В данной публикации мы рассмотрим определение и разновидности тетраэдра, а также формулы для расчета площади его поверхности (одной грани и полной) и объема. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
- Определение тетраэдра
- Виды тетраэдра
- Формулы площади и объема правильного тетраэдра
Определение тетраэдра
Тетраэдр – это разновидность пирамиды; четырехгранник, гранями которого являются треугольники.
Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.
Развертка тетраэдра на примере правильной фигуры представлена ниже:
Основные элементы и свойства тетраэдра (к нему применимы свойства правильной пирамиды) мы рассмотрели в отдельной публикации.
Виды тетраэдра
- Равногранный тетраэдр – боковые грани фигуры равны, а основанием является правильный (равносторонний) треугольник.
- Прямоугольный тетраэдр – угол между всеми тремя ребрами при одной вершине является прямым, т.е. равным 90°.
- Правильный тетраэдр – все ребра равны, а грани, соответственно, являются равносторонними треугольниками.
- Ортоцентричный тетраэдр – все высоты, проведенные из всех вершин фигуры к противолежащим граням, пересекаются в одной точке.
Формулы площади и объема правильного тетраэдра
Площадь поверхности
Объем
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 4 декабря 2019 года; проверки требуют 8 правок.
| Правильный тетраэдр | |||
|---|---|---|---|
 |
|||
 |
|||
| Тип | правильный многогранник | ||
| Комбинаторика | |||
| Элементы |
|
||
| Грани | правильные треугольники | ||
| Конфигурация вершины | 3.3.3 | ||
| Двойственный многогранник | тоже правильный тетраэдр | ||
| Классификация | |||
| Символ Шлефли | {3,3} | ||
| Группа симметрии |
 |
||
| Количественные данные | |||
| Длина ребра |
 |
||
| Площадь поверхности |
 |
||
| Объём |
 |
||
| Телесный угол при вершине |
 ср |
Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.
У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.
Свойства правильного тетраэдра[править | править код]
- Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна
. - В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с серединными треугольниками четырёх граней тетраэдра, а все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
- Правильный тетраэдр можно вписать в куб, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба, а все шесть рёбер тетраэдра будут совмещены с диагоналями граней куба.
Интересные факты[править | править код]
Середины граней правильного тетраэдра также образуют правильный тетраэдр.
Соотношения:
- рёбер и высот правильных тетрадров, радиусов переписанных, описанных и писанных сфер соответственно равны ;
- площадей поверхности равно ;
- объёмов равно .
Autodualité du tétraèdre régulier.
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 3 4 5 Coxeter, 1948.
Литература[править | править код]
- Harold Scott MacDonald Coxeter. Table I(i) // Regular Polytopes. — Methuen and Co., 1948.
Площадь поверхности правильного тетраэдра
Тетраэдр — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, треугольная пирамида. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным.
Площадь поверхности правильного тетраэдра рассчитывается по формуле:
,
где a – длина ребра.
Калькулятор площади поверхности правильного тетраэдра позволит найти площадь полной поверхности правильного тетраэдра, зная длину его ребра.
Поделиться страницей в социальных сетях:
Площадь поверхности тетраэдра
Площадь поверхности тел
Тетраэдром является геометрическая фигура, представляющая собой простейший многогранник с четырьмя гранями. Любая грань тетраэдра является треугольником. Кроме 4-х граней у тетраэдра имеется шесть ребер и четыре вершины. В правильном тетраэдре все ребра равны. Расчет S тетраэдра необходим при решении разных проектировочных задач, т.к. он является важным конструктивным элементом в сложных строительных и других конструкциях. Площадь поверхности тетраэдра несложно вычислить с помощью онлайн калькулятора, подставив исходные данные в приведенную ниже формулу:
a — величина ребра тетраэдра.
Площадь тетраэдра рассчитывается как корень квадратный из произведения квадрата длины ребра на 3.
Расчет площади поверхности тетраэдра
Вычисление площади правильной треугольной пирамиды
Определение
Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) — это многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник со сторонами a и боковыми гранями в виде равнобедренных треугольников с основанием a и сторонами b.
Площадь поверхности такой фигуры складывается из площадей основания многогранника и трех боковых граней. В записи на математический язык это выглядит так:
((1);S=S_{осн}+3times S_{бок})
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Нахождение площади основания пирамиды
Поскольку правильный тетраэдр основан на треугольнике, для определения площади основания рассматриваемого многогранника воспользуемся формулой нахождения площади треугольника:
(S=frac12ah)
Значение переменных: a — длина стороны равностороннего треугольника, h — его высота.
Далее произведем подстановку формулы вычисления высоты правильного треугольника и получим искомое выражение:
((2);S_{осн}=frac{sqrt3}4a^2)
Вычисление площади боковых граней и полной поверхности
Боковые грани правильной треугольной пирамиды представлены тремя равнобедренными треугольниками. Выведем формулу расчета площади каждого из них из классического способа вычисления площади треугольника:
(S=frac12ah)
Здесь переменная a обозначает основание треугольника, h — его высоту.
Теперь выполним подстановку выражения, с помощью которого находится высота треугольника с одинаковыми бедрами, и получим уравнение определения площади равнобедренного треугольника:
((3);S_{бок}=frac{asqrt{b^2-frac{a^2}4}}2)
В этом случае b — это боковые ребра треугольника, равные между собой.
Подставим в выражение (1) формулы (2) и (3) и получим уравнение, с помощью которого рассчитывается площадь полной поверхности правильного тетраэдра:
(S=frac{sqrt3}4a^2+frac32times asqrt{b^2-frac{a^2}4})
Примеры задач с решением
Задача
Дано
Правильный тетраэдр MABC с вершиной М. Высота основания AK=3 см.
∠MAB=∠MAC=∠MBA=∠MBC=∠MAB=∠MCA=∠MCB=45°. Необходимо вычислить площадь пирамиды MABC.
Решение
В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник с известной длиной высоты. Применим свойство правильного треугольника, состоящее в следующем:
(h=frac{sqrt3}2a)
Преобразуем данное выражение так, чтобы вывести формулу стороны a:
(a=frac h{frac{sqrt3}2})
Теперь найдем a:
(a=frac3{frac{sqrt3}2}=frac{3times2}{sqrt3}=frac6{sqrt3})
Подставим полученное выражение в формулу нахождения площади основания правильного многогранника с тремя боковыми гранями:
(S_{осн}=frac{sqrt3}4timesleft(frac6{sqrt3}right)^2=frac{sqrt3}4timesfrac{6^2}{sqrt3^2}=frac{36sqrt3}{4times3}=3sqrt3)
Далее необходимо найти площадь боковых граней тетраэдра. Для этого произведем вычисление высоты MK. Так как угол между гранью и основанием пирамиды равен 45°, то ∠OKM=45°, следовательно:
(frac{OK}{MK}=cosleft(45^circright)=frac{sqrt2}2)
По свойству правильного треугольника, отрезок OK равен радиусу вписанной в ΔABC окружности.
Найдем ее по соответствующей формуле:
(OK=r=frac{sqrt3}6a=frac{sqrt3}6timesfrac6{sqrt3}=frac{6sqrt3}{6sqrt3}=1)
Подставим найденную величину в отношение ОК к МК:
(frac{OK}{MK}=frac{sqrt2}2)
(frac1{MK}=frac{sqrt2}2)
Из данной пропорции выведем выражение, по которому можно определить длину высоты MK:
(MK=frac2{sqrt2})
Теперь, когда известны основание и высота равнобедренного треугольника, составляющего боковую грань пирамиды MABC, подставим значения в классическую формулу нахождения площади треугольника:
(S_{бок}=frac12ah=frac12timesfrac6{sqrt3}timesfrac2{sqrt2}=frac{1times6times2}{2timessqrt3timessqrt2}=frac{12}{2sqrt6}=frac6{sqrt6})
Суммируем площадь основания и боковых граней пирамиды:
(S_{MABC}=3sqrt3+3times6sqrt6=3sqrt3+18sqrt6)
Ответ, выраженный в квадратных сантиметрах: (3sqrt3+18sqrt6;(см^2))
