна площадь поверхности шара, вы можете использовать обратную формулу, чтобы вычислить радиус. Формула для этого: r = √(S/4π), где r – радиус, S – площадь поверхности.
  4. Другие известные параметры. В некоторых случаях у вас может быть информация о других параметрах, таких как объем шара или площадь поперечного сечения. В таких случаях можно использовать соответствующие формулы, чтобы выразить радиус через эти данные.

В каких областях можно применить такой калькулятор?

Калькулятор расчета площади шара (сферы) может быть полезен в различных областях, где требуется работа со сферическими формами и расчеты их площади. Некоторые из таких областей включают:

  1. Геометрия. Калькулятор позволяет быстро и удобно рассчитать площадь поверхности сферы при известном радиусе. Это может быть полезно в учебных задачах, связанных с геометрией и сферическими формами.
  2. Физика. В физике сферические объекты могут встречаться в различных контекстах, таких как моделирование планет, атомов, молекул или капель жидкости. Расчет площади поверхности сферы может быть важным для определения поверхностных свойств или характеристик таких объектов.
  3. Инженерия. В инженерных расчетах может возникнуть необходимость в определении площади поверхности сферы, например, при проектировании шаровых резервуаров, сферических антенн или шаровых линз.
  4. Астрономия. В астрономии сферические формы широко присутствуют, начиная от планет и спутников до звезд и галактик. Расчет площади поверхности сферы может быть полезен при изучении этих объектов и астрономических явлений.
  5. 3D-моделирование и компьютерная графика. Когда создаются трехмерные модели объектов в компьютерной графике или игровой индустрии, площадь поверхности сферы может быть необходима для определения освещения, текстурирования или коллизий объекта.

Это лишь несколько примеров областей, в которых калькулятор расчета площади шара (сферы) может быть полезен. Его применение может быть более широким, в зависимости от конкретных потребностей и задачи.

Пример

Расчет площади поверхности Земли может быть интересным примером для применения калькулятора расчета площади шара. Земля приближенно является геоидом, то есть ее форма приближенно сферическая с некоторыми нерегулярностями.

Для расчета площади поверхности Земли можно использовать радиус, который обычно указывают в километрах. Приближенное значение радиуса Земли составляет около 6 371 километр.

Применяя формулу для расчета площади поверхности шара, получим:

  • S = 4πr2
  • S = 4 * 3.14159 * (6,371)2
  • S ≈ 4 * 3.14159 * 40,518,241
  • S ≈ 509,904,080 квадратных километров

Таким образом, приближенная площадь поверхности Земли составляет около 509,904,080 квадратных километров.

Отметим, что это приближенное значение, так как форма Земли не является точной сферой. В реальности форма Земли более сложная и неоднородная, и точное измерение ее поверхности требует более сложных геодезических методов.

❓ Вопросы и ответы

Вот некоторые вопросы, которые могут возникнуть при использовании калькулятора площади шара (сферы) и ответы на них.

Что такое площадь поверхности шара?

Площадь поверхности шара представляет собой сумму площадей всех его точечных элементов.

Какова формула для расчета площади поверхности шара?

Формула для расчета площади поверхности шара выглядит так: S = 4πr^2, где S – площадь поверхности, π – математическая константа (приблизительное значение 3.14159), r – радиус шара.

Как использовать калькулятор площади шара?

Введите значение радиуса шара в соответствующее поле на калькуляторе и нажмите кнопку “Рассчитать”. Калькулятор автоматически применит формулу и выдаст результат — площадь поверхности шара.

Могу ли я использовать дробные значения радиуса?

Да, вы можете использовать дробные значения радиуса при расчете площади поверхности шара. Просто введите соответствующее десятичное число в поле радиуса.

В каких единицах измерения будет выведен результат площади?

Результат площади будет выведен в квадратных единицах измерения, соответствующих используемой системе измерения радиуса (например, квадратных метрах, квадратных сантиметрах и т.д.).

Можно ли использовать калькулятор для других форм, а не только для шара?

Нет, калькулятор расчета площади шара предназначен исключительно для расчета площади поверхности шара. Для расчета площади других форм (например, цилиндра, конуса и т.д.) вы можете использовать другие наши калькуляторы.

Можно ли использовать калькулятор для расчета объема шара?

Нет, калькулятор площади шара предназначен только для расчета площади его поверхности. Для расчета объема шара используется другая формула: V = (4/3)πr^3.

Похожие калькуляторы

Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:

  • Площадь правильного шестиугольника: калькулятор. Рассчитайте площадь правильного (равностороннего) шестиугольника с помощью онлайн-калькулятора.
  • Калькулятор числа «e». Посмотрите онлайн нужное число знаков после запятой в числе «e» (Эйлера или Непера).
  • Площадь поверхности куба: калькулятор. Рассчитайте онлайн площадь поверхности куба по длине ребер, диагонали куба или диагоналям его сторон.
  • Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
  • Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
  • Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
  • Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
  • Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
  • Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.
  • Калькулятор длины дуги. Рассчитайте онлайн длину дуги окружности по радиусу и углу или по формуле Гюйгенса.

Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

Показать комментарии

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь шара (сферы) и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Формула вычисления площади шара/сферы

    • 1. Через радиус

    • 2. Через диаметр

  • Примеры задач

Формула вычисления площади шара/сферы

1. Через радиус

Площадь (S) поверхности шара/сферы равняется произведению четырех его радиусов в квадрате и число π.

S = 4 π R2

Площадь поверхности шара

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

2. Через диаметр

Как известно, диаметр шара/сферы равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь поверхности фигуры можно, используя такой вид формулы:

S = 4 π (d/2)2

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см)2 = 615,44 см2.

Задание 2
Площадь поверхности сферы равна 200,96 см2. Найдите ее диаметр.

Решение:
Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:
Расчет диаметра сферы через площадь ее поверхности

Источник

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
  • что такое шар и его элементы;
  • уравнение сферы;
  • формула для нахождения площади поверхности сферы;
  • взаимное расположение сферы и плоскости;
  • теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Определение

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Определение

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Определение

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Уравнение сферы

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Определение

Сегмент шара – это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Определение

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Определение

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом – вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x0; y0; z0) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС2=R2, то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:

Площадь круга вычисляется по формуле: Sкр=πR2.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: Sсф=4πR2. Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

Ответ: 36

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Решение:

Площадь сферы равна Sсф=4πR2. То есть Sсф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r2 =100, то есть r=10.

Ответ: 10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Решение:

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

p=0,5(AB+BC+AC)=21

S=84.

С другой стороны, S=p·r.

Отсюда r=4.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Используем соотношение:

h=3.

Ответ: 3.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Решение:

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

По условию задачи R=10.

Используем соотношение:

h=6.

Ответ: 6.

Источник


Download Article


Download Article

The surface area of a sphere is the number of square units (cm2, square inches, square feet — whatever your measurement) that are covering the outside of a spherical object.[1]
 Discovered by the Greek philosopher and mathematician Aristotle thousands of years ago, the equation is relatively simple, even if its origins are not. To find the surface area of a sphere, use the formula (4πr2), where r = the radius of the circle.

  1. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 1

    1

    Know the parts of the equation, Surface Area = 4πr2. This nearly ancient formula is still the easiest way to determine the surface area of a sphere.[2]
     Using almost any calculator, you can plug in the radius to get the surface area of your sphere.

    • r, or “radius: The radius is the distance from the center of the sphere to the edge of that sphere.
    • π, or “pi:” This incredible number (equalling roughly 3.14) represents the ratio between a circle’s circumference and diameter, and is useful in all equations with circles and spheres. It is commonly shortened as π = 3.1416, but there are an infinite number of decimals.[3]
    • 4: For somewhat complex reasons, the surface area of a sphere is always 4 times as large as the area of a circle with the same radius.

  2. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 2

    2

    Find the radius of the sphere. Sometimes your problem will supply you the radius, and other times you will have to find it yourself. If you are given the diameter of a circle, simply divide the diameter by 2 to get the radius.[4]
     For example, a sphere of diameter 10 inches has a radius of 5 inches.

    • Advanced Tip:If you only know the volume of a sphere, you need to do a little more work to get the radius. Divide the volume by 4π, then multiply that answer by 3. Finally, take the cube root of this answer.[5]

    Advertisement

  3. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 3

    3

    Square the radius by multiplying it by itself. You can either do this by manually multiplying (52 = 5 * 5 = 25) or by using your calculator’s “square” function (sometimes labeled as “x2“).[6]

  4. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 4

    4

    Multiply this result by 4. While you can multiply either 4 or pi first, it is generally easier to start with 4 since there are no decimals to multiply yet.[7]

    • If our radius is 5, like above, you would be left with 4 * 25 * π, or 100π.

  5. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 5

    5

    Multiply the results by pi (π). If your problem says “exact value”, write the symbol π after your number and call it done. Otherwise, use the approximation π=3.14 or your calculator’s π button.[8]

    • 100 * π = 100 * 3.14
    • 100π = 314

  6. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 6

    6

    Remember to add you units to the final answer. Is your sphere’s surface area 314 inches big, or 314 miles (505 km) big? The units need to be written as “units2,” because this denotes area, otherwise known as “square units”.[9]

    • The full answer to the sphere in the pictures is: Surface Area = 314 units2.
    • The units you use are always the same ones used to measure the radius. If the radius is in meters, the answer will be in meters.
    • Advanced Tip: We square the units because area measures how many flat squares we could fit on the surface of the sphere. Say we measure the practice problem in inches. This means on a sphere where r=5, we could fit 314 squares on the surface of the sphere if the sides of every square are 1 inch long.

  7. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 7

    7

    Practice with an example. If the radius of a sphere is 7 centimeters, what is the surface area of that sphere?

    • 4πr2
    • r = 7
    • 4 * π * 72
    • 49 * 4 * π
    • 196π
    • Answer: Surface Area = 615.75 centimeters2, or 615.75 square centimeters.

  8. Image titled Find the Surface Area of a Sphere Step 8

    8

    Understand surface area. The surface area of a sphere is the area covering the outside of the sphere — think of it as the rubber covering a kickball or the surface of the earth. Because it is curved, it is much harder to measure the surface area of a sphere than a box, so we need an equation to determine the area.[10]

    • Rotating a circle around its axis (the center point) will produce a sphere. Think of spinning a coin on the table and how it appears to form a sphere. While it won’t be explained here, this is where our equation comes from.
    • Advanced Tip: Spheres have a smaller surface area per volume than any other shape — that means it can hold more things in a smaller area than any other shape.

    9. Advertisement

Add New Question

  • Question

    How do I find the volume of a sphere?

    Donagan

    Volume = (4/3) π r³.

  • Question

    What is the circumference of a sphere?

    Donagan

    Pi multiplied by the diameter.

  • Question

    How do I find the area of half a sphere?

    Donagan

    Divide total area by 2.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Video

  • If your radius includes a square root, like 3 √ 5, remember to square coefficient squares and the radical. (3 √ 5)2 becomes 9×5 which gives 45.

Thanks for submitting a tip for review!

Advertisement

References

About This Article

Article SummaryX

To find the surface area of a sphere, use the equation 4πr2, where r stands for the radius, which you will multiply by itself to square it. Then, multiply the squared radius by 4. For example, if the radius is 5, it would be 25 times 4, which equals 100. If the problem calls for an exact answer, then leave the answer as 100π. If the answer doesn’t need to be exact, multiply by 3.14 to get the surface area. Be sure to label your answer as the appropriate units squared. If you want to learn how to find the radius of a sphere, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 330,525 times.

Did this article help you?

Источник

Площадь поверхности сферы, формула.

Площадь поверхности сферы
Шар или сфера. Шаровой, или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки – центра шара.
Площадь поверхности сферы равна учетверенной площади большого круга:

[S=4 pi R^2]

(R – радиус сферы)

Вычислить, найти площадь поверхности сферы по формуле (1).

R (радиус сферы) 

Вычислить

нажмите кнопку для расчета

Формулы шара, сферы

Объем шара

Площадь поверхности шарового сегмента

Объем шарового сегмента

Площадь поверхности шарового слоя

Объем шарового слоя

Площадь шарового сектора

Объем шарового сектора

Площадь поверхности сферы

 стр. 315
Источник

Добавить комментарий