Как найти площадь прямоугольника обыкновенные дроби

Математика

5 класс

Урок № 81

Площадь прямоугольника

Перечень рассматриваемых вопросов:

– формулы для расчёта площади прямоугольника и квадрата;

– определение площади прямоугольника, если его стороны выражены обыкновенными дробями.

Тезаурус

Прямоугольник– четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Квадрат – правильный четырёхугольник, т. е. четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС//С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Нам уже известно, что площадь прямоугольника вычисляется как произведение а и b, где а – это длина, а b – ширина прямоугольника. При этом мы считаем, что длина и ширина выражены натуральными числами и измерены в одинаковых линейных единицах.

Эта формула будет верна и при дробных а и b.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами a = 2/3 см и b = ¾ см.

Покажем, что его площадь равна произведению 2/3 на ¾ и равна ½ см².

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной 1 см.

Одну сторону квадрата разделим на 3 равные части, а другую на 4 равные части. Площадь квадрата равна 1 см².

S = 1 см ∙ 1 см = 1 см²

Квадрат разделен на 12 частей, соответственно площадь каждой части будет равна 1/12 см².

Прямоугольник состоит из шести таких частей, значит, его площадь будет равна

S = 6 ∙ /12 = 1/2 см²

Или, с другой стороны, площадь равна произведению сторон, а следовательно:

Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

Как вы помните, площади различных участков могут измеряться различными единицами измерения.

Вспомним соотношения между единицами измерения площадей:

100 мм² = 1 см²

100 см² = 1 дм²

100 дм² = 1 м²

100 м² = 1 а

100 а = 1 га = 10000 м²

Вспомним, как можно смоделировать фигуру с заданной площадью.

Пусть у нас имеется ящик, полный дощечек в форме квадрата со стороной 50 сантиметров. В ящике 16 дощечек. Какую фигуру можно составить из них на участке?

Для начала определим площадь всех дощечек.

Теперь нам необходимо смоделировать фигуру с заданной площадью в 4 м².

Из этих дощечек мы можем сложить квадрат со сторонами, равными 2 м каждая.

S = 2 ∙ 2 = 4 (м²)

Или прямоугольник с длиной 1 метр и шириной 4 метра.

S = 1 ∙ 4 = 4 (м²)

Площадь каждой из этих фигур будет равна четырём квадратным метрам.

Итак, сегодня на уроке мы вспомнили формулы площади прямоугольника и квадрата, а также научились находить площадь этих фигур, если их стороны определяются дробями.

Попробуем увидеть фигуры равной площади в представленном рисунке.

Посмотрим на правильный ответ:

Зелёный треугольник – это половина от прямоугольника со сторонами из 10 и 5 клеток. Значит, площадь прямоугольника будет равна 50 клеткам, тогда площадь треугольника – 25 клеток.

Длина стороны зелёного квадрата равна 5 клеткам, поэтому его площадь также равна 25 клеткам.

Следовательно, зелёные фигуры имеют одинаковые площади.

Красные треугольники – это половинки от зелёного квадрата, а значит, их площади тоже равны.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Разместите нужные подписи под изображениями:

Рис. 1

Рис. 2

Варианты ответов: прямоугольник; квадрат.

Правильный ответ: при выполнении данного задания нужно использовать определения данных геометрических понятий.

1) квадрат

2) прямоугольник

Вставьте в текст нужные слова.

Площадью прямоугольника называют число, которое …. . , сколько квадратных …… содержится в …….

Слова: определяется; количество; число; показывает; единиц; квадрате; прямоугольнике.

При выполнении данного задания нужно вспомнить определение площади прямоугольника.

Правильный ответ: площадью прямоугольника называют число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в прямоугольнике.

Содержание:

Обыкновенные дроби

Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Основное свойство дроби

Разделим квадрат со стороной 1 дм на 4 равные части и 3 из них заштрихуем (рис. I). Так как площадь данного квадрата равна 1 дм², то площадь заштрихованной части —

Каждый из четырех образовавшихся квадратов разделим еще на 9 равных квадратов. Тогда данный квадрат будет разделен на 4 • 9 = 36 малых квадрата, из которых 3 • 9 = 27 будут заштрихованными. Теперь площадь заштрихованной части равна — дм².

Поэтому – дм² = дм², откуда

Числитель и знаменатель дроби — можно получить, умножив числитель и знаменатель дроби — на 9:

Какое свойство дроби выражает это равенство?

Если разделим числитель и знаменатель дроби на 9, то получим дробь , которая равна дроби :

Какое свойство дроби выражает это равенство?

Итак, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной.

Это свойство называют основным свойством дроби.

Например:

Из равенства следует, что дроби и являются разными записями одного и того же числа.

Пример:

На числовом луче отметьте числа:

Решение:

Применение основного свойства дроби

Сокращение дроби

Использовав основное свойство дроби, иногда можно заменить одну дробь другой, равной ей, но с меньшими числителем и знаменателем.

Например, если числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель 11, то получим дробь , равную дроби :

Деление числителя и знаменателя дроби на их общин делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Наибольшим числом, на которое можно сократить дробь, является наибольший общий делитель числителя и знаменателя. 4

Дробь сократить нельзя. Такую дробь называют несократимой. Числитель и знаменатель несократимой дроби являются взаимно простыми числами.

б) Приведение дроби к новому знаменателю

Использовав основное свойство дроби, дробь можно записать дробью со знаменателем 12, умножив ее числитель и знаменатель на 3:

Эту же дробь можно заменить дробью со знаменателем 20, умножив ее числитель и знаменатель на 5:

Пусть дробь нужно привести к дроби со знаменателем 96. Сначала нужно узнать, на какое натуральное число нужно умножить 4, чтобы получить 96

(если такое число существует). Для этою нужно число 96 разделить на 4:

96 : 4 = 24. Тогда

Число 24 в этом примере называют дополнительным множителем.

Пример:

Сократить дробь

Решение:

Сокращение можно проводить постепенно, используя, по возможности, признаки делимости:

Сокращенная запись:

Сокращение можно проводить, разделив числитель и знаменатель на их НОД. Поскольку НОД(24; 60) = 12, то

Сокращенная запись:

Пример:

Записать обыкновенной несократимой дробью: 0,25; 0,125; 20%; 55%.

Решение:

Пример:

Записать в процентах числа:

Решение:

Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

Сравните дроби .

Дроби имеют одинаковые знаменатели. Такие дроби мы умеем сравнивать. Меньшей из этих дробей является та, числитель которой меньше, то есть

Воспользуйтесь полученным результатом для сравнения дробей .

Используем основное свойство дроби и приведем дроби к одинаковому, или, еще говорят, общему знаменателю.

Дробь можно привести к знаменателям, кратным 5:

а дробь — к знаменателям, кратным 7:

Дроби и можно привести к одинаковым знаменателям 35;70; … (они подчеркнуты), то есть к общим кратным знаменателей этих дробей. Наименьшее общее кратное знаменателей двух дробей называют наименьшим общим знаменателем. Наименьшим общим знаменателем дробей и является число 35.

Приведите дроби и к знаменателю 35.

Чтобы привести дроби и к наименьшему общему знаменателю 35, найдем дополнительные множители для каждой из дробей. Дополнительный множитель для первой дроби 35 : 5 = 7, а для второй дроби — 35: 7 = 5. Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, а числитель и знаменатель дроби на 5:

Дроби и привели к наименьшему общему знаменателю 35 и получили такие дроби:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1. найти наименьшее общее кратное знаменателей;
2. найти дополнительные множители для каждой дроби, разделив НOK знаменателей на знаменатель каждой дроби;
3. числитель и знаменатель каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.

После приведения дробей и к общему знаменателю можем сравнить их. Поскольку а то

Итак, чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, достаточно привести их к общему знаменателю и сравнить полученные дроби.

Пример:

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби

Решение:

Найдем НОК знаменателей: 9 = 3 • 3; 18 = 3 • 3 • 2; 27 = 3 • 3 • 3.

НОК(9; 18; 27) = 3 • 3 • 2 • 3 = 54. Разделим .наименьший общий знаменатель на

знаменатель каждой дроби и найдем дополнительные множители: 54 : 9 = 6;

54 : 18 = 3; 54 : 27 = 2.

Запишем:

Пример:

Сравнить числа

Решение:

Смешанные числа имеют одинаковые целые части. Сравним дробные части этих чисел.

Поскольку а то

Итак, то есть

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Пример:

Мама разрезана пирог на 12 равных частей. Петя съел одну часть пирога, а Сережа — две таких части. Какую часть пирога съели Петя и Сережа вместе?

Решение:

Петя съел часть пирога, Сережа — части. Для решения задачи нужно эти дроби сложить:

Итак, мальчики съели вместе часть пирога.

Пример:

Мама разрезала пирог на 12 равных частей. Петя съел часть пирога, а Сережа — часть. Какую часть пирога съели Петя и Сережа вместе?

Решение:

Для решения задачи нужно сложить дроби и . Эти дроби имеют равные знаменатели, а мы умеем складывать только дроби с одинаковыми знаменателями.

Сколько двенадцатых частей пирога съел каждый мальчик?

Так как пирог был разделен на 12 равных частей, а Петя съел часть пирога, то он съел 3 двенадцатых части, то есть пирога: Сережа съел пирога. Теперь можно найти часть пирога, которую мальчики съели вместе:

Итак, для того чтобы сложить дроби и с разными знаменателями, мы привели их к наименьшему общему знаменателю (12) и сложили полученные дроби, имеющие одинаковые знаменатели.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно:

1. привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
2. сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример:

Мама разрезала пирог на 12 равных частей. Петя съел часть пирога, а Сережа — часть. Кто из мальчиков съел большую часть пирога и на сколько большую?

Решение:

Так как то большую часть пирога съел Сережа. Чтобы найти, на

сколько больше он съел, нужно из вычесть.

Итак, для того чтобы вычесть дроби и , мы привели их к наименьшему общему знаменателю и вычли дроби с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно:

1. привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
2. вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Для сложения дробей справедливы изученные ранее переместительное и сочетательное свойства сложения:

— переместительное свойство;

— сочетательное свойство.

Пример:

Найти сумму

Решение:

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 30. Дополнительным множителем для первой дроби является 5 для второй — 3 Записываем так:

Сокращенная запись:

Пример:

Найти сумму

Решение:

Сокращенная запись:

Пример:

Найти разность

Решение:

Пример:

Найти разность

Решение:

Сокращенная запись:

Пример:

Швея может выполнить заказ за 3 дня, а ее ученица — за 6 дней. Какую часть заказа могут выполнить швея и ее ученица за 1 день, работая вместе?

Решение:

Примем весь заказ за 1, тогда швея выполнит за 1 день заказа, ученица — заказа. Вместе за 1 день они выполнят:

Ответ. , или половину заказа.

Интересные рассказы

Запись дробей

Древние египтяне пользовались единичными дробями (дробями с числителем 1). С их помощью записывали любое дробное число в виде суммы.

Например:

В Древнем Вавилоне пользовались так называемыми шестидесятичными дробями. Их записывали в специальном виде, например, запись 4; 52; 3 означала

Запись дробей при помощи числителя и знаменателя появилась в Древней Греции, только греки знаменатель записывали над дробной чертой, а числитель — под ней. В привычной для нас форме дроби начали записывать приблизительно 1500 лет назад индусы, но они не использовали черту между числителем и знаменателем.

Черта, разделяющая составляющие части дроби, появилась в 1202 году в работах итальянского математика Леонардо Пизанского и почти одновременно — у арабского ученого ал-Хассара.

Памятка:

1. — основное свойство дроби, умножили или разделили числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

2. — сократили дробь.

3. — дробь привели к знаменателю 70; 10 — дополнительный множитель.

4. — наименьший общий знаменатель этих дробей.

5. — сложили дроби с разными знаменателями. 12 18 36 36

1) Находим НОК чисел 12 и 18: НОК( 12; 18) = 36 — общий знаменатель.

2) Находим дополнительные множители: 36 : 12 = 3; 36 : 18 = 2.

3) Находим числитель суммы: 5 • 3 + 7 • 2 = 29.

6. — вычли дроби с разными знаменателями.

Умножение обыкновенных дробей

Пример:

Длина прямоугольника равна дм, а ширина — дм. Найти площадь прямоугольника.

Решение:

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно — умножить на .

Так как умножать обыкновенные дроби вы не умеете, то вычислите площадь прямоугольника, построив к его внутри квадрата со стороной 1 дм.

Построим данный прямоугольник в квадрате со стороной 1 дм. Разделив одну сторону квадрата на 5 равных частей, а другую — на 3 равных части, разобьем квадрат на 15 равных частей (рис. 3).

Так как площадь квадрата равна 1 дм², то площадь одной такой части равна Прямоугольник со сторонами – дм и дм состоит из 8 таких частей, поэтому его площадь равна — дм². Итак, Как можно найти числитель и знаменатель произведения двух обыкновенных дробей?

Итак, произведением двух обыкновенных дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

Умножим дроби:

Мы разделили числитель и знаменатель на 10. При умножении можно сначала записать произведение числителей и произведение знаменателей, провести сокращение, а затем выполнить умножение:

Как выполнить умножение ?

Правило умножения дробей можно использовать и тогда, когда одним из множителей является натуральное число. Для этого достаточно натуральное число записать в виде неправильной дроби со знаменателем 1 и применить правило умножения дробей. Например:

Правило умножения дробей можно использовать при умножении смешанных чисел. Для этого достаточно записать эти числа в виде неправильных дробей и применить правило умножения дробей. Например:

Для умножения дробей выполняются нереместителыюе. сочетательное и

распределительное свойства умножения, а именно: если — дроби, то

Кроме того,

Пример:

Выполнить умножение:

Решение:

Данное умножение удобно выполнить, использовав распределительный закон умножения, а именно:

Пример:

Записать обыкновенной дробью

Решение:

Так как 1% то

Пример:

Записать в виде процентов дроби:

Решение:

Так как 1 = 100%, то

Сокращенная запись:

Задачи на умножение дробей

Пример:

Автомобиль движется со скоростью 90 км/ч. Какой путь пройдет автомобиль за ч?

Решение:

Чтобы найти путь, надо скорость умножить на время:

Итак, за ч автомобиль пройдет 120 км.

Такие и аналогичные задачи, но с натуральными числами или десятичными дробями, мы уже решали раньше и также при помощи умножения Решим теперь при помощи умножения дробей задачи, которые мы раньше решали другими способами.

Пример:

В классе 30 учеников, из них — девочки. Сколько девочек в классе?

Решение:

Раньше эту задачу мы решали так:

1) 30 : 5 = 6 (учеников) — составляет от 30 учеников:

2) 6 • 3 = 18 (учеников) — составляет от 30 учеников.

Итак, в классе 18 девочек.

Запишем решение этой задачи в виде числового выражения (30 : 5) • 3, которое преобразуем так:

Итак, чтобы найти количество девочек в классе, можно умножить количество всех учеников (30) на дробь :

Решая задачу, мы нашли дробь от числа 30. Вообще говорят: нашли дробь от числа.

Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.

Пример:

При перегонке нефти получают 30% керосина. Сколько тонн керосина можно получить из 15 т нефти?

Решение:

Запишем 30% в виде дроби: 30% = 0,3. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти 30% от 15 т, или дробь 0,3 от 15 т:

Итак, из 15 т нефти можно получить 4,5 т керосина.

Решая задачу, мы нашли 30% от числа 15. Говорят: нашли проценты от числа.

Чтобы найти проценты от числа, нужно записать проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Пример:

Найти от 0,21 от 12.

Решение:

Пример:

Найти 12% от от 20.

Решение:

Взаимно обратные числа

Возьмем дробь и поменяем в ней местами числитель и знаменатель, то есть числитель запишем знаменателем, а знаменатель — числителем. Получим Найдем произведение этих дробей:

Произведение чисел и равно 1. Такие числа называют взаимно обратными; число называют обратным числу , а число — обратным числу .

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Взаимно обратными являются, например, числа:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Так как произведение чисел и равно 1, то — число, образное числу Итак,

Деление обыкновенных дробей

Вы уже знаете, что деление — это действие, при помощи которого по известному произведению и одному из множителей находят другой множитель Так

как 3 • 2 = 6, то 6 : 3 = 2; так как то

Как найти частное обыкновенных дробей? В отличие от умножения дробей, в записи связь числителя и знаменателя частного с числителем и знаменателем делимого и делителя малозаметна. Найдем произведение делимого и числа обратного делителю:

Так как и верно равенство

Оказалось, что деление на некоторое число можно заменить умножением на обратное ему число. Получим следующее правило:

Чтобы разделить одну дробь на другую, достаточно делимое умножить на число, обратное делителю.

Выполним по этому правилу деление дроби на дробь

Для тех, кто хочет знать больше

Частное 3 : 5 можно записать при помощи черты дроби: Частное от деления двух выражении также можно записывать при помощи черты дроби. Например.

Выражение называют дробным выражением, числителем которого является выражение 12 + 3 • 3, а знаменателем — выражение 12 — 0,7. В числителе и знаменателе дробного выражения могут быть числовые выражения и выражения с переменными. Например,

—дробные выражения.

Находя значения дробных выражений, можно использовать свойства обыкновенных дробей. Например, умножить числитель и знаменатель на одно и то же число:

Пример:

Вычислите

Решение:

Запишем числа неправильными дробями:

Тогда

Задачи на деление дробей

Пример:

С опытного участка площадью га собрали 176 ц пшеницы Какова урожайность пшеницы на этом участке?

Решение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу всей собранной пшеницы разделить на площадь участка:

Итак, урожайность пшеницы на этом участке — 64 ц с гектара. Такие и похожие задачи, но с натуральными числами или десятичными дробями, мы уже решали раньше и тоже при помощи деления

Решим теперь при помощи деления дробей задачи, которые раньше решали другими способами.

Пример:

Автомобиль, двигаясь из города А в город В, проехал 60 км, что составляет расстояния между этими городами. Каково расстояние между городами А и В?

Решение:

Вам известно такое решение задачи:

1) 60 : 2 = 30 (км) — соответствует расстояния;

2) 30 • 5 = 150 (км) — расстояние между городами.

Запишем решение этой задачи в виде числового выражения (60 : 2) • 5, которое преобразуем так:

Итак, данную задачу можно решить делением на дробь.

В задаче известно, что расстояния — это 60 км, а нужно найти все расстояние, то есть в задаче известно, чему равна дробь от числа, а нужно найти само число.

Чтобы найти число по данному значению его дроби, достаточно это значение разделить, на дробь.

Пример:

Из чайного листа получают 4.5% чая. Сколько потребуется чайного листа, чтобы получить 36 кг чая?

Решение:

Запишем проценты в виде дроби:

Нужно найти массу чайного листа, если 0.045 этой массы составляет 36 кг, то есть нужно найти число по данному значению его дроби:

Итак, чтобы получить 36 кг чая, потребуется 800 кг чайного листа.

Решая задачу, мы искали число, 4,5% которого равно 36, то есть искали число по его процентам.

Чтобы найти число по его процентам, достаточно записать проценты к виде дроби и разделить значение процентов на полученную дробь.

Пример:

Найти число, которого равны 45.

Решение:

Пример:

Найти число, которого равны 14.

Решение:

Преобразование обыкновенных дробей в десятичные. Периодические десятичные дроби

Обыкновенную дробь можно рассматривать как частное от деления числителя на знаменатель. Разделив числитель на знаменатель, получаем десятичную дробь или натуральное число. Итак, чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, достаточно числитель разделить на знаменатель. Например:

Дробь 0,66… называют бесконечной периодической десятичной дробью. периодом которой является число 6. Дробь 0,833… также периодична, но ее период (число 3) начинается не сразу после запятой. Дробь 0,2727… периодична, ее периодом является число 27.

Периодичные дроби еще записывают так: 0,66… = 0,(6); читают: 0 целых 6 в периоде; 0,833… = 0,8(3) (0 целых 8 десятых до периода и 3 в периоде); 0.2727… = 0,(27) (0 целых 27 в периоде).

Дроби и можно преобразовать в конечные десятичные дроби. Знаменатели этих дробей 4 = 2 • 2 и 20 = 2 • 2 • 5 имеют в своих разложениях на простые множители только два простых числа: 2 и 5. Кроме деления числителя на знаменатель, преобразовать такие дроби в десятичные можно еще и так:

В обоих случаях дополнительные множители мы выбирали так, чтобы уравнять количество двоек и пятерок в раложенни знаменателей на простые множители. Тогда в знаменателях получили числа, записанные единицей с последующими нулями. А такие обыкновенные дроби можно записать конечными десятичными дробями.

Итак, если разложение знаменателя обыкновенной дроби на простые множители содержит только числа 2 и 5, то такая дробь преобразуется в конечную десятичную дробь.

Если разложение знаменателя обыкновенной несократимой дроби на простые множители, кроме чисел 2 и 5, содержит другие числа, то такая дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь. Например,

Пример:

Не выполняя деления, преобразовать число в десятичную дробь.

Решение:

Памятка:

1. в числителе — произведение числителей в знаменателе — произведение знаменателей.
2. нашли дробь от числа 30.
3. — нашли 25% от числа 36.
4. — умножили на число, обратное делителю.
5. — нашли число, которого равны 40.
6. — нашли число, 75% которого равны 30.

Обыкновенные дроби и действия над ними

Основное свойство дроби. сокращение дроби

Посмотрите на рисунки 2 и 3. Вы видите, что два равных квадрата разделены на две части: первый квадрат — на 4 равные доли (рис. 2), а второй — на 8 равных долей (рис. 3). На обоих рисунках закрашена одна и та же часть квадрата. Но на первом рисунке такая часть составляет квадрата, а на втором квадрата. Значит, дробь можем заменить дробью потому, что значения этих дробей равны: .

Чтобы понять, как из дроби можно получить дробь , будем рассуждать так. Второй квадрат разделили на количество долей, вдвое большее, чем первый квадрат (это показывают знаменатели дробей). Поэтому, если во втором квадрате взять во столько же раз больше долей, то получим равенство — одна доля первого квадрата равна двум долям второго квадрата. Отсюда: . Рассуждая в обратном порядке, получим: . Такое свойство называют основным свойством дроби.

Основное свойство дроби

Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

, если ;, если .

Пример:

Мама купила детям молочный шоколад, состоящий из 18 долек. Таня сказала, что съела плитки шоколада, а Ваня сказал, что съел плитки. Мама сказала, что каждый из детей съел одинаковую часть плитки шоколада. Так ли это?

Решение:

Таня и Ваня меряли плитку шоколада разными мерками: Таня меряла шестыми частями, а Ваня — восемнадцатыми частями. По основному свойству дроби: . Значит Таня и Ваня действительно съели одинаковые части плитки шоколада. Мама была права.

Обратите внимание:

если дроби равны, то их считают разными записями одного числа.

По основному свойству дроби, можем записать: . Здесь числитель и знаменатель дроби мы разделили на 2 и получили дробь с меньшим знаменателем 8 и меньшим числителем 3. Такое преобразование дроби называют сокращением дроби.

Пример:

Каждую ли дробь можно сократить? Нет. Например, числитель и знаменатель дроби не имеют других общих делителей, кроме числа 1. Числа 5 и 7 являются взаимно простыми, поэтому дробь сократить нельзя.

Такие дроби называют несократимыми. Например, дроби несократимые.

Правило сокращения дроби

Чтобы сократить дробь, нужно:

1. для числителя и знаменателя дроби найти общий делитель, не равный 1;
2. разделить знаменатель дроби на общий делитель и результат записать в знаменателе новой;
3. разделить числитель дроби на общий делитель и результат записать в числителе новой дроби.

Например:

Если после сокращения дроби получили дробь, которую можно ещё сократить, то действие сокращения повторяют* пока не получат несократимую дробь. Например:

Обратите внимание:

если дробь сократить на НОД числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.

В Древнем Риме система дробей была достаточно интересной. В её основу было положено деление на 12 частей единицы массы, которую называли асс. асса называли «унцией». Путь, время и другие величины римляне также сравнивали с массой. Например, они говорили, что прошли семь унций пути или прочитали три унции книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Римляне имели в виду, что пройдено

пути или прочитанокниги.

Приведение дробей к общему знаменателю. сравнение дробей

Вы уже знаете, что дробь можно заменить дробью потому, что значения этих дробей равны: . О таком равенстве говорят, что дробь привели к новому знаменателю 16. Для приведения дроби к новому знаменателю применяют основное свойство дроби.

Часто заранее известно, к какому именно знаменателю нужно привести данную дробь. Например, дробь нужно привести к знаменателю 50. Для этого сначала следует узнать, во сколько раз новый знаменатель 50 больше знаменателя данной дроби: . Затем — во столько же раз нужно увеличить числитель данной дроби: . Следовательно, . Число 5 называют дополнительным множителем.

Обратите внимание:

• — дополнительный множитель является натуральным числом;
• — чтобы найти дополнительный множитель, разделите новый знаменатель на знаменатель данной дроби.

Пример:

К любому ли знаменателю можно привести данную дробь? Нет. Например, дробь нельзя привести к знаменателю 11 или 25, поскольку ни число 11, ни число 25 не делится на число 10.

Правило приведения дроби к новому знаменателю

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно:

1. записать новый знаменатель в знаменателе новой дроби;
2. определить дополнительный множитель как частное нового знаменателя и знаменателя данной дроби;
3. умножить числитель данной дроби на дополнительный множитель и результат записать в числителе новой дроби.

Например:

Если дроби привели к новым знаменателям, равным между собой, то говорят, что эти дроби привели к общему знаменателю. Иногда заранее известно, к какому именно общему знаменателю нужно привести дроби. Тогда каждую дробь отдельно приводят к заданному знаменателю по известному правилу.

Чаще всего новый знаменатель заранее не задан. Тогда нужно сначала выяснить, к какому общему знаменателю можно привести данные дроби.

Как правило, дроби приводят к такому общему знаменателю, который является наименьшим из всех возможных. Такой знаменатель называют наименьшим общим знаменателем данных дробей.

Определение:

Наименьшим общим знаменателем дробей является число, равное наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей данных дробей.

Сформулируем правило приведения двух дробей к наименьшему общему знаменателю.

Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

1. найти НОК знаменателей данных дробей;
2. найти дополнительный множитель для первой дроби;
3. привести первую дробь к новому знаменателю;
4. найти дополнительный множитель для второй дроби;
5. привести вторую дробь к новому знаменателю.

Пример:

Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби и.

Решение:

Вы уже умеете сравнивать две дроби с одинаковыми знаменателями. Например: поскольку ; , поскольку .

Пример:

Можно ли сравнить две дроби с разными знаменателями? Да. Рассмотрим пример.

Пример:

Сравните дроби и .

Решение:

Приведём данные дроби к наименьшему общему знаменателю 24. , а . Поскольку знаменатели полученных дробей равны, можем сравнить их числители: . Отсюда: . Следовательно, .

Если две дроби имеют одинаковые числители и разные знаменатели , то их можно сравнить, не приводя к общему знаменателю Для этого пользуются правилом: из двух дробей с одинаковыми числителями большей является та, у которой знаменатель меньше. Например, поскольку . Попробуйте самостоятельно объяснить этот вывод по рисункам 4 и 5.

Сложение и вычитание дробей

Вы уже знаете, как складывать и вычитать натуральные числа, а также дроби с одинаковыми знаменателями. Дроби с разными знаменателями тоже можно складывать и вычитать.

Рассмотрим задачу.

Пример:

Мама купила детям молочный шоколад, в котором 18 долек.

Таня сказала, что съела бы часть плитки шоколада, а Ваня сказал, что съел бы её часть (рис. 6) Какую часть плитки шоколада съели бы Таня и Ваня вместе?

Решение:

Таня и Ваня меряли плитку шоколада разными мерками: Таня меряла шестыми частями, а Ваня — девятыми. Чтобы найти сумму , нужно каждое слагаемое представить в одних и тех же единицах измерения. Понятно, что для плитки шоколада такой меркой является долька, или плитки. Тогда плитки содержит 3 дольки, то есть равна плитки шоколада, а плитки содержит 2 дольки, то есть равна плитки шоколада. Вместе это составляет 5 долек, или плитки шоколада.

Ответ: дети съели бы плитки шоколада.

Решая задачу, мы, по сути, выполнили действие сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Попробуйте самостоятельно сформулировать соответствующее правило и сравните его с представленным в учебнике.

Правило сложения дробей с разными знаменателями

Чтобы найти сумму двух дробей с разными знаменателями, нужно:

1. привести данные дроби к общему знаменателю;
2. общий знаменатель записать в знаменателе суммы;
3. сложить новые числители и результат записать в числителе суммы;
4. если возможно, то сократить полученную в сумме дробь и выделить из неё целую часть.

Например:

При сложении дробей с разными знаменателями, так же, как и при сложении натуральных чисел, справедливы переместительный и сочетательный законы сложения.

Пример:

Таня и Ваня съели плитки шоколада, в которой всего 18 долек. Таня съела плитки шоколада, а другую часть съел Ваня. Какую часть плитки съел Ваня’?

Решение:

Чтобы решить задачу, нужно найти разность дробей и . Поскольку плитки содержат 12 долек, то есть равны плитки, а плитки содержит 9 долек, то есть равна плитки, то или плитки шоколада.

Ответ: Ваня съел плитки шоколада.

Сформулируем правило вычитания дробей с разными знаменателями.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями

Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, нужно:

1. привести данные дроби к общему знаменателю;
2. общий знаменатель записать в знаменателе разности;
3. найти разность новых числителей и результат записать в числителе разности;
4. если возможно, то полученную в разности дробь сократить и выделить из неё целую часть.

Пример:

Вычислите:

Решение:

Задачу можно решить двумя способами

Способ 1.

Способ 2.

Пример:

Можно ли складывать (вычитать) два смешанных числа, у которых знаменатели дробных частей разные? Да. При этом дробные части приводят к общему знаменателю, Рассмотрим пример.

Пример:

Вычислите: 1) ; 2) .

Решение:

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1.

Способ 2.

Воспользуемся вторым способом:

Существует много разных математических фокусов, которые вы можете предложить своим друзьям или знакомым. Вот один из них. Задание. Нужно задумать любое натуральное число, затем прибавить к нему следующее по порядку, затем к сумме прибавить 9, разделить полученное число пополам и из полученного результата вычесть задуманное число. Какое получим число? Вы легко можете назвать число, получившееся в результате этих действий — это число 5.

Попытайтесь придумать свой математический фокус и предложите его друзьям.

• Заказать решение задач по высшей математике

Умножение дробей. нахождение дроби от числа

Дроби, как и натуральные числа, можно умножать. Например, чтобы найти площадь прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см, нужно умножить эти числа: . Выразив стороны в дециметрах, получим. Значит, в квадратных дециметрах площадь данного прямоугольника равна произведению дробей и . Но как вычислить такое произведение? Поразмышляем. Поскольку , то . Несложно заметить, что знаменатель произведения равен произведению знаменателей: , а числитель произведения равен произведению числителей: . В этом и состоит правило умножения дробей.

Правило умножения обыкновенных дробей

Чтобы найти произведение двух обыкновенных дробей, нужно:

1. найти произведение знаменателей данных дробей и записать его в знаменателе произведения;
2. найти произведение числителей данных дробей и записать его в числителе произведения.

.

Например:

Умножение дробей подчиняется переместительному и сочетательному законам умножения, а также распределительному закону умножения относительно сложения.

Пример:

Как умножить натуральное (смешанное) число на дробь?

Сначала натуральное (смешанное) число преобразуют в неправильную дробь, а затем выполняют умножение по приведённому выше правилу. Аналогично умножают два смешанных числа.

Пример:

Что получим в результате умножения дроби на 1?

Ту же дробь. Например:

Пример:

Что получим в результате умножения дроби на О?

Число 0. Например:

Пример:

Существуют ли такие числа, произведение которых равно 1 ? Да. Например: и ; и .

Действительно: ; .

Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.

Пример:

Как записать число, обратное данному? Для этого достаточно представить данное число в виде дроби и в полученной дроби поменять местами числитель и знаменатель. Например, для числа получим обратное число . Для натурального числа обратной является дробь, у которой числитель — 1, а знаменатель — данное натуральное число. Например, для чисел 5, 14 и 29 обратными являются соответственно числа , , .

Обратите внимание:

• — для числа 1 обратным является число 1;
• — для числа 0 обратного числа не существует.

На практике нередко нужно выяснить, какая величина приходится на часть данного числа. Вы знаете, что это задачи на нахождение дроби от числа. Все они сводятся к действию умножения числа на дробь- Рассмотрим задачу.

Пример:

Мама испекла рулет длиной 30 см. Таня и Ваня со своим и друзьями решили лишь попробовать его, но оказалось, что не стало аж рулета. Сколько сантиметров составляют длины рулета?

Решение:

Длина всего рулета равна 30 см (рис. 7). Если разделить его на 6 частей, то длина одной его части составит 5 см. Дети съели 5 таких частей, это значит, что они съели рулета. Но такую запись получим и тогда, когда число 30 умножим на дробь , то есть: .Значит, длины рулета составляют 25 см.

Можем сформулировать правило.

Правило нахождения дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, нужно данное число умножить на эту дробь.

Математический папирус Ринда – древнеегипетское учебное пособие по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом на свиток папируса длиной 5,25 м и шириной 33 см (рис. 8). Папирус был найден в 1858 году. В 1870 г. его расшифровали, перевели и издали. Ныне большая часть рукописи хранится в Британском музее в Лондоне, а остальная — в Нью-Йорке. Папирус Ринда содержит условия и решения 84 задач и является самым полным египетским задачником, дошедшим до нас.

Деление дробей. Нахождение числа по его дроби

Вы знаете, что неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель. Например, у прямоугольника с площадью и одной стороной (рис. 9) вторая сторона равна частному от деления дроби на дробь .

Пусть искомое частное —дробь . Тогда можем записать: . Видим, что , поскольку . Значит, , то есть . Такой же результат получим, когда дробь умножим на дробь , обратную дроби . Действительно: .

Получается, что действие деления дроби на дробь можно заменить действием умножения данной дроби на число, обратное делителю:

В этом и состоит правило деления дроби на дробь.

Правило деления обыкновенных дробей

Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно:

1. найти дробь, обратную делителю;
2. делимое умножить на дробь, обратную делителю.

.

3адача 1.

Разделите дробь на дробь .

Решение:

Пример:

Как разделить натуральное (смешанное) число на дробь? Сначала нужно данное натуральное (смешанное) число преобразовать в неправильную дробь, а затем применить правило деления дробей.

Пример:

Найдите частное чисел: 1) ; 2) .

Решение:

1) ;

2) .

Пример:

Что получим, если 1 разделим на некоторую дробь? Получим дробь, обратную данной. Например:

Обратите внимание:

• — если 1 разделить на обыкновенную дробь, то получим обыкновенную дробь, обратную данной.

Пример:

Что получим, если 0 разделим на обыкновенную дробь? Получим ноль. Например:

Пример:

Можно ли разделить дробь на 0? Нет, поскольку на ноль делить нельзя.

На практике нередко приходится по известной части величины находить саму величину. Вы знаете, что это задачи на нахождение числа по его дроби. В 5 классе вы научились решать такие задачи различными способами. Оказывается, что все они сводятся к действию деления числа на дробь. Рассмотрим пример.

Пример:

Мама испекла рулет. Таня и Ваня измеряли рулет и отрезали часть длиной 30 см. Оказалось, что они отделили рулета Сколько сантиметров составляла длина целого рулета?

Решение:

Если разделить весь рулет на 6 частей (рис. 10), то длина пяти таких частей равна 30 см. Значит, длина одной его части составляет , а длина всего рулета — . Следовательно, чтобы по условию задачи найти длину всего рулета, можно число 30 разделить на дробь , то есть:

Можем сформулировать правило нахождения числа по его дроби.

Правило нахождения числа по его дроби

Чтобы найти число по его дроби, нужно данное число, выражающее часть искомого, разделить на эту дробь.

Пусть даны два таких натуральных числа, что сумма всех делителей первого (за исключением самого числа) равна второму числу, а сумма всех делителей второго числа (за исключением самого числа) равна первому числу. Числа, обладающие таким свойством, называют дружественными числами. Например, число 220 имеет такие делители: 1.2.4.5.10.11,20.22.44.55. 110. Их сумма равна 284. Число 284 имеет следующие делители: 1. 2. 4. 71. 142. Их сумма равна 220. Итак, числа 220 и 284 являются парой дружественных чисел. Это пара наименьших дружественных чисел. Вот другие пары дружественных чисел: 1184 и 1210. 2620 и 2924. 5020 и 5564. 6232 и 6368. 10 744 И 10 856.12 285 и 14 595.17296 и 18 416. 63 020 и 76 084.

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Десятичные приближения обыкновенной дроби

Из курса математики 5 класса вы знаете, что любую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби. Например, .Такое действие иначе называют преобразованием десятичной дроби в обыкновенную. Обратное действие называют преобразованием обыкновенной дроби в десятичную.

Пусть дроби , и нужно преобразовать в десятичные. Для этого числитель разделим на знаменатель. Тогда получим:

Разделив 7 на 25, мы получили десятичную дробь 0,28. А в двух других случаях деление закончить было невозможно, поскольку остаток всё время повторялся. Поэтому мы прекратили деление и поставили многоточие.

Дробь 0,28 называют конечной десятичной дробью, а дроби 0,6666… и 0,8333… называют бесконечными десятичными периодическими дробями. Такие дроби имеют период — это число, которое в записи десятичной периодической дроби повторяется бесконечно. Для дроби периодом является число 6, а для дроби — число 3. Период может начинаться сразу после десятичной

запятой, как у дроби , а может — после некоторого числа, как у дроби .

Бесконечную десятичную периодическую дробь кратко записывают так: . Читают так: «Ноль целых восемь десятых и три в периоде».

Пример:

Верно ли, что в периоде должна быть только одна цифра? Нет. Период может содержать несколько цифр. Например, период дроби содержит три цифры: .

Обратите внимание:

при преобразовании обыкновенной дроби в десятичную всегда получаем либо конечную дробь, либо бесконечную периодическую дробь.

Пример:

Можно ли сравнивать бесконечные периодические дроби, выполнять с ними действия? Да. Но для этого нужно предварительно округлить их. Рассмотрим пример.

Представим число в виде десятичной дроби:

.

Округлим эту дробь до единиц, десятых, сотых, тысячных и т. д. по правилам, известным вам из курса математики 5 класса. Получили следующую последовательность чисел: . В ней первое и второе значения являются округлением с недостатком, а третье, четвёртое и пятое — с избытком. Значит, такая последовательность не даёт однозначной характеристики полученной дроби. Для более точной её оценки применяют специальные процедуры.

Запишем для числа последовательность десятичных приближений с недостатком (до единиц, десятых, сотых, тысячных и т.д.). Для этот не округлим данное число, а отбросим все последующие цифры после указанного разряда: .

Запишем для числа последовательность десятичных приближений с избытком (до единиц, десятых, сотых, тысячных и т.д.). Для этого добавим единицу до соответствующего разряда и отбросим все последующие цифры после него: .

Несложно заметить, что для числа , а значит и для обыкновенной дроби справедливы неравенства:

Крайние члены таких неравенств называют десятичными приближениями обыкновенной дроби. Такие приближения используют, чтобы оценить обыкновенную дробь с определённой точностью, например, до десятых или до сотых. Посмотрите на неравенства, записанные выше. Первое из них показывает десятичные приближения дроби с точностью до единиц, второе — с точностью до десятых, третье — с точностью до сотых.

Иначе можно сказать, например, о первом неравенстве : «Дробь оценили с точностью до единиц». 12 12

У вас мог возникнуть вопрос: в каком случае обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь? Порассуждаем.

Представим, например, дроби , , и в виде десятичных дробей.

Как видим, первые три дроби можно представить в виде конечных десятичных дробей, а четвёртую — только в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Разложим их знаменатели на простые множители:

В первых трёх разложениях содержатся только числа 2 и 5, в третьем — и число 2, и число 5. В четвёртом же разложении есть и иной множитель — число 3. Это и является причиной того, что дробь нельзя представить в виде конечной десятичной периодической дроби.

Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной периодической дроби тогда и только тогда, когда разложение её знаменателя на простые множители не содержит чисел, отличных от 2 и 5.

——

Обыкновенные дроби

В этом разделе рассматриваются обыкновенные дроби. Вы уже кое-что знаете о них. В 5-м классе складывали и вычитали такие дроби, правда — только если они имели одинаковые знаменатели. Теперь научимся складывать, вычитать, умножать и делить любые обыкновенные дроби, а также использовать их для решения некоторых видов задач. Кратко основное содержание выглядит так.

• Основное свойство дроби.
• Сокращение дробей.
• Приведение дробей к общему знаменателю.
• Сложение и вычитание дробей.
• Умножение и деление дробей.
• Задачи на умножение и деление дробей.
• Преобразование обыкновенных дробей в десятичные.

Все темы очень важны, без их знания нельзя продолжать изучение математики.

Обыкновенные дроби с равными знаменателями

Повторим важнейшие сведения об обыкновенных дробях, которые рассматривались в предыдущих классах.

Кроме натуральных чисел, существуют также числа дробные. Записывать их можно с помощью обыкновенных или десятичных дробей.

Обыкновенная дробь – это запись вида , где и – натуральные числа. В такой дроби число называется числителем, а — знаменателем.

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделена единица (что-то единое целое), а числитель — сколько таких частей взято.

Например, если торт разделили на 8 равных частей и в тарелку положили 3 такие части, то в тарелке будет торта (рис. 12).

Черта, отделяющая числитель от знаменателя, называется чертой дроби. Числитель и знаменатель называют членами дроби.

Если знаменатели двух дробей равны, то больше из них та дробь, числитель которой больше. Например,

Сумма дробей с равными знаменателями равна дроби, в которой знаменатель тот же, а числитель равен сумме числителей данных дробей. То есть, всегда

Например,

Разность дробей с равными знаменателями равна дроби, в которой знаменатель тот же, а числитель равен разности числителей данных дробей. То есть, всегда

Например,

Обыкновенную дробь называют правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если же числитель больше знаменателя или равен знаменателю, то такую дробь называют неправильной. Например, дробь – правильная, а дроби и – неправильные, «значение каждой правильной дроби меньше 1. Если числитель равен знаменателю, то значение такой дроби равно 1.

Например, (рис. 13).

Если числитель больше знаменателя, то из такой дроби можно выделить целую часть:

Каждую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной:

Желательно различать дроби и дробные числа. Вам уже известны натуральные числа и дробные. Ни одно натуральное число не считается дробным и ни одно дробное -натуральным. А дроби это специальные символы, которыми обозначают как дробные, так и натуральные числа. Например, дроби обозначают натуральные числа 1, 2, 3, 4. Обратите внимание на то, что одно и то же натуральное или дробное число можно записать многими различными дробями.

Например, разные дроби обозначают одно и то же число: половину. На координатном луче каждой точке соответствует единственное число, а записывать его можно многими различными способами (рис. 14).

Выполнение заданий:

Пример №17

Сравните числа: а) и 0,5; б) и 0,17.

Решение:

а) поэтому

б) , поэтому данные числа равны.

Пример №18

Вычислим значение: а) 0,7 + ; б) 3,15-.

Решение:

а)

б)

Основное свойство дроби

Разделим число 3 на 10. Получим 0,3 или

Следовательно, 3 : 10 = . Так же, разделив 28 на

100, получим . Всегда , или иначе

Каждая обыкновенная дробь — это частное от деления ее числителя на знаменатель.

Черта дроби – это обозначение знака деления. Вспомните основное свойство деления. Частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Например, 10: 2 = 5 и 20 : 4 = 5, и 30 : 6 = 5. Основное свойство деления справедливо и тогда, когда деление обозначено чертой дроби.

Значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Это – основное свойство дроби.

Умножим, например, числитель и знаменатель дроби на 2 и на 4. Получим дроби и (рис. 16).

Все эти дроби имеют одно и то же значение. Говорят, что эти дроби равны.

Рассмотрите любую дробь, например. Если ее числитель умножить на 2, то значение дроби увеличится вдвое (рис. 17). Вообще, если числитель дроби увеличить в несколько раз, то и значение дроби увеличится во столько же раз. Если же на 2 умножить знаменатель дроби , то получим дробь , которая вдвое меньше (рис. 18). Вообще, если знаменатель дроби увеличить в несколько раз, то значение дроби уменьшится во столько же раз.

Если же умножить на натуральное число числитель (значение дроби увеличится в раз) и знаменатель (значение дроби уменьшится в раз), то в результате значение дроби не изменится. Это иное обоснование основного свойства дроби.

Выполнение заданий:

Пример №19

Запишите число 5 в виде дроби со знаменателем 1, 2, 3.

Решение:

Пример №20

Как изменится значение дроби, если ее числитель уменьшить в 3 раза?

Решение:

От увеличения числителя дроби в несколько раз значение дроби увеличится во столько же раз. Например, дробь больше в 3 раза. А дробь меньше в 3 раза.

Если числитель дроби уменьшить в несколько раз, то значение дроби уменьшится во столько же раз.

Пример №21

Вычислите

Решение:

Пример №22

Сколько сотых содержится в числе ?

Решение:

Ответ. 60.

Сокращение дробей

Из основного свойства дроби следует, что значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель разделить па их общий делитель. Так можно упрощать дроби, не изменяя их значения.

Пусть, например, дана дробь . Ее числитель и знаменатель делятся на 10. Разделив их на этот общий делитель, получим . Эта дробь имеет то же значение, что и , но проще, поскольку записана меньшими числами. Такое

упрощение дроби называется сокращением дроби. В данном случае дробь сокращена на 10, то есть ее числитель и знаменатель разделены на 10.

Наибольшее число, па которое можно сократить дробь, равно наибольшему общему делителю ее числителя и знаменателя.

Поэтому, чтобы сократить дробь, сначала находят наибольший общий делитель числителя и знаменателя, а потом числитель и знаменатель этой дроби делят на этот НОД.

Пусть, например, надо сократить дробь . Поступаем так:

Сокращая дробь, некоторые вычисления можно делать устно. Не обязательно сразу сокращать дробь на НОД числителя и знаменателя. Используя признаки делимости, дробь можно сначала сократить на 2, полученную дробь сократить на 2, а потом – на 3. Записывать можно так:

или так:

Если числитель и знаменатель дроби — числа взаимно простые, то такую дробь называют несократимой.

Несократимыми, например, являются дроби

Несократимую дробь сократить нельзя. Если числитель и знаменатель дроби разделить на их наибольший общий делитель, получим несократимую дробь.

Выполнение заданий:

Пример №23

Сократите дробь .

Решение:

6 = 2*3. Число 646 делится на 2 и не делится на 3. Поэтому данную дробь можно сократить только на 2.

Приведение дробей к общему знаменателю

Вы уже умеете сравнивать дроби с равными знаменателями. Например, знаете, что , поскольку . А как сравнивать дроби с разными знаменателями? Какая из двух дробей больше: или ? Чтобы ответить на этот вопрос, надо привести данные дроби к общему знаменателю. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получим дробь , знаменатель которой такой же, как и знаменатель второй дроби. А сравнивать дроби и вы уже умеете. «Заменив дроби и на и , мы привели их к общему знаменателю 10.

Итак, чтобы сравнивать, складывать или вычитать дроби, надо приводить их к общему знаменателю. Поэтому очень важно уметь преобразовывать дроби.

Можно приводить к общему знаменателю две и больше дробей. Например, чтобы привести к общему знаменателю дроби и, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на 6, а второй – на 3. В результате получим: и . Знаменатели этих дробей равны, а значение каждой из них такое же, как и значение соответствующей данной дроби.

Привести несколько дробей к общему знаменателю — это значит заменить их дробями с одинаковыми знаменателями, не изменяя значений самих дробей.

Чаще всего приводят дроби к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному всех знаменателей данных дробей.

Пример №24

Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби и .

Решение:

НОК (5, 3, 10) = 30, 30 : 5 = 6, 30 : 3 = 10, 30 : 10 = 3. Следовательно, числитель и знаменатель первой, второй и третьей дроби надо умножить на дополнительные множители 6, 10 и 3 соответственно. Получим:

Если не требуется, чтобы общий знаменатель был наименьшим, то им может быть произведение знаменателей данных дробей. Например, общим знаменателем дробей 3 2 1

и может быть и произведение 5 • 3 • 10, то есть 150.

Выполнение заданий:

Пример №25

Приведите к общему знаменателю дроби и .

Решение:

Общим знаменателем двух дробей может быть произведение их знаменателей. В данном случае произведение 4 • 6 = 24.

Пример №26

Приведите дроби и к наименьшему общему знаменателю.

Решение:

Наименьший общий знаменатель данных дробей – НОК их знаменателей. НОК (4, 6) = 12. Поэтому

Сложение и вычитание дробей

Вспомните, как складывают и вычитают дроби с равными знаменателями.

Примеры:

а)

б)

Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, надо стачала привести их к общему знаменателю, а потом — сложить или вычесть по известным уже правилам.

Над числителями можно писать дополнительные множители или только представлять их.

Рассмотрим примеры:

Сумму дроби и натурального числа записывают в виде смешанного числа:

Смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь. Поскольку , то

Чтобы неправильную дробь преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель. Неполное частное — это целая часть, а остаток — числитель дробной части.

Например, чтобы преобразовать в смешанное число, разделим 32 на 5.

32 : 5 = 6 (ост. 2). Поэтому

Для любых чисел – натуральных или дробных – справедливы переместительный и сочетательный законы сложения.

Для любых чисел

Разные случаи вычитания показаны на примерах:

а)

б)

в)

Выполнение заданий:

Пример №27

Сложите дроби и .

Решение:

НОК (8, 6) = 24. Дополнительные множители – 3 и 4, поскольку 24 : 8 = 3, 24 : 6 = 4.

Поэтому

Можно записать и так:

Пример №28

Найдите разность чисел: а) и ; б) и .

Решение:

а)

б) поскольку то

Умножение дробей

Существует много задач, для решения которых надо уметь умножать обыкновенные дроби. Например, если стороны прямоугольника равны дм и дм (рис. 27), то, чтобы найти его площадь, нужно умножить эти дроби. Это нетрудно сделать, если вспомнить, как умножают десятичные дроби:

Обратите внимание: произведение числителей 7 • 3 = 21, а произведение знаменателей 10 • 10 = 100. Произведением данных дробей является дробь, числитель которой равен произведению 10 их числителей, а знаменатель – произведению знаменателей. Любые другие обыкновенные дроби умножают подобным образом.

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей,

Подобным образом умножают три и больше дробей:

Примечание. Множители числителя и знаменателя желательно сократить еще до их умножения. Например,

Чтобы перемножить обыкновенные дроби, натуральные числа, десятичные дроби или смешанные числа, их надо преобразовать в обыкновенные дроби. Например,

Для любых дробных чисел, как и для натуральных, всегда выполняются переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения.

То есть, какие не были бы числа всегда

Надо также помнить, что какой бы не была обыкновенная дробь , всегда

Рассмотрите два произведения:

а) здесь

б) здесь

Верным является и общее утверждение. Пусть – произвольное число больше 0. При умножении числа на неправильную дробь получаем произведение больше , a при умножении на правильную дробь – произведение меньше . Произведение нескольких правильных дробей меньше каждой из этих дробей.

Выполнение заданий:

Пример №29

Вычислите произведение чисел:

а) и ; б) и

Решение:

а)

б)

Пример №30

Умножьте на 2.

Решение:

Первый способ.

Второй способ.

Пример №31

Найдите квадрат и куб числа

Решение:

Деление дробей

Делить десятичные дроби вы уже умеете. Знаете, например, что 0,35 : 0,5 = 0,7, то есть

Сравните это равенство с таким:

Как видим, разделить ли число на или умножить , результаты получаем одинаковые. Оказывав, что подобное свойство сохраняется и при делении любого числа на любую дробь .

Всегда

Ведь разделить число на -это значит найти такое число, которое при умножении на дает . А равенство верно.

Дроби и называются взаимно обратными. Вообще, два числа взаимно обратные, если их произведение равно 1.

Взаимно обратными, например, являются числа и 3, и

Из сказанного вытекает такое правило.

Чтобы разделить число на дробь, надо умножить его на число, обратное делителю.

Примеры:

а)

б)

в)

г)

На 0 делить нельзя!

Деление можно обозначать двоеточием или чертой дроби. Например, частное 2 : 3 и дробь обозначают одно и то же число. Так же выражение можно записать в виде

Это – пример дробного выражения. Его можно считать и дробью, но не обыкновенной. Числитель и знаменатель обыкновенной дроби – числа натуральные. А в рассматриваемой дроби числитель 3,5 и знаменатель — числа не натуральные.

Другие примеры дробных выражений:

Для вычисления значения таких дробных выражений упрощают их числители и знаменатели, заменяют черту дроби двоеточием и используют другие свойства обыкновенных дробей. Например,

а)

б)

Выполнение заданий:

Пример №32

Вычислите значение выражения

Решение:

Заменим смешанные числа неправильными дробями:

Пример №33

Площадь прямоугольника равна 2 , а одна из его сторон – м. Найдите длину второй стороны.

Решение:

Задачи на умножение и деление дробей

Умножением на дробь чаще всего решают задачи на нахождение части числа (дроби от числа или процентов от числа). Обратные им задачи (нахождение числа по известной его части или по процентам) решают делением. Все эти виды задач рассматривались в 5-м классе для десятичных дробей. Также можно решать задачи и с обыкновенными дробями.

Задача. В книге 200 страниц. Ученик прочитал книги. Сколько страниц прочитал ученик?

Решение:

Ответ. Ученик прочитал 80 страниц.

В этой задаче 200 – данное число, 80 – его часть, которая соответствует дроби

Дробь от числа находят умножением.

от равно

Обратная задача. Ученик прочитал 80 страниц, что составляет всей книги. Сколько всего страниц в книге?

Решение:

Пусть в книге страниц. Тогда

Ответ. В книге 200 страниц.

Число по известной дроби находят делением.

Если от равно , то .

Рассмотренные задачи наиболее простые. Их можно решать одним действием.

Несколько сложней, например, такая задача.

Пример №34

В книге 200 страниц. Ученик прочитал книги. Сколько страниц еще осталось ему прочитать?

Решение:

Рассмотрим два способа.

Первый способ.

1) Сколько страниц ученик прочитал?

2) Сколько страниц осталось прочитать?

Второй способ.

1) Какую часть книги осталось прочитать?

2) Сколько страниц осталось прочитать?

Ответ. Осталось прочитать 120 страниц.

Подобные рассмотренным выше задачам и задачи на проценты. Решая их, проценты надо заменить дробями.

Пример №35

Площадь поля равна 300 га. В первый день комбайнеры убрали 28 % этой площади. Сколько гектаров им осталось убрать?

Решение:

Рассмотрим два способа.

Первый способ.

Второй способ.

Ответ. 216 га.

Выполнение заданий:

Пример №36

Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Они двигались со скоростями 60 км/ч и 75 км/ч и встретились через ч. Найдите расстояние между городами.

Решение:

Первый способ. За ч один автомобиль проедет (км), а другой – (км),

Второй способ. За 1 ч автомобили сближались на

Ответ. 180 км.

Пример №37

Один трактор может вспахать поле за 20 ч, другой – за 30 ч. За сколько часов они могут вспахать поле, работая вместе?

Решение:

Первый трактор за 1 ч может вспахать часть поля, другой – — часть поля, а вместе часть. Все поле они могут вспахать вместе за 12 ч, поскольку

Задачи такого типа называют задачами на совместную работу.

Пример №38

На линию вышло 35 автобусов, что составляет 70 % всех автобусов автопарка. Сколько в автопарке автобусов?

Решение:

70 % = 0,7. Если всего автобусов , то

Ответ. 50 автобусов.

Преобразование обыкновенных дробей в десятичные

Как преобразовывать десятичные дроби в обыкновенные, вы уже знаете. А преобразовывать обыкновенные

дроби в десятичные? Из того что дробь – это частное вытекает такое правило преобразования обыкновенной дроби в десятичную.

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, достаточно ее числитель разделить на знаменатель.

Преобразуем, например, в десятичную дробь . Разделив 7 па 25, получим 0,28. Следовательно,

Можно поступить иначе: умножить числитель и знаменатель данной дроби на такое число, чтобы знаменатель стал числом, записанным единицей с нулями. Например,

Не каждую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную. Попытаемся, например, преобразовать в десятичную дробь. Делить 2 на 3 можно бесконечно, поскольку остаток 2 периодически повторяется. В результате получим бесконечную периодическую десятичную дробь (рис.36).

Рис. 36

Бесконечную периодическую десятичную дробь 0,666… короче записывают так: 0,(6). Читают: «0 целых 6 в периоде». А бесконечную периодическую десятичную дробь 1,2333… записывают 1,2(3) и читают «1 целая 2 десятых и 3 в периоде». Цифру или группу цифр, которые повторяются, называют периодом периодической десятичной дроби.

Выполнять действия над бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому их округляют, отбрасывая «хвосты» цифр. Подробней об этом – в следующем параграфе.

Как узнать, превращается ли данная обыкновенная дробь в десятичную или в бесконечную десятичную дробь? Если дробь сократима, то ее надо сначала сократить. Если разложение знаменателя несократимой дроби содержит только простые множители 2 и 5, то такая обыкновенная дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Потому что члены этой дроби можно умножить на такое число, что знаменателем станет число, записанное единицей с нулями.

Например,

Если в разложении на простые множители знаменателя несократимой дроби есть простые множители, отличные от 2 и 5, то такая дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Бесконечные периодические десятичные дроби бывают двух видов: чистые и смешанные. Чистые – это те, у которых период начинается сразу же после запятой, например 0,333… или 21,424242… .

Дробная часть чистой бесконечной периодической десятичной дроби равна обыкновенной дроби, в которой числитель равен периоду, а знаменатель – числу, записанному столькими девятками, сколько цифр в периоде. Например,

Более подробно бесконечные периодические десятичные дроби изучаются в старших классах.

Выполнение заданий:

Пример №39

Преобразуйте в десятичную дробь

Решение:

Первый способ. 13 : 50 = 0,26.

Второй способ.

Пример №40

Запишите в виде десятичной дроби число

Решение:

Первый способ. Поделим 7 на 40. 7:40=0,175. Поэтому

Второй способ.

Поэтому

Приближенные значения и действия с ними

Сколько людей живет в Киеве? Назвать точное число жителей Киева невозможно, ведь каждый день сотни людей приезжают, сотни отъезжают, кто-то рождается, а кто-то умирает. Сейчас в Киеве примерно 2,6 млн человек. И когда измеряют длины, площади, объемы, температуру, время, скорости и другие величины, то их значения тоже приближенные. При округлении бесконечных десятичных дробей тоже получают их приближенные значения.

Например, зная, что пишут

Здесь 0,667 – десятичное приближение числа до тысячных. Подобные приближенные значения величин (приближенные числа) приходится складывать, вычитать, умножать, делить. Понятно, что и результаты таких действий приближенные.

Выполняя действия с приближенными числами, желательно придерживаться определенных правил. Самые простые из них – правила подсчета цифр. Здесь идет речь о десятичных знаках и значащих цифрах.

Десятичными знаками числа называют все его цифры, какие стоят справа от десятичной запятой. Значащие цифры числа – все его цифры, кроме нулей слева, а также кроме нулей справа, записанных вместо цифр, отброшенных при округлении. Например, в числе 0,00476 – пять десятичных знаков и три значащие цифры. Когда пишут, что диаметр планеты Beneрa равен 12 400 км, то в этом числе десятичных знаков нет, а значащих цифр три: 1, 2 и 4. Два последние нуля стоят вместо цифр, отброшенных при округлении.

Как выполнять действия с приближенными числами? Пусть, например, надо найти сумму приближенных чисел 3,24 и 2,5. Если бы эти значения были точными, то их сумма равнялась бы 5,74. Но они приближенные, то есть получены в результате отбрасывания последующих неизвестных цифр, которые обозначим вопросительными знаками. Следовательно, имеются в виду 3,24? и 2,5?. Найдем сумму и разность этих чисел:

Рассматривая подобные примеры, приходим к такому правилу:

При сложении и вычитании приближенных чисел в результате надо сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеет компонент действия с наименьшим количеством десятичных знаков.

В данных примерах наименьше десятичных знаков имеет число 2,5. У него всего один десятичный знак. Поэтому полученные сумму и разность нужно записывать с одним десятичным знаком:

Умножим эти же приближенные числа 3,24? и 2,5?:

При умножении приближенных чисел в результате надо сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет множитель с наименьшим количеством значащих цифр. Подобным правилом пользуются также и при делении приближенных чисел. Итак, если числа 3,24 и 2,5 -приближенные, то

Приведенные выше правила называют правилами подсчета цифр. Они не обеспечивают высокой точности вычислений, но для большинства практических применений такой точности вполне достаточно.

Выполнение заданий:

Пример №41

Найдите приближенное значение числа до тысячных.

Решение:

Разделив 5 на 12, имеем бесконечную периодическую десятичную дробь 0,41666… .

Следовательно, – округлено до сотых;

– округлено до тысячных.

Пример №42

Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами и , если

Решение:

Исторические сведения

Дробные числа в Египте были известны еще 4000 лет назад. Записывали их тогда только единичными дробями (такими, числители которых равны 1) или суммами единичных дробей. Например, вместо современных и

египтяне писали и

Приводим одну задачу с папируса Ахмеса (XVI в. дон. э.): «Надо поровну

разделить 7 буханок хлеба между 8 людьми». Сейчас мы записали бы, что

каждому человеку надо дать буханки. А в папирусе дан иной ответ:

Египтяне обозначали дроби, как показано на рисунке 39.

В Вавилоне 4000 лет назад использовали единичные дроби со знаменателями Со временем такие дроби использовали астрономы, поэтому их назвали астрономическими дробями.

Древнегреческие математики рассматривали числа, которые сейчас записывают в виде дробей , но называли их отношениями. И читали их не так, как теперь.

Например, Эратосфен (III в. до н. о.) писал не « меридиана», а «11 таких частей, каких весь меридиан содержит 83».

Римляне пользовались дробями со знаменателем 12, которые называли унциями. Когда говорили «5 унций» или «13 унций», то имели в виду или

Индийские математики обыкновенные дроби вида , например и другие, рассматривали еще в IV в. до н. э.

В VII в. они формулировали правила действий: «Произведение дробей — это произведение числителей, разделенное на произведение знаменателей» и др. А вот арабам обыкновенные дроби не нравились. Они писали, что дроби

вида плохие, поэтому «деловые люди не любят таких дробей и выражают их суммами долей (единичных дробей)».

В Киевской Руси наиболее известным вычислителем был монах Кирик. Он вычислял, используя единичные дроби со знаменателями 12, 60, 300, 1500, 7500, 37 500, 187 500, 937 500. Писал, что «более сего не бывает».

Дроби, отличные от единичных, в европейских учебниках появились только с XVIII в. Их изучение считалось очень неприятным делом. Появилась даже поговорка: «Попал в дроби» (то есть попал в переделку). Обыкновенные дроби тогда называли «ломаными числами».

Слова «числитель» и «знаменатель» впервые появились в XIII в., «сокращение дробей» и «приведение дробей к общему знаменателю» — в XV в., а «правильные» и «неправильные» дроби – в XVIII в. Чтобы разделить дробь на дробь, раньше обязательно приводили их к общему знаменателю, а потом числитель одной дроби делили на числитель другой.

Сначала использовали только единичные дроби. Еще и сейчас дроби называют «половиной», «третью», «четвертиной», а в начале XX в. говорили «пятина», «восьмина», «девятина», «десятина». Числа называли соответственно:

• «полтора», «полтретья», «полпятая», «полшестая», «полседьмая », « полдевятая ».

Индийские авторы, изображая обыкновенные дроби, знаменатель писали под числителем, но без черты дроби. Черта дроби введена была только в XVI в. С середины XIX в. некоторые авторы предлагали записывать обыкновенные дроби в одну строку . Такая форма записи особенно удобна для печатных аппаратов и вычислительных машин. Но пока что она не стала общепринятой.

Главное в разделе:

Обыкновенная дробь – это частное при делении натуральных чисел и Числитель и знаменатель вместе называют членами дроби. Дальше вместо обыкновенная дробь будем писать короче: дробь.

Дробь называют правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Все другие дроби – неправильные. Значение каждой правильной дроби меньше 1, а неправильной – больше или равно 1. Из неправильной дроби можно выделить целую часть и записать в виде смешанного или натурального числа.

Например,

Основное свойство дроби. Значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Используя это свойство, дроби можно сокращать или приводить к общему знаменателю.

Дробь называют несократимой, если ее числитель и знаменатель – взаимно простые числа.

Дроби с равными знаменателями складывают и вычитают согласно формулам:

Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо отдельно умножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения данных дробей.

Две дроби называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Всегда верны равенства:

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, надо ее числитель разделить на знаменатель. При этом может образоваться или десятичная дробь, или бесконечная периодическая десятичная дробь. Например,

Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую,
что эти фигуры совпадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Площадь квадрата

Пример:

S_EKFM = EK · EK

S_EKFM = 3 · 3 = 9 см²

Формулу площади квадрата, зная
определение степени,
можно записать следующим образом:

S = a²

Площадь прямоугольника

Пример:

S_ABCD = AB · BC

S_ABCD = 3 · 7 = 21 см²

Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.

Площадь сложных фигур

Задача: найти площадь огородного участка.

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя
правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

S_ABCE = AB · BC
S_EFKL = 10 · 3 = 30 м²
S_CDEF = FC · CD
S_CDEF = 7 · 5 = 35 м²

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = S_ABCE + S_EFKL
S = 30 + 35 = 65 м²

Ответ: S = 65 м² — площадь огородного участка.

---

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Рассмотрим прямоугольник:

АС — диагональ прямоугольника
ABCD. Найдём площадь треугольников

ABC и
ACD

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

S_ABCD = AB · BC
S_ABCD = 5 · 4 = 20 см²

S
_ABC = S_ABCD : 2

S
_ABC = 20 : 2 = 10 см²

S
_ABC =
S
_ACD = 10 см²

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---