Формулы площади геометрических фигур
Площадь геометрической фигуры – численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
-
Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты -
Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона
S = √p(p – a)(p – b)(p – c)
-
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними. -
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
-
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.где S – площадь треугольника,
a, b, c – длины сторон треугольника,
h – высота треугольника,
γ – угол между сторонами a и b,
r – радиус вписанной окружности,
R – радиус описанной окружности,p = a + b + c – полупериметр треугольника. 2
Формулы площади квадрата
-
Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.S = a2
-
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.где S – площадь квадрата,
a – длина стороны квадрата,
d – длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон
S = a · b
где S – Площадь прямоугольника,
a, b – длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
-
Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
-
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.S = a · b · sin α
-
Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.где S – Площадь параллелограмма,
a, b – длины сторон параллелограмма,
h – длина высоты параллелограмма,
d1, d2 – длины диагоналей параллелограмма,
α – угол между сторонами параллелограмма,
γ – угол между диагоналями параллелограмма.
Формулы площади ромба
-
Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
-
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.S = a2 · sin α
-
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.где S – Площадь ромба,
a – длина стороны ромба,
h – длина высоты ромба,
α – угол между сторонами ромба,
d1, d2 – длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
-
Формула Герона для трапеции
S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d) |a – b| -
Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высотугде S – площадь трапеции,
a, b – длины основ трапеции,
c, d – длины боковых сторон трапеции,p = a + b + c + d – полупериметр трапеции. 2
Формулы площади выпуклого четырехугольника
-
Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:
где S – площадь четырехугольника,
d1, d2 – длины диагоналей четырехугольника,
α – угол между диагоналями четырехугольника. -
Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)
Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности
S = p · r
-
Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов
S = √(p – a)(p – b)(p – c)(p – d) – abcd cos2θ
где S – площадь четырехугольника,
a, b, c, d – длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d2 – полупериметр четырехугольника,
θ = α + β2 – полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
-
Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность
S = √(p – a)(p – b)(p – c)(p – d)
Формулы площади круга
-
Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.S = π r2
-
Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.где S – Площадь круга,
r – длина радиуса круга,
d – длина диаметра круга.
Формулы площади эллипса
Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.
S = π · a · b
где S – Площадь эллипса,
a – длина большей полуоси эллипса,
b – длина меньшей полуоси эллипса.
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
b – верхнее основание
a – нижнее основание
c – равные боковые стороны
α – угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности
R – радиус вписанной окружности
D – диаметр вписанной окружности
O – центр вписанной окружности
H – высота трапеции
α, β – углы трапеции
Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d – диагональ трапеции
α, β – углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
m – средняя линия трапеции
c – боковая сторона
α, β – углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
b – верхнее основание
a – нижнее основание
h – высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
Площади фигур. Основные формулы.
Площадь треугольника.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а – основание, h – высота, проведенная к этому основанию. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b – стороны, α – угол между этими сторонами. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b, с – стороны, р – полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
r – радиус вписанной в треугольник окружности, р – полупериметр (сумма трех сторон, деленная пополам). Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b, с – стороны, R – радиус описанной около треугольника окружности, d – диаметр описанной окружности. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
R – радиус описанной около треугольника окружности, α, β, γ – углы треугольника. Формула применима для любого треугольника. |
 |
 |
a, b – катеты. Формула применима для прямоугольного треугольника. |
 |
 |
a – сторона. Формула применима для равностороннего (правильного) треугольника. |
Площадь квадрата и прямоугольника.
Площадь параллелограмма и ромба.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а – одна из сторон параллелограмма, h – высота, проведенная к этой стороне |
 |
 |
а, b – стороны параллелограмма, α – угол между этими сторонами |
 |
 |
d1, d2 – диагонали, α – угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны) |
 |
 |
а – сторона ромба, h – высота, проведенная к этой стороне |
 |
 |
а – сторона ромба, α – угол между этими сторонами |
 |
 |
d1, d2 – диагонали ромба |
Площадь трапеции.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
а, b – основания трапеции, h – высота. Формула применима для любой* трапеции. |
 |
 |
m – средняя линия трапеции, h – высота. Формула применима для любой трапеции. |
 |
 |
d1, d2 – диагонали трапеции, α – угол между диагоналями (можно брать любой угол, т.к. синусы смежных углов равны). Формула применима для любой трапеции. |
*Любая трапеция – это и равнобедренная, и прямоугольная, и тупоугольная, и произвольная 🙂
Площадь круга и кругового сектора.
Площадь многоугольника.
| Формула | Рисунок | Расшифровка формулы |
 |
 |
р – полупериметр (сумма всех сторон многоугольника, деланная на 2), r – радиус вписанной в этот многоугольник окружности. *Пятиугольник нарисован для примера. Формула работает как для правильного, так и для произвольного многоугольника, главное, чтобы в него можно было вписать окружность. |
Содержание:
- Площадь треугольника
- Площадь параллелограмма
- Формула площади прямоугольника
- Площадь квадрата
- Площадь четырехугольника
- Площадь многоугольника
- Площадь ромба
- Площадь многогранника
- Площадь пятиугольника
- Площадь закрашенного сектора
- Площадь круга
- Площадь трапеции
Площадь треугольника
Прямоугольного
Равностороннего треугольника
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника
S = a2/2
Площадь треугольника через синус
Площадь треугольника через косинус
Для нахождения площади треугольника нужно знать все стороны. По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны равен:
Следовательно:
Далее используем формулу Герона:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности
Произвольного треугольника
Формула Герона
Площадь треугольника через высоту
Площадь треугольника через полупериметр
Формула Герона
является полупериметром.
Площадь тупоугольного треугольника
S = ah/2
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
S = p×r
где p – полупериметр:
Площадь параллелограмма
Через синус
Через стороны и углы
S = a×b×sin(α) = a×b×sin(β)
Через диагонали и угол между ними
Формула площади прямоугольника
S = a×b
Площадь квадрата
S = a2
Площадь четырехугольника
Выпуклого четырехугольника
где
Площадь многоугольника
S = S1 + S2 + S3 + S4
Правильного многоугольника
где n – количество сторон многоугольника.
Площадь ромба
Площадь многогранника
Площадь пятиугольника
Площадь закрашенного сектора
Площадь круга
S = πr2
Площадь трапеции
Через основания и высоту
Через высоту и среднюю линию
S = hm
Через четыре стороны
Через диагонали и угол между ними
Через основания и два угла
Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую,
что эти фигуры совпадут.
Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.
Площадь квадрата
Запомните!
Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.
S = a · a
Пример:
SEKFM = EK · EK
SEKFM = 3 · 3 = 9 см2
Формулу площади квадрата, зная
определение степени,
можно записать следующим образом:
S = a2
Площадь прямоугольника
Запомните!
Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.
S = a · b
Пример:
SABCD = AB · BC
SABCD = 3 · 7 = 21 см2
Запомните!
Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.
Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.
Площадь сложных фигур
Запомните!
Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.
Задача: найти площадь огородного участка.
Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя
правило выше.
Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.
SABCE = AB · BC
SEFKL = 10 · 3 = 30 м2
SCDEF = FC · CD
SCDEF = 7 · 5 = 35 м2
Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = SABCE + SEFKL
S = 30 + 35 = 65 м2
Ответ: S = 65 м2 — площадь огородного участка.
Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.
Запомните!
Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.
Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольник:
АС — диагональ прямоугольника
ABCD. Найдём площадь треугольников
ABC и
ACD
Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.
SABCD = AB · BC
SABCD = 5 · 4 = 20 см2
S
ABC = SABCD : 2
S
ABC = 20 : 2 = 10 см2
S
ABC =
S
ACD = 10 см2
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
3 декабря 2015 в 22:54
Ирина Петренко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Ирина Петренко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
как написать правильно площадь треугольника?
0
Спасибо
Ответить
9 декабря 2015 в 19:41
Ответ для Ирина Петренко
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
S(рисуешь мини треугольник) = ,,,,,
0
Спасибо
Ответить
