Как найти площадь pr2

Как найти площадь pr2

Площадь круга с радиусом r равна pi r^{2}. Здесь pi (греческая буква «пи») обозначает отношение длины окружности к её диаметру: π {displaystyle approx 3{,}14159265.}

Связанные понятия[править | править код]

  • Сектор круга (закрашен зелёным)

    Сектор круга (закрашен зелёным)

  • Сегмент круга (закрашен жёлтым)

    Сегмент круга (закрашен жёлтым)

Площадь сектора круга равна {displaystyle S={frac {theta r^{2}}{2}}}, где theta — угловая величина дуги сектора в радианах[1].

Площадь сегмента круга равна {displaystyle S={frac {1}{2}}r^{2}(theta -sin theta )}, где textstyletheta — угол в радианах[1]

История[править | править код]

Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Гиппократ Хиосский (в своих попытках квадрирования гиппократовых луночек) первым сформулировал утверждение: площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение[2][3]. Однако они не установили значения коэффициента пропорциональности.

Античные математики также безуспешно пытались решить задачу «квадратуры круга», то есть построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифон, Брисон Гераклейский, Архимед и другие; неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа pi , которая была доказана в 1882 году Линдеманом[4].

Архимед в III веке до н. э. использовал методы евклидовой геометрии, чтобы показать в своей книге «Измерение круга[en]», что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу окружности. В современных обозначениях, длина окружности равна 2pi r, а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, что даёт {displaystyle pi r^{2}.} Архимед уточнил значение числа pi :

3{frac {10}{71}}<pi <3{frac {1}{7}}

Для доказательства Архимед построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон (см. ниже).

Круг, развёрнутый в треугольник

Средневековые европейские математики использовали для обоснования формулы площади круга метод неделимых. Представим себе разворачивание концентричных кругов бесконечно малой толщины в отрезки, получим прямоугольный треугольник с высотой r и основанием 2pi r (основание получается из внешней окружности круга). Вычисление площади треугольника даст площадь круга:

Площадь = {displaystyle {1 over 2}cdot } основание cdot высота = {displaystyle {1 over 2}cdot 2pi rcdot r<=pi r^{2}}.

Доказательства[править | править код]

Предельный переход[править | править код]

Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на апофему (высоту). При увеличении числа сторон многоугольник стремится к кругу, а апофема стремится к радиусу. Это даёт основание считать, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус[5], то есть {displaystyle pi cdot rcdot r=pi r^{2}}.

Доказательство Архимеда[править | править код]

Следуя Архимеду, сравним площадь круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. Исключим оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. Для доказательства будем использовать правильные многоугольники.

Не больше[править | править код]

Круг с вписанными квадратом и восьмиугольником. Показан зазор

Предположим, что площадь круга C больше площади треугольника T = 1⁄2cr. Пусть E означает превышение площади. Впишем[en] квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь G4 больше E, делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, G8. Продолжаем деление, пока общий зазор Gn не станет меньше E. Теперь площадь вписанного многоугольника Pn = C − Gn должна быть больше площади треугольника.

{begin{aligned}E&{}=C-T\&{}>G_{n}\P_{n}&{}=C-G_{n}\&{}>C-E\P_{n}&{}>Tend{aligned}}

Но это ведёт к противоречию. Для доказательства проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s, сумма всех сторон составит ns, и эта величина меньше длины окружности. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты h с основанием s, что даёт 1⁄2nhs. Но h < r и ns < c, так что площадь многоугольника должна быть меньше площади треугольника 1⁄2cr, получили противоречие.

Не меньше[править | править код]

Окружность с описанным квадратом и восьмиугольником. Показан зазор

Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть D означает разницу площадей. Описываем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью G4 больше D, срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника Pn должна быть меньше T.

{begin{aligned}D&{}=T-C\&{}>G_{n}\P_{n}&{}=C+G_{n}\&{}<C+D\P_{n}&{}<Tend{aligned}}

Это тоже приводит к противоречию. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, т.е. имеет длину r. А поскольку сумма сторон больше длины окружности, многоугольник из n одинаковых треугольников даст площадь, большую T. Снова получили противоречие.

Таким образом, площадь круга в точности равна площади треугольника.

Доказательство перегруппировкой[править | править код]

Площадь круга после перегруппировки

Следуя Сато Мошуну [6] и Леонардо да Винчи [7], мы можем использовать вписанные правильные многоугольники другим способом. Положим, мы вписали шестиугольник. Разрежем шестиугольник на шесть треугольников, делая сечения через центр. Два противоположных треугольника содержат общие диаметры. Сдвинем теперь треугольники, чтобы радиальные стороны стали смежными. Теперь пара треугольников образует параллелограмм, в котором стороны шестиугольника образуют две противоположные стороны длиной s. Две радиальные стороны становятся боковыми сторонами, а высота параллелограмма равна h (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, располагая в ряд полученные параллелограммы (из двух треугольников). То же самое будет верно, если мы будем увеличивать число сторон. Для многоугольника с 2n сторонами параллелограмм будет иметь основание ns и высоту h. С ростом числа сторон длина основания параллелограмма увеличивается, стремясь к половине окружности, а высота стремится к радиусу. В пределе параллелограмм становится прямоугольником с шириной πr и высотой r.

Приближения площади круга единичного радиуса перегруппировкой треугольников.

многоугольник параллелограмм
n     сторона         основание    высота    площадь
4 1,4142136 2,8284271 0,7071068 2,0000000
6 1,0000000 3,0000000 0,8660254 2,5980762
8 0,7653669 3,0614675 0,9238795 2,8284271
10 0,6180340 3,0901699 0,9510565 2,9389263
12 0,5176381 3,1058285 0,9659258 3,0000000
14 0,4450419 3,1152931 0,9749279 3,0371862
16 0,3901806 3,1214452 0,9807853 3,0614675
96 0,0654382 3,1410320 0,9994646 3,1393502
∞ 1/∞ π 1 π

Интегрирование[править | править код]

Площадь круга путём интегрирования

Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. Площадь бесконечно тонкого «слоя» радиуса t будет равна 2πt dt, то есть произведению длины окружности на толщину слоя. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r.

{begin{aligned}mathrm {Area} (r)&{}=int _{0}^{r}2pi t,dt\&{}=left[(2pi ){frac {t^{2}}{2}}right]_{t=0}^{r}\&{}=pi r^{2}.end{aligned}}

Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:

{begin{aligned}mathrm {Area} (r)&{}=int _{0}^{2pi r}{frac {1}{2}}r,dt\&{}=left[{frac {1}{2}}rtright]_{t=0}^{2pi r}\&{}=pi r^{2}.end{aligned}}

Быстрая аппроксимация[править | править код]

Для применения формулы площади круга необходимо знать с нужной точностью значение числа pi . Вычисления, проведённые Архимедом, были трудоёмкими, и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод использует идеи Снелла (1621), позднее развитые Гюйгенсом (1654) [8].

Метод удвоения Архимеда[править | править код]

Если задан круг, пусть un будет периметром вписанного правильного n-угольника, а Un — периметром описанного правильного n-угольника. Тогда un и Un являются нижней и верхней границей длины окружности, которые становятся точнее с ростом n, а их среднее значение (un + Un)/2 становится особенно хорошей аппроксимацией длины окружности. Чтобы вычислить un и Un для больших n, Архимед вывел следующие формулы:

u_{2n}={sqrt {U_{2n}u_{n}}}    (среднее геометрическое)
U_{2n}={frac {2U_{n}u_{n}}{U_{n}+u_{n}}}    (среднее гармоническое).

Начав с шестиугольника, Архимед удваивал n четыре раза, дойдя до 96-угольника, который дал ему хорошую аппроксимацию длины окружности круга.

В современных обозначениях можно воспроизвести эти вычисления (и пойти дальше).
Для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет периметр u6 = 6, а описанный шестиугольник имеет периметр U6 = 4√3.
Удваиваем семь раз, получаем

Удвоения Архимеда семь раз; n = 6×2k.

k    n     un   Un   (un + Un)/4
0 6 6,0000000 6,9282032 3,2320508
1 12 6,2116571 6,4307806 3,1606094
2 24 6,2652572 6,3193199 3,1461443
3 48 6,2787004 6,2921724 3,1427182
4 96 6,2820639 6,2854292 3,1418733
5 192 6,2829049 6,2837461 3,1416628
6 384 6,2831152 6,2833255 3,1416102
7 768 6,2831678 6,2832204 3,1415970

(здесь (un + Un)/2 аппроксимирует длину единичной окружности, которая равна 2π, так что (un + Un)/4 аппроксимирует π)

Последняя строка таблицы содержит число, близкое к 355⁄113 — отличному рациональному приближению числа π; лучшие приближения имеют знаменатели на несколько порядков больше[9].

Улучшение Снелла-Гюйгенса[править | править код]

Снелл предложил (а Гюйгенс доказал) более тесные границы, чем у Архимеда:

n{frac {3sin {frac {pi }{n}}}{2+cos {frac {pi }{n}}}}<pi <n[2sin {frac {pi }{3n}}+tan {frac {pi }{3n}}].

Для n = 48 формула даёт приближение лучше (около 3,14159292), чем метод Архимеда для n = 768.

Развитие формулы удваивания Архимеда[править | править код]

Круг с подобными треугольниками, описанным, вписанным и дополнительным

Пусть одна сторона вписанного правильного n-угольника имеет длину sn и пусть точки A и B — её концы. Пусть A′ — противоположная A точка на окружности, так что A′A является диаметром, а A′AB является вписанным треугольником, опирающимся на этот диаметр. По теореме Фалеса этот треугольник является прямоугольным (угол B прямой). Пусть длина A′B равна cn и эту длину будем называть дополнением sn. Тогда cn2+sn2 = (2r)2. Пусть точка C делит дугу AB пополам, и пусть C′ является противоположной C точкой окружности. Тогда длина CA равна s2n, длина C′A равна c2n, а C′CA снова является прямоугольным треугольником, опирающимся на диаметр C′C. Поскольку C делит дугу AB пополам, диаметр C′C перпендикулярен хорде AB, которую он пересекает, скажем, в точке P. Треугольник C′AP тогда прямоуголен и подобен C′CA, поскольку у них общий угол C′. Получаем, что все три соответствующие стороны находятся в одной и той же пропорции. В частности, мы имеем C′A : C′C = C′P : C′A и AP : C′A = CA : C′C. Центр окружности O делит A′A пополам, так что треугольник OAP подобен A′AB и длина OP равна половине длины A′B. В результате получаем

{begin{aligned}c_{2n}^{2}&{}=left(r+{frac {1}{2}}c_{n}right)2r\c_{2n}&{}={frac {s_{n}}{s_{2n}}}.end{aligned}}

В первом равенстве отрезок C′P равен сумме C′O+OP, что равно r+1⁄2cn, а отрезок C′C является диаметром и его длина равна 2r. Для единичного круга получаем знаменитую формулу удвоения Людольфа Ван Цейлена

{displaystyle c_{2n}={sqrt {2+c_{n}}}.}

Если мы теперь построим правильный описанный n-угольник со стороной ″B″, параллельной AB, то OAB и OA″B″ являются подобными с отношением подобия A″B″ : AB = OC : OP. Обозначим описанную сторону Sn, тогда отношение превращается в Sn : sn = 1 : 1⁄2cn. (Мы снова используем факт, что OP равен половине A′B.) Получаем

{displaystyle c_{n}=2{frac {s_{n}}{S_{n}}}.}

Обозначим периметр вписанного многоугольника через un = nsn, а описанного через Un = nSn. Комбинируя равенства, получим

c_{2n}={frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2{frac {s_{2n}}{S_{2n}}},

так что

{displaystyle u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}.}

Получили среднее геометрическое.

Можно также вывести

2{frac {s_{2n}}{S_{2n}}}{frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2+2{frac {s_{n}}{S_{n}}},

или

{frac {2}{U_{2n}}}={frac {1}{u_{n}}}+{frac {1}{U_{n}}}.

Получили среднее гармоническое.

Аппроксимация случайными бросаниями[править | править код]

Площадь единичного круга методами Монте-Карло. После 900 бросаний получаем 4×709⁄900 = 3,15111…

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно распространяются по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10−n необходимо около 100n случайных испытаний [10].

Конечная перегруппировка[править | править код]

Как мы видели, разбив диск на бесконечное число кусков мы можем из них затем собрать прямоугольник. Интересный факт был открыт относительно недавно Лацковичем [11], что мы можем разбить круг на большое, однако конечное число кусков, а затем перегруппировать их в квадрат той же площади. Сам вопрос о таком конечном разбиении носит название «Квадратура круга Тарского».

Обобщения[править | править код]

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π/4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π/4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — πab/4.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Справочник по элементарной математике, 2006, с. 342.
  2. ↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — С. 204. — 456 с.
  3. ↑ История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. — С. 102.
  4. ↑ Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. — С. 144—168. — 320 с.
  5. ↑ Hill, George. Лекции по геометрии для начинающих Архивная копия от 7 января 2014 на Wayback Machine, страница 124 (1894).
  6. ↑ Smith, Mikami, 1914.
  7. ↑ Beckmann, 1976.
  8. ↑ Gerretsen, Verdenduin, 1983.
  9. ↑ Не все лучшие рациональные приближения сводятся к непрерывным дробям! Дата обращения: 14 января 2015. Архивировано 28 августа 2014 года.
  10. ↑ Thijsse, 2006.
  11. ↑ Laczkovich, 1990.

Литература[править | править код]

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  • Archimedes в переводе Томаса Хита. The Works of Archimedes. — Dover, c. 260 BCE, год публикации 2002. — С. 91–93. — ISBN 978-0-486-42084-4.
  • Petr Beckmann. A History of Pi. — St. Martin’s Griffin, 1976. — ISBN 978-0-312-38185-1.
  • J. Gerretsen, P. Verdenduin. Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry. — MIT Press, 1983. — С. 243–250. — ISBN 978-0-262-52094-2.
  • Serge Lang. Math! : Encounters with High School Students. — Springer-Verlag, 1985. — ISBN 978-0-387-96129-3.
  • Miklós Laczkovich. Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski’s circle squaring problem // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1990. — Т. 404. — С. 77–117.
  • David Eugene Smith, Yoshio Mikami. A history of Japanese mathematics. — Chicago: Open Court Publishing, 1914. — С. 130–132. — ISBN 978-0-87548-170-8.
  • J. M.Thijsse. Computational Physics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 273. — ISBN 978-0-521-57588-1.

Ссылки[править | править код]

  • Area of a Circle Calculator
  • Area enclosed by a circle Архивная копия от 4 декабря 2008 на Wayback Machine (with interactive animation)
  • Science News on Tarski problem Архивная копия от 13 апреля 2008 на Wayback Machine
Источник

Для того чтобы найти площадь круга, существует формула, которую лучше запомнить:

S=πr2 – это произведение числа пи на квадрат радиуса.

Поскольку радиус тесно связан отношениями с диаметром и длиной окружности, то путем нехитрых замен можно также вычислить площадь круга через диаметр или длину окружности .

Диаметр – это удвоенный радиус, следовательно, подставляя его в формулу вместо последнего, нужно разделить его обратно на два.
Длина окружности представляет собой удвоенное произведение радиуса и числа π: P=2πr, обратным методом получаем, что радиус равен длине окружности, разделенной на его множитель.

Данные онлайн калькуляторы предназначены для расчета площади круга. Вычисление происходит по приведенным выше геометрическим формулам, где π считается константой, округленной до 15-го знака после запятой.

Определение: Круг- это часть плоскости , ограниченная окружностью, круг является выпуклой фигурой.

Результат работы калькулятора также округляется до аналогичного разряда. Для использования калькулятора расчета площади круга необходимо ввести только значение радиуса, диаметра или окружности круга. Для калькулятора единицы измерения радиуса не имеют значения – результат вычисляется в абсолютном виде. То есть, если значение радиуса задано, например, в сантиметрах, то и вычисленное калькулятором значение площади круга тоже следует интерпретировать как представленное в квадратных сантиметрах.

×

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

×

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Источник

Как рассчитать площадь круга

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь круга онлайн. Для расчета задайте радиус, диаметр или длину окружности.

Круг – множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круг) на расстояние, не превышающее заданное (радиус круга).

Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Площадь круга

Для того чтобы найти площадь круга, существует формула, которую лучше запомнить:

S=πr 2 – это произведение числа пи на квадрат радиуса.

Поскольку радиус тесно связан отношениями с диаметром и длиной окружности, то путем нехитрых замен можно также вычислить площадь круга через диаметр или длину окружности .

Диаметр – это удвоенный радиус, следовательно, подставляя его в формулу вместо последнего, нужно разделить его обратно на два.
Длина окружности представляет собой удвоенное произведение радиуса и числа π: P=2πr, обратным методом получаем, что радиус равен длине окружности, разделенной на его множитель.

Данные онлайн калькуляторы предназначены для расчета площади круга. Вычисление происходит по приведенным выше геометрическим формулам, где π считается константой, округленной до 15-го знака после запятой.

Определение: Круг- это часть плоскости , ограниченная окружностью, круг является выпуклой фигурой.

Результат работы калькулятора также округляется до аналогичного разряда. Для использования калькулятора расчета площади круга необходимо ввести только значение радиуса, диаметра или окружности круга. Для калькулятора единицы измерения радиуса не имеют значения – результат вычисляется в абсолютном виде. То есть, если значение радиуса задано, например, в сантиметрах, то и вычисленное калькулятором значение площади круга тоже следует интерпретировать как представленное в квадратных сантиметрах.

2 Пи р квадрат это формула

Для того чтобы найти площадь круга, существует формула, которую лучше запомнить:

S=πr 2 – это произведение числа пи на квадрат радиуса.

Поскольку радиус тесно связан отношениями с диаметром и длиной окружности, то путем нехитрых замен можно также вычислить площадь круга через диаметр или длину окружности .

Диаметр – это удвоенный радиус, следовательно, подставляя его в формулу вместо последнего, нужно разделить его обратно на два.
Длина окружности представляет собой удвоенное произведение радиуса и числа π: P=2πr, обратным методом получаем, что радиус равен длине окружности, разделенной на его множитель.

Данные онлайн калькуляторы предназначены для расчета площади круга. Вычисление происходит по приведенным выше геометрическим формулам, где π считается константой, округленной до 15-го знака после запятой.

Определение: Круг- это часть плоскости , ограниченная окружностью, круг является выпуклой фигурой.

Результат работы калькулятора также округляется до аналогичного разряда. Для использования калькулятора расчета площади круга необходимо ввести только значение радиуса, диаметра или окружности круга. Для калькулятора единицы измерения радиуса не имеют значения – результат вычисляется в абсолютном виде. То есть, если значение радиуса задано, например, в сантиметрах, то и вычисленное калькулятором значение площади круга тоже следует интерпретировать как представленное в квадратных сантиметрах.

Перевод радиан в градусы.
Ad = Ar * 180 / пи
Где Ad — угол в градусах, Ar — угол в радианах.

Перевод градусов в радианы.
Ar = Ad * пи / 180
Где Ad — угол в градусах, Ar — угол в радианах.

Длина окружности.
L = 2 * пи * R
Где L — длина окружности, R — радиус окружности.

Длина дуги окружности.
L = A * R
Где L — длина дуги окружности, R — радиус окружности, A — центральный угол, выраженный в радианах
Для окружности A = 2*пи (360 градусов), получим L = 2*пи*R.

Площадь треугольника.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c) ) 1/2
Где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон,
p=(a+b+c)/2 — полупериметр.

Площадь круга.
S = пи * R 2
Где S — площадь круга, R — радиус круга.

Площадь сектора.
S = Ld * R/2 = (A * R 2 )/2
Где S — площадь сектора, R — радиус круга, Ld — длина дуги.

Площадь поверхности шара.
S = 4 * пи * R 2
Где S — площадь поверхности шара, R — радиус шара.

Площадь боковой поверхности цилиндра.
S = 2 * пи * R * H
Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра.
S = 2 * пи * R * H + 2 * пи * R 2
Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.

Площадь боковой поверхности конуса.
S = пи * R * L
Где S — площадь боковой поверхности конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса.

Площадь полной поверхности конуса.
S = пи * R * L + пи * R 2
Где S — площадь полной поверхности конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса.

Объем шара.
V = 4 / 3 * пи * R 3
Где V — объем шара, R — радиус шара.

Объем цилиндра.
V = пи * R 2 * H
Где V — объем цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.

Объем конуса.
V = пи * R * L = пи * R * H/cos (A/2) = пи * R * R/sin (A/2)
Где V — объем конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса, A — угол при вершине конуса.

Площадь круга с радиусом r равна πr 2 . Здесь символ π (греческая буква пи) обозначает константу, выражающую отношение длины окружности к её диаметру или площади круга к квадрату его радиуса. Поскольку площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженного на апофему (высоту), а правильные многоугольники стремятся к окружности при росте числа сторон, площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус (то есть 1 ⁄2 × 2πr × r).

Содержание

История [ править | править код ]

Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Евдокс Книдский в пятом столетии до нашей эры обнаружил, что площади кругов пропорциональны квадратам их радиусов. [1] Великий математик Архимед использовал методы евклидовой геометрии, чтобы показать, что площадь внутри окружности равна площади прямоугольного треугольника, основание которого имеет длину окружности, а высота равна радиусу окружности, в своей книге Измерение круга [en] . Длина окружности равна 2 π r, а площадь треугольника равна половине основания на высоту, что даёт π r 2 . До Архимеда Гиппократ Хиосский первый показал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра в его попытках квадрирования гиппократовых луночек [2] Однако он не установил константу пропорциональности.

Использование многоугольников [ править | править код ]

Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на апофему (высоту). При увеличении числа сторон многоугольник стремится к окружности, а апофема стремится к радиусу. Это даёт основание считать, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус. [3]

Доказательство Архимеда [ править | править код ]

Следуя Архимеду, сравним площадь круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. Исключим оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. Для доказательства будем использовать правильные многоугольники.

Не больше [ править | править код ]

Предположим, что площадь круга C больше площади треугольника T = 1 ⁄2cr. Пусть E означает превышение площади. Впишем [en] квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь G4 больше E, делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, G8. Продолжаем деление, пока общий зазор Gn не станет меньше E. Теперь площадь вписанного многоугольника Pn = C − Gn должна быть больше площади треугольника.

G_ P_ &<>=C-G_ &<>>C-EP_ &<>>Tend>>”> E = C − T > G n P n = C − G n > C − E P n > T E&<>=C-T&<>>G_ P_ &<>=C-G_ &<>>C-EP_ &<>>Tend>> G_ P_ &<>=C-G_ &<>>C-EP_ &<>>Tend>”/>

Но это ведёт к противоречию. Для доказательства проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s, сумма всех сторон составит ns, и эта величина меньше длины окружности. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты h с основанием s, что даёт 1 ⁄2nhs. Но h 1 ⁄2cr, получили противоречие.

Не меньше [ править | править код ]

Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть D означает разницу площадей. Описываем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью G4 больше D, срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника Pn должна быть меньше T.

G_ P_ &<>=C+G_ &<> D = T − C > G n P n = C + G n C + D P n T =T-C&<>>G_ P_ &<>=C+G_ &<> G_ P_ &<>=C+G_ &<>

Это тоже приводит к противоречию. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, т.е. имеет длину r. А поскольку сумма сторон больше длины окружности, многоугольник из n одинаковых треугольников даст площадь, большую T. Снова получили противоречие.

Таким образом, площадь круга в точности равна площади треугольника.

Доказательство перегруппировкой [ править | править код ]

Следуя Сато Мошуну [4] и Леонардо да Винчи [5] , мы можем использовать вписанные правильные многоугольники другим способом. Положим, мы вписали шестиугольник. Разрежем шестиугольник на шесть треугольников, делая сечения через центр. Два противоположных треугольника содержат общие диаметры. Сдвинем теперь треугольники, чтобы радиальные стороны стали смежными. Теперь пара треугольников образует параллелограмм, в котором стороны шестиугольника образуют две противоположные стороны длиной s. Две радиальные стороны становятся боковыми сторонами, а высота параллелограмма равна h (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, располагая в ряд полученные параллелограммы (из двух треугольников). То же самое будет верно, если мы будем увеличивать число сторон. Для многоугольника с 2n сторонами параллелограмм будет иметь основание ns и высоту h. С ростом числа сторон длина основания параллелограмма увеличивается, стремясь к половине окружности, а высота стремится к радиусу. В пределе параллелограмм становится прямоугольником с шириной π r и высотой r.

многоугольник параллелограмм
n сторона основание высота площадь
4 1,4142136 2,8284271 0,7071068 2,0000000
6 1,0000000 3,0000000 0,8660254 2,5980762
8 0,7653669 3,0614675 0,9238795 2,8284271
10 0,6180340 3,0901699 0,9510565 2,9389263
12 0,5176381 3,1058285 0,9659258 3,0000000
14 0,4450419 3,1152931 0,9749279 3,0371862
16 0,3901806 3,1214452 0,9807853 3,0614675
96 0,0654382 3,1410320 0,9994646 3,1393502
∞ 1/∞ π 1 π

Интегрирование [ править | править код ]

Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. Площадь бесконечно тонкого «слоя» радиуса t будет равна 2 π t dt, то есть произведению длины окружности на толщину слоя. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r.

A r e a ( r ) = ∫ 0 r 2 π t d t = [ ( 2 π ) t 2 2 ] t = 0 r = π r 2 . =int _ ^ 2pi t,dt&<>=left[(2pi ) > >
ight]_ ^ &<>=pi r^ .end

Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:

A r e a ( r ) = ∫ 0 2 π r 1 2 r d t = [ 1 2 r t ] t = 0 2 π r = π r 2 . =int _ ^ >r,dt&<>=left[ >rt
ight]_ ^ &<>=pi r^ .end

Быстрая аппроксимация [ править | править код ]

Вычисления, проведённые Архимедом, были трудоёмкими и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод использует идеи Снелла (1621), позднее развитые Гюйгенсом (1654) [6] .

Метод удвоения Архимеда [ править | править код ]

Если задан круг, пусть un будет периметром вписанного правильного n-угольника, а Un — периметром описанного правильного n-угольника. Тогда un и Un являются нижней и верхней границей длины окружности, которые становятся точнее с ростом n, а их среднее значение (un + Un)/2 становится особенно хорошей аппроксимацией длины окружности. Чтобы вычислить un и Un для больших n, Архимед вывел следующие формулы:

u 2 n = U 2 n u n = u_ >>> (среднее геометрическое) U 2 n = 2 U n u n U n + u n = u_ > +u_ >>> (среднее гармоническое).

Начав с шестиугольника, Архимед удваивал n четыре раза, дойдя до 96-угольника, который дал ему хорошую аппроксимацию длины окружности круга.

В современных обозначениях можно воспроизвести эти вычисления (и пойти дальше). Для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет периметр u6 = 6, а описанный шестиугольник имеет периметр U6 = 4√3. Удваиваем семь раз, получаем

k n un Un (un + Un)/4
6 6,0000000 6,9282032 3,2320508
1 12 6,2116571 6,4307806 3,1606094
2 24 6,2652572 6,3193199 3,1461443
3 48 6,2787004 6,2921724 3,1427182
4 96 6,2820639 6,2854292 3,1418733
5 192 6,2829049 6,2837461 3,1416628
6 384 6,2831152 6,2833255 3,1416102
7 768 6,2831678 6,2832204 3,1415970

(здесь (un + Un)/2 аппроксимирует длину единичной окружности, которая равна 2 π , так что (un + Un)/4 аппроксимирует π )

Последняя строка таблицы содержит 355 ⁄113 — лучшее рациональное приближение, то есть не существует приближения лучшего этого со знаменателем до 113.
Число 355 ⁄113 является прекрасным приближением для π , нет рационального числа более близкого к π со знаменателем до 16604. [7]

Улучшение Снелла-Гюйгенса [ править | править код ]

Снелл предложил (а Гюйгенс доказал) более тесные границы, чем у Архимеда:

n 3 sin ⁡ π n 2 + cos ⁡ π n π n [ 2 sin ⁡ π 3 n + tan ⁡ π 3 n ] . >> >>>

Для n = 48 формула даёт приближение лучше (около 3,14159292), чем метод Архимеда для n = 768.

Развитие формулы удваивания Архимеда [ править | править код ]

Пусть одна сторона вписанного правильного n-угольника имеет длину sn и пусть точки A и B — её концы. Пусть A′ — противоположная A точка на окружности, так что A′A является диаметром, а A′AB является вписанным треугольником, опирающимся на этот диаметр. По теореме Фалеса этот треугольник является прямоугольным (угол B прямой). Пусть длина A′B равна cn и эту длину будем называть дополнением sn. Тогда cn 2 +sn 2 = (2r) 2 . Пусть точка C делит дугу AB пополам, и пусть C′ является противоположной C точкой окружности. Тогда длина CA равна s2n, длина C′A равна c2n, а C′CA снова является прямоугольным треугольником, опирающимся на диаметр C′C. Поскольку C делит дугу AB пополам, диаметр C′C перпендикулярен хорде AB, которую он пересекает, скажем, в точке P. Треугольник C′AP тогда прямоуголен и подобен C′CA, поскольку у них общий угол C′. Получаем, что все три соответствующие стороны находятся в одной и той же пропорции. В частности, мы имеем C′A : C′C = C′P : C′A и AP : C′A = CA : C′C. Центр окружности O делит A′A пополам, так что треугольник OAP подобен A′AB и длина OP равна половине длины A′B. В результате получаем

c 2 n 2 = ( r + 1 2 c n ) 2 r c 2 n = s n s 2 n . ^ &<>=left(r+ >c_
ight)2rc_ &<>= > >>.end >>

В первом равенстве отрезок C′P равен сумме C′O+OP, что равно r+ 1 ⁄2cn, а отрезок C′C является диаметром и его длина равна 2r. Для единичного круга получаем знаменитую формулу удвоения Людольфа Ван Цейлена

c 2 n = 2 + c n . = >>.>

Если мы теперь построим правильный описанный n-угольник со стороной ″B″, параллельной AB, то OAB и OA″B″ являются подобными с отношением подобия A″B″ : AB = OC : OP. Обозначим описанную сторону Sn, тогда отношение превращается в Sn : sn = 1 : 1 ⁄2cn. (Мы снова используем факт, что OP равен половине A′B.) Получаем

c n = 2 s n S n . =2 > >>.>

Обозначим периметр вписанного многоугольника через un = nsn, а описанного через Un = nSn. Комбинируя равенства, получим

c 2 n = s n s 2 n = 2 s 2 n S 2 n , = > >>=2 > >>,>

u 2 n 2 = u n U 2 n . ^ =u_ U_ .>

Можно также вывести

2 s 2 n S 2 n s n s 2 n = 2 + 2 s n S n , > >> > >>=2+2 > >>,>

2 U 2 n = 1 u n + 1 U n . >>= >>+ >>.>

Аппроксимация случайными бросаниями [ править | править код ]

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно распространяются по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10 −n необходимо около 100 n случайных испытаний [8] .

Конечная перегруппировка [ править | править код ]

Как мы видели, разбив диск на бесконечное число кусков мы можем из них затем собрать прямоугольник. Интересный факт был открыт относительно недавно Лацковичем [9] , что мы можем разбить круг на большое, однако конечное число кусков, а затем перегруппировать их в квадрат той же площади. Сам вопрос о таком конечном разбиении носит название «Квадратура круга Тарского».

Обобщения [ править | править код ]

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π /4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π /4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — π ab/4.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

[spoiler title=”источники:”]

http://allcalc.ru/node/18

http://web-shpargalka.ru/2-pi-r-kvadrat-jeto-formula.php

[/spoiler]

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Некоторые учащиеся не понимают, как найти площадь круга по исходным данным. Для начала нужно запомнить формулу, по которой вычисляется площадь круга: S=pi r^{2}. Формула проста: чтобы найти площадь круга, нужно знать только его радиус. Но нужно уметь преобразовывать другие исходные величины, чтобы воспользоваться этой формулой.

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 1

    1

    Найдите радиус круга. Радиус – это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой внешней окружности круга. Радиус можно измерить в любом направлении: он будет одним и тем же. Радиус также равен половине диаметра круга. Диаметр – это отрезок, который проходит через центр круга и соединяет две точки внешней окружности круга.[1]

    • Как правило, значение радиуса дано в условиях задачи. Довольно трудно найти точный центр круга, если только он не обозначен на круге, который нарисован на бумаге.
    • Например, радиус круга равен 6 см.

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 2

    2

    Возведите радиус в квадрат. Формула для вычисления площади круга: S=pi r^{2}, где r – радиус, который возведен во вторую степень (в квадрат).[2]

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 3

    3

    Полученный результат умножьте на число Пи. Это число обозначается греческой буквой pi и представляет собой математическую константу, которая характеризует взаимосвязь радиуса и площади круга. Число Пи приблизительно равно 3,14. Точное значение числа Пи включает бесконечное количество цифр. Иногда ответ (площадь круга) записывается с постоянной pi .[3]

    • В нашем примере (r = 6 см) площадь вычисляется так:

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 4

    4

    Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. Если радиус дан в сантиметрах, площадь измеряется в квадратных сантиметрах. Если радиус дан в миллиметрах, площадь измеряется в квадратных миллиметрах. Уточните у преподавателя, нужно ли представить ответ с постоянной pi или в числовой форме, используя приблизительное значение числа Пи. Если требование не ясно, запишите оба варианта ответа.[4]

    • В нашем примере (r = 6 см) S = 36pi см2 или S = 113,04 см2.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 5

    1

    Измерьте или запишите диаметр. В некоторых задачах радиус не дан. Вместо радиуса указывается диаметр. Если диаметр нарисован на бумаге, измерьте его с помощью линейки. Скорее всего, числовое значение диаметра будет задано.

    • Например, диаметр круга равен 20 мм.

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 6

    2

    Разделите диаметр пополам. Помните, что диаметр равен удвоенному радиусу. Поэтому разделите любое значение диаметра на 2, чтобы найти радиус.

    • Таким образом, если диаметр круга равен 20 мм, то радиус круга равен 20/2 = 10 мм.

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 7

    3

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 8

    4

    Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. В нашем примере диаметр дан в миллиметрах, поэтому радиус тоже измеряется в миллиметрах, а площадь в квадратных миллиметрах. В нашем примере S = 100pi мм2.

    • Также ответ можно представить в численной форме, используя вместо pi приблизительное значение 3,14. В этом случае S = (100)(3,14) = 314 мм2.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 9

    1

    Запишите преобразованную формулу. Если известна длина окружности круга, можно воспользоваться преобразованной формулой для вычисления его площади. Такая формула включает длину окружности, а не радиус, и записывается так:

    • S={frac {C^{2}}{4pi }}

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 10

    2

    Измерьте или запишите длину окружности. В некоторых ситуациях нельзя точно измерить диаметр или радиус. Если диаметр не нарисован или центр не отмечен, очень сложно найти точный центр круга. Длину окружности некоторых предметов (например, сковороды) довольно легко измерить с помощью рулетки, то есть можно найти более точное значение длины окружности, чем диаметра.[5]

    • Например, длина окружности круга (или круглого предмета) равна 42 см.

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 11

    3

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 12

    4

    Запишите формулу для вычисления площади круга. Запишите преобразованную формулу на основе соотношения между длиной окружности и радиусом. Подставьте последнее равенство в стандартную формулу для вычисления площади круга:[7]

  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 13

    5

    Воспользуйтесь преобразованной формулой, чтобы решить задачу. Теперь в формуле вместо радиуса присутствует длина окружности, поэтому можно вычислить площадь круга по известной длине окружности. Подставьте значение длины окружности и выполните вычисления следующим образом:[8]

  6. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 14

    6

    Запишите ответ. Если длина окружности дана в виде числа, а не произведения числа и pi , ответ можно записать с pi в знаменателе. Или вместо числа Пи подставьте его приблизительное значение (3,14).[9]

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 15

    1

    Запишите известные величины. В некоторых задачах дана площадь сектора круга, по которой нужно найти площадь всего круга. Внимательно прочитайте такую задачу; ее условие может выглядеть так: «Площадь сектора круга равна 15pi см2. Найдите площадь всего круга».[10]

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 16

    2

    Запомните определение сектора. Сектор круга – это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами. Пространство между такими радиусами и дугой называется сектором.[11]

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 17

    3

    Измерьте центральный угол сектора. Воспользуйтесь транспортиром, чтобы измерить угол между двумя радиусами. Линейку (прямолинейную шкалу) совместите с одним из радиусов, причем центр линейки должен совпадать с центром круга. Затем найдите величину угла; для этого посмотрите на точку пересечения второго радиуса с угломерной шкалой.[12]

    • Не перепутайте внутренний и внешний угол между двумя радиусами. В задаче должно быть указано, с каким углом работать. Помните, что сумма внутреннего и внешнего углов равна 360 градусов.
    • Во многих задачах центральный угол дан, то есть измерять его не нужно. Например, в задаче может быть сказано: «Центральный угол сектора равен 45 градусов»; если это не так, измерьте центральный угол.

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 18

    4

    Используйте преобразованную формулу для вычисления площади круга. Если известны площадь сектора и его центральный угол, используйте следующую преобразованную формулу, чтобы найти площадь круга: [13]

  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 19

    5

  6. Изображение с названием Calculate the Area of a Circle Step 20

    6

    Запишите ответ. В нашем примере сектор составлял одну восьмую полного круга. Поэтому площадь полного круга равна 120pi см2. Так как площадь сектора дана с постоянной pi , скорее всего, ответ тоже можно представить с этой постоянной.[15]

    • Чтобы записать ответ в численной форме, умножьте 120 x 3,14 = 376,8 см2.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 264 783 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Круг – это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.
Круг
Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом. В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром. Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно: Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

S={pi}R^2

Иконка карандаша 24x24Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.
S={3,14}*4^2={3,14}*16=50,24
Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.

Существует формула площади круга через диаметр. Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения площади треугольника по площади описанной окружности.

S={pi/4} d^2

Иконка карандаша 24x24Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.
d=2R
d=2*4=8
Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:
S={{3,14}/4 }*8^2=0,785*64=50,24
Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.

Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.

Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности: R=l/2pi
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

S=pi{(l/2pi)}^2=l^2/{4pi}

Иконка карандаша 24x24Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l = 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:
S={8^2}/{4*3,14}=64/{12,56}=5
Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.

Площадь круга описанного вокруг квадрата

Круг описанный вокруг квадрата
Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: d^2=2a^2 отсюда d=sqrt{2a^2}.
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: R=d/2.
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата: S=pi{R^2}

Иконка карандаша 24x24Рассмотрим пример расчета площади круга, описанного вокруг квадрата.
Задача: дан квадрат, вписанный в круг. Его сторона a = 4 см. Найдите площадь окружности.
Для начала рассчитаем длину диагонали d.
d=sqrt{2*{4^2} }=sqrt{2*16}=4sqrt{2}
R={4sqrt{2}}/2=2sqrt{2}
Теперь подставляем данные в формулу
S=3,14*(2sqrt{2})^2=8*3,14=25,12

Зная несколько простых правил и теорему Пифагора, мы смогли рассчитать площадь описанной вокруг квадрата окружности.

Источник

Добавить комментарий