Ромб – это геометрическая фигура; параллелограмм, имеющие 4 равные стороны.
-
Формула вычисления площади
- По длине стороны и высоте
- По длине стороны и углу
-
По длинам диагоналей
- Примеры задач
Формула вычисления площади
По длине стороны и высоте
Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:
S = a ⋅ h
По длине стороны и углу
Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:
S = a 2 ⋅ sin α
По длинам диагоналей
Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.
S = 1/2 ⋅ d1 ⋅ d2
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.
Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см ⋅ 8 см = 80 см2.
Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.
Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см)2 ⋅ sin 30° = 36 см2 ⋅ 1/2 = 18 см2.
Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.
Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 ⋅ 4 см ⋅ 8 см = 16 см2.
{S = a^2 cdot sin (alpha)}
На этой странице мы предлагаем вам 7 формул площади ромба. Для каждой формулы можно воспользоваться онлайн калькулятором и мгновенно получить результат, не прибегая к помощи обычного калькулятора
Содержание:
- калькулятор площади ромба
- формула площади ромба через сторону и угол
- формула площади ромба через сторону и высоту
- формула площади ромба через диагонали
- формула площади ромба через угол и диагональ из угла
- формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ
- формула площади ромба ромба через радиус вписанной окружности и угол
- формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону
- примеры задач
Формула площади ромба через сторону и угол
S = a^2 cdot sin (alpha)
a – сторона ромба
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через сторону и высоту
S = a cdot h
a – сторона ромба
h – высота ромба
Формула площади ромба через диагонали
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}
d1 и d2 – диагонали ромба
Формула площади ромба через угол и диагональ из угла
S = dfrac{d^2}{2} cdot \tg(dfrac{alpha}{2})
d – диагональ ромба
α – угол между сторонами ромба, из которого выходит диагональ
Формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ
S = dfrac{d^2}{2} cdot ctg(dfrac{alpha}{2})
d – диагональ ромба, противоположная углу α
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и угол
S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}
r – радиус окружности
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону
S = 2ar
r – радиус окружности
a – сторона ромба
Примеры задач на нахождение площади ромба
Задача 1
Найдите площадь ромба если его диагонали равны 34 и 4.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой площади ромба через диагонали.
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2} = dfrac{34 cdot 4}{2} = 68 : см^2
Ответ: 68 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 2
Найдите площадь ромба если его диагонали равны 4 и 6.
Решение
Задача аналогична предыдущей.
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2} = dfrac{4 cdot 6}{2} = 12 : см^2
Ответ: 12 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 3
Найдите площадь ромба стороны которого равны 5, а высота равна 4.
Решение
Воспользуемся формулой площади ромба через высоту и сторону.
S = a cdot h = 5 cdot 4 = 20 : см^2
Ответ: 20 см²
Проверим полученный ответ на калькуляторе .
Ромб — это параллелограмм, в котором все стороны равны друг другу.
Онлайн-калькулятор площади ромба
Если стороны ромба образуют прямой угол, то получим квадрат.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Площадь ромба, как и площади большинства геометрических фигур, можно найти несколькими способами. Разберемся в их сути и рассмотрим примеры решений.
Формула площади ромба по стороне и высоте
Пусть нам дан ромб со стороной aa и высотой hh, проведенной к этой стороне. Так как ромб это параллелограмм, то его площадь мы находим так же, как и площадь параллелограмма.
S=a⋅hS=acdot h
aa — сторона;
hh — высота, опущенная на сторону aa.
Решим простой пример.
Сторона ромба равна 5 (см.). Высота, опущенная к этой стороне, имеет длину 2 (см.). Найти площадь ромба SS.
Решение
a=5a=5
h=2h=2
Пользуемся нашей формулой и вычисляем:
S=a⋅h=5⋅2=10S=acdot h=5cdot 2=10 (см. кв.)
Ответ: 10 см. кв.
Формула площади ромба через диагонали
Здесь все так же просто. Нужно просто взять половину произведения диагоналей и получить площадь.
S=12⋅d1⋅d2S=frac{1}{2}cdot d_1cdot d_2
d1,d2d_1, d_2 — диагонали ромба.
Одна из диагоналей ромба равна 7 (см.), а другая в 2 раза больше первой. Найдите площадь фигуры.
Решение
d1=7d_1=7
d2=2⋅d1d_2=2cdot d_1
Найдем вторую диагональ:
d2=2⋅d1=2⋅7=14d_2=2cdot d_1=2cdot 7=14
Тогда площадь:
S=12⋅7⋅14=49S=frac{1}{2}cdot7cdot14=49 (см. кв.)
Ответ: 49 см. кв.
Формула площади ромба через две стороны и угол между ними
S=a2⋅sin(α)S=a^2cdotsin(alpha)
aa — сторона ромба;
αalpha — любой угол ромба.
Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.
Решение
a=10a=10
α=30∘alpha=30^{circ}
По формуле получаем:
S=a2⋅sin(α)=100⋅sin(30∘)=50S=a^2cdotsin(alpha)=100cdotsin(30^{circ})=50 (см. кв.)
Ответ: 50 см. кв.
Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и углу
S=4⋅r2sin(α)S=frac{4cdot r^2}{sin(alpha)}
rr — радиус вписанной окружности в ромб;
αalpha — любой угол ромба.
Найти площадь ромба, если угол между основаниями равен 60 градусов, а радиус вписанной окружности – 4 (см.).
Решение
r=4r=4
α=60∘alpha=60^{circ}
S=4⋅r2sin(α)=4⋅16sin(60∘)≈73.9S=frac{4cdot r^2}{sin(alpha)}=frac{4cdot 16}{sin(60^{circ})}approx73.9 (см. кв.)
Ответ: 73.9 см. кв.
Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и стороне
S=2⋅a⋅rS=2cdot acdot r
aa —сторона ромба;
rr — радиус вписанной окружности в ромб.
Возьмем условие из предыдущей задачи, но пусть вместо угла нам известна сторона ромба, равная 5 см.
Решение
a=5a=5
r=4r=4
S=2⋅a⋅r=2⋅5⋅4=40S=2cdot acdot r=2cdot5cdot4=40 (см. кв.)
Ответ: 40 см. кв.
Ищете того, кто сможеит помочь вам решить контрольную работу по геометрии? Наши эксперты окажут вам быструю и качественную помощь с выполнением работы!
Тест на тему “Площадь ромба”
Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.
Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.
Высота (BE), проведённая между длинными сторонами, короче высоты (BF), проведённой между короткими сторонами.
Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: (BE = BF).
Площадь произвольного параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.
Проведём высоты из двух вершин (B) и (C) к стороне (AD) .
Прямоугольные треугольники (ABE) и (DCF) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).
Параллелограмм (ABCD) и прямоугольник (EBCF) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:
SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.
Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:
SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.
Если обозначить сторону через (a), высоту — через (h), то:
Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
.
Формула определения площади ромба:
Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.
Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:
Площадь произвольного треугольника
Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.
, где (h) — высота (на рисунке — (BE)), проведённая к стороне (a) (на рисунке — (AD)).
Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.
Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.
SΔ=pp−ap−bp−c;p=a+b+c2
— формула Герона, где (a), (b) и (c) — стороны треугольника, (p) — полупериметр треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника
Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:
S=a⋅b2, где (a) и (b) — катеты.
Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.
Пример:
1. вычислим площадь треугольника со сторонами (17) см, (39) см, (44) см.
Решение:
p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.
Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители:
a⋅a=a
.
Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.
Пример:
2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны (15) см, (13) см, (4) см.
Решение:
используем две формулы вычисления площади:
SΔ=aha2
и
SΔ=pp−ap−bp−c
.
Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому (a =) (15) см.
.
15⋅h2=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).
Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.
Пример:
3. дан параллелограмм со сторонами (17) см и (39) см, длина диагонали равна (44) см. Вычислим площадь параллелограмма.
Решение:
диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:
.
Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.
Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.
Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.
SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.
Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через (a) и (b), высоту через (h), то:
Обрати внимание!
Важные следствия:
1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.
2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.
3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.
В этой статье вы узнаете, как можно найти площадь ромба различными методами. Благодаря этим формулам будет легко решать задачи по геометрии, ведь здесь в статье будет описано, как вычислить площадь ромба, зная величину диагонали большей и меньшей, стороны, углы и диаметр вписанной окружности в ромб.
Содержание
- Как вычислить площадь ромба – свойства фигуры
- Как вычислить площадь ромба?
- Как найти площадь ромба, зная угол и сторону геометрической фигуры?
- Как вычислять площадь ромба, зная его диагонали?
- Как вычислять площадь ромба, зная его сторону и радиус вписанной в него окружности?
- Видео: Пример того, как вычислять площадь ромба
Узнать площадь ромба можно по разным формулам. Достаточно знать свойства это фигуры и свойства других фигур, ведь ромб можно разбить на треугольники, приравнять его к параллелограмму и т.п. Ниже вы увидите такие формулы. Еще необходимо знать, чем отличается ромб от четырехугольника и параллелограмма. По математическому определению. Ромб представляет собой фигуру подобную параллелограмму с равными сторонами, но в отличие от квадрата – у ромба углы не прямые. Зато сумма двух углов у основания ромба будет равняться 180 градусов. Все эти знания пригодятся для расчета площади ромба, далее подробнее.
Как вычислить площадь ромба – свойства фигуры
Прежде, чем вычислить площадь ромба, лучше ознакомиться со свойствами данной фигуры. Ведь благодаря знанию этих характеристик дальше проще будет доказать вероятность той или иной формулы. Ранее упоминалось уже, что такое ромб. Он представляет собой фигуру с равными абсолютно всеми сторонами, равными противоположными острыми и тупыми углами, но не прямыми.
Ромб имеет следующие свойства:
- у него все стороны между собой равны
- углы, лежащие напротив друг друга, тоже равны
- диагонали данной фигуры являются биссектрисами, в точке пересечения делятся на равные отрезки
- также диагонали пересекаются в центре ромба и под прямыми углами
- противоположные стороны фигуры не могут пересекаться, даже если продлить лучи они же параллельны, как у параллелограмма.
ВАЖНО: Обратите внимание, что ромб можно разбить на четыре прямоугольных треугольника, которые будут между собой равны по площади, или на два равносторонних идентичных треугольника, см. изображение выше.
Как вычислить площадь ромба?
Итак, давайте выясним, как вычисляется площадь ромба. Давайте воспользуемся для этого формулой площади прямоугольника, где:
- S = a • b, где a, b – стороны прямоугольника.
Чтобы было понятно, как вывести из этой формулы, формулу площади ромба, смотрите объяснение:
- Нарисуйте ромб, проведите высоту к основанию ромба BH.
- Из точки D на линию AD проведите тоже высоту CH1.
- Выходит что треугольник ABH и треугольник CH1D между собой равны по двум общим сторонам, ∠ углу между ними.
- Значит AH=DH1. Площадь образовавшегося квадрата будет равна площади ромба
- А значит BH • HH1 – это и есть площадь ромба, другими словами произведение высоты BH ромба на сторону AD и будет S площадью ромба, поскольку HH1 = BC, а BH – это высота.
Из доказательства вытекает, что:
- S ромба = a • h и измеряется в квадратных единицах.
Как найти площадь ромба, зная угол и сторону геометрической фигуры?
Теперь мы знаем, как выглядит формула площади ромба, можем по этой же формуле найти и S площадь ромба, зная чему равна сторона ромба и ∠ угол, например, острый у основания, как на фото ниже.
- S = a • h
Но в нашем случае нам неизвестна высота ромба, ее следует найти. Для этого придется рассмотреть треугольник прямоугольный, который получился, когда была проведена высота к основанию ромба.
В этом треугольнике известна гипотенуза и ∠α. Чтобы вычислить площадь всей фигуры, понадобится найти высоту. А h = a • sin∠α. Значит S площадь равностороннего параллелограмма (ромба) равняется:
- S = a • a • sin∠α = a² • sin∠α
Как вычислять площадь ромба, зная его диагонали?
Чтобы узнать формулу площади ромба, когда известны только (a, b) диагонали, следует рассмотреть следующий пример. Дано BCDA – ромб и знаем чему равны диагонали. Теперь следует найти S площадь равностороннего параллелограмма по величинам диагоналей.
Ранее уже рассматривали свойства ромба. Диагонали ромба равны, в точке пересечения делятся на равные отрезки. Из этого следует, что все треугольники, которые вписаны в фигуру в результате пересечения обеих диагоналей тоже равны между собой и они прямоугольные (по трем сторонам). Чтобы найти площадь ромба, достаточно найти площадь одного треугольника и полученные данные умножить на 4.
Итого выходит, что:
- S ромба = 4 (1/2 AO • OB + 1/2 BO • OC + 1/2 OC • OD + 1/2 OD • AO) = 4 • 1/8 AC • BD = 1/2 BD • AC, итого площадь S ромба будет = произведению a • b (диагоналей) деленное на два: S = 1/2 a • b
Как вычислять площадь ромба, зная его сторону и радиус вписанной в него окружности?
Площадь ромба можно рассчитать, зная r – радиус и a – длину стороны фигуры. Уже известно, что S – площадь фигуры будет равна произведению b – стороны на h – высоту. Через центр окружности, он же будет являться и центром пересечения a, b – диагоналей ромба. Проведите высоту и одновременно диаметр ромба. На изображении видно, что высота фигуры – это два радиуса окружности. Теперь легко будет найти и площадь самого ромба:
- S = a • h = a • 2r
Ниже смотрите пример задачи на данную тематику.
Еще смотрите подобные статьи на данную тематику здесь:
- Площадь прямоугольника, как найти?
- Как найти площадь круга?
- Площадь квадрата – формулы.
