Как найти площадь разностороннего многоугольника

Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.

Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.

Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).

По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».

---

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а – нижнее основание

b – верхнее основание

с – равные боковые стороны

α – угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S ):

2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана  окружность

R – радиус вписанной окружности

D – диаметр вписанной окружности

O – центр вписанной окружности

H – высота трапеции

α, β – углы трапеции

а – нижнее основание

b – верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

---

R – радиус вписанной окружности

m – средняя линия

O – центр вписанной окружности

c – боковые стороны

а – нижнее основание

b – верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию (S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

---

---

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d – диагональ трапеции

α, β – углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S ):

---

---

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

c – боковая сторона

m – средняя линия трапеции

α, β – углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

---

---

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

a – нижнее основание

b – верхнее основание

h – высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S ):

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется – гипотенуза

---

1. Если известны только катеты

a, b – катеты треугольника

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

c – гипотенуза

a, b – катеты

α, β – острые углы

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

c – гипотенуза

c₁, c₂ – отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r – радиус вписанной окружности

О – центр вписанной окружности

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

Подобные задачи очень часто встречаются в Едином Государственном Экзамене по математике. Решение совершенно несложное. Нужно описать вокруг многоугольника прямоугольник и вычесть из его площади всё лишнее. Так как все вершины находятся в узлах с целочисленными координатами сетки, проблем в этом нет никаких. Площади прямоугольников и прямоугольных треугольников посчитать несложно. Однако это весьма долго и кропотливо.

Единичный квадрат — это квадрат со стороной 4 клеточки. Надо найти площадь многоугольника. Сможете найти её за 15 секунд в уме?

Есть весьма быстрый способ нахождения площади, который почему-то мало кто знает. По идее в школе о нём должны рассказывать, но… должны, да не обязаны, как говорится. А ещё учитель может и рассказывал, а ученик мог не услышать.

Знаете, был у меня такой случай. Приходит ко мне парень заниматься. Спрашиваю у него формулы сокращенного умножения, а он мне говорит:

— А мы не проходили?

— Как это не проходили? Это вам точно рассказывали! — говорю я.

— Наверное, я болел в это время.

То есть человек не удосужился прочитать учебник по тем темам, которые пропустил. Это как? Он рассчитывает на то, что раз он болел на этих темам, на экзамене их у него тоже не будут спрашивать? Или он думал, что учитель будет за ним бегать и умолять, чтобы он послушал пропущенную тему?

В общем, раз уж находятся люди, которые не шибко переживают, что не знают формул сокращенного умножения, которыми пользуешься постоянно, то что уж говорить о формуле, которой в школе вообще не пользуются. Даже если про неё и рассказывали, у большинства она просто стерлась из памяти. Это формула Пика.

Она придумана и доказана австрийским математиком Георгом Пиком как раз для таких случаев, когда надо найти площадь многоугольника, а координаты всех вершин целочисленные (то есть вершины лежат в узлах координатной плоскости).

Формула до банальности простая: S=В-1+Г:2, где В — это количество узлов координатной плоскости внутри фигуры, а Г — это количество узлов на границе многоугольника.

Давайте отметим точки на границе и внутри, посчитаем их, подставим в формулу и получим ответ.

Розовых точек — 14, то есть Г=14. Внутренних точек — 12, то есть В=12. Подставляем в формулу и получаем S=12-1+14:2=11+7=18. Вот и вся задачка. Решается в уме за 15 секунд. Самое сложное — не ошибиться в подсчете точек. Задача уровня 2 класса. Можете, кстати, посчитать площадь традиционным способом, сравнить результаты и время, затраченное на решение.

Надо только не забывать о том, что эта формула работает лишь тогда, когда вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки. Так что обычные формулы площади забывать все-таки не стоит.

Для тех, кто только что подключился, напоминаю, что у меня появился Ютуб-канал, заходите и подписывайтесь.

Ещё интересно: Немцы решают эту задачу в уме за 30 секунд, а российские выпускники на ЕГЭ обычно тратят кучу времени на неё. Формула Пика

Задачка для дошкольников поставила в тупик пользователей Twitter и Facebook

Задача на внимательность для взрослых и детей. Сколько треугольников видишь на рисунке