{S = a^2 cdot sin (alpha)}
На этой странице мы предлагаем вам 7 формул площади ромба. Для каждой формулы можно воспользоваться онлайн калькулятором и мгновенно получить результат, не прибегая к помощи обычного калькулятора
Содержание:
- калькулятор площади ромба
- формула площади ромба через сторону и угол
- формула площади ромба через сторону и высоту
- формула площади ромба через диагонали
- формула площади ромба через угол и диагональ из угла
- формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ
- формула площади ромба ромба через радиус вписанной окружности и угол
- формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону
- примеры задач
Формула площади ромба через сторону и угол
S = a^2 cdot sin (alpha)
a – сторона ромба
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через сторону и высоту
S = a cdot h
a – сторона ромба
h – высота ромба
Формула площади ромба через диагонали
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}
d1 и d2 – диагонали ромба
Формула площади ромба через угол и диагональ из угла
S = dfrac{d^2}{2} cdot \tg(dfrac{alpha}{2})
d – диагональ ромба
α – угол между сторонами ромба, из которого выходит диагональ
Формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ
S = dfrac{d^2}{2} cdot ctg(dfrac{alpha}{2})
d – диагональ ромба, противоположная углу α
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и угол
S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}
r – радиус окружности
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону
S = 2ar
r – радиус окружности
a – сторона ромба
Примеры задач на нахождение площади ромба
Задача 1
Найдите площадь ромба если его диагонали равны 34 и 4.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой площади ромба через диагонали.
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2} = dfrac{34 cdot 4}{2} = 68 : см^2
Ответ: 68 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 2
Найдите площадь ромба если его диагонали равны 4 и 6.
Решение
Задача аналогична предыдущей.
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2} = dfrac{4 cdot 6}{2} = 12 : см^2
Ответ: 12 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 3
Найдите площадь ромба стороны которого равны 5, а высота равна 4.
Решение
Воспользуемся формулой площади ромба через высоту и сторону.
S = a cdot h = 5 cdot 4 = 20 : см^2
Ответ: 20 см²
Проверим полученный ответ на калькуляторе .
Площадь ромба через угол и противолежащую диагональ
Калькулятор рассчитывает площадь ромба через угол и противолежащую диагональ.
Введите угол α
Введите диагональ d
Формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ
Где α – угол между сторонами,
d – диагональ ромба противолежащая углу α
Вывод формулы площади ромба через угол и противолежащую диагональ
Начертим ещё одну диагональ. Точка пересечения диагоналей E разделит ромб на 4 равных прямоугольных треугольника.
Угол ABE = α/2, AE=d/2, tg(α/2)=AE/EB => EB=AE/tg(α/2)=d/2tg(α/2)
Похожие калькуляторы
Площадь ромба
Вычислить площадь ромба, зная: (диагонали) или (сторону и угол между ними) или (диагональ и угол между сторонами)
a – сторона ромба
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α – острый угол
β – тупой угол
Формулы площади ромба через диагонали и углы между сторонами ( S ):
a – сторона ромба
h – высота
r – радиус вписанной окружности
Формула площади ромба через высоту или радиус вписанной окружности ( S ):
- Подробности
-
Автор: Administrator
-
Опубликовано: 08 сентября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Как считать:
через сторону и высоту
через диагонали
через сторону и угол
Укажите размеры:
Результат:
Решение:
Ссылка на страницу с результатом:
# Теория
Ромб – это параллелограмм у которого все стороны равны.
Расчёты площади ромба основааны непосредственно на данных свойствах ромба:
- Все стороны ромба равны;
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в месте пересечения делятся пополам;
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°
- Противоположные углы ромба равны.
Формула площади ромба
Площадь ромба через сторону и высоту
a
a
a
a
h
S = a cdot h
- S – площадь ромба
- a – сторона ромба
- h – высота
Площадь ромба через диагонали
d
1
d
2
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}
- S – площадь ромба
- d1 и d2 – диагонали ромба
Площадь ромба через сторону и угол
При расчёте площади ромба через сторону и угол, значение для α можно брать у любого угла – как устрого так и тупого (синус у них будет одиноковый).
S = a^2 cdot sin alpha
- S – площадь ромба
- a – сторона ромба
- sin α – синус угла
Похожие калькуляторы:
Войдите чтобы писать комментарии
Учебник
Геометрия, 9 класс
Ромб: Формулы, Площадь, Вписанная Окружность
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
- “Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее – узнать его в движении, при изменениях”
- Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей – ромб совместится с самим собой. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по диагонали – новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по другой диагонали – ромб совпадает с самим собой. Симметрия.
Замечание: Если “зряче видим” центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас “в кармане”.
Свойства ромба:
- Ромб симметричен относительно точки O – пересечения диагоналей. O – центр симметрии.
- Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ – ось симметрии.
- У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
- Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
- Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба являются биссектрисами углов – делят углы пополам.
- Диагонали ромба со сторанами образуют равные накрест лежащие углы.
- Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
- Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая – $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
- Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
- Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Формулы Площади ромба:
- Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
- Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
- Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . – половина произведения диагоналей
Вписанная окружность в ромб:
- В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
- Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
- Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
- Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали – суть биссектрисы углов.
Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.
- Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
- По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершине $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
- Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.
Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.
- Решение: “Односторонние углы”: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
- Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
- Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$
Задача 3: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.
- Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
- Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
- $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
- например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
- Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
- Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
- а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
- $sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
- Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
- Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
- Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
- Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$
Задача 4: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ – пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.
Решение: пробa Анализ рисунка:
- $AB$, $MN$, $CD$ – параллельные. Какие углы равные?
- Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
- Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ – квадрату коэффициента подобия.
- (по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
- Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
- $S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
- Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.
Упражнения:
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
- “Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное – узнать его в движении, при изменениях”
- Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей – ромб совместится с самим собой. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по диагонали – новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по другой диагонали – ромб совпадает с самим собой. Симметрия.
Замечание: Если “зряче видим” центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас “в кармане”.
Свойства ромба:
- Ромб симметричен относительно точки O – пересечения диагоналей. O – центр симметрии.
- Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ – ось симметрии.
- У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
- Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
- Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба являются биссектрисами углов – делят углы пополам.
- Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
- Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Квадрат – одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата равны между собой и делятся пополам.
Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.
- Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
- По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершины $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
- Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.
Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.
- Решение: “Односторонние углы”: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
- Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
- Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$
- Полезные напоминания: “В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов.
- Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник – стороны равны, углы тоже.
- В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.
Упражнения:
Задачи из сайта https://resh.edu.ru :
Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.
Задача 12: В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.
Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.
Задача 14: ???? В любом ромбе равны… Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?) Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)
Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.
Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?
Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.
