В зависимости от величин углов треугольника выделяют:
-
остроугольные треугольники
(все углы острые, как на рисунке выше);
-
прямоугольные треугольники
(один угол прямой —
∡P=90°
);
-
тупоугольные треугольники
Площадь треугольника
Прямоугольный треугольник легко представить как половину прямоугольника.
Если площадь прямоугольника равна произведению длин сторон, то для определения площади треугольника необходимо это произведение разделить на (2).
Допустим, (RP) (=) (a), (TP) (=) (b);
Если треугольник не имеет прямого угла, можно построить два прямоугольника, как показано на рисунке.
Допустим, (MA = BD = NC) (=) (h), (AC) (=) (a).
.
Как видно, достаточно в треугольнике от одной вершины провести отрезок под прямым углом к противолежащей стороне и использовать длины отрезка для определения площади треугольника.
Отрезок называют высотой треугольника.
Автор – составитель: Аксаментова Н. Н.
Предмет – математика
Класс – 5
Тема урока: «Площадь произвольного треугольника»
Тип урока: комбинированный урок.
Оборудование урока: Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович, самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений / И. И. Зубарева, М. С. Мильштейн, М. Н. Шанцева; компьютер; мультимедийный проектор.
Предварительные знания, умения и навыки: знать свойства площади; уметь вычислять площадь прямоугольника, площадь прямоугольного треугольника.
Цели урока: формирование и закрепление умений и навыков нахождения площади произвольного треугольника.
Образовательные ресурсы: Федеральное хранилище Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов. URL адрес: http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr.
Планируемые результаты в соответствии с ФГОС:
- Предметные:
Вычислять площадь прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника, произвольного треугольника.
Изображать эти геометрические фигуры.
- Метапредметные:
Познавательные УУД: умение работать с различными источниками информации, делать выводы, формулировать определения, понятия. Умение строить речевые высказывания в устной и письменной форме.
Личностные УУД: потребность в справедливом оценивании своей работы и работы одноклассников. Применение полученных знаний в практической деятельности.
Регулятивные УУД: умение определять цель урока и ставить задачи, необходимые для ее достижения.
Коммуникативные УУД: умение слушать учителя и одноклассников, аргументировать свою точку зрения, отвечать на вопросы.
- Личностные:
Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи. Понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию.
|
Структура урока |
Деятельность учителя |
Деятельность учащихся |
Формируемые УУД |
Время |
Время |
|
1. Организационный момент |
– Здравствуйте ребята. Я вижу интерес в ваших глазах. Что же мы сегодня узнаем нового? (Слайд 1) Угадайте, о какой величине я говорю: эта величина показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. (Площадь) (Слайд 2) – Сегодня мы будем продолжать работу над этой темой, но нам что-то предстоит узнать новое. |
Приветствуют учителя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к уроку. Отвечают на вопросы. |
Коммуникативные УУД: умение слушать учителя и одноклассников, аргументировать свою точку зрения, отвечать на вопросы |
3 мин |
|
|
2. Актуализация знаний и мотивация. |
Найдите “лишние” фигуры и обоснуйте свой ответ. (Слайд 3)
– Площади каких фигур мы можем вычислить? (Квадрата, прямоугольного треугольника, прямоугольника) – Находить площадь круга мы с вами научимся в 6 классе. А как же найти площадь последней фигуры? ПРОБЛЕМА! |
Рассматривают фигуры. Отвечают на вопросы. Делятся мнениями на поставленную проблему. |
Познавательные УУД: Умение делать выводы на основе полученной информации, устанавливать соответствие между объектами и их характеристиками. |
4 мин |
|
|
3. Постановка учебной задачи. |
– Можно ли найти площадь произвольного треугольника по известным нам формулам? – Какова же цель нашего урока? (Научиться находить площадь произвольного треугольника) – Но для этого нам нужно вспомнить, как находить площадь прямоугольного треугольника. Кто напомнит нам правило? (Слайд 4) (Площадь прямоугольного треугольника со сторонами a и b, образующими прямой угол, вычисляется по формуле S = (a*b): 2) Задание 1 (Устный счет). Найдите площадь треугольника: а) S = (8*5): 2 = 20; б) S = (6*13): 2 = 39; в) S = (4*15): 2 = 30; г) S = (10*3): 2 = 15. (Слайд 5) |
Высказывают гипотезу о нахождении площади. Формулируют цель урока. Вспоминают формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника. Выполняют устно Задание 1. |
Познавательные УУД: умение строить речевые высказывания в устной и письменной форме. Регулятивные УУД: умение определять цель урока и ставить задачи, необходимые для ее достижения. |
6 мин |
|
|
4. “Открытие” детьми (изучение нового материала) |
ПЛОЩАДЬ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. – Рассмотрите данный треугольник. Подумайте, как мы можем вычислить его площадь при помощи уже изученных нами формул? (Слайд 6, 7)
h h h a – Достроим его до прямоугольника так, чтобы основание а треугольника являлось длиной прямоугольника. Проведем высоту треугольника h (отрезок, проведенный из вершины угла треугольника к противоположной стороне под прямым углом). Высота является шириной прямоугольника. – Какие фигуры вы видите на рисунке? (Четыре прямоугольных треугольника, по два из которых одинаковые). – Площадь получившегося прямоугольника вычисляется по формуле: S = a*h, а площадь данного произвольного треугольника? S = (a*h): 2. Задание 2 (Устный счет). Найдите площадь треугольника: а) S = (15*6): 2 = 45; б) S = (20*9): 2 = 90; в) S = (18*5): 2 = 45; г) S = (11*8): 2 = 44. (Слайд 8) |
Рассматривают рисунок, предлагают свои варианты вычисления площади, учитель поправляет. Отвечают на вопросы. Выполняют устно Задание 2. |
Познавательные УУД: умение работать с различными источниками информации, делать выводы, формулировать определения, понятия. Умение строить речевые высказывания в устной и письменной форме. |
10 мин |
|
|
5. Динамическая пауза |
– Приготовились, динамическая пауза. (Слайд 9-16) Если ответ меньше, чем 5, то потянитесь вверх, если больше 5 – присядьте. 63 : 7; 24 : 8; 28 : 4; 56 : 8; 36 : 9; 45 : 5; 18 : 6; 9 : 3. |
Слушают учителя, решают устно примеры, выполняют физические упражнения. |
Коммуникативные УУД: умение слушать учителя |
3 мин |
|
|
6. Самостоятельная работа (с взаимопроверкой) |
– Вы теперь знаете, как вычислять площадь произвольного треугольника. Следующие 10 минут урока вы будете выполнять самостоятельную работу. (Слайд 17) – Открывайте книжечку для самостоятельных работ, вам необходимо выполнить Задания 1 и 2 на странице 84, 85. (10 минут выполняют самостоятельную работу) – Теперь поменяйтесь рабочими тетрадями с соседом по парте и проверьте задание. |
Открывают книжечку для самостоятельных работ, выполняют задания в рабочей тетради самостоятельно. Обмениваются тетрадями с соседом по парте, проверяют задания. |
Личностные УУД: потребность в справедливом оценивании своей работы и работы одноклассников. Применение полученных знаний в практической деятельности. |
10 мин |
|
|
7. Подведение итогов урока. Рефлексия |
– Пригодится ли вам в жизни умение находить площадь фигур? Где и зачем? (Слайд 18) |
Отвечают на вопросы. |
Познавательные УУД: умение делать выводы, строить речевые высказывания. Личностные УУД: потребность в справедливом оценивании своей работы и работы одноклассников. Применение полученных знаний в практической деятельности. Коммуникативные УУД: умение слушать учителя и одноклассников, аргументировать свою точку зрения, отвечать на вопросы. |
2 мин |
|
|
8. Домашнее задание |
П. 32, № 571. Подумайте, как можно найти площадь четырехугольника. (Слайд 19)
|
2 мин |
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
33 032
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
Делайте так:
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
( 32 оценки, среднее 4.44 из 5 )
Оцените статью
ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА
Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сети
ПОДПИСАТЬСЯ
Как найти площадь треугольника
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
, где , — стороны, — угол между ними.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
, где , — части гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Площади фигур. Площадь треугольника.
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, полностью принадлежащей
одной плоскости. Если фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, то площадь
будет равна числу этих квадратов.
Треугольник образуется соединением отрезками трех точек, не лежащих на одной прямой. Точки
называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.
Воспользуйтесь нашим калькулятором для расчета площади треугольника.
Для расчета площади других фигур воспользуйтесь этим калькулятором: площади фигур.
Ниже приведены основные формулы, по которым можно найти площадь треугольника:
1. Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину
проведенной к этой стороне высоты.
2. Формула площади треугольника по трем сторонам. Формула Герона.
3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между
4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности.
5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности. Площадь
треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
a, b, c – длины сторон треугольника,
где S – площадь треугольника,
h – высота треугольника,
γ – угол между сторонами a и b,
[spoiler title=”источники:”]
http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika
http://www.calc.ru/Ploshchadi-Figur-Ploshchad-Treugolnika.html
[/spoiler]
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}
Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали калькулятор для нахождения площади любого треугольника – равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного (разностороннего) по 22 формулам.
- Калькулятор площади треугольника
- Площадь треугольника
- через основание и высоту
- через две стороны и угол между ними
- через сторону и два прилежащих угла
- через радиус описанной окружности и 3 стороны
- через радиус вписанной окружности и 3 стороны
- по формуле Герона
- Площадь прямоугольного треугольника
- через катеты
- через гипотенузу и прилежащий угол
- через катет и прилежащий угол
- через радиус вписанной окружности и гипотенузу
- через вписанную окружность
- по формуле Герона
- через катет и гипотенузу
- Площадь равнобедренного треугольника
- через основание и сторону
- через основание, боковую сторону и угол
- через основание и высоту
- через боковые стороны и угол между ними
- через основание и угол между боковыми сторонами
- Площадь равностороннего треугольника
- через сторону
- через высоту
- через радиус описанной окружности
- через радиус вписанной окружности
- Примеры задач
Площадь треугольника
Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
Площадь треугольника через основание и высоту
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}
a – длина основания
h – высота, проведенная к основанию
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin(alpha)}
a и b – стороны треугольника
α – угол между сторонами a и b
Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла
{S = dfrac{a^2}{2} cdot dfrac{sin{(alpha)} cdot sin{(beta)}}{sin{(gamma)}}}
{gamma = 180 – (alpha + beta)}
a – сторона треугольника
α и β – прилежащие к стороне a углы
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны
{S = dfrac{a cdot b cdot c}{4 cdot R}}
a, b и c – стороны треугольника
R – радиус описанной окружности
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны
{S = r cdot dfrac{a + b + c}{2}}
a, b и c – стороны треугольника
r – радиус вписанной окружности
Площадь треугольника по формуле Герона
{S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}
a, b и c – стороны треугольника
p – полупериметр треугольника
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен 90 градусов).
Площадь прямоугольного треугольника через катеты
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b}
a и b – стороны треугольника
Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и прилежащий угол
{S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)}}
c – гипотенуза прямоугольного треугольника
α – прилежащий к гипотенузе c угол
Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол
{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot tg{(alpha)}}
a – катет прямоугольного треугольника
α – прилежащий к катету a угол
Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу
{S = r cdot (r+c)}
r – радиус вписанной окружности
c – гипотенуза прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность
{S = c_1 cdot c_2}
с1 и с2 – отрезки, полученные делением гипотенузы точкой касания окружности
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
{S = (p-a) cdot (p-b)}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}
a, b и c – стороны треугольника
p – полупериметр треугольника
Площадь прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2}}
a – катет прямоугольного треугольника
c – гипотенуза прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.
Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону
{S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2}}
a – боковая сторона равнобедренного треугольника
b – основание равнобедренного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника через основание, сторону и угол
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin{(alpha)}}
a – боковая сторона равнобедренного треугольника
b – основание равнобедренного треугольника
α – угол между основанием и боковой стороной
Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту
{S = dfrac{1}{2} cdot b cdot h}
b – основание равнобедренного треугольника
h – высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними
{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot sin(alpha)}
a – боковые стороны равнобедренного треугольника
α – угол между боковыми сторонами
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами
{S = dfrac{b^2}{4 cdot tg {( dfrac{alpha}{2} )}}}
b – основание равнобедренного треугольника
α – угол между боковыми сторонами
Площадь равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
{S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4}}
a – сторона равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника через высоту
{S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}}
h – высота равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
{S = dfrac{3 sqrt{3} cdot R^2}{4}}
R – радиус описанной окружности
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
{S = 3 sqrt{3} cdot r^2}
r – радиус описанной окружности
Примеры задач на нахождение площади треугольника
Задача 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 13 14 15.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой Герона.
S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}
Для начала нам необходимо найти полупериметр p:
p= dfrac{a+b+c}{2}p= dfrac{13+14+15}{2}= dfrac{42}{2} = 21
Теперь можем подставить его в формулу Герона и найти ответ:
S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)} = sqrt{21 cdot (21-13) cdot (21-14) cdot (21-15)} = sqrt{21 cdot (8) cdot (7) cdot (6)} = sqrt{21 cdot 336} = sqrt{7056} = 84 : см^2
Ответ: 84 см²
Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 100.
Решение
Воспользуемся формулой.
S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{100^2 – 28^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{10000 – 784} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{9216} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot 96 = 14 cdot 96 = 1344 : см^2
Ответ: 1344 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 3
Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.
Решение
Задача аналогична предыдущей, поэтому решение очень похоже.
S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{17^2 – 15^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{289 – 225} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{64} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = 15 cdot 4 = 60 : см^2
Ответ: 60 см²
Проверка .
Задача 4
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 40 см а острый угол равен 60°.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой.
S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)} = dfrac{1}{4} cdot 40^2 cdot sin{(2 cdot 60°)} = dfrac{1}{4} cdot 1600 cdot sin{(120°)} = 400 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2
Ответ: 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2
Проверка .
Задача 5
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см а основание 4 см.
Решение
В этой задаче используем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и боковую сторону.
S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{4}{4} sqrt{4 cdot 7^2 – 4^2} = sqrt{4 cdot 49 – 16} = sqrt{196 – 16} = sqrt{180} = sqrt{36 cdot 5} = 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641 : см^2
Ответ: 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641
Проверка .
Задача 6
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30, боковая сторона равна 17.
Решение
Решим эту задачу по анологии с предыдущей.
S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 17^2 – 30^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 289 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{1156 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{256} = dfrac{30}{4} cdot 16= 30 cdot 4 = 120 : см^2
Ответ: 120 см²
Проверка .
Задача 7
Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 12 см.
Решение
Используем для решения задачи формулу.
S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 12^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 144}{4} = 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2
Ответ: 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2
Проверка .
