Как найти площадь прямоугольного треугольника схема

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления площади прямоугольного треугольника

Формула

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника $ABC$ (рис. 1),
надо найти произведение катетов
$a$ и
$b$ и поделить его на два. То есть

Напомним, что катетами прямоугольного треугольника называются стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Примеры вычисления площади прямоугольного треугольника

Читать дальше: как найти площадь равнобедренного треугольника.

Найти площадь прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• длины катетов a и b
• длину гипотенузы с и длину любого из катетов (a или b)
• длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
• длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
• длину гипотенузы с и один из острых углов (α или β)

Найти площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формула

Пример

К примеру найдём площадь прямоугольного треугольника у которого сторона a = 2 см, а сторона b = 4 см:

S = 2 ⋅ 4 / 2 = 8 / 2 = 4 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны его гипотенуза (c) и один из катетов (a или b)?

Формула

S = ½ ⋅ a ⋅ √ c² – a² = ½ ⋅ b ⋅ √ c² – b²

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 2 см, а гипотенуза c = 5 см:

S = 2 ⋅ √ 5² – 2² / 2 = √ 25 – 4 ≈ 4.58 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу

То есть к катету a прилежащий ∠β, а к катету b – ∠α

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(β) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(α)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а прилежащий к нему ∠β = 45°:

S = ½ ⋅ 4² ⋅ tg(45) = ½ ⋅ 16 ⋅ 1 = 16 / 2 = 8 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему к нему острому углу

То есть к катету a противолежащий ∠α, а к катету b – ∠β

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(90 – α) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(90 – β)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а противолежащий к нему ∠α = 45°:

S = 4² / 2⋅ tg(45) = 16 / 2 ⋅ 1 = 8 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника зная длину гипотенузы и один из острых углов

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны длина гипотенузы (c) и один из острых углов?

Формула

S = ½ ⋅ c² ⋅ sin(α) ⋅ cos(α) = ½ ⋅ c² ⋅ sin(β) ⋅ cos(β)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого гипотенуза c = 8 см, а ∠α = 45°:

S = ½ ⋅ 8² ⋅ sin(45) ⋅ cos(45) ≈ ½ ⋅ 64 ⋅ 0.7071067812 ⋅ 0.7071067812 ≈ 16 см²

Площадь прямоугольного треугольника

О чем эта статья:

площадь, 8 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен 90˚.

Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу.

Катеты — это стороны, прилежащие к прямому углу.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно применить любую формулу нахождения площади треугольника — их несколько.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты

Чтобы найти площадь, нужно вывести формулу:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то один катет — это высота, проведенная ко второму катету.

Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.

S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

где с — гипотенуза,

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу по формуле:

S прямоугольного треугольника = r (r + c) = c1 × c2

r — радиус вписанной окружности

C1 и С2 — отрезки, полученные делением гипотенузы на две части точкой касания с окружностью

Уверены, что во всем разобрались? Закрепите знания на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart!

Площадь прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор – площадь прямоугольного треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.

Треугольники бывают прямоугольный, равнобедренный, равносторонний.

Катет – это прилежащая прямому углу сторона треугольника.

Гипотенуза – это сторона треугольника противолежащая прямому углу.

Формула площади прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать площадь прямоугольного треугольника, необходимо знать размеры двух сторон треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника расчитывается по формуле:

• S – площадь треугольника
• a – катет
• b – катет
• c – гипотенуза

Если известены размеры только одного катета и гипотенузы, тогда площадь прямоугольного треугольника можно расчитать по формулам:

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-ploshad-pryamougolnogo-treugolnika

http://kalk.top/s/triangle-pr

[/spoiler]

Основные определения

Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, в котором один из углов равен 90° (прямой угол).

Катеты – стороны, прилежащие к прямому углу 90°.

Гипотенуза – сторона, противолежащая прямому углу.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно воспользоваться несколькими формулами.

Формула площади прямоугольного треугольника через катеты

(S = {{a*b} over 2})

a, b – катеты

Формула площади прямоугольного треугольника через гипотенузу

(S =1/2(c*h))

(c) – длина гипотенузы,

(h) – высота.

В прямоугольном треугольнике высота находится по формуле:

(h = frac{a*b}{c})

(a) – длина одного катета,

(b) – длина второго катета.

Формула площади прямоугольного треугольника через острый угол и гипотенузу

Если известны острый угол и гипотенуза, то посчитать площадь можно так:

(S = frac{c^2*sinalpha*cosalpha}{2}= frac{c^2*sin(2alpha)}{4})

(S = frac{c^2*sinbeta*cosbeta}{2}= frac{c^2*sin(2beta)}{4})

(c) – гипотенуза

(alpha) и (beta) – острые углы

Формула площади прямоугольного треугольника через катет и острый угол

Если известен один катет и острый угол, то рассчитываем площадь так:

(S = {{a^2*tgbeta} over 2})

(S = {{b^2*tgalpha} over 2})

(a), (b) – катеты

Формула площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

(S = r (r+c))

(r) – радиус вписанной окружности

(с) – гипотенуза

Площадь прямоугольного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь прямоугольного треугольника. Для нахождения площади прямоугольного треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Как известно, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (см. страницу Площадь треугольника онлайн).В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу. Поэтому можно один из них считать как основание, а другой − как высоту.

На рисунке 1 можем считать a как основание, а b − как высоту. Тогда площадь прямоугольного треугольника равна:

Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника: Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (1). Подставляя значения в (1), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и гипотенуза c (Рис.2):

Найдем площадь треугольника. Из формулы Пифагора имеем:

Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления площади прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе:

Пример 2. Известны катет и гипотенуза прямоугольного треугольника: Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (3). Подставляя значения в (3), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и угол α (Рис.3):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Из теоремы синусов имеем:

или

Подставим (4) в (1):

Из формулы произведения тригонометрических функций имеем:

Подставим в (6) ( small beta=alpha ):

Применяя (7) относительно формулы (5), получим:

Пример 3. Известны гипотенуза и прилегающий угол прямоугольного треугольника: . Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (8). Подставляя значения в (8), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и прилежащий угол α (Рис.4):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Тангенс угла α прямоугольного треугольника равна:

Откуда

Подставляя (9) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:

Пример 4. Известны катет и прилегающий угол прямоугольного треугольника: . Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (10). Подставляя значения в (10), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и противолежащий угол α (Рис.5):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Коангенс угла α прямоугольного треугольника равна:

Откуда

Подставляя (12) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по катету и противожащему углу:

Пример 5. Известны катет и противолежащий угол прямоугольного треугольника: . Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (13). Подставляя значения в (13), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и вписанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и радиус вписанной окружности r (Рис.6):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Соединим центр окружности O c вершинами A, B и с точками D, E, F.

Треугольники AOD, AOF, BOD, BOE прямоугольные, поскольку Прямоугольные треугольники AOD и AOF равны по гипотенузе и катету (сторона AO общая, OD=OF):

Прямоугольные треугольники BOD и BOE равны по гипотенузе и катету (сторона BO общая, OD=OE):

Запишем формулы площадей прямоугольных треугольников AOD и BOD и квадрата OECF:

Тогда, учитывая (14) и (15), площадь прямоугольного треугольника ABC равна:

Подставляя (16), (17) в (18), получим:

или

Пример 6. Известны гипотенуза и радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника: Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (19). Подставляя значения в (19), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Пусть в прямоугольном треугольнике известны отрезки AD и DB (Рис.6). Найдем площадь прямоугольного треугольника выраженные через эти отрезки. Площадь прямоугольного треугольника через катеты имеет вид:

Учитывая, что , (20) примет вид:

То есть

Сравнивая формулы (19) и (21) можем записать:

Таким образом формула площади прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность имеет следующий вид:

Пример 7. Известны отрезки гипотенузы разделенные вписанной окружностью прямоугольного треугольника (Рис.6) Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (22). Подставляя значения в (22), получим:

Ответ:

Смотрите также:

• Площадь треугольника онлайн
• Площадь равностороннего треугольника онлайн
• Площадь равнобедренного треугольника онлайн