Как найти площадь разностороннего многоугольника

Пример многоугольника
Пример многоугольника

Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.

Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.

Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).

По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».

PLANETCALC, Площадь многоугольника

Площадь многоугольника

Стороны и диагонали

Название стороны или диагонали Длина

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Как найти площадь разностороннего многоугольника?

Евгений Матушанский



Ученик

(52),
на голосовании



11 лет назад

Голосование за лучший ответ

Неизвестно

Профи

(619)


11 лет назад

разбить на более мелкие фигуры, у которых проще найти площадь (квадраты и т. п.)

Ив Китайский

Ученик

(179)


7 лет назад

головой

Похожие вопросы


1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а – нижнее основание

b – верхнее основание

с – равные боковые стороны

α – угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана  окружность

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности

R – радиус вписанной окружности

D – диаметр вписанной окружности

O – центр вписанной окружности

H – высота трапеции

α, β – углы трапеции

а – нижнее основание

b – верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию


Площадь равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность

R – радиус вписанной окружности

m – средняя линия

O – центр вписанной окружности

c – боковые стороны

а – нижнее основание

b – верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию (S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:



3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d – диагональ трапеции

α, β – углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S ):



4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию

c – боковая сторона

m – средняя линия трапеции

α, β – углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании



5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

a – нижнее основание

b – верхнее основание

h – высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется – гипотенуза


1. Если известны только катеты

Прямоугольный треугольник

ab – катеты треугольника

Формула площади треугольника через катеты ( S ) :

Формула площади через катеты

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

Треугольник через сторону и угол

c – гипотенуза

a, b – катеты

αβ – острые углы

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

Формула площади через гипотенузу и угол

Формула площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

Формула площади  через катет a и угол

площади прямоугольного треугольника через катет b и угол


Для справкиКак известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов

то справедливы следующие тождества:

синус косинус

синус косинус


3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

Треугольник  радиус вписанной окружности и угол

c – гипотенуза

c1c2 – отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r – радиус вписанной окружности

О – центр вписанной окружности

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

Формула площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Площадь многоугольника

Калькулятор считает площадь многоугольника по введенным вами сторонами и диагоналям, главное чтобы диагонали делили многоугольник на несколько треугольников, которые в свою очередь не пересекались бы между собой.

И так, глядя на рисунок, можно сразу представить, что площадь данного многоугольника будет равна сумме площади трех треугольников, расположенных внутри многоугольника.

Для начала расчетов вам придется внимательно внести в таблицу значения сторон ваших треугольников.

Все остальное калькулятор сделает за вас. Пользуйтесь.

  • 12 ноября 2015
  • Математика

Подобные задачи очень часто встречаются в Едином Государственном Экзамене по математике. Решение совершенно несложное. Нужно описать вокруг многоугольника прямоугольник и вычесть из его площади всё лишнее. Так как все вершины находятся в узлах с целочисленными координатами сетки, проблем в этом нет никаких. Площади прямоугольников и прямоугольных треугольников посчитать несложно. Однако это весьма долго и кропотливо.

Единичный квадрат — это квадрат со стороной 4 клеточки. Надо найти площадь многоугольника. Сможете найти её за 15 секунд в уме?

Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивых

Есть весьма быстрый способ нахождения площади, который почему-то мало кто знает. По идее в школе о нём должны рассказывать, но… должны, да не обязаны, как говорится. А ещё учитель может и рассказывал, а ученик мог не услышать.

Знаете, был у меня такой случай. Приходит ко мне парень заниматься. Спрашиваю у него формулы сокращенного умножения, а он мне говорит:

— А мы не проходили?

— Как это не проходили? Это вам точно рассказывали! — говорю я.

— Наверное, я болел в это время.

То есть человек не удосужился прочитать учебник по тем темам, которые пропустил. Это как? Он рассчитывает на то, что раз он болел на этих темам, на экзамене их у него тоже не будут спрашивать? Или он думал, что учитель будет за ним бегать и умолять, чтобы он послушал пропущенную тему?

В общем, раз уж находятся люди, которые не шибко переживают, что не знают формул сокращенного умножения, которыми пользуешься постоянно, то что уж говорить о формуле, которой в школе вообще не пользуются. Даже если про неё и рассказывали, у большинства она просто стерлась из памяти. Это формула Пика.

Она придумана и доказана австрийским математиком Георгом Пиком как раз для таких случаев, когда надо найти площадь многоугольника, а координаты всех вершин целочисленные (то есть вершины лежат в узлах координатной плоскости).

Формула до банальности простая: S=В-1+Г:2, где В — это количество узлов координатной плоскости внутри фигуры, а Г — это количество узлов на границе многоугольника.

Давайте отметим точки на границе и внутри, посчитаем их, подставим в формулу и получим ответ.

Граничные точки обозначил розовым, а внутренние точки в узлах — зеленым.
Граничные точки обозначил розовым, а внутренние точки в узлах — зеленым.

Розовых точек — 14, то есть Г=14. Внутренних точек — 12, то есть В=12. Подставляем в формулу и получаем S=12-1+14:2=11+7=18. Вот и вся задачка. Решается в уме за 15 секунд. Самое сложное — не ошибиться в подсчете точек. Задача уровня 2 класса. Можете, кстати, посчитать площадь традиционным способом, сравнить результаты и время, затраченное на решение.

Надо только не забывать о том, что эта формула работает лишь тогда, когда вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки. Так что обычные формулы площади забывать все-таки не стоит.

Для тех, кто только что подключился, напоминаю, что у меня появился Ютуб-канал, заходите и подписывайтесь.

Ещё интересно: Немцы решают эту задачу в уме за 30 секунд, а российские выпускники на ЕГЭ обычно тратят кучу времени на неё. Формула Пика

Задачка для дошкольников поставила в тупик пользователей Twitter и Facebook

Задача на внимательность для взрослых и детей. Сколько треугольников видишь на рисунке

Добавить комментарий