Как найти площадь произвольного выпуклого четырехугольника

Как найти площадь произвольного выпуклого четырехугольника

Факт 1.
(bullet) Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Факт 2.
(bullet) Формула Брахмагупты:
если около четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна [{large{S=sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}]

где (a,b,c,d) – его стороны, (p) – полупериметр.
 

Факт 3.
(bullet) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна [{large{S=pcdot r}}]

где (p) – полупериметр, (r) – радиус вписанной окружности.
 

Факт 4.
(bullet) Если в четырехугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, то его площадь равна [{large{S=sqrt{abcd}}}]

где (a,b,c,d) – его стороны.

Источник

Площади четырехугольников

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник Рисунок Формула площади Обозначения
Прямоугольник S = ab
Параллелограмм
Квадрат S = a 2
S = 4r 2
Ромб
Трапеция
S = m h
Дельтоид S = ab sin φ
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Параллелограмм
Квадрат
S = a 2

где
a – сторона квадрата
S = 4r 2
Ромб
Трапеция
Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник
Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример

Выпуклый четырехугольник – это геометрическая фигура, полученная путем соединения на плоскости четырех точек, которые не должны лежать на одной прямой. При этом образованные таким образом стороны не должны пересекаться.

Формула вычисления площади

По диагоналям и углу между ними

Площадь (S) выпуклого четырехугольника равняется одной второй (половине) произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

По четырем сторонам (формула Брахмагупты)

Чтобы воспользоваться формулой, необходимо знать длины всех сторон фигуры. Также вокруг четырехугольника должна быть возможность описать окружность.

p – полупериметр, вычисляется следующим образом:

По радиусу вписанной окружности и сторонам

Если в четырехугольник можно вписать окружность, вычислить его площадь можно, воспользовавшись формулой:

S = p ⋅ r

r – радиус окружности.

Пример задачи

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 и 9 см, а угол между ними составляет 30°.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см 2 .

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

[spoiler title=”источники:”]

Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример

http://www.mozgan.ru/Geometry/ArearQuadrangle

[/spoiler]

Источник

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика фигуры, показывающая размер этой фигуры в квадратных единицах. Стандартное обозначение площади — буква S.

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте.
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

S = 1/2·a · h

2. Формула площади треугольника по трем сторонам. Формула Герона.

Площадь треугольника равна корню квадратному из произведения, где одним из множителей является полупериметр, а тремя другими — разность полупериметра с каждой из сторон треугольника.

S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между ними.

S = 1/2 · a · b · sin γ

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности.

Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, поделенному на четыре радиуса описанной вокруг него окуружности.

S = abс /4R

5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности.
Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника и радиуса вписанной окружности.

S = pr

Обозначения: 

S — площадь треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника,
h — высота треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
r — радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника.

Формулы площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны.
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a2

2. Формула площади квадрата по длине диагонали.
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

Обозначения: 

S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

Обозначения: 

S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте.
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины, опущенной на эту сторону высоты.

S = ah

2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон, умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sin α

3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними.
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей, умноженному на синус угла между ними.

S = 1/2 · d1 · d2· sin γ

Обозначения: 

S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,

γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте.
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины, опущенной на эту сторону высоты.

S = ah

2. Формула площади ромба по длине стороны и углу.
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

S = a2 · sin α

3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей.
Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей.

S = 1/2 · d1 · d2

Обозначения: 

S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d1, d2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

1. Формула площади трапеции по длине оснований и высоте.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.

S = 1/2 · (a + b) · h

2. Формула Герона для трапеции.

S = (a + b)/4|a — b| · √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)

Обозначения: 

S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,

p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.

Формулы площади выпуклого четырехугольника

1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними.
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженной на синус угла между ними.

S = 1/2 · d1 · d2 · sin α

Обозначения: 

S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника.

2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности).
Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности.

S = pr

3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов.

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ

4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность.

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Обозначения: 

S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = (a + b + c + d)/2 — полупериметр четырехугольника,
θ = (α + β)/2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формулы площади круга

1. Формула площади круга через радиус.
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса и числа пи.

S = πr2

2. Формула площади круга через диаметр.
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра и числа пи.

Обозначения: 

S — площадь круга,
r — длина радиуса круга,
d — длина диаметра круга;

π = 3,14.

Формула площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи.

Обозначения: 

S — площадь эллипса, 
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса;

π  = 3,14.

Источники: 

  • ru.onlinemschool.com — формулы площади геометрических фигур;
  • ege-study.ru — все формулы по геометрии. Площади фигур; 
  • ru.solverbook.com — формулы площади геометрических фигур. 

Дополнительно на Геноне:

  • Где найти формулы для вычисления объема?
  • Где найти формулы сокращенного умножения?
  • Каковы свойства треугольников?
Источник

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые  ( A B C D )  и невыпуклые  ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Выпуклый четырехугольник Невыпуклый четырехугольник

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон:  A B  и  A D ,   A B  и  B C ,   B C  и  C D ,   C D  и  A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон:  A B  и  C D ,   B C  и  A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин:  A  и  C ,   B  и  D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины.  A C  и  B D  – диагонали четырехугольника  A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Выпуклый четырехугольник

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где  d 1  и  d 2  – диагонали четырехугольника,  φ  – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций: произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Параллелограмм: свойства

  • Противолежащие стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна  180 ° .
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Параллелограмм: площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту

S = a ⋅ h a = b ⋅ h b

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Параллелограмм: площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними

S = a ⋅ b ⋅ sin α

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Параллелограмм: площадь равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin φ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб

Ромб

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Ромб: свойства

  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Ромб: площадь ромба равна произведению основания на высоту

S = a ⋅ h

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Ромб: площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними

S = a 2 ⋅ sin α

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Ромб: площадь ромба равна полупроизведению диагоналей

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны  90 ° .

Свойства прямоугольника:

Прямоугольник: свойства

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Прямоугольник: площадь прямоугольника равна произведению сторон

S = a ⋅ b

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Прямоугольник: площадь равна полупроизведению диагоналей на синус угла между дими

S = 1 2 ⋅ d 2 ⋅ sin φ

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Квадрат: свойства

  • Сохраняет свойства ромба.
  • Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Квадрат: площадь квадрата равна квадрату стороны

S = a 2

Как квадрат стороны.

Квадрат: площадь квадрата равна половине квадрата диагонали

S = d 2 2

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Трапеция

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями, другие две стороны называются боковыми сторонами.

B C  и  A D  – основания,  A B  и  C D  – боковые стороны трапеции  A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна  180 ° .

∠ A + ∠ B = 180 °

∠ C + ∠ D = 180 °

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Трапеция: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту

S = a + b 2 ⋅ h = m ⋅ h

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Трапеция: площадь трапеции равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними

S = 1 2 d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin φ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Прямоугольная трапеция

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Скачать домашнее задание к уроку 4.

Источник
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ
┌─────────────┼────────────┐
простой невыпуклый выпуклый самопересекающийся
Concave quadrilateral.png Convex quadrilateral.svg Cross-quadrilateral.png

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся (см. рис.). Четырёхугольник без самопересечений называется простым, часто под термином «четырёхугольник» имеется в виду только простые четырёхугольники[1].

Виды четырёхугольников[править | править код]

Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение.

Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе.
На странице обсуждения могут быть пояснения. (26 апреля 2023)

Четырёхугольники с параллельными противоположными сторонами[править | править код]

  • Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
  • Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны;
  • Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
  • Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
  • Ромбоид — это параллелограмм , в котором смежные стороны имеют разные длины, и углы не являются прямыми.
  • Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и две другие не параллельны;

Четырёхугольники с антипараллельными противоположными сторонами[править | править код]

  • Антипараллелограмм или контрпараллелограмм — плоский невыпуклый (самсопересекающийся) четырёхугольник, в котором каждые две противоположные стороны равны между собой, но не параллельны, в отличие от параллелограмма.
  • Равнобедренная трапеция или Равнобокая трапеция.
  • Четырёхугольник, вписанный в окружность или вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Он же является четырёхугольником с антипараллельными противоположными сторонами

Четырёхугольники с перпендикулярными смежными сторонами[править | править код]

  • Квадрат
  • Прямоугольная трапеция
  • Прямоугольник
  • Прямоугольный дельтоид

Четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями[править | править код]

  • Дельтоид
  • Квадрат
  • Четырёхугольник ортодиагональный или ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Ромб

Четырёхугольники с параллельными диагоналями[править | править код]

  • Антипараллелограмм

Четырёхугольники с равными противоположными сторонами[править | править код]

  • Антипараллелограмм
  • Квадрат
  • Параллелограмм
  • Прямоугольник
  • Ромб
  • Ромбоид
  • Равнобедренная трапеция или Равнобокая трапеция.

Четырёхугольники с равными диагоналями[править | править код]

  • Квадрат
  • Четырёхугольник равнодиагональный или равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины.
  • Прямоугольник
  • Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция.

Четырёхугольники, описанные около окружности[править | править код]

  • Четырёхугольник описанный или описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника.

Полный четырёхсторонник[править | править код]

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется полным четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Ньютона — Гаусса, прямая Обера, теорема Микеля и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

Сумма углов[править | править код]

Согласно теореме о сумме углов многоугольника, сумма углов четырёхугольника без самопересечений равна 360°.

{displaystyle sum _{i=1}^{4}alpha _{i}=(4-2)cdot 180^{circ }=2cdot 180^{circ }=360^{circ }}

Метрические соотношения[править | править код]

Неравенство четырёхугольника[править | править код]

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон.

{displaystyle left|a-bright|leq c+d}.

Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть:

{displaystyle aleq b+c+d};
{displaystyle bleq a+c+d};
{displaystyle cleq a+b+d};
{displaystyle dleq a+b+c}.

Равенство в неравенстве четырёхугольника достигается только в том случае, если он вырожденный, то есть все четыре его вершины лежат на одной прямой.

Неравенство Птолемея[править | править код]

Для сторон a,b,c,d и диагоналей {displaystyle e,f} выпуклого четырёхугольника выполнено неравенство Птолемея:

|e|cdot |f|leq |a|cdot |c|+|b|cdot |d|,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый четырёхугольник вписан в окружность или его вершины лежат на одной прямой.

Соотношения между сторонами и диагоналями четырёхугольника[править | править код]

Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

a^{2}c^{2}left(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}right)+b^{2}d^{2}left(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2}right)+
+e^{2}f^{2}left(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}right)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}.

Это соотношение можно представить в виде определителя:

left|{begin{matrix}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\e^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&1&0end{matrix}}right|=0

Этот определитель с точностью до множителя 288 представляет собой выражение для квадрата объёма тетраэдра через длины его рёбер с помощью определителя Кэли-Менгера. Если вершины тетраэдра лежат в одной плоскости, то он имеет нулевой объём и превращается в четырёхугольник. Длины рёбер будут длинами сторон или диагоналей четырёхугольника.

Соотношения Бретшнайдера[править | править код]

Соотношения Бретшнайдера — соотношение между сторонами a, b, c и d и противоположными углами angle A,angle C и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника:

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos(angle A+angle C),
{displaystyle e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcdcos ^{2}{dfrac {angle A+angle C}{2}}},
{displaystyle e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcdsin ^{2}{dfrac {angle A+angle C}{2}}}.

Специальные прямые линии четырёхугольника[править | править код]

Средние линии четырёхугольника[править | править код]

Пусть G, I, H и J — середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а E, F — середины его диагоналей. Назовем три отрезка GH, IJ, EF соответственно первой, второй и третьей средними линиями четырёхугольника. Первые две из них также называют бимедианами[2].

Точки E, K, F лежат на одной прямой, прямой Ньютона

Теоремы о средних линиях четырёхугольника[править | править код]

Запрос «Бимедиана» перенаправляется сюда; о бимедиане тетраэдра см. Тетраэдр#Свойства.

  • Обобщённая теорема Ньютона. Все три средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке (в центроиде вершин («vertex centroid») четырёхугольника) и делятся ею пополам.
  • Середины E и F двух диагоналей, а также центроид вершин K выпуклого четырёхугольника лежат на одной прямой EF. Указанная прямая называется прямой Ньютона.
  • Заметим, что прямая Ньютона — Гаусса совпадает с прямой Ньютона, ибо обе проходят через середины диагоналей.
  • Теорема Вариньона:
  • Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей.
  • Математически для рисунка справа вверху с серым четырёхугольником ABCD формула Эйлера записывается в виде:
    (2EF)^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}-BD^{2}-AC^{2}.

Прямая Ньютона[править | править код]

Прямая, получаемая соединением середин диагоналей (L, M и N), называется прямой Ньютона — Гаусса (зелёная)

  • Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего две точки пересечения этих двух пар противоположных сторон (на рисунке точки показаны красным цветом). Указанная прямая называется прямой Ньютона (на рисунке она показана зелёным цветом). При этом прямая Ньютона всегда перпендикулярна прямой Обера.
  • Точки, лежащие на прямой Ньютона, удовлетворяют теореме Анна.

Ортополярные линии ортополюсов троек вершин четырехугольника[править | править код]

Если задана фиксированная прямая линия ℓ, и выбрана любая из трех вершин четырехугольника {displaystyle ABCD}, то все ортополюсы данной прямой линии ℓ относительно всех таких треугольников лежат на одной прямой. Эта линия называется ортополярной линией для данной линии ℓ относительно четырехугольника {displaystyle ABCD}[3]

Специальные точки четырёхугольника[править | править код]

Центроид четырёхугольника[править | править код]

  • Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
  • См. также свойства центроида четырёхугольника.

Точка Понселе четырёхугольника[править | править код]

Внутри четырёхугольника существует точка Понселе (см. параграф “Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника”).

Точка Микеля четырёхугольника[править | править код]

Внутри четырёхугольника существует точка Микеля.

Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника[править | править код]

В произвольном выпуклом четырёхугольнике ABCD окружности девяти точек треугольников {displaystyle ABC,BCD,CDA,DAB}, на которые его разбивают две диагонали, пересекаются в одной точке — в точке Понселе[4].

Частные случаи четырёхугольников[править | править код]

Вписанные четырёхугольники[править | править код]

  • Говорят, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то четырёхугольник вписан в эту окружность, и наоборот.
  • В частности, четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник, квадрат, равнобедренная или равнобочная трапеция, антипараллелограмм.
  • Теоремы для вписанных четырёхугольников:
    • Две теоремы Птолемея. Для простого (несамопересекающегося) четырёхугольника, вписанного в окружность, имеющего длины пар противоположных сторон: a и c, b и d, а также длины диагоналей e и f, справедливы:
1) Первая теорема Птолемея
{displaystyle ef=ac+bd};
2) Вторая теорема Птолемея

{frac {e}{f}}={frac {acdot d+bcdot c}{acdot b+ccdot d}}.
В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d, b и c опираются своими концами на диагональ длиной e. Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.

3) Формулы для длин диагоналей (следствия первой и второй теорем Птолемея)
{displaystyle e={sqrt {frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}} и {displaystyle f={sqrt {frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}
    • Теорема Монжа об ортоцентре вписанного четырехугольника. 4 отрезка прямых (4 антимедатрисы[5]), проведенных из середин 4 сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно к противолежащим сторонам, пересекаются в ортоцентре Н этого четырехугольника[6][7].
    • Теорема о вписанности в окружность пары диагональных треугольников. Если выпуклый четырёхугольник вписан в некоторую окружность, то в ту же самую окружность вписаны и пара треугольников, на которые разбивает четырёхугольник любая из его диагоналей (связь с окружностями треугольника).
    • Теорема о четырёх медиатрисах. Из последнего утверждения следует: если три из четырёх медиатрис (или срединных перпендикуляров), проведённых к сторонам выпуклого четырёхугольника, пресекаются в одной точке, то в той же точке пресекается и медиатриса его четвёртой стороны. Более того, такой четырёхугольник вписан в некоторую окружность, центр которой находится в точке пресечения указанных медиатрис[8].

Японская теорема (Japanese theorem)

    • Теоремы о четырех диагональных треугольниках и об их вписанных окружностях[9]. Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырёх образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника (то есть лежат на одной окружности). Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). (см. рис.). Кроме того, ортоцентры четырёх описанных здесь треугольников являются вершинами четырёхугольника, подобного исходному четырёхугольнику ABCD (то есть также лежат на другой окружности, ибо вершины исходного вписанного четырёхугольника лежат на некоторой окружности). Наконец, центроиды этих четырёх треугольников лежат на третьей окружности[10].
    • Теорема о четырёх проекциях вершин вписанного четырёхугольника на его диагонали[11]. Пусть ABCD — вписанный четырёхугольник, A_{1} — основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на диагональ BD; аналогично определяются точки {displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}. Тогда точки {displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}} лежат на одной окружности.
    • Теорема Брокара. Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и в точках пересечения противоположных сторон.
  • Критерии вписанности четырёхугольников:
    • Первый критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°, то есть:
{displaystyle angle A+angle C=angle B+angle D=180^{circ }}.
    • Второй критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда любая пара его противоположных сторон антипараллельна.

Теорема Микеля-Штейнера для четырёхстронника

    • Третий критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля, вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF.
    • Прямая, антипараллельная стороне треугольника и пересекающая его, отсекает от него четырёхугольник, около которого всегда можно описать окружность.
    • Четвертый критерий вписанности четырёхугольника. Условие, при котором совмещение двух треугольников с одной равной стороной даёт четырёхугольник, вписанный в окружность[12]. Для того, чтобы два треугольника с тройками длин сторон соответственно (a, b, f) и (c, d, f) при их совмещении вдоль общей стороны с длиной, равной f, давали в итоге четырёхугольник, вписанный в окружность с последовательностью сторон (a, b, c, d), необходимо условие[13]:84
{displaystyle f^{2}={frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.}
    • Последнее условие даёт выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырёх его сторон (a, b, c, d). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея (см. выше).
  • Площадь вписанного в окружность четырёхугольника:
    • Площадь вписанного в окружность четырёхугольника по формуле Брахмагупты равна[14]:
S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}, где p — полупериметр четырёхугольника.
    • Последняя формула следует из общей формулы (1) в рамке в параграфе «Площадь», если в ней учесть, что {displaystyle 2theta =angle A+angle C=angle B+angle D=180^{circ }}
    • Последняя формула есть обобщение формулы Герона на случай четырёхугольника.
    • Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника может быть записана через определитель[8]:

S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}

  • Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}

Вписанные четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями[править | править код]

Описанные четырёхугольники[править | править код]

  • Говорят, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то четырёхугольник описан около этой окружности, и наоборот.
  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками.
    • Частными четырёхугольниками, описанными около окружности, являются: ромб, квадрат, дельтоид.
  • Критерии описанности четырёхугольников:
    • Среди свойств описанных четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
    • Иными словами, выпуклый четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны, то есть: {displaystyle AB+CD=BC+AD}.
  • Теоремы для описанных четырёхугольников:
    • Теорема о двух равных сторонах угла, касающегося окружности. Точки касания вписанной окружности с четырёхугольником отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника.
    • Теорема о продолжении двух пар противоположных сторон четырёхугольника. Если выпуклый четырёхугольник — не трапеция и не параллелограмм и он описан около некоторой окружности, то около этой же самой окружности описаны и пара треугольников, которые получаются при продолжении двух его пар противоположных сторон до их пересечения (связь с окружностями треугольника).
    • Теорема о четырёх биссектрисах. Из последнего утверждения следует: если три из четырёх биссектрис (или биссекторов), проведённых для внутренних углов выпуклого четырёхугольника, пресекаются в одной точке, то в той же точке пресекается и биссектриса его четвёртого внутреннего угла. Более того такой четырёхугольник описан около некоторой окружности, центр которой находится в точке пресечения указанных биссектрис[17].
    • Теорема Ньютона. Если четырёхугольник является описанным около окружности, то центр его вписанной окружности лежит на прямой Ньютона. Более точное утверждение ниже.
    • Теорема Ньютона. Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой. На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Ньютона. На рисунке (вторая группа рисунков сверху) она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
    • Теорема Брокара. Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и в точках пересечения противоположных сторон.
  • Площадь описанного четырёхугольника

Вводя понятие полупериметра p, имеем {displaystyle p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d}. Следовательно, также имеем {displaystyle p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d}. Далее можно заметить: p-a=c;p-b=d;p-c=a;p-d=b. Следовательно, {displaystyle (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)=abcd.} Тогда по формуле (1) в рамке в параграфе «Площадь» имеем

S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos ^{2}theta }}=

={sqrt {abcd-abcdcos ^{2}theta }}={sqrt {abcdsin ^{2}theta }}={sqrt {abcd}}sin theta .

    • Поскольку четырёхугольник описан, то его площадь также равна половине периметра p, умноженной на радиус r вписанной окружности: {displaystyle S=pr}.

Вписано-описанные четырёхугольники[править | править код]

Вписано-описанные четырёхугольники ABCD и EFGH и Поризм Понселе для них

  • Вписанно-описанные четырёхугольники — четырёхугольники, которые могут быть одновременно описаны около некоторой окружности, а также вписаны в некоторую окружность. Другие их названия — бицентрические четырёхугольники (Bicentric quadrilateral), хордо-касающиеся четырёхугольники (chord-tangent quadrilateral) или двух-окружностные четырёхугольники (double circle quadrilateral).
  • Частными вписанно-описанными четырёхугольниками являются квадрат и ромбоид с парой равных противоположных углов по 90 градусов.

Свойства[править | править код]

  • Критерии одновременной вписанности и описанности четырёхугольника
    • Любое одно из двух указанных ниже условий по отдельности является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы данный выпуклый четырёхугольник был вписанно-описанным для некоторых окружностей:
{displaystyle AB+CD=BC+AD} и {displaystyle angle A+angle C=angle B+angle D=180^{circ }}.
    • Выполнение двух последних условий одновременно для некоторого выпуклого четырёхугольника является необходимым и достаточным для того, чтобы данный четырёхугольник был вписанно-описанным.
  • Теоремы для вписанно-описанных четырёхугольников

Вписано-описанный четырёхугольник ABCD с центром I вписанной и с центром O описанной окружностей

{displaystyle {frac {1}{(R+x)^{2}}}+{frac {1}{(R-x)^{2}}}={frac {1}{r^{2}}}}

или

{displaystyle displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.}

или

{displaystyle x^{2}=R^{2}+r^{2}-r{sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}

или

{displaystyle x={sqrt {R^{2}+r^{2}-r{sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD и его внутренне-касающийся вписанный четырёхугольник WXYZ

Площадь вписанно-описанного четырёхугольника[править | править код]

{displaystyle S={frac {p^{2}}{operatorname {tg} {frac {A}{2}}+operatorname {tg} {frac {B}{2}}+operatorname {tg} {frac {C}{2}}+operatorname {tg} {frac {D}{2}}}}}

Разбиение сторон касательного четырехугольника точками касания с окружностью[править | править код]

Разбиение сторон касательного четырехугольника точками касания с окружностью

  • Восемь «длин касательных» («e», «f», «g», «h» на рисунке справа) касательного четырехугольника — это отрезки прямой от вершины до точек, где окружность касается сторон. Из каждой вершины есть две касательных к окружности равной длины (см. рис.).
  • Обозначим также две «касательные хорды» («k» и «l» на рисунке) касательного четырехугольника — это отрезки линий, которые соединяют точки на противоположных сторонах, где окружность касается этих сторон. Они также являются диагоналями «контактного четырехугольника», имеющего вершины в точках касания четырехугольника ABCD с окружностью.

Тогда площадь вписанно-описанного четырёхугольника равна[21]:p.128

{displaystyle S={sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h),}

а также

{displaystyle S=AIcdot CI+BIcdot DI.}
  • Если к двум хордам для касательных k и l и диагоналям p и q ввести дополнительно еще две бимедианы m и n выпуклого четырехугольника, как отрезки прямых, соединяющих середины противоположных сторон, то площадь вписанно-описанного четырёхугольника будет равна[22]
{displaystyle S=left|{frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}right|kl}
{displaystyle S={frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}

Внеописанные четырёхугольники[править | править код]

Внеописанный четырёхугольник для окружности[править | править код]

Внеописанный четырёхугольник ABCD и его вневписанная окружность

  • Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника)[23]. Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис.
  • Вневписанная окружность существует не для всякого четырёхугольника. Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то условием его внеописанности является любое из двух условий ниже:
{displaystyle AB+BC=AD+DCquad Leftrightarrow quad AE+EC=AF+FC.}

Внеописанный четырёхугольник для параболы[править | править код]

  • Парабола, вневписанная для четырёхугольника. Такая парабола существует у любого выпуклого четырёхугольника и она касается всех 4 сторон данного четырёхугольника (четырёхсторонника) или их продолжений. Её директриса совпадает с прямой Обера — Штейнера[24].

Четырёхугольники с перпендикулярными элементами[править | править код]

  • Ниже выделены параграфы для четырёхугольников с перпендикулярными парами элементов: с 2 перпендикулярными сторонами и с 2 перпендикулярными диагоналями.
  • Эти четырёхугольники вырождаются в прямоугольный треугольник, если длина одной нужной стороны (из их 4 сторон), лежащей вблизи прямого угла или же опирающейся концами на этот угол, стремится к нулю.

Четырёхугольники с перпендикулярными сторонами[править | править код]

Четырёхугольники с перпендикулярными противоположными сторонами[править | править код]

  • Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
  • Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых (противоположных) сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

Четырёхугольники с 2 парами перпендикулярных смежных сторон[править | править код]

  • Если у выпуклого четырёхугольника перпендикулярны две пары смежных сторон (то есть два противоположных угла прямые), то этот четырёхугольник может быть вписан в некоторую окружность. Более того, диаметром этой окружности будет служить диагональ, на которую опираются одними концами указанные две пары смежных сторон.
  • Частными четырёхугольниками с перпендикулярными сторонами являются: прямоугольник, квадрат и прямоугольная трапеция.

Четырёхугольники с 3 перпендикулярными смежными сторонами[править | править код]

  • Если у выпуклого четырёхугольника перпендикулярны 3 смежные стороны (то есть 2 внутренних угла прямые), то этот четырёхугольник – прямоугольная трапеция.

Четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями[править | править код]

  • Четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями называются ортодиагональными четырёхугольниками.
  • Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
  • Площадь ортодиагонального четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей: {displaystyle S={frac {1}{2}}ef}.
  • Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
  • Антимедиатрисой четырёхугольника называются отрезок прямой, выходящий из середины одной его стороны и перпендикулярный противоположной ей стороне.
  • Теорема Брахмагупты. Если у четырёхугольника перпендикулярны диагонали и он может быть вписан в некоторую окружность, то четыре его антимедиатрисы пересекаются в одной точке. Более того, этой точкой пересечения антимедиатрис является точка пересечения его диагоналей.
  • Если у четырёхугольника перпендикулярны диагонали и он может быть вписан в некоторую окружность, то учетверённый квадрат её радиуса R равен сумме квадратов любой пары противоположных его сторон: {displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}.}
  • Если у четырёхугольника перпендикулярны диагонали и он может быть описан около некоторой окружности, то у него равны произведения двух пар противоположных сторон: {displaystyle ac=bd.}
  • Параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон ортодиагонального четырёхугольника является прямоугольником.
  • Если в четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны[16].
  • Частными ортодиагональными четырёхугольниками являются: ромб, квадрат, дельтоид.
  • Если у выпуклого четырёхугольника перпендикулярны диагонали, то середины четырёх его сторон являются вершинами прямоугольника (следствие теоремы Вариньона). Верно и обратное. Кроме того, у прямоугольника равны диагонали. Следовательно, у выпуклого четырёхугольника диагонали перпендикулярны тогда и только тогда, когда у него равны между собой длины двух его бимедиан (длины двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон)[25].
  • Таблица сравнения свойств описанного и ортодиагонального четырёхугольника:

Их метрические свойства очень похожи (см. табл.)[25]. Здесь обозначены: a, b, c, d — длины их сторон, R1, R2, R3, R4, и радиусы описанных окружностей, проведённых через эти стороны и через точку пересечения диагоналей, h1, h2, h3, h4 — высоты, опущенные на них из точки пересечения диагоналей.

описанный четырёхугольник ортодиагональный четырёхугольник
{displaystyle a+c=b+d} {displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}
{displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}} {displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}
{displaystyle {frac {1}{h_{1}}}+{frac {1}{h_{3}}}={frac {1}{h_{2}}}+{frac {1}{h_{4}}}} {displaystyle {frac {1}{h_{1}^{2}}}+{frac {1}{h_{3}^{2}}}={frac {1}{h_{2}^{2}}}+{frac {1}{h_{4}^{2}}}}
  • Кроме того, для медиан на стороны ортодиагонального четырёхугольника, опущенных из точки пересечения диагоналей, верно: {displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}}.
  • В любой ортодиагональный четырехугольник можно вписать бесконечно много прямоугольников, относящихся к следующим двум множествам:
(i) прямоугольники, чьи стороны параллельны диагоналям ортодиагонального четырехугольника
(ii) прямоугольники, определяемые окружностями точек Паскаля[26][27][28].

ABCD – ортодиагональный четырехугольник, {displaystyle P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}} и {displaystyle P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}} прямоугольники, вписанные в ABCD, и стороны которых параллельны диагоналям четырехугольник.

Свойства диагоналей некоторых четырёхугольников[править | править код]

В следующей таблице указано, есть ли у диагоналей некоторых из самых основных четырёхугольников деление пополам в точке их пересечения, есть ли перпендикулярность диагоналей, есть ли равенство длин диагоналей, и есть ли деление ими углов пополам[29]. Список относится к наиболее общим случаям и исчерпывает собой названные подмножества четырёхугольников.

Четырёхугольник Деление диагоналей пополам в точке их пересечения Перпендикулярность диагоналей Равенство длин диагоналей Деление углов пополам диагоналями
Трапеция Нет См. замечание 1 Нет Нет
Равнобедренная трапеция Нет См. замечание 1 Да Хотя бы двух противоположных углов
Параллелограмм Да Нет Нет Нет
Дельтоид См. замечание 2 Да См. замечание 2 См. замечание 2
Прямоугольник Да Нет Да Нет
Ромб Да Да Нет Да
Квадрат Да Да Да Да

Замечание 1: Наиболее общие трапеции и равнобедренные трапеций не имеют перпендикулярных диагоналей, но есть бесконечное число (неподобных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые действительно имеют перпендикулярные диагонали и не похожи на какой-либо другой названный четырёхугольник.
Замечание 2: У дельтоида одна диагональ делит пополам другую. Другая же диагональ делит его противоположные углы пополам. Наиболее общий дельтоид имеет неодинаковые диагонали, но есть бесконечное число (неподобных) дельтоидов, у которых диагонали равны по длине (и дельтоиды не являются каким-либо другим из названных четырёхугольников).

Симметрия четырёхугольников[править | править код]

Симметрии некоторых четырёхугольников

На рис. показаны некоторые симметричные четырёхугольники, их переход друг в друга, а также дуальные к ним. Обозначения на рис.:

  • Kite (змей) — дельтоид (ромбоид)
  • Parallelogram — параллелограмм
  • Irregular quadrilateral — неправильный четырёхугольник
  • Rhombus — ромб
  • Rectangle — прямоугольник
  • Square — квадрат
  • Gyrational Square — вращающийся квадрат
  • Isosceles Trapezoid — равнобедренная трапеция

Площадь[править | править код]

S={frac {d_{1}d_{2}sin alpha }{2}}

{displaystyle S_{ABCD}=GHcdot IJsin phi }.

Замечание. Первая и вторая средние линии четырёхугольника — отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон

  • Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна[14]:
16S^{2}=4d_{1}^{2}d_{2}^{2}-left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}right)^{2}, где d_{1}, d_{2} — длины диагоналей; a, b, c, d — длины сторон.
  • Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника также равна

S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos ^{2}theta }}, (1)

где p — полупериметр, а theta ={frac {angle A+angle C}{2}} есть полусумма противоположных углов четырёхугольника (Какую именно пару противоположных углов взять роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна theta , то полусумма двух других углов будет 180^{circ }-theta и cos ^{2}(180^{circ }-theta )=cos ^{2}theta ). Из этой формулы для вписанных четырёхугольников следует формула Брахмагупты.

  • Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника по формуле (1) в рамке выше с учётом одного из соотношений Бретшнайдера (см. выше) может быть записана в виде:

S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)+textstyle {1 over 4}((ef)^{2}-(ac+bd)^{2})}}=
={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)+textstyle {1 over 4}(ef+ac+bd)(ef-ac-bd)}}
где p — полупериметр, e и f — диагонали четырёхугольника.

{displaystyle S={frac {1}{2}}{big |}(x_{1}-x_{2})(y_{1}+y_{2})+(x_{2}-x_{3})(y_{2}+y_{3})+(x_{3}-x_{4})(y_{3}+y_{4})+(x_{4}-x_{1})(y_{4}+y_{1}){big |}}

История[править | править код]

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали для определения площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d[30]:

S={frac {a+c}{2}}cdot {frac {b+d}{2}}.

Для непрямоугольных четырёхугольников эта формула даёт завышенное значение площади. Можно предположить, что она использовалась только для определения площади почти прямоугольных участков земли. При неточном измерении сторон прямоугольника эта формула позволяет повысить точность результата за счёт усреднения исходных измерений.

См. также[править | править код]

  • Глоссарий планиметрии
  • Лемма о шестой окружности
  • Теорема Тебо
  • Теорема Кейси
  • Теорема косинусов для четырёхугольника
  • Теорема о бабочке
  • Четырёхугольник Ламберта
  • Четырёхугольник Саккери

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Яков Понарин. Элементарная геометрия. Том 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — Litres, 2018-07-11. — С. 52. — 312 с.
  2. ↑ E.W. Weisstein. Bimedian. MathWorld – A Wolfram Web Resource.
  3. ↑ Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA
  4. ↑ Заславский, Пермякова и др., 2009, с. 118, задача 9.
  5. ↑ Определение антимедатрис см. в глоссарии планиметрии
  6. ↑ Замечательные точки и линии четырехугольников// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
  7. ↑ Теорема Монжа// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
  8. ↑ 1 2 Стариков, 2014, с. 38, правая колонка, пункт 7.
  9. ↑ Ayeme, с. 6, Упр. 8, рис. 13.
  10. ↑ Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
  11. ↑ Ayeme, с. 5, Упр. 7, рис. 11, следствие.
  12. ↑ См. подраздел «Диагонали» статьи «Вписанный четырёхугольник»
  13. ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
  14. ↑ 1 2 Понарин, с. 74.
  15. ↑ Стариков, 2014, с. 7—39.
  16. ↑ 1 2 Заславский, Пермякова и др., 2009, с. 118, задача 11.
  17. ↑ Стариков, 2014, с. 39, левая колонка, последний абзац.
  18. ↑ Dörrie, Heinrich. 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions (англ.). — New York: Dover, 1965. — P. 188—193. — ISBN 978-0-486-61348-2.
  19. ↑ Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [1] (недоступная ссылка), 1998, pp. 158—164.
  20. ↑ Salazar, Juan Carlos (2006), Fuss’s Theorem, Mathematical Gazette Т. 90 (July): 306–307.
  21. ↑ 1 2 Josefsson, Martin (2010), Characterizations of Bicentric Quadrilaterals, Forum Geometricorum Т. 10: 165–173, <http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf>.
  22. ↑ Josefsson, Martin (2011), The Area of a Bicentric Quadrilateral, Forum Geometricorum Т. 11: 155–164, <http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf>.
  23. ↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007, с. 33—52.
  24. ↑ Junko HIRAKAWA. Some Theorems on the Orthopole. Tohoku Mathematical Journal, First Series. 1933. Vol. 36. P. 253, Lemma I// https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
  25. ↑ 1 2 Josefsson, Martin (2012), Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals, Forum Geometricorum Т. 12: 13–25, <http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf>.
  26. ↑ David, Fraivert (2019), A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles, Journal for Geometry and Graphics Т. 23: 5–27, <http://www.heldermann.de/JGG/JGG23/JGG231/jgg23002.htm>.
  27. ↑ David, Fraivert (2017), Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals, Forum Geometricorum Т. 17: 509–526, <http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf>.
  28. ↑ Фрейверт, Д. М. (2019), Новая тема в евклидовой геометрии на плоскости: теория «точек Паскаля», формируемых с помощью окружности на сторонах четырехугольника, Математическое образование: современное состояние и перспективы : материалы Международной научной конференции, <https://libr.msu.by/handle/123456789/9675>
  29. ↑ Jennifer Kahle, Geometry: Basic ideas (англ. яз.).Геометрия: Основные идеи [2], accessed 28 December 2012.
  30. ↑ Г. Г. Цейтен История математики в древности и в средние века, ГТТИ, М-Л, 1932.

Литература[править | править код]

  • Болтянский В., Четырёхугольники. Квант, № 9,1974.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 74. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень) // Научный журнал Globus. — С-П., 2016.
  • Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов / Гл. ред. Романова И. В.. — Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. — Вып. 1.
  • Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова.. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-477-4.
  • Jean-Louis Ayeme. Feurbach’s theorem. A new purely synthetic proof. Дата обращения: 2 октября 2016. Архивировано из оригинала 13 ноября 2013 года. Несколько расширенный перевод — «Вокруг задачи Архимеда»
  • Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one // Mathematical Communications. — 2007. — Вып. 12.
  • D. Fraivert, A. Sigler and M. Stupel. Common properties of trapezoids and convex quadrilaterals // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. — 2016. — Т. 38. — P. 49–71. — doi:10.18642/jmsaa_7100121635.
Источник

Добавить комментарий