Как найти площадь прямоугольника через диагональ формула

Как найти площадь прямоугольника через диагональ формула

Площадь прямоугольника через диагональ

В прямоугольнике диагонали равны между собой. Если известен угол α между диагоналями (длина диагоналей равна d), то площадь прямоугольника можно найти по формуле:

Sпр = 0,5 * d² * sinα.

Например, если угол между диагоналями равен 30°, а диагонали равны 5 см, то площадь будет равна:

Sпр = 0,5 * 25 * 0,5 = 6,25 см.

Если неизвестен угол между диагоналями, то будет нужно найти стороны прямоугольника. А затем воспользоваться формулой:

Sпр = a * b.

Как известно, диагональ прямоугольника делит его на 2 равных прямоугольных треугольника. Поэтому задача сводится к тому, чтобы найти катеты прямоугольного треугольника через гипотенузу.

Кроме длины диагонали требуется знать либо одну из сторон прямоугольника, либо отношение сторон, либо угол между стороной и диагональю.

1) Если известна диагональ (пусть она будет равна d) и одна из сторон (например, b), то выражаем неизвестную сторону из формулы:

a² + b² = c² -> a = √(c² – b²).

Sпр = a * b = √(c² – b²) * b.

Например, если диагональ d = 5 см и сторона b = 3 см, то a = √(25 – 9) = √16 = 4 см.

Площадь прямоугольника равна 3 * 4 = 12 см.

2) Если известно отношение сторон, то задача сводится к нахождению обеих сторон через составление уравнения.

Например, если стороны относятся как 2:3, а диагональ равна 13 см, то можно составить уравнение:

(2x)² + (3x)² = 4x² + 9x² = 169.

13x² = 169.

x = √13.

Значит, a = 2√13 см и b = 3√13 см.

Площадь прямоугольника равна 2√13 * 3√13 = 6 * 13 = 78 см.

3) Если известна диагональ и один из прилежащих к диагонали углов, то нужно воспользоваться формулами:

a = d * cosβ (β – прилежащий угол) и b = d * sinα (α – противолежащий угол).

Например, d = 10 см и угол α = 30°.

a = 10 * cos30° = 10√3 / 3.

b = 10 * sin30° = 5 см.

Площадь прямоугольника равна 5 * (10√3 / 3) ≈ 28,33 см.

Источник

Выбирайте формулу, ориентируясь на известные величины.

1. Если известны две соседние стороны

Просто перемножьте две стороны прямоугольника.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • a и b — соседние стороны.

2. Если известны любая сторона и диагональ

Найдите квадраты диагонали и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте длину известной стороны на полученное число.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • a — известная сторона;
  • d — любая диагональ (напомним: обе диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину).

3. Если известны любая сторона и диаметр описанной окружности

Найдите квадраты диаметра и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте известную сторону на полученное число.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • a — известная сторона;
  • D — диаметр описанной окружности.

4. Если известны любая сторона и радиус описанной окружности

Найдите квадрат радиуса и умножьте результат на 4.

Отнимите от полученного числа квадрат известной стороны.

Найдите корень из результата и умножьте на него длину известной стороны.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • a — известная сторона;
  • R — радиус описанной окружности.

5. Если известны любая сторона и периметр

Умножьте периметр на длину известной стороны.

Найдите квадрат известной стороны и умножьте полученное число на 2.

От первого произведения отнимите второе и разделите результат на 2.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • a — известная сторона;
  • P — периметр прямоугольника (равен сумме всех сторон).

6. Если известны диагональ и угол между диагоналями

Найдите квадрат диагонали.

Разделите полученное число на 2.

Умножьте результат на синус угла между диагоналями.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • d — любая диагональ прямоугольника;
  • α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

7. Если известны радиус описанной окружности и угол между диагоналями

Найдите квадрат радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Умножьте полученное число на 2, а потом на синус угла между диагоналями.

  • S — искомая площадь прямоугольника;
  • R — радиус описанной окружности;
  • α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

Читайте также 🎓❓📐

  • ТЕСТ:​ ​​Умеете ли вы считать в уме?
  • Как легко и быстро считать проценты в уме
  • Как найти площадь любого треугольника
  • ТЕСТ: Сколько центнеров в тонне? А сантиметров в дециметре? Проверьте, умеете ли вы переводить единицы измерения
  • Как освоить устный счёт школьникам и взрослым
Источник


Download Article


Download Article

When you’re working with rectangles, you can find out a lot of information about them just by knowing a few key points of information. If you’ve been given the length of the diagonal and at least one side, you can calculate the area of the whole shape with just a few equations. Always use a calculator to check your math, and don’t forget to add your units onto the answer!

  1. Image titled Find the Area of a Rectangle Using the Diagonal Step 1

    1

    Mark the diagonal on the rectangle. If you have a visual of your rectangle, it will be a lot easier to figure out the area given a diagonal. Draw out a rectangle (it doesn’t have to match the proportions given, just a rectangle shape will do) and mark out a diagonal line to create 2 triangles.[1]

    • You’ll be able to see the 2 triangles that make up the rectangle now.

  2. Image titled Find the Area of a Rectangle Using the Diagonal Step 2

    2

    Advertisement

  3. Image titled Find the Area of a Rectangle Using the Diagonal Step 3

    3

  4. Image titled Find the Area of a Rectangle Using the Diagonal Step 4

    4

  5. Image titled Find the Area of a Rectangle Using the Diagonal Step 5

    5

    Plug the new number into A=ltimes w. To find the area of your entire rectangle, you need to solve for Area = length x width, or A = l x w. Now that you’ve used the Pythagorean Theorem to find the second side length, you can solve for the area. Don’t forget your units![5]

    6. Advertisement

  1. Image titled Find the Area of a Rectangle Using the Diagonal Step 6

    1

    Mark the diagonal and side length on your rectangle. If you have a visual in front of you, it will be much easier to see how you’re solving your equation. Draw a simple rectangle with a ruler and create a diagonal line across it to make 2 triangles.[6]

    • It’s not mandatory to draw your triangle, but it can help you, especially if you’re just starting out.

  2. Image titled Find the Area of a Rectangle Using the Diagonal Step 7

    2

    Enter the length and diagonal into {displaystyle A=ltimes {sqrt {d^{2}-l^{2}}}}. Simply plug the length and the diagonal into the formula above. Remember, the diagonal is always longer than the length of the rectangle. [7]

    • For example, if the length is 8 inches and the diagonal is 10 inches, the formula would be {displaystyle A=8times {sqrt {10^{2}-8^{2}}}}.

  3. Image titled Find the Area of a Rectangle Using the Diagonal Step 8

    3

    4. Advertisement

Add New Question

  • Question

    If the diagonal of a rectangle is10cm then what is its area?

    Community Answer

    You don’t have enough information to solve.

  • Question

    A rectangle with diagonal of 20 cm has sides in the ratio 2:1. How do I find the area of rectangle?

    Donagan

    Such a rectangle would have its sides and diagonal in the ratio of 2:1:√5 (per the Pythagorean theorem). The ratio of √5 to the diagonal (20) is equal to the ratio of 2 to the longer side (or the ratio of 1 to the shorter side). Thus √5 : 20 = 2 : x, where x is the longer side. Expressed as fractions, that’s √5 / 20 = 2 / x. Cross-multiplying: (√5)(x) = (20)(2). Dividing by √5: x = 40 / √5 = 40 / 2.236 = 17.9 cm. The shorter side is half that, or 8.94 cm.

  • Question

    If the side = 48 meters and the diagonal = 50 meters, how do I find the area of the rectangle?

    Donagan

    Let s be the shorter side. Then (by the Pythagorean Theorem) s² + 48² = 50². So s² + 2304 = 2500. Then s² = 196, and s = 14 m. The area is 48 x 14 = 672 square meters.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

  • If all you know is the length of the diagonal, you can calculate the area of a square, but not a rectangle.

  • To find the area of a rectangle, you need to know the diagonal and at least one side length.

  • You can also use an online calculator, like Omni Calculator, to check your work.

Advertisement

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 138,708 times.

Did this article help you?

Источник

Формула площади прямоугольника через диагональ


Формула площади прямоугольника через диагональ

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 217.

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 217.

Все с начальной школы знают формулу площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется произведению длины на ширину. Но иногда бывает, что узнать длину или ширину не представляется возможным, зато есть значения диагоналей.

Определения

Поговорим о нескольких определениях, которые необходимы для того, чтобы разобраться в этой теме.

Прямоугольник – это выпуклый четырехугольник, стороны которого попарно равны и параллельны, а углы равняются 90 градусам. Частным случаем прямоугольника является квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны между собой.

Прямоугольник

Рис. 1. Прямоугольник.

Что такое диагональ? Диагональ – это отрезок, который соединяет противолежащие стороны фигуры. Диагональ существует во всех фигурах, число вершин которых больше 3.

У треугольника диагоналей нет, а у тетраэдра или додекаэдра есть.

Четырехугольники подразделяются на выпуклые и невыпуклые. Выпуклые четырех угольники определяют по следующему правилу: через любые две соседние вершины фигуры проводят прямую. Если фигура лежит по одну сторону от прямой, то четырехугольник выпуклый, если нет – невыпуклый. Все известные четырехугольники являются выпуклыми.

Невыпуклый четырехугольник

Рис. 2. Невыпуклый четырехугольник.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника обычно определяют как произведение длины на ширину. Эта формула выводится через разделение фигуры диагональю на два прямоугольных треугольника. Площадь каждой из фигур это половина произведения катетов. Общая площадь двух фигур целое произведение катетов. Этими катетами как раз и являются длина и ширина прямоугольника.

Но случаются ситуации, когда приходится искать площадь, но значений длины или ширины нет. Что делать тогда? Воспользоваться общей для всех четырех угольников формулой и найти площадь прямоугольника через диагонали.

Площадь любого выпуклого четырех угольника равняется произведению диагоналей на синус угла между ними. Диагонали прямоугольного треугольника равны между собой, поэтому значения угла и одной диагонали хватит для нахождения площади.

$$S={1over2}*d^2*sin(a)$$

Внимательно следите за тем, какой именно угол дан в условиях задачи. Необходим острый угол при диагоналях. Если тупой, то можно воспользоваться формулой смежного угла. Если дан какой-либо из углов между стороной и диагональю, то придется искать другие пути решения.

Возможны ситуации, когда нужно найти площадь, а известен угол между диагональю и стороной и значение диагонали и стороны. Тогда нужно найти площадь прямоугольного треугольника через формулу с применением синуса и удвоить ее.

Площадь прямоугольника

Рис. 3. Площадь прямоугольника.

В этом случае площадь прямоугольника будет равна:

S=d*b*sin(a)

Заключение

Что мы узнали?

Мы поговорили о площади прямоугольного треугольника. Выделили отдельно формулу площади прямоугольника через диагонали. Поговорили о случаях, когда применение этой формулы невозможно или затруднено и привели альтернативный вариант решения.

Тест по теме

Доска почёта

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 217.

А какая ваша оценка?

Источник

Рассчитать площадь прямоугольника с подробным решением. Калькулятор находит площадь по формуле через длину и ширину прямоугольника. Основные способы и объяснение формул, по которым вы сможете самостоятельно решить свои задачи.

Онлайн-калькулятор площади прямоугольника

Вначале давайте разберемся с определением. У прямоугольника есть 4 стороны. Каждая сторона равна противоположной и параллельна ей. Здесь важно понимать, что все 4 стороны не могут быть равны, иначе получится квадрат. В прямоугольнике будут 2 одинаковые стороны одной длины и 2 одинаковые другой.

площадь прямоугольника

Все 4 угла, находящиеся внутри прямоугольника, — прямые. То есть каждый угол равен 90°.

прямой угол

Формула площади прямоугольника через его стороны

Чтобы найти площадь SS прямоугольника, нужно перемножить две его стороны: сторону aa умножаем на сторону bb.

S=a⋅b.S = a cdot b.

Пример

У нас есть прямоугольник ABCDABCD. Одна его сторона ABAB равна 55 см, вторая BCBC равна 33 см. Нам нужно найти его площадь SS.

решение примера

Решение:

Чтобы найти площадь SS, нужно умножить сторону ABAB на сторону BCBC и получаем: S=5⋅3S = 5 cdot 3.

Ответ: S=15S = 15 см2.

Формула площади прямоугольника через диагонали

Площадь прямоугольника можно также рассчитать, зная длину диагоналей и острый угол между ними:

S=12d2sin⁡α.S = frac {1}{2}d^2 sin alpha.

Помним, длины диагоналей в прямоугольнике равны и при пересечении делятся пополам.

Пример

Дан прямоугольник ABCDABCD. Его диагональ ACAC равна 88 см, а острый угол между диагоналями 30°30°. Найдите площадь фигуры.

решение примера 2

Используем приведенную выше формулу и получаем:
S=12⋅82⋅sin⁡30∘=12⋅64⋅12=644=16S = frac{1}{2} cdot 8^2 cdot sin 30^{circ} = frac{1}{2} cdot 64 cdot frac{1}{2} = frac{64}{4} = 16

Ответ: S=16S = 16 см2.

Не знаете, как решить задачу по геометрии онлайн? Оформите заказ на Студворк!

Тест по теме «Площадь прямоугольника»

Источник

Добавить комментарий