Как найти площадь правильного восьмиугольника со стороной – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Восьмиугольник – это геометрическая фигура из мира многоугольников; восьмиугольник имеет 8 сторон и 8
углов или вершин. Правильный многоугольник представляет собой выпуклый многоугольник с равенством
всех сторон и всех углов при вершинах. Следовательно, правильный восьмиугольник – это выпуклый
восьмиугольник, с равенством 8 сторон и 8 углов при вершинах. Другое название фигуры – октагон, от
латинского octo», что означает «восемь». Иногда требуется узнать площадь геометрической фигуры по
некоторым ее известным размерам, например, с целью узнать расход материала на изготовление, заливку,
окраску; или же массу в отсутствие весов при известной толщине многоугольной плитки и плотности
материала.

Для вычисления площади октагона необходимо знать его периметр, который в данном случае равен сумме
длин его 8 сторон (восьмикратной длине одной стороны), и апофему. В планиметрии апофемой называется
длина перпендикуляра, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон.

При известной апофеме площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на апофему,
деленному на 2 (в пределе эта формула справедлива даже для круга, где «апофема» равна радиусу).
Поскольку периметр в рассматриваемом случае равен длине стороны, умноженной на 8, искомый параметр
найдется как произведение длины стороны на апофему, умноженный на 4.

Площадь правильного восьмиугольника через длину стороны
Площадь правильного восьмиугольника через радиус описаной
окружности
Площадь правильного восьмиугольника через радиус вписаной
окружности

Через длину стороны

Рис 1

Если апофема неизвестна, ее можно узнать по длине стороны a, исходя из тригонометрических
соотношений, и тогда искомая площадь определится как

S = 2 * a² * (1 + √2)

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример вычисления: при длине стороны a=8 м площадь равна 4,828 * 8² = 309 кв.м.

Через радиус вписанной окружности

Рис 3

Поскольку апофема является радиусом вписанной окружности r, появляется возможность вычислить площадь
через радиус вписанной окружности:

S = 8 * r² * (√2 — 1)

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример: при радиусе вписанной окружности 15 м площадь равна 3,314 * 15² = 746 кв.м.

Через радиус описанной окружности

Рис 2

При знании лишь радиуса описанной окружности R возможно вычисление площади по формуле:

S = 2 * √2 * R²

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример: при радиусе описанной окружности 9 м площадь равна 2,828  92 = 229 кв.м.

Свойства правильного восьмиугольника

Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°, отсюда угол при его вершине
равен 1080°/8=135°. В правильном восьмиугольнике всего 20 диагоналей; длина четырех самых длинных из
них равна двум радиусам описанной окружности.

В природе восьмиугольники встречаются не так часто, как шестиугольники (поскольку восьмиугольники, в
отличие от шестиугольников, не могут заполнить плоскость), но примеры можно найти.

Распространение правильного восьмиугольника в быту и окружающей жизни

Восьмиугольная форма – распространенный архитектурный элемент дизайна. Купол мусульманского святилища
Скала в Иерусалиме в плане октагон. Подобная форма также распространена в архитектуре, например, в
соборе Святого Георгия (Аддис-Абеба), базилике Сан-Витале (Равенна, Италия), Кастель дель Монте
(Апулия, Италия), баптистерии во Флоренции, церкви Цум Фридефюрстен (Германия) и ряде норвежских
церквей. Центральное помещение Ахенского собора, Каролингская Палатинская капелла, также имеет форму
октагона.

Мистики считали, что октагон объединяет «ограниченность земного и бесконечность небесного круга»,
объединяет Бога и человека, жизнь и смерть.

Восьмиугольная планировка пола использовалась в зданиях для разделения офисов и служб здания;
например, в штаб-квартире Intelsat в Вашингтоне, офисах Callam в Канберре и офисах Octagon в
Парраматте, Австралия.

Запрещающий дорожный знак «Движение без остановки запрещено» имеет форму красного правильного
восьмиугольника с надписью STOP в России и ряде многих других стран.

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 апреля 2021 года; проверки требуют 5 правок.

Восьмиугольник
Правильный восьмиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	8
Символ Шлефли	{8}, t{4}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D₈)
Площадь	${displaystyle 2cot {frac {pi }{8}}a^{2}}$ ${displaystyle =2(1+{sqrt {2}})a^{2}approx 4,828,a^{2}.}$
Внутренний угол	135°
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный^[en], изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Правильный восьмиугольник (или октагон от греч. οκτάγωνο) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.

Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8}^[1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t{4}, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t{8}) является шестнадцатиугольником (t{16}).

Свойства[править | править код]

Построение правильного восьмиугольника

Построение правильного 8-угольника путём складывания листа бумаги

Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
Угол правильного восьмиугольника составляет $135^{circ }$

Формулы расчёта параметров правильного аборта[править | править код]

Пример:

t — длина стороны восьмиугольника
r — радиус вписанной окружности
R — радиус описанной окружности
S — площадь восьмиугольника
k — константа, равная ${displaystyle (1+{sqrt {2}})approx 2,414}$

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной $kt$ , радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

$r={frac {k}{2}}t$

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

$R=t{sqrt {{frac {k}{k-1}}}}$

Площадь правильного восьмиугольника:

Через сторону восьмиугольника

${displaystyle S=2kt^{2}=2(1+{sqrt {2}})t^{2}approx 4,828,t^{2}.}$

Через радиус описанной окружности

${displaystyle S=4sin {frac {pi }{4}}R^{2}=2{sqrt {2}}R^{2}approx 2,828,R^{2}.}$

Через апофему (высоту)

${displaystyle A=8tan {frac {pi }{8}}r^{2}=8({sqrt {2}}-1)r^{2}approx 3,314,r^{2}.}$

Площадь через квадрат[править | править код]

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

${displaystyle S=A^{2}-a^{2},}$

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

${displaystyle A={frac {a}{sqrt {2}}}+a+{frac {a}{sqrt {2}}}=(1+{sqrt {2}})aapprox 2,414a.}$

Тогда площадь равна:

${displaystyle S=((1+{sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{sqrt {2}})a^{2}approx 4,828a^{2}.}$

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

${displaystyle S=2({sqrt {2}}-1)A^{2}approx 0,828A^{2}.}$

Ещё одна простая формула площади:

${displaystyle S=2aA.}$

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

${displaystyle aapprox A/2,414.}$

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

${displaystyle e=(A-a)/2.}$

Симметрия[править | править код]

11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih₈ порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih₄, Dih₂ и Dih₁, а также 4 циклические подгруппы — Z₈, Z₄, Z₂ и Z₁. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 ^[2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

Примеры восьмиугольников по их симметриям

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный^[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным^[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

Разрезание правильного восьмиугольника[править | править код]

Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта ^[3].

Разрезание правильного восьмиугольника

На 6 ромбов

Тессеракт

Применение восьмиугольников[править | править код]

Восьмиугольный план Купола Скалы

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии^[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Другие использования[править | править код]

Зонты часто имеют восьмиугольную форму
Знаменитая восьмиугольная чашка с острова Белитунг

Производные фигуры[править | править код]

Связанные многогранники[править | править код]

Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

Усечённые гиперкубы

							…
Восьмиугольник	Усечённый куб	Усечённый тессеракт	Усечённый 5-куб	Усечённый 6-куб	Усечённый 7-куб	Усечённый 8-куб

Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

Расширенные гиперкубы

							…
Октаэдр	Ромбокубооктаэдр	Обструганный тессеракт	Обрубленный 5-куб	Пятиогранённый 6-куб	Шестиогранённый 7-куб	Семиогранённый 8-куб

См. также[править | править код]

Восьмерик
Восьмиугольное число
Октаграмма
Площадь Октогон в Будапеште, Венгрия
Сглаженный восьмиугольник

Примечания[править | править код]

↑ Wenninger, 1974, с. 9.
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008, с. 275—278.
↑ Болл, Коксетер, 1986, с. 155—157.

Литература[править | править код]

У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google Архивная копия от 2 января 2016 на Wayback Machine (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275—278. — ISBN 978-1-56881-220-5.

Источник

Есть ли простая формула для определения площади восьмиугольника?

Для правильного восьмиугольника существует формула S = ( 2 + 2 sqrt(корень кв) 2) a^2. где a – длина стороны восьмиугольника. Если восьмиугольник неправильный, его стоит разбить на более простые фигуры (например, треугольники), вычислить их площади и просуммировать. Есть еще вот такой сайт-помощник

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Радуга-Весна
[50.4K]

9 лет назад

Для того, чтобы определить площадь правильного восьмиугольника, надо разделить его на восемь равных треугольников. После этого нам необходимо определить площадь треугольника. Далее эту площадь мы умножаем на 8. Вот и получится площадь правильного восьмиугольника.

elena-kh
[245K]

10 лет назад

Возьмем правильный восьмиугольник.

текст при наведении

Посмотрите внимательнее на картинку, и Вы увидите восемь одинаковых треугольников!

Вспомните, что площадь треугольника =1/2* основание* высота=1/2*5*10/2=12.5 см2

Потом умножьте полученную сумму на 8. Получится 100 см2.

Знаете ответ?

Источник

Вычисление правильного восьмиугольника (многоугольник с восемью вершинами). Эта форма хорошо нам знакома, так как используется на некоторых дорожных знаках.

Поделиться расчетом:

Калькулятор восьмиугольника, введите одно известное значение

Длина стороны(a)

Меньшая диагональ(d1)

Средняя диагональ(e)

Большая диагональ(d3)

Периметр(p)

Площадь(S)

Радиус описанной окружности(R)

Радиус вписанной окружности(r)

Вычислить

Очистить

Формулы:

d = a * √4 + 2 * √2
e = a * ( 1 + √2 )
f = a * √2 + √2
Высота = e = 2 * r
Р = 8 * а
S = 2 * a2 * ( 1 + √2 )
R = a / 2 * √4 + 2 * √2
r = a / 2 * ( 1 + √2 )
Угол: 135°, 20 диагоналей.

Источник

Polygon is a closed, connected shape made of straight lines. It may be a flat or a plane figure spanned across two dimensions. The word Polygon is made up of 2 words first Poly means “many” and gons means “sides”. A polygon is created by using straight-line segments that are end to end connected with each other, and these line segments are known as sides of the polygon and the point is known as the vertex of the polygon. If a shape does not contain sides and angles then they are not a polygon-like circle. Some of the polygons are Square, Triangle, Pentagon, Hexagon, Octagon, etc.

A regular octagon is a closed figure with sides of the same length and internal angles of the same size. It has eight lines of reflective symmetry and rotational symmetry of order 8. The internal angle at each vertex of a regular octagon is 135°. The central angle is 45°.

Structure of an Octagon

Properties of an Octagon

An Octagon has eight sides and eight angles.
All Lengths of all the sides and the measurement of all the angles in an Octagon are equal.
The total number of diagonals present in an octagon is 20.
The sum of all interior angles is equal to 1080 degrees, with each interior angle measuring 135 degrees.
The sum of all exterior angles is equal to 360 degrees, with each exterior angle measuring 45 degrees

Formula for Area of an Octagon

2 × (side)² × (1+√2)

where, side is the side length of the octagon

Sample Problems

Question 1: Find the Area of an Octagon whose side is 8 cm.

Solution:

We know that side value is 8

So, substitute the value in area formula

=> 2 × (8)² × (1+√2) =>2*64*2.414 => 308.892 cm

Therefore the Area of an Octagon whose side 8 cm is 308.892 cm

Question 2: Find the Area of an Octagon whose side is 34 cm

Solution

We know that side value is 34

So, substitute the value in area formula

=> 2 × (34)² × (1+√2) =>2*1156*2.414 =>5581.1682 cm

Therefore the Area of an Octagon whose side 34 cm is 5581.1682 cm

Question 3: Find the Area of a swimming pool with an Octagon shape with one side 1 cm.

Solution:

We know that side value is 1 cm

So, Substitute the value in area formula

=> 2 × (1)² × (1+√2) =>2*1*2.414 =>4.828 cm

Therefore the Area of an swimming pool with Octagon shape with one side 1 cm is 4.828 cm

Question 4: Find the Area of a 500 gram weight with one side 3.4 cm.

Solution:

We know that side value is 3.4 cm

So, Substitute the value in area formula

=> 2 × (3.4)² × (1+√2) =>2*11.56*2.414 =>55.811 cm

Therefore the Area of an 500 gram weight with one side 3.4 cm is 4.55.811 cm

Question 5: Side of a base tower in octagonal shape is 3.4 cm. What is the area?

Solution:

We know that side value is 3.4 cm

so, Substitute the value in area formula

=> 2 × (3.4)² × (1+√2)) =>2*11.56*2.414 =>55.811 cm

Therefore the Area of tower base with one side 3.4 cm is 4.55.811 cm

Last Updated :
17 Jan, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Через длину стороны

Через радиус вписанной окружности

Через радиус описанной окружности

Свойства правильного восьмиугольника

Распространение правильного восьмиугольника в быту и окружающей жизни

Свойства[править | править код]

Формулы расчёта параметров правильного аборта[править | править код]

Площадь через квадрат[править | править код]

Симметрия[править | править код]

Разрезание правильного восьмиугольника[править | править код]

Применение восьмиугольников[править | править код]

Другие использования[править | править код]

Производные фигуры[править | править код]

Связанные многогранники[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Формулы:

Sample Problems

Вам также может понравиться

Как найти шнур от ноутбука

Как найти скрытые камеры в квартире

Как найти радиус круга зная диаметр круга

Добавить комментарий Отменить ответ