Площадь ромба
Площадь ромба, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.
Для вычисления площади ромба применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор для вычисления площади ромба в режиме онлайн.
Площадь ромба по стороне и высоте
Площадь ромба по двум диагоналям
Площадь ромба по углу и противолежащей диагонали
Площадь ромба по углу и диагонали проведенной из этого угла
Площадь ромба по стороне и углу между сторонами
Площадь ромба по радиусу вписанной окружности и углу между сторонами
Площадь ромба по радиусу вписанной окружности и стороне
Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°
Таблица с формулами площади ромба
В зависимости от известных исходных данных, площадь ромба можно вычислить по различным формулам.
| исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору) |
эскиз | формула |
| 1 | сторона и высота | |
| 2 | диагонали | |
| 3 | диагональ и угол между сторонами | |
| 4 | диагональ и угол между сторонами | |
| 5 | сторона и угол между сторонами | |
| 6 | радиус вписанной окружности и угол между сторонами | |
| 7 | сторона и радиус вписанной окружности |
Определения
Ромб – это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами) одинаковой длины, у которой противоположные стороны попарно параллельны, а угол между любыми двумя смежными сторонами не равен 90 градусов.
Ромб – это частный случай параллелограмма.
Высота ромба – это отрезок проведенный из вершины ромба к противоположной стороне под углом в 90 градусов.
Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.
Площадь ромба – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами) одинаковой длины, у которой противоположные стороны попарно параллельны, а угол между любыми двумя смежными сторонами не равен 90 градусов.
Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба
Признаки ромба
∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
Основные свойства ромба
∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC
AC 2 + BD 2 = 4AB 2
Сторона ромба
Формулы определения длины стороны ромба:
1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:
2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:
3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:
4. Формула стороны ромба через две диагонали:
5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):
6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:
7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:
8. Формула стороны ромба через периметр:
Диагонали ромба
Формулы определения длины диагонали ромба:
d 1 = a √ 2 + 2 · cosα
d 1 = a √ 2 – 2 · cosβ
d 2 = a √ 2 + 2 · cosβ
d 2 = a √ 2 – 2 · cosα
d 1 = 2 a · cos ( α /2)
d 1 = 2 a · sin ( β /2)
d 2 = 2 a · sin ( α /2)
d 2 = 2 a · cos ( β /2)
7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:
8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:
Периметр ромба
Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.
Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.
Формула определения длины периметра ромба:
Площадь ромба
Формулы определения площади ромба:
4. Формула площади ромба через две диагонали:
5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:
6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):
| S = | 1 | d 1 2 · tg ( α /2) |
| 2 |
| S = | 1 | d 2 2 · tg ( β /2) |
| 2 |
Окружность вписанная в ромб
Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:
1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:
2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:
3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:
4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:
5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:
6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:
| r = | d 1 · d 2 |
| 2√ d 1 2 + d 2 2 |
7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Площадь ромба онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти площадь ромба по известным элементам. Для нахождения площади ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
1. Площадь ромба через сторону и угол
Пусть задан ромб ABCD (Рис.1). Выведем формулу вычисления площади ромба через сторону и угол.
Проведем диагональ AC. Тогда ромб делится на два треугольника ABC и ADC. Противолежащие углы ромба равны (свойство 1 статя Ромб). Поэтому треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними. Площадь треугольника ABC по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
(small S=AB cdot BC cdot sin alpha )
или, учитывая, что AB=BC=a:
Аналогично, площадь треугольника ADC вычисляется по формуле
Поэтому площадь ромба равна:
| (small S=a^2 cdot sin alpha .) | (1) |
2. Площадь ромба через диагонали
Пусть известны диагонали d1 и d2 ромба ABCD (Рис.2). Выведем формулу вычисления площади ромба через диагонали.
Поскольку диагонали ромба перепендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (свойства 6 и 5 ромба), то они разделяют ромб на четыре прямоугольных треугольника. Тогда эти прямоугольные треугольники равны по двум катетам: ( small frac <2>) и ( small frac <2>).
Тогда площадь ромба равна:
| (small S= frac<large d_1 cdot d_2> <large 2>.) | (2) |
3. Площадь ромба через сторону и высоту
Пусть известны сторона a и высота h ромба (Рис.3). Так как ромб является параллелограммом, то площадь ромба вычисляется по формуле площади параллелограмма:
| (small S= acdot h.) | (3) |
4. Площадь ромба через угол и противолежащую диагональ
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащий диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления площади ромба.
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:
| (small S_= frac<large 1 > <large 2>cdot AO cdot OB .) | (3) |
| (small OB= AO cdot mathrm frac<large alpha> <large 2>.) | (4) |
Подставим (4) в (3):
или, учитывая что ( small AO=frac<large d><large 2>,) получим:
| (small S_= frac<large d^2 > <large 8>cdot mathrm frac<large alpha><large 2>.) | (5) |
Тогда площадь ромба равна:
| (small S= 4 cdot S_=frac<large d^2 > <large 2>cdot mathrm frac<large alpha><large 2>.) | (6) |
5. Площадь ромба через угол и диагональ из данного угла
Пусть известны один из углов α=∠BAD ромба и диагональ из данного угла d=AC (Рис.5). Выведем формулу вычисления площади ромба.
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:
| (small S_= frac<large 1 > <large 2>cdot AO cdot OB .) | (7) |
| (small OB= AO cdot mathrm frac<large alpha> <large 2>.) | (8) |
Подставим (8) в (7):
или, учитывая что ( small AO=frac<large d><large 2>,) получим:
| (small S_= frac<large d^2 > <large 8>cdot mathrm frac<large alpha><large 2>.) | (9) |
Тогда площадь ромба равна:
| (small S= 4 cdot S_=frac<large d^2 > <large 2>cdot mathrm frac<large alpha><large 2>.) | (10) |
6. Площадь ромба через угол и радиус вписанной в ромб окружности
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.6). Выведем формулу вычисления площади ромба.
Как мы отметили выше, диагонали разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В частности
| ( small ⊿AOB=⊿ BOC ) | (11) |
Тогда ( small angle BAO=angle BCO=90°-frac< large alpha > <large 2>). Треугольники AKO и CLO также прямоугольные. Следовательно
| ( small angle 1=90°- angle BAO ) ( small =90°- (90°-frac< large alpha ><large 2>) ) ( small =frac< large alpha ><large 2>, ) | (12) |
| ( small angle 2=90°- angle BCO ) ( small =90°- (90°-frac< large alpha ><large 2>) ) ( small =frac< large alpha ><large 2>. ) | (13) |
Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
( small frac<large AO><large sin frac< alpha ><2>>= frac<large OB><large sin left( 90°-frac< alpha > < 2>right) >) ( small =frac<large OB><large cos frac< alpha > < 2>> )
| ( small OB=frac<large AO cdot cos frac< alpha > <2>><large sin frac< alpha ><2>> ) | (14) |
Для прямоугольного треугольника AKO имеем:
( small frac<large KO><large AO>=cos angle 1 )
или, учитывая (12) и KO=r:
| ( small AO= frac<large r><large cos frac< alpha ><2>> ) | (15) |
Подставляя (15) в (14), получим:
( small OB=frac<large r cdot cos frac< alpha > <2>><large cos frac< alpha ><2> cdot sin frac< alpha ><2>> )
| ( small OB=frac<large r ><large sin frac< alpha ><2>> ) | (16) |
Найдем площадь треугольника AOB:
| ( small S_=frac<large 1 > <large 2>cdot AO cdot OB) | (17) |
Подставляя (15) и (16) в (17), получим:
Тогда площадь ромба равна:
| ( small S=4 cdot S_=frac<large 4r^2><large sin alpha>.) | (18) |
7. Площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности
Пусть известны сторона a=AB ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.7). Найдем площадь ромба.
Прямая AB является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда ( small OK ⊥ AB ). Прямая CD является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда ( small OL ⊥ CD ). Поэтому треугольники BKO и DLO прямоугольные. Эти треугольники равны по гипотенузе и катету (BO=OD, KO=OL). Тогда ( small angle BOK=angle DOL ). Углы BOK и KOD смежные. Следовательно ( small angle KOD=180°-angle BOK. ) ( small angle KOD+angle DOL ) ( small =180°-angle BOK+angle DOL=180°. ) Получили, что отрезки KO и OL находятся на одной прямой. То есть KL=KO+OL=2r. Поскольку ( small KL ⊥ AB, ) то является высотой ромба. Площадь ромба по стороне и высоте вычисляется из формулы (3). Тогда имеем:
[spoiler title=”источники:”]
http://ru.onlinemschool.com/math/formula/rhombus/
http://matworld.ru/geometry/ploshchad-romba.php
[/spoiler]
{S = a^2 cdot sin (alpha)}
На этой странице мы предлагаем вам 7 формул площади ромба. Для каждой формулы можно воспользоваться онлайн калькулятором и мгновенно получить результат, не прибегая к помощи обычного калькулятора
Содержание:
- калькулятор площади ромба
- формула площади ромба через сторону и угол
- формула площади ромба через сторону и высоту
- формула площади ромба через диагонали
- формула площади ромба через угол и диагональ из угла
- формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ
- формула площади ромба ромба через радиус вписанной окружности и угол
- формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону
- примеры задач
Формула площади ромба через сторону и угол
S = a^2 cdot sin (alpha)
a – сторона ромба
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через сторону и высоту
S = a cdot h
a – сторона ромба
h – высота ромба
Формула площади ромба через диагонали
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}
d1 и d2 – диагонали ромба
Формула площади ромба через угол и диагональ из угла
S = dfrac{d^2}{2} cdot \tg(dfrac{alpha}{2})
d – диагональ ромба
α – угол между сторонами ромба, из которого выходит диагональ
Формула площади ромба через угол и противолежащую диагональ
S = dfrac{d^2}{2} cdot ctg(dfrac{alpha}{2})
d – диагональ ромба, противоположная углу α
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и угол
S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}
r – радиус окружности
α – угол между сторонами ромба
Формула площади ромба через радиус вписанной окружности и сторону
S = 2ar
r – радиус окружности
a – сторона ромба
Примеры задач на нахождение площади ромба
Задача 1
Найдите площадь ромба если его диагонали равны 34 и 4.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой площади ромба через диагонали.
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2} = dfrac{34 cdot 4}{2} = 68 : см^2
Ответ: 68 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 2
Найдите площадь ромба если его диагонали равны 4 и 6.
Решение
Задача аналогична предыдущей.
S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2} = dfrac{4 cdot 6}{2} = 12 : см^2
Ответ: 12 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 3
Найдите площадь ромба стороны которого равны 5, а высота равна 4.
Решение
Воспользуемся формулой площади ромба через высоту и сторону.
S = a cdot h = 5 cdot 4 = 20 : см^2
Ответ: 20 см²
Проверим полученный ответ на калькуляторе .
Площадь ромба онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти площадь ромба по известным элементам. Для нахождения площади ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.
Содержание
- Площадь ромба через сторону и угол
- Площадь ромба через диагонали
- Площадь ромба через сторону и высоту
- Площадь ромба через угол и противолежащую диагональ
- Площадь ромба через угол и диагональ из данного угла
- Площадь ромба через угол и радиус вписанной в ромб окружности
- Площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружностии
1. Площадь ромба через сторону и угол
Пусть задан ромб ABCD (Рис.1). Выведем формулу вычисления площади ромба через сторону и угол.
Проведем диагональ AC. Тогда ромб делится на два треугольника ABC и ADC. Противолежащие углы ромба равны (свойство 1 статя Ромб). Поэтому треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними. Площадь треугольника ABC по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
или, учитывая, что AB=BC=a:
Аналогично, площадь треугольника ADC вычисляется по формуле
Поэтому площадь ромба равна:
или
2. Площадь ромба через диагонали
Пусть известны диагонали d1 и d2 ромба ABCD (Рис.2). Выведем формулу вычисления площади ромба через диагонали.
Поскольку диагонали ромба перепендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (свойства 6 и 5 ромба), то они разделяют ромб на четыре прямоугольных треугольника. Тогда эти прямоугольные треугольники равны по двум катетам: ( small frac{d_1}{2} ) и ( small frac{d_2}{2} ).
Площадь прямоугольного треугольника AOB равна:
Тогда площадь ромба равна:
или
3. Площадь ромба через сторону и высоту
Пусть известны сторона a и высота h ромба (Рис.3). Так как ромб является параллелограммом, то площадь ромба вычисляется по формуле площади параллелограмма:
4. Площадь ромба через угол и противолежащую диагональ
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащий диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления площади ромба.
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:
Но
или
Подставим (4) в (3):
или, учитывая что ( small AO=frac{large d}{large 2},) получим:
Тогда площадь ромба равна:
5. Площадь ромба через угол и диагональ из данного угла
Пусть известны один из углов α=∠BAD ромба и диагональ из данного угла d=AC (Рис.5). Выведем формулу вычисления площади ромба.
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:
Но
или
Подставим (8) в (7):
или, учитывая что ( small AO=frac{large d}{large 2},) получим:
Тогда площадь ромба равна:
6. Площадь ромба через угол и радиус вписанной в ромб окружности
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.6). Выведем формулу вычисления площади ромба.
Как мы отметили выше, диагонали разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В частности
Тогда ( small angle BAO=angle BCO=90°-frac{ large alpha }{large 2} ). Треугольники AKO и CLO также прямоугольные. Следовательно
Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
Откуда
Для прямоугольного треугольника AKO имеем:
или, учитывая (12) и KO=r:
Подставляя (15) в (14), получим:
или
Найдем площадь треугольника AOB:
Подставляя (15) и (16) в (17), получим:
Тогда площадь ромба равна:
7. Площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности
Пусть известны сторона a=AB ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.7). Найдем площадь ромба.
Прямая AB является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда ( small OK ⊥ AB ). Прямая CD является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда ( small OL ⊥ CD ). Поэтому треугольники BKO и DLO прямоугольные. Эти треугольники равны по гипотенузе и катету (BO=OD, KO=OL). Тогда ( small angle BOK=angle DOL ). Углы BOK и KOD смежные. Следовательно ( small angle KOD=180°-angle BOK. ) ( small angle KOD+angle DOL ) ( small =180°-angle BOK+angle DOL=180°. ) Получили, что отрезки KO и OL находятся на одной прямой. То есть KL=KO+OL=2r. Поскольку ( small KL ⊥ AB, ) то является высотой ромба. Площадь ромба по стороне и высоте вычисляется из формулы (3). Тогда имеем:
или
Ромб – это геометрическая фигура; параллелограмм, имеющие 4 равные стороны.
-
Формула вычисления площади
- По длине стороны и высоте
- По длине стороны и углу
- По длинам диагоналей
- Примеры задач
Формула вычисления площади
По длине стороны и высоте
Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:
S = a ⋅ h
По длине стороны и углу
Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:
S = a 2 ⋅ sin α
По длинам диагоналей
Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.
S = 1/2 ⋅ d1 ⋅ d2
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.
Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см ⋅ 8 см = 80 см2.
Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.
Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см)2 ⋅ sin 30° = 36 см2 ⋅ 1/2 = 18 см2.
Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.
Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 ⋅ 4 см ⋅ 8 см = 16 см2.
В этой статье вы узнаете, как можно найти площадь ромба различными методами. Благодаря этим формулам будет легко решать задачи по геометрии, ведь здесь в статье будет описано, как вычислить площадь ромба, зная величину диагонали большей и меньшей, стороны, углы и диаметр вписанной окружности в ромб.
Содержание
- Как вычислить площадь ромба – свойства фигуры
- Как вычислить площадь ромба?
- Как найти площадь ромба, зная угол и сторону геометрической фигуры?
- Как вычислять площадь ромба, зная его диагонали?
- Как вычислять площадь ромба, зная его сторону и радиус вписанной в него окружности?
- Видео: Пример того, как вычислять площадь ромба
Узнать площадь ромба можно по разным формулам. Достаточно знать свойства это фигуры и свойства других фигур, ведь ромб можно разбить на треугольники, приравнять его к параллелограмму и т.п. Ниже вы увидите такие формулы. Еще необходимо знать, чем отличается ромб от четырехугольника и параллелограмма. По математическому определению. Ромб представляет собой фигуру подобную параллелограмму с равными сторонами, но в отличие от квадрата – у ромба углы не прямые. Зато сумма двух углов у основания ромба будет равняться 180 градусов. Все эти знания пригодятся для расчета площади ромба, далее подробнее.
Как вычислить площадь ромба – свойства фигуры
Прежде, чем вычислить площадь ромба, лучше ознакомиться со свойствами данной фигуры. Ведь благодаря знанию этих характеристик дальше проще будет доказать вероятность той или иной формулы. Ранее упоминалось уже, что такое ромб. Он представляет собой фигуру с равными абсолютно всеми сторонами, равными противоположными острыми и тупыми углами, но не прямыми.
Ромб имеет следующие свойства:
- у него все стороны между собой равны
- углы, лежащие напротив друг друга, тоже равны
- диагонали данной фигуры являются биссектрисами, в точке пересечения делятся на равные отрезки
- также диагонали пересекаются в центре ромба и под прямыми углами
- противоположные стороны фигуры не могут пересекаться, даже если продлить лучи они же параллельны, как у параллелограмма.
ВАЖНО: Обратите внимание, что ромб можно разбить на четыре прямоугольных треугольника, которые будут между собой равны по площади, или на два равносторонних идентичных треугольника, см. изображение выше.
Как вычислить площадь ромба?
Итак, давайте выясним, как вычисляется площадь ромба. Давайте воспользуемся для этого формулой площади прямоугольника, где:
- S = a • b, где a, b – стороны прямоугольника.
Чтобы было понятно, как вывести из этой формулы, формулу площади ромба, смотрите объяснение:
- Нарисуйте ромб, проведите высоту к основанию ромба BH.
- Из точки D на линию AD проведите тоже высоту CH1.
- Выходит что треугольник ABH и треугольник CH1D между собой равны по двум общим сторонам, ∠ углу между ними.
- Значит AH=DH1. Площадь образовавшегося квадрата будет равна площади ромба
- А значит BH • HH1 – это и есть площадь ромба, другими словами произведение высоты BH ромба на сторону AD и будет S площадью ромба, поскольку HH1 = BC, а BH – это высота.
Из доказательства вытекает, что:
- S ромба = a • h и измеряется в квадратных единицах.
Как найти площадь ромба, зная угол и сторону геометрической фигуры?
Теперь мы знаем, как выглядит формула площади ромба, можем по этой же формуле найти и S площадь ромба, зная чему равна сторона ромба и ∠ угол, например, острый у основания, как на фото ниже.
- S = a • h
Но в нашем случае нам неизвестна высота ромба, ее следует найти. Для этого придется рассмотреть треугольник прямоугольный, который получился, когда была проведена высота к основанию ромба.
В этом треугольнике известна гипотенуза и ∠α. Чтобы вычислить площадь всей фигуры, понадобится найти высоту. А h = a • sin∠α. Значит S площадь равностороннего параллелограмма (ромба) равняется:
- S = a • a • sin∠α = a² • sin∠α
Как вычислять площадь ромба, зная его диагонали?
Чтобы узнать формулу площади ромба, когда известны только (a, b) диагонали, следует рассмотреть следующий пример. Дано BCDA – ромб и знаем чему равны диагонали. Теперь следует найти S площадь равностороннего параллелограмма по величинам диагоналей.
Ранее уже рассматривали свойства ромба. Диагонали ромба равны, в точке пересечения делятся на равные отрезки. Из этого следует, что все треугольники, которые вписаны в фигуру в результате пересечения обеих диагоналей тоже равны между собой и они прямоугольные (по трем сторонам). Чтобы найти площадь ромба, достаточно найти площадь одного треугольника и полученные данные умножить на 4.
Итого выходит, что:
- S ромба = 4 (1/2 AO • OB + 1/2 BO • OC + 1/2 OC • OD + 1/2 OD • AO) = 4 • 1/8 AC • BD = 1/2 BD • AC, итого площадь S ромба будет = произведению a • b (диагоналей) деленное на два: S = 1/2 a • b
Как вычислять площадь ромба, зная его сторону и радиус вписанной в него окружности?
Площадь ромба можно рассчитать, зная r – радиус и a – длину стороны фигуры. Уже известно, что S – площадь фигуры будет равна произведению b – стороны на h – высоту. Через центр окружности, он же будет являться и центром пересечения a, b – диагоналей ромба. Проведите высоту и одновременно диаметр ромба. На изображении видно, что высота фигуры – это два радиуса окружности. Теперь легко будет найти и площадь самого ромба:
- S = a • h = a • 2r
Ниже смотрите пример задачи на данную тематику.
Еще смотрите подобные статьи на данную тематику здесь:
- Площадь прямоугольника, как найти?
- Как найти площадь круга?
- Площадь квадрата – формулы.
