Как найти площадь прямоугольника по сторонам треугольника

Найти площадь прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать площадь прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Найти площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Просто введите длины двух катетов, и получите ответ.

Теория

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Введите длины гипотенузы и одного из катетов, и получите ответ.

Теория

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу

Теория

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему к нему острому углу

Теория

Найти площадь прямоугольного треугольника зная длину гипотенузы и один из острых углов

Введите длину гипотенузы и один из острых угол в градусах.

Теория

Все основные формулы площади прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется – гипотенуза

1. Если известны только катеты

a , b – катеты треугольника

Формула площади треугольника через катеты ( S ) :

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

c – гипотенуза

a , b – катеты

α , β – острые углы

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если

то справедливы следующие тождества:

3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

c – гипотенуза

c 1 , c 2 – отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r – радиус вписанной окружности

О – центр вписанной окружности

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

Площадь прямоугольного треугольника

О чем эта статья:

площадь, 8 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен 90˚.

Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу.

Катеты — это стороны, прилежащие к прямому углу.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно применить любую формулу нахождения площади треугольника — их несколько.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты

Чтобы найти площадь, нужно вывести формулу:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то один катет — это высота, проведенная ко второму катету.

Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.

S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

где с — гипотенуза,

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу по формуле:

S прямоугольного треугольника = r (r + c) = c1 × c2

r — радиус вписанной окружности

C1 и С2 — отрезки, полученные делением гипотенузы на две части точкой касания с окружностью

Уверены, что во всем разобрались? Закрепите знания на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart!

Найти площадь прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• длины катетов a и b
• длину гипотенузы с и длину любого из катетов (a или b)
• длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
• длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
• длину гипотенузы с и один из острых углов (α или β)

Найти площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формула

Пример

К примеру найдём площадь прямоугольного треугольника у которого сторона a = 2 см, а сторона b = 4 см:

S = 2 ⋅ 4 / 2 = 8 / 2 = 4 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны его гипотенуза (c) и один из катетов (a или b)?

Формула

S = ½ ⋅ a ⋅ √ c² – a² = ½ ⋅ b ⋅ √ c² – b²

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 2 см, а гипотенуза c = 5 см:

S = 2 ⋅ √ 5² – 2² / 2 = √ 25 – 4 ≈ 4.58 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу

То есть к катету a прилежащий ∠β, а к катету b – ∠α

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(β) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(α)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а прилежащий к нему ∠β = 45°:

S = ½ ⋅ 4² ⋅ tg(45) = ½ ⋅ 16 ⋅ 1 = 16 / 2 = 8 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему к нему острому углу

То есть к катету a противолежащий ∠α, а к катету b – ∠β

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(90 – α) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(90 – β)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а противолежащий к нему ∠α = 45°:

S = 4² / 2⋅ tg(45) = 16 / 2 ⋅ 1 = 8 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника зная длину гипотенузы и один из острых углов

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны длина гипотенузы (c) и один из острых углов?

Формула

S = ½ ⋅ c² ⋅ sin(α) ⋅ cos(α) = ½ ⋅ c² ⋅ sin(β) ⋅ cos(β)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого гипотенуза c = 8 см, а ∠α = 45°:

S = ½ ⋅ 8² ⋅ sin(45) ⋅ cos(45) ≈ ½ ⋅ 64 ⋅ 0.7071067812 ⋅ 0.7071067812 ≈ 16 см²

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-ploshad-pryamougolnogo-treugolnika

http://poschitat.online/ploshad-pryamougolnogo-treugolnika

[/spoiler]

Хотелось бы собрать разные формулы в зависимости от того, какие элементы треугольника заданы. площадь прямоугольного треугольника можно вычислить: если заданы два катета: s=a x b/2, где a,b – длины катетов.. площадь прямоугольного треугольника – половина площади прямоугольника со сторонами, равными катетам данного треугольника.. если задан катет и противоположный ему угол: tg c =a/b, где а – противолежащий углу с катет, b – прилежащий к углу с катет, tgc – тангенс угла с.. откуда b=a/tg c и тогда: s=a2/tg c -если задан катет и прилежащий к нему угол: s=b2 x tg c.. -если задана высота и один из катетов: d / a=sin c, d/b=sin(90-c), откуда складывая оба треугольника ( катеты – высота, а гипотенузы – катеты большого треугольника ): s=d2(1/sin c + 1/sin ( 90-c )=d2 ( 1/ sin c + 1/cos c ), где d – высота треугольника, с – угол.. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Ксарф­акс [156K] 5 лет назад  Наиболее распространенная формула для вычисления площади прямоугольного треугольника выводится очень просто. Если взять прямоугольник и провести в нём диагональ, то получим 2 равных прямоугольных треугольника. Площадь прямоугольника равна произведению сторон: S = a *b. Так как прямоугольный треугольник – это 1/2 часть от прямоугольника, то его площадь будет равна половине произведения катетов: Если даны оба катета, то тут всё понятно – подставляем эти значения формулу и всё. Если дана гипотенуза и один из катетов, то нужно с помощью теоремы Пифагора найти другой катет. Например, гипотенуза c = 10 см. и катет a = 6 см. Чтобы найти катет b, нужно воспользоваться формулой b = √(c² – a²) = √(100 – 36) = √64 = 8 см. Следовательно, S = 0,5 * 6 * 8 = 24 см. Также есть формулы, позволяющие найти площадь прямоугольного треугольника через известные углы. Если известна сторона и один из острых углов, то в первую очередь определяем неизвестный угол. Пусть дан катет a и противолежащий угол α = 30°. Тогда угол β = 180° – 90° – 30° = 60°. Площадь прямоугольного треугольника в этом случае будет определяться по формуле: Осталось лишь подставить известные значения в эту формулу и посчитать площадь. Мария­СС [47.3K] 6 лет назад  Нам подойдут формулы, по которым мы можем найти площадь любого треугольника. 1) 1/2*h*a. Половина произведения высоты на основание. В случае прямоугольного треугольника формула та же, только высота у нас будет одним из катетов. 2) по формуле Герона. S=p*(p−a)*(p−b)*(p−c). a, b и с – это стороны треугольника. p – полупериметр p=1/2*(a+b+c) 3) S=1/2*a*b*sin(γ). По двум сторонам и углу между ними. Зная тригонометрию, можно переделывать данную формулу под различные варианты данных углов. Заучивать все модификации не имеет смысла. Здесь необходимо понять смысл и в конечном итоге все равно приходить к изначальной формуле. 88Sky­Walke­r88 [428K] 7 лет назад  Треугольник – это такая фигура, которая образуется путем соединения трех точек, которые не лежат на одной прямой. Эти три точки будут называться вершинами треугольника. А отрезки, которые соединяют эти самые точки, это его стороны. Если у треугольника один из углов будет являться прямым, то такой треугольник будут называть прямоугольным. Возьмем к примеру этот треугольник: Чтобы найти площадь треугольника, нужно воспользоваться таким правилом: его площадь равна половине произведения катетов. Формулой это будет выражаться следующим образом: S = 1/2 * ab, где a и b являются катетами данного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника легко находится из того соображения, что два одинаковых прямоугольных треугольника, если их сложить гипотенузами, дают прямоугольник со сторонами, равными катетам. Площадь этого прямоугольника — произведение катетов, поэтому площадь треугольника — половина произведения катетов. Oleg7­4 [202K] 10 лет назад  Треугольник – это геометрическая фигура, образованая из трех отрезков, соединенных между собой тремя точками, называемыми вершинами. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусов. Общая формула для определения площади прямоугольного треугольника : S = 1/2 * ab, где a,b – катеты треугольника ABC. Limit­less [77.7K] 7 лет назад  Начнём с того, что у прямоугольного треугольника один из углов равен девяноста градусам. Таким образом, две стороны треугольника, которые прилегают к прямому углу носят название катетов. Площадь подобного треугольника будет вычисляться, как делённое пополам произведение катетов. morel­juba [62.5K] 7 лет назад  Прямоугольным называется тот треугольник, который имеет прямой угол. Итак, для того чтобы рассчитать площадь прямоугольного треугольника необходимо воспользоваться следующей формулой: Площадь=1/2*первый катет*второй катет. Нужно длину одного катета умножить на длину второго и разделить полученное число на два. Нас в школе, для примера учили условно дорисовывать второй прямоугольный треугольник в перевернутом виде что бы вместе с первым получился прямоугольник а его площадь как известно равно длина умноженная на ширину, и треугольник это половина прямоугольника. аллаg­ruz [20.9K] 9 лет назад  Здесь всё зависит от того, какиеараметры прямоугольного треугольника даны. В конечном же итоге, решение выводится из теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Небольшие преобразования и ответ готов. Знаете ответ?

Площадь прямоугольного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь прямоугольного треугольника. Для нахождения площади прямоугольного треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Как известно, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (см. страницу Площадь треугольника онлайн).В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу. Поэтому можно один из них считать как основание, а другой − как высоту.

На рисунке 1 можем считать a как основание, а b − как высоту. Тогда площадь прямоугольного треугольника равна:

Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника: Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (1). Подставляя значения в (1), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и гипотенуза c (Рис.2):

Найдем площадь треугольника. Из формулы Пифагора имеем:

Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления площади прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе:

Пример 2. Известны катет и гипотенуза прямоугольного треугольника: Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (3). Подставляя значения в (3), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и угол α (Рис.3):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Из теоремы синусов имеем:

или

Подставим (4) в (1):

Из формулы произведения тригонометрических функций имеем:

Подставим в (6) ( small beta=alpha ):

Применяя (7) относительно формулы (5), получим:

Пример 3. Известны гипотенуза и прилегающий угол прямоугольного треугольника: . Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (8). Подставляя значения в (8), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и прилежащий угол α (Рис.4):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Тангенс угла α прямоугольного треугольника равна:

Откуда

Подставляя (9) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:

Пример 4. Известны катет и прилегающий угол прямоугольного треугольника: . Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (10). Подставляя значения в (10), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и противолежащий угол α (Рис.5):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Коангенс угла α прямоугольного треугольника равна:

Откуда

Подставляя (12) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по катету и противожащему углу:

Пример 5. Известны катет и противолежащий угол прямоугольного треугольника: . Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (13). Подставляя значения в (13), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и вписанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и радиус вписанной окружности r (Рис.6):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Соединим центр окружности O c вершинами A, B и с точками D, E, F.

Треугольники AOD, AOF, BOD, BOE прямоугольные, поскольку Прямоугольные треугольники AOD и AOF равны по гипотенузе и катету (сторона AO общая, OD=OF):

Прямоугольные треугольники BOD и BOE равны по гипотенузе и катету (сторона BO общая, OD=OE):

Запишем формулы площадей прямоугольных треугольников AOD и BOD и квадрата OECF:

Тогда, учитывая (14) и (15), площадь прямоугольного треугольника ABC равна:

Подставляя (16), (17) в (18), получим:

или

Пример 6. Известны гипотенуза и радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника: Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (19). Подставляя значения в (19), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Пусть в прямоугольном треугольнике известны отрезки AD и DB (Рис.6). Найдем площадь прямоугольного треугольника выраженные через эти отрезки. Площадь прямоугольного треугольника через катеты имеет вид:

Учитывая, что , (20) примет вид:

То есть

Сравнивая формулы (19) и (21) можем записать:

Таким образом формула площади прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность имеет следующий вид:

Пример 7. Известны отрезки гипотенузы разделенные вписанной окружностью прямоугольного треугольника (Рис.6) Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (22). Подставляя значения в (22), получим:

Ответ:

Смотрите также:

• Площадь треугольника онлайн
• Площадь равностороннего треугольника онлайн
• Площадь равнобедренного треугольника онлайн