Как найти площадь сечения крнуса

Площадь сечения конуса. Для вас представлена очередная статья с конусами. На момент написания этой статьи на блоге решены все примеры (прототипы) заданий с конусами, которые возможны на экзамене. Процесс решения несложен (1-2 действия), при определённой практике решаются устно. Нужно знать понятие образующей, об этом информация в этой статье. Так же необходимо понимать как образуются сечения конуса.

1. Если плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.

*Если плоскость проходит через ось конуса, то сечением является равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса, а основание на которое опущена эта высота равна диаметру основания конуса.

2. Если плоскость проходит перпендикулярно оси конуса, то сечением является круг.

Особенностью данных заданий является то, что применяется формула площади треугольника, здесь она первая. Формулы периодически повторяйте. Рассмотрим задачи:

324453. Площадь основания конуса равна 16Пи, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевым сечением конуса является треугольник с основанием равным диаметру основания конуса и высотой равной высоте конуса. Обозначим диаметр как D, высоту как Н, запишем формулу площади треугольника:

Высота известна, вычислим диаметр. Используем формулу площади круга:

Значит диаметр будет равен 8. Вычисляем площадь сечения:

Ответ: 24

324454. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечением является круг. Необходимо найти площадь этого круга.

Построим осевое сечение:

Рассмотрим треугольники AKL и AOC – они подобны. Известно, что в подобных фигурах отношения соответствующих элементов равны. Мы рассмотрим отношения высот и катетов (радиусов):

OC  это радиус основания, его можно найти:

Значит

Теперь можем вычислить площадь сечения:

*Это алгебраический способ вычисления без использования свойства подобных тел, касающегося их площади. Можно было рассудить так:

Два конуса (исходный и отсечённый) подобны, значит пощади их оснований являются подобными фигурами. Для площадей подобных фигур существует зависимость:

Коэффициент подобия в данном случае равен 1/3 (высота исходного конуса равна 9, отсечённого 3), 3/9=1/3.

Таким образом, площадь основания полученного конуса равна:

Ответ: 2

323455. Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.

Найдём диаметр основания и используя формулу площади треугольника вычислим площадь. По теореме Пифагора:

Вычисляем площадь сечения:

Ответ: 48

Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей — 25. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R. 

Радиус основания равен половине диаметра, то есть 20.

Вычислим высоту и далее используя формулу площади треугольника найдём искомую площадь. По теореме Пифагора:

Вычисляем площадь сечения:

Ответ: 300

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Осевым сечением конуса в треугольнике, является не что иное, как произведение его длины и высоты. То есть по сути, это все внутренне пространство, которое есть внутри треугольника, а так как его образует как длина этого самого треугольника, так и его радиус, то для того что бы его найти, нужно две эти величины, просто между собой, перемножить. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Степа­н-16 [34.5K] 5 лет назад  Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник. Соответственно, площадь осевого сечения будет определяться формулой площади треугольника и равна половине произведения основания треугольника (или диаметра окружности – основания конуса) на высоту треугольника (или конуса). Если проще, то: произведению радиуса основания конуса на его высоту. Ankla­v [4.4K] 8 лет назад  Вообразите себе конус и разделите его на две части сверху вниз. Это будет треугольник . А формулу, как найти площади его, вы знаете: S = 1/2D h = R * h На самом деле, нахождение площади сечения в случаях в стереометрии сводится к понятиям обычной геометрии на плоскости Ксарф­акс [156K] 6 лет назад  Определение из курса стереометрии: Осевое сечение – это сечение трёхмерной фигуры плоскостью, которая проходит через ось этой фигуры. Для конуса осевым сечением будут являться треугольник. Таким образом, для нахождения площади осевого сечения конуса необходимо найти площадь данного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к данному основанию. Высота треугольника будет совпадать с высотой конуса, она равна h. Основание треугольника будет равно диаметру окружности d (окружность является основанием конуса). Таким образом, S = 0,5*d*h. Так как половина диаметра окружности – это радиус, то формулу можно переписать в следующем виде: Sсеч = R*h. Пчела Жужа [77.8K] 5 лет назад  Площадь осевого сечения конуса можно высчитать, применив формулу S=1/2d*h=Rh, где S является площадью осевого сечения, R является радиусом, d является диаметром конуса, а h – это высота конуса. Стоит отметить, что осевым сечением является треугольник. Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле: S=1/2*(h*2r),где h -это высота,r-это радиус основания.Например.если высота конуса равна 5 см, а радиус основания равен 2,5 см, то площадь осевого сечения будет равна S=0.5*(5*2*2.5)=12.5 cm Антон­75 [206] 8 лет назад  Осевое сечение конуса – это треугольник.Следовательно, площадь осевого сечения конуса равна произведению высоты конуса на радиус основания. S=h*r Oleg7­4 [202K] 8 лет назад  При осевом сечении конуса плоскость проходит через вершину данного конуса , а самим сечением получается треугольник. Площадью такого сечения является половина диаметра или радиуса, умноженного на высоту. То есть формула вычисления такой площади выглядит так : S = 1/2D h = R h где D – это диаметр конуса ( основания ), R – радиус основания, а h – это высота конуса и треугольника, соответственно. morel­juba [62.5K] 6 лет назад  В первую очередь хочу отметить тот факт, что осевое сечение конуса представляет собой треугольник. Этот факт означает что от нас требуется найти площадь данного треугольника. Найдём площадь вот по этой формуле: В данной формуле диаметр конуса – это D. Радиус основания – это R, а высотой конуса здесь является h. timur­ovec [272K] 8 лет назад  Для ответа необходимо хорошее пространственное представление. Если конус разделить от вершины до средины основания , мы получим фигуру треугольника. А площадь треугольника высчитывается произведением высоты на длину нижней стороны , деленную на два , в данном случае это радиус. Ksyus­ha26 [26.8K] 8 лет назад  Надо сказать, что сечение представляет собой ни что иное, как треугольник. То есть найти площадь осевого сечения конуса можно найти с помощью следующей формулы: S=1/2d*h=Rh. D признается диаметром конуса, R признается радиусом основания, h является высотой конуса Знаете ответ?

Одной из фигур, которая встречается при решении геометрических задач в пространстве, является конус. Он, в отличие от многогранников, относится к классу фигур вращения. Рассмотрим в статье, что понимают под ним в геометрии, и исследуем характеристики различных сечений конуса.

Конус в геометрии

Предположим, что имеется некоторая кривая на плоскости. Это может быть парабола, окружность, эллипс и так далее. Возьмем точку, которая указанной плоскости не принадлежит, и соединим с ней все точки кривой. Образованная поверхность называется конической или просто конусом.

Если исходная кривая является замкнутой, тогда коническую поверхность можно заполнить веществом. Полученная таким образом фигура является объемным телом. Она также называется конусом. Несколько конусов, изготовленных из бумаги, показаны ниже на рисунке.

Коническая поверхность встречается в обычной жизни. Например, этой формой обладает мороженое-рожок или дорожный полосатый конус, который призван привлечь внимание водителей и пешеходов.

Виды конусов

Как можно догадаться, рассматриваемые фигуры друг от друга отличаются типом кривой, на которой они образованы. Например, существует круглый конус или эллиптический. Данная кривая называется основанием фигуры. Однако форма основания – это не единственная особенность, позволяющая классифицировать конусы.

Второй важной их характеристикой является положение высоты относительно основания. Высотой конуса называется прямой отрезок, который опущен из вершины фигуры к плоскости основания и перпендикулярен этой плоскости. Если высота пересекает в геометрическом центре основание (например, в центре круга), то конус будет прямым, если перпендикулярный отрезок падает в любую другую точку основания или за его пределы, то фигура будет наклонной.

Далее в статье будем рассматривать только круглый прямой конус как яркий представитель рассматриваемого класса фигур.

Геометрические названия элементов конуса

Выше было сказано, что конус имеет основание. Оно ограничено окружностью, которая называется направляющей конуса. Отрезки, соединяющие направляющую с точкой, не лежащей в плоскости основания, называются образующими. Совокупность всех точек образующих называется конической или боковой поверхностью фигуры. Для круглого прямого конуса все образующие имеют одинаковую длину.

Точка, где образующие пересекаются, называется вершиной фигуры. В отличие от многогранников, конус имеет единственную вершину и не имеет ни одной грани.

Прямая линия, проходящая через вершину фигуры и центр круга, называется осью. Ось содержит в себе высоту прямого конуса, поэтому она с плоскостью основания образует прямой угол. Эта информация важна при вычислении площади осевого сечения конуса.

Круглый прямой конус – фигура вращения

Рассматриваемый конус является достаточно симметричной фигурой, которую можно получить в результате вращения треугольника. Предположим, что имеется треугольник с прямым углом. Чтобы получить конус, достаточно вращать этот треугольник вокруг одного из катетов так, как показано на рисунке ниже.

Видно, что ось вращения является осью конуса. Один из катетов будет равен высоте фигуры, а второй катет станет радиусом основания. Гипотенуза треугольника в результате вращения опишет коническую поверхность. Она будет образующей конуса.

Указанный способ получения круглого прямого конуса удобно использовать для изучения математической связи между линейными параметрами фигуры: высоты h, радиуса круглого основания r и направляющей g. Соответствующая формула следует из свойств прямоугольного треугольника. Она приведена ниже:

g² = h² + r².

Поскольку мы имеем одно уравнение и три переменных, то это означает, что для однозначного задания параметров круглого конуса необходимо знать две любые величины.

Сечения конуса плоскостью, которая не содержит вершину фигуры

Вопрос построения сечений фигуры не является тривиальным. Дело в том, что форма сечения конуса поверхностью зависит от взаимного расположения фигуры и секущей.

Предположим, что мы пересекаем конус плоскостью. Какое сечение получится в результате этой геометрической операции? Варианты формы сечения показаны на рисунке ниже.

Розовое сечение является кругом. Оно образовано в результате пересечения фигуры плоскостью, которая параллельна основанию конуса. Это сечения перпендикулярно оси фигуры. Образованная выше секущей плоскости фигура представляет собой конус, подобный исходному, но имеющий круг меньшего размера в основании.

Зеленое сечение – это эллипс. Он получается, если секущая плоскость не параллельна основанию, однако она пересекает только боковую поверхность конуса. Отсеченная выше плоскости фигура называется эллиптическим наклонным конусом.

Синее и оранжевое сечения имеют форму параболы и гиперболы, соответственно. Как видно из рисунка, они получаются, если секущая плоскость одновременно пересекает боковую поверхность и основание фигуры.

Для определения площадей сечений конуса, которые были рассмотрены, необходимо использовать формулы для соответствующей фигуры на плоскости. Например, для круга это умноженное на квадрат радиуса число Пи, а для эллипса – это произведение Пи на длину малой и большой полуосей:

круг: S = pi*r²;

эллипс: S = pi*a*b .

Сечения, содержащие вершину конуса

Теперь рассмотрим варианты сечений, которые возникают, если секущая плоскость будет проходить через вершину конуса. Возможны три случая:

1. Сечение – единственная точка. Например, проходящая через вершину и параллельная основанию плоскость дает именно такое сечение.
2. Сечение – прямая. Эта ситуация возникает, когда плоскость является касательной к конической поверхности. Прямая сечения в этом случае будет образующей конуса.
3. Осевое сечение. Оно образуется, когда плоскость содержит не только вершину фигуры, но и всю ее ось. При этом плоскость будет перпендикулярна круглому основанию и разделит конус на две равные части.

Очевидно, что площади первых двух видов сечений равны нулю. Что касается площади сечения конуса для 3-го вида, то этот вопрос подробнее рассматривается в следующем пункте.

Осевое сечение

Выше отмечалось, что осевым сечением конуса называется фигура, образованная при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось. Несложно догадаться, что это сечение будет представлять фигуру, показанную на рисунке ниже.

Это равнобедренный треугольник. Вершина осевого сечения конуса – это вершина этого треугольника, образованная пересечением одинаковых сторон. Последние равны длине образующей конуса. Основание треугольника – это диаметр основания конуса.

Вычисление площади осевого сечения конуса сводится к нахождению площади полученного треугольника. Если изначально известны радиус основания r и высота h конуса, тогда площадь S рассматриваемого сечения будет равна:

S = h*r.

Это выражение является следствием применения стандартной формулы для площади треугольника (половина произведения высоты на основание).

Отметим, что если образующая конуса будет равна диаметру его круглого основания, то осевое сечение конуса – треугольник равносторонний.

Треугольное сечение образуется тогда, когда секущая плоскость перпендикулярна основанию конуса и проходит через его ось. Любая другая плоскость, параллельная названной, даст в сечении гиперболу. Однако если плоскость содержит вершину конуса и пересекает его основание не через диаметр, то полученное сечение тоже будет равнобедренным треугольником.

Задача на определение линейных параметров конуса

Покажем, как пользоваться записанной для площади осевого сечения формулой для решения геометрической задачи.

Известно, что площадь осевого сечения конуса равна 100 см². Полученный в сечение треугольник является равносторонним. Чему равны высота конуса и радиус его основания?

Поскольку треугольник равносторонний, то его высота h связана с длиной стороны a следующим соотношением:

h = √3/2*a.

Учитывая, что сторона треугольника в два раза больше радиуса основания конуса, и подставляя это выражение в формулу для площади сечения, получаем:

S = h*r = √3/2*2*r*r =>

r = √(S/√3).

Тогда высота конуса равна:

h = √3/2*2*r = √3*√(S/√3) = √(√3*S).

Остается подставить значение площади из условия задачи и получить ответ:

r = √(100/√3) ≈ 7,60 см;

h = √(√3*100) ≈ 13,16 см.

В каких областях важно знать параметры рассмотренных сечений?

Изучение различных типов сечений конуса представляет не только теоретический интерес, но также имеет практическое приложение.

Во-первых, следует отметить область аэродинамики, где с помощью конических сечений удается создавать идеальные гладкие формы твердых тел.

Во-вторых, конические сечения являются траекториями, по которым движутся космические объекты в гравитационных полях. Какой конкретно вид сечения представляет траектория движения космических тел системы, определяется соотношением их масс, абсолютных скоростей и расстояний между ними.

Как найти площадь осевого сечения конуса

Конус представляет собой геометрическое тело, основание которого представляет собой круг, а боковая поверхности — все отрезки, проведенные из точки, находящейся вне плоскости основания, к этому основанию. Прямой конус, который обычно рассматривается в школьном курсе геометрии, можно представить как тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Перпендикулярным сечением конуса является плоскость, проходящая через его вершину перпендикулярно основанию.

Вам понадобится

• Чертеж конуса с заданными параметрами
• Линейка
• Карандаш
• Математические формулы и определения
• Высота конуса
• Радиус окружности основания конуса
• Формула площади треугольника

Инструкция

Начертите конус с заданными параметрами. Обозначьте центр окружности как О, а вершину конуса — как P. Вам необходимо знать радиус основания и высоту конуса. Вспомните свойства высоты конуса. Она представляет собой перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к его основанию. Точка пересечения высоты конуса с плоскостью основания у прямого конуса совпадает с центром окружности основания. Постройте осевое сечение конуса. Оно образовано диаметром основания и образующими конуса, которые проходят через точки пересечения диаметра с окружностью. Обозначьте полученные точки как А и В.

Осевое сечение образовано двумя прямоугольными треугольниками, лежащими в одной плоскости и имеющими один общий катет. Вычислить площадь осевого сечения можно двумя способами. Первый способ — найти площади получившихся треугольников и сложить их вместе. Это наиболее наглядный способ, но по сути он ничем не отличается от классического вычисления площади равнобедренного треугольника. Итак, у вас получилось 2 прямоугольных треугольника, общим катетом которых является высота конуса h, вторыми катетами — радиусы окружности основания R, а гипотенузами — образующие конуса. Поскольку все три стороны этих треугольников равны между собой, то и сами треугольники тоже получились равными, согласно третьему свойству равенства треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то есть S=1/2Rh. Площадь двух треугольников соответственно будет равна произведению радиуса окружности основания на высоту, S=Rh.

Осевое сечение чаще всего рассматривают как равнобедренный треугольник, высотой которого является высота конуса. В данном случае это треугольник АPВ, основание которого равно диаметру окружности основания конуса D, а высота равна высоте конуса h. Площадь его вычисляется по классической формуле площади треугольника, то есть в итоге получаем ту же самую формулу S = 1/2Dh = Rh, где S – площадь равнобедренного треугольника, R – радиус окружности основания, а h — высота треугольника, являющаяся одновременно и высотой конуса.

Полезный совет

Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле площади трапеции. В этом случае необходимо знать оба радиуса оснований, высоту и серединную линию.

Источники:

• Урок Тема “Сечения конуса

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Напомним,
что конус – это тело, полученное при вращении прямоугольного
треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.

Назовём
элементы конуса.

Осью
конуса называется прямая вращения.

Основание конуса
– круг радиуса ,
который равен катету треугольника вращения.

Радиус
конуса  –
это радиус его основания.

Вершина
конуса – неподвижная вершина треугольника вращения.

Образующая
конуса  –
отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания. Все
образующие конуса равны между собой.

Высота конуса
 –
перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания. Высота
конуса совпадает с неподвижным катетом треугольника вращения.

В
конусе радиус основания ,
высота  и
образующая  связаны
следующим соотношением:

.

Сечение
конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой
равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими
конуса.

Осевым
сечением конуса называется сечение конуса плоскостью,
проходящей через его ось.

Осевое
сечение конуса – равнобедренный треугольник, боковые стороны
которого – образующие, а основание – диаметр основания конуса.

Боковую
поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра,
можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёрткой
боковой поверхности конуса является круговой сектор.

Обратите
внимание, радиус сектора равен образующей  конуса,
а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Площадь
боковой поверхности конуса можно вычислить по следующим
формулам:

,
,
,

где
 –
длина окружности основания,  –
радиус основания,  –
образующая.

Площадь
полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности конуса и
площади его основания.

Тогда
площадь полной поверхности конуса можно вычислить по формуле^

 ,

где
 –
радиус основания конуса,  –
его образующая.

Объём конуса
равен одной третьей произведения площади основания на высоту.

Тогда
его можно вычислить по формуле:

,

где
 –
радиус основания конуса,  –
его высота.

Плоскость,
параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую
поверхность – по окружности с центром на оси конуса. Эта плоскость разбивает
конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а вторая
(нижняя) называется усечённым конусом.

Усечённым
конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием
и сечением, параллельным плоскости основания. Усечённый конус имеет ось,
высоту ,
радиусы оснований  и
,
образующую .
Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция.

Площадь
боковой поверхности усечённого конуса и объём усечённого конуса равен разности
площадей боковых поверхностей и объёмов полного конуса и отсечённого.

,

Площадь
боковой поверхности усечённого конуса можно найти по следующим
формулам:

  ,
 

Объём
усечённого конуса можно вычислить по следующим формулам:

 ,

где
 и
 –
площади оснований,  –
высота усечённого конуса;

или
,

где
 –
высота усечённого конуса,  и
 –
радиусы верхнего и нижнего оснований.

Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.

Задача
первая. Радиус основания конуса равен  см,
высота конуса равна  см.
Найдите площадь боковой поверхности и объём конуса.

Решение.

Задача
вторая. В конус вписана правильная треугольная пирамида с
площадью основания  см²
и углом наклона бокового ребра к основанию, равным .
Найдите объём и площадь полной поверхности конуса.

Решение.

Задача
третья. В равносторонний конус с радиусом основания, равным см,
вписан прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат, с
высотой  см
так, что одно его основание принадлежит основанию конуса, а вершины другого
основания принадлежат боковой поверхности конуса. Найдите объём
параллелепипеда. В ответе запишите значение .

Решение.

Задача
четвёртая. Длины радиусов оснований и образующей усечённого
конуса равны соответственно  см,
 см
и  см.
Вычислите его высоту.

Решение.