Равносторонним, или правильным, называется треугольник, в котором все стороны одинаковой длины, а все три угла равны 60°.
В таком треугольнике центр вписанной и описанной окружности находятся в одной точке, а радиус описанной окружности равняется двойному радиусу вписанной: 
Для нахождения площади равностороннего треугольника можно применять различные формулы.
1.Через сторону…
Учитывая, что все стороны равны и зная их длину, можно легко найти значение по формуле площади правильного треугольника:
Эта формула выводится из обычной формулы площади треугольника через синус угла.
| Сторона треугольника = | |
| Ответ: Площадь треугольника= 21.218 |
Пример расчета площади равностороннего треугольника через сторону.
Задача:
дан равносторонний треугольник со стороной a= 5 см. Найдите площадь
Решение:
Площадь треугольника будет равна 10,6 квадратных сантиметра
2.Через описанную окружность…
Можно найти значение через радиус описанной окружности. Он может быть дан условиями или рассчитываться исходя из радиуса вписанной окружности по приведенной выше формуле:
| Радиус описанной окружности = | |
| Ответ: Площадь треугольника= 10.000 |
2.Через вписанную окружность…
Также есть формула нахождения площади, через радиус вписанной окружности.
Рассмотрим пример расчета площади правильного треугольника через вписанную окружность.
Задача
: дан правильный треугольник, в который вписана окружность. Сторона a= 4 см, радиус R = 2,5 см. Рассчитайте площадь через радиус описанной окружности.
Решение
: мы уже знаем, что радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной. Найдем его:
Теперь подставим найденное значение в формулу:
Получаем, что площадь треугольника равна 32,9 кв. см
Содержание
- Определение
- Введение
- Теорема
- Формула
- Пример
- Доказательство
- Заключение
Определение
Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.
Введение
Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!
Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.
Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.
Теорема
( S = frac{1}2 * BC * AC * sin angle BCA )
Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.
Формула
[ S = frac{1}2 * a * b * sin α ]
Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.
Пример
Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.
Нужно найти площадь треугольника omk.
Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.
Найти: S △omk — ?
Решение:
1) ( S = frac{1}2*a*b*sin α )( implies )( S = frac{1}2*mk*ok*sin okm )
2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6
Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.
Доказательство
Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.
Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.
Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.
Заключение
В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.
Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.
Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.
Please wait.
We are checking your browser. mathvox.ru
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6d99b2895f571628 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare
Площадь правильного треугольника — формулы, свойства и признаки
Формулы площади
правильного треугольника
- Формула площади правильного треугольника,
выраженная через сторону:
Формула площади правильного треугольника,
выраженная через периметр:
Формула площади правильного треугольника,
выраженная через радиус вписанной окружности:
Формула площади правильного треугольника,
выраженная через радиус описанной окружности:
Мы рассмотрели признаки, того что площадь в треугольнике является
площадью правильного треугольника, и рассмотрели формулы площади
характерные для правильного треугольника.
Признаки площади
правильного треугольника
Площадь в произвольном треугольнике, является площадью
правильного треугольника, если выполняется ряд признаков.
Например, если один из признаков правильного треугольника
истинен для произвольного треугольника, то площадь
можно найти по формулам истинным только для
правильного треугольника.
В правильном треугольнике все углы имеют градусную
меру в 60 градусов.Также, в правильном треугольнике
сумма градусных мер всех углов 180 градусов.
Перечислим основные признаки правильного треугольника:
- Все углы равны.
- Все стороны равны.
- Каждый угол по 60 градусов.
Если, для произвольного треугольника истинен один из
вышеперечисленных признаков, то треугольник правильный.
Соответственно, площадь в правильном треугольнике можно
найти, по формулам площади правильного треугольника.
Как найти площадь треугольника
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
, где , — стороны, — угол между ними.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
, где , — части гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
[spoiler title=”источники:”]
http://colibrus.ru/ploschad-pravilnogo-treugolnika-formuly-i-priznaki/
http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika
[/spoiler]
Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон, образованных путем соединения трех точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.
-
Общие формулы расчета площади треугольника
- По основанию и высоте
- Формула Герона
-
Через две стороны и угол между ними
- Площадь прямоугольного треугольника
- Площадь равнобедренного треугольника
-
Площадь равностороннего треугольника
- Через длину стороны
- Через высоту
- Примеры задач
Общие формулы расчета площади треугольника
По основанию и высоте
Площадь (S) треугольника равняется половине произведения его основания и высоты, проведенной к нему.
Формула Герона
Для нахождения площади (S) треугольника необходимо знать длины всех его сторон. Считается она следующим образом:
p – полупериметр треугольника:
Через две стороны и угол между ними
Площадь треугольника (S) равняется половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь (S) фигуры равняется половине произведения его катетов.
Площадь равнобедренного треугольника
Площадь (S) рассчитывается по следующей формуле:
Площадь равностороннего треугольника
Чтобы найти площадь правильного треугольника (все стороны фигуры равны), необходимо воспользоваться одной из формул ниже:
Через длину стороны
Через высоту
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а высота, проведенная к ней – 5 см.
Решение:
Используем формулу, в которой участвуют длина стороны и высота:
S = 1/2 ⋅ 7 см ⋅ 5 см = 17,5 см2.
Задание 2
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 3, 4 и 5 см.
Решение 1:
Воспользуемся формулой Герона:
Полупериметр (p) = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см.
Следовательно, S = √6(6-3)(6-4)(6-5) = 6 см2.
Решение 2:
Т.к. треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный, его площадь можно посчитать по соответствующей формуле:
S = 1/2 ⋅ 3 см ⋅ 4 см = 6 см2.
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
32 794
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
Делайте так:
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
( 32 оценки, среднее 4.44 из 5 )
Оцените статью
ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА
Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сети
ПОДПИСАТЬСЯ
