На этой странице представлена справочная информация с формулами для вычисления площадей простых фигур (сечений) с указанием положения их центров тяжестей.
Эта страничка будет полезна при расчёте более сложных фигур (составных поперечных сечений): определении положения центра тяжести, а также общей площади.
Центры тяжести
Для всех фигур, положение центра тяжести в статье обозначается буквой – C, это наиболее используемый вариант. Также иногда центр тяжести обозначают буквой – O.
Формулы для расчёта площадей
В сопромате площадь поперечного сечения обозначается буквой – A, однако, в некоторой литературе ты можешь встретить обозначения с буквой – F.
Другую справочную информацию, размещённую на сайте – ssopromat.ru, можешь найти, перейдя по указанной ссылке.
Как вычислить площадь сечения
При решении задач по геометрии приходится вычислять площади и объемы фигур. Если сделать в любой фигуре сечение, обладая информацией о параметрах самой фигуры, можно найти и площадь этого сечения. Для этого необходимо знать специальные формулы и обладать пространственным мышлением.
Вам понадобится
- Линейка, карандаш, ластик.
Инструкция
Шар является частным случаем простейшей объемной фигуры. Через него можно провести бесконечное количество сечений, и любое из них окажется кругом. Это произойдет независимо от того, насколько близко сечение расположено к центру шара. Вычислить площадь получившегося сечения проще всего в том случае, если оно проведено точно через центр шара, радиус которого известен. В таком случае площадь сечения равна:S=πR^2.
Другой фигурой, площадь сечения которой требуется найти в задачах по геометрии, является параллелепипед. Он имеет ребра и грани. Гранью называется одна из плоскостей параллелепипеда (куба), а ребром – сторона. Параллелепипед, у которого ребра и грани равны, называется кубом. Все сечения куба – квадраты. Зная это свойство, вычислите площадь сечения-квадрата:S=a^2, где a – ребро куба и сторона сечения.
Если в условиях задачи приведен обычный параллелепипед, у которого все грани являются разными, сечение может быть как квадратом, так и прямоугольником с различными сторонами. Сечение, проведенное параллельно двум квадратным граням, является квадратом, а сечение, проведенное параллельно двум прямоугольным – прямоугольником. Если сечение проходит через диагонали параллелепипеда, оно также является прямоугольником.
умножения диагонали нижнего основания на высоту параллелепипеда:S=d*h, где d – диагональ основания, h – высота основания.
Конус – одна из тех фигур вращения, сечения которой могут иметь различную форму. Если рассечь конус параллельно нижнему основанию, сечением будет круг, а если провести сечение параллельно пополам через вершину конуса, получится треугольник. В других случаях сечениями будут трапециевидные фигуры.Если сечением является круг, вычисляйте его площадь по следующей формуле:S=πR^2.Площадь сечения, представляющего собой треугольник, равно произведению половины основания на высоту:S=1/2f*h , где f – основание треугольника, h – высота треугольника.
Источники:
- как найти площадь получившейся фигуры
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Ответов на вопрос о том, что такое квадрат, может быть множество. Все зависит от того, кому вы этот вопрос адресовали. Музыкант скажет, что квадрат – это 4, 8, 16, 32 такта или джазовая импровизация. Ребенок – что это игра с мячом или детский журнал. Печатник отправит вас изучать кегли шрифта, а техник – разновидности металлопрокатного профиля.
Много и других значений у этого слова, но сегодня мы зададим вопрос математику. Итак…
Разбираться с этой фигурой мы будем постепенно, от простого к сложному, и начнем с истории квадрата. Как он появился, как его воспринимали люди, ученые разных стран и цивилизаций?
История изучения квадрата
Древний мир воспринимает квадрат, главным образом, как четыре стороны света. Вообще, несмотря на множество четырехугольников, именно у квадрата главное число – четыре. Для ассирийцев и перуанцев квадрат – весь мир, то есть он представляет четыре основных направления, стороны света.
Даже Вселенную представляли как квадрат, еще и разделенный на четыре части – это видение жителей Северной Америки. Для кельтов вселенная – это целых три квадрата, вложенных друг в друга, а из центра вытекают четыре (!) реки. А египтяне вообще обожествляли эту фигуру!
Впервые описали квадрат посредством математических формул греки. Но для них этот многоугольник обладал только отрицательными характеристиками. Пифагор вообще не любил четные числа, видя в них слабость и женственность.
Даже в религиях присутствует квадрат. В Исламе Кааба – пуп Земли – имеет не какую-нибудь сферическую, а именно кубическую форму.
В Индии главной графемой, изображающей Землю, или символом земли, был перекрещенный квадрат. И снова речь идет о четырех сторонах света, четырех областях земли.
В Китае квадрат – это мир, гармония и порядок. Хаос побеждается построением квадратной Вары. А квадрат, вписанный в круг, является основой видения мира, символизируя единство и связь Космоса и Земли.
Языческая Русь – Квадрат Сварога. Этот символ еще называют Звездой Сварога, или Звездой Руси. Он довольно сложный, так как составлен из пересекающихся и замкнутых линий. Сварог – бог-Кузнец, самый главный творец, создатель и само небо в представлении русичей. В этом символе есть ромб, что опять говорит о Земле и четырех ее направлениях. И звезда с четырьмя лучами – 4 стороны света, 4 лика Сварога – его всеведение. А пересечение лучей – очаг.
Интересное о квадрате
Самое популярное словосочетание, которое приходит в голову о нашем главном герое – “Черный Квадрат”.
Картина Малевича до сих пор очень популярна. Сам автор после ее создания долго мучился вопросом о том, что же это такое, и почему простой черный квадрат на белом фоне так притягивает внимание к себе.
Но если вы приглядитесь внимательно, то заметите, что плоскость квадрата не гладкая, а в трещинах черной краски есть множество разноцветных оттенков. Видимо, вначале была некая композиция, которая автору не понравилась, и он закрыл ее от наших глаз этой фигурой. Черный квадрат, как ничто – черная дыра, только магической квадратной формы. А пустота, как известно, притягивает…
Еще очень популярны “магические квадраты”. По сути это – таблица, естественно, квадратная, заполненная числами в каждой графе. Сумма этих чисел одинакова во всех строках, столбцах и диагоналях (по отдельности). Если диагонали исключаются из равенства, то квадрат – полумагический.
Альбрехт Дюрер в 1514 году создал картину “Меланхолия I”, на которой изобразил магический квадрат 4х4. В нем сумма чисел всех столбцов, строк, диагоналей и даже внутренних квадратов равна тридцати четырем.
На базе этих таблиц появились очень интересные и популярные головоломки – “Судоку”.
Египтяне первыми стали проводить линии взаимосвязи чисел (дата рождения) и качеств характера, способностей и талантов человека. Пифагор взял эти знания, несколько переработал и поместил в квадрат. Получился Квадрат Пифагора.
Это уже отдельное направление в нумерологии. Из даты рождения человека путем сложений высчитывают четыре основных числа, которые помещают в психоматрицу (квадрат). Так и раскладывают все тайные сведения о вашей энергии, здоровье, таланте, удаче, темпераменте и прочем по полочкам. В среднем, по опросам достоверность составляет 60%-80%.
Что такое квадрат?
Квадратом называют геометрическую фигуру. Форма квадрата – четырехугольник, который имеет равные стороны и углы. Еще точнее, этот четырехугольник называют правильным.
У квадрата есть свои признаки. Это:
- стороны, равные по длине;
- равные между собой углы – прямые (по 90 градусов).
В силу этих признаков и особенностей в квадрат можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Описанная окружность будет касаться всех его вершин, вписанная – середины всех его сторон. Их центр будет совпадать с центром квадрата и разделит все его диагонали пополам. Последние, в свою очередь, равны между собой и делят углы квадрата на равные части.
Одна диагональ разделяет квадрат на два равнобедренных треугольника, обе – на четыре.
Таким образом, если длина стороны квадрата – t, длина радиуса описанной окружности – R, а вписанной – r, то
- площадь основания квадрата, или площадь квадрата (S) будет равна S=t2=2R2=4r2;
- периметр квадрата P следует вычислять по формуле P=4t=4√2R=8r;
- длину радиуса описанной окружности R=(√2/2)t;
- вписанной – r=t/2.
Площадь основания квадрата еще можно вычислить, зная его сторону (a) или длину его диагонали (c), тогда формулы будут выглядеть соответственно: S=a2 и S=1/2c2.
Что такое квадрат, мы с вами выяснили. Давайте подробнее рассмотрим детали, ведь фигура квадрат самый симметричный четырехугольник. У него пять осей симметрии, причем одна (четвертого порядка) проходит через центр и является перпендикуляром к плоскости самого квадрата, а четыре другие – оси симметрии второго порядка, две из них параллельны сторонам, а еще две проходят через диагонали квадрата.
Способы построения квадрата
Исходя из определений, кажется, что нет ничего проще, чем построить правильный квадрат. Это так, но при условии, что у вас есть все измерительные инструменты. А если чего-то нет в наличии?
Давайте рассмотрим существующие способы, которые помогут нам построить эту фигуру.
Измерительная линейка и угольник – это основные инструменты, при помощи которых наиболее просто можно построить квадрат.
Сначала отметьте точку, допустим А, от нее мы построим основание квадрата.
С помощью линейки отложите от нее вправо расстояние, равное длине стороны, допустим 30 мм, и поставьте точку Б.
Теперь от обеих точек, воспользовавшись угольником, проведите вверх перпендикуляры по 30 мм каждый. На концах перпендикуляров ставим точки В и Г, которые соединяем между собой, пользуясь линейкой – все, квадрат АБВГ со стороной 30 мм готов!
С помощью линейки и транспортира тоже довольно легко построить квадрат. Начните, как и в предыдущем случае с точки, допустим Н, от нее отложите горизонтальный отрезок, например 50 мм. Поставьте точку О.
Теперь центр транспортира соедините с точкой Н, поставьте отметку у величины угла 900, через нее и точку Н постройте вертикальный отрезок 50 мм, на его конце поставьте точку П. Далее подобным образом постройте третий отрезок от точки О через угол 900, равный 50 мм, пусть он заканчивается точкой Р. Соедините точки П и Р. У вас получился квадрат НОРП с длиной стороны 50 мм.
Можно построить квадрат, пользуясь только циркулем и линейкой. Если вам важен размер квадрата и известна длина стороны, то понадобится еще и калькулятор.
Итак, ставьте первую точку Е – это будет она из вершин квадрата. Далее укажите место, где будет находится противоположная вершина Ж, то есть постойте диагональ ЕЖ вашей фигуры. Если вы строите квадрат по размерам, то имея длину стороны, высчитайте длину диагонали по формуле:
d=√2*a, где a – длина стороны.
После того как вы узнаете длину диагонали, постройте отрезок ЕЖ этой величины. Из точки Е с помощью циркуля в направлении точки Ж проведите полукруг радиусом ЕЖ. И наоборот, из точки Ж – полукруг в сторону точки Е, радиусом ЖЕ. Через точки пересечения этих полукругов, пользуясь линейкой, постройте отрезок ЗИ. ЕЖ и ЗИ пересекаются под прямым углом и являются диагоналями будущего квадрата. Соединив точки ЕИ, ИЖ, ЖЗ и ЗЕ с помощью линейки, вы получите вписанный квадрат ЕИЖЗ.
Еще есть возможность построить квадрат с помощью одной линейки. Что такое квадрат? Это участок плоскости, ограниченный пересекающимися отрезками (линиями, лучами). Следовательно, мы можем построить квадрат по координатам его вершин. Сначала начертите оси координат. Стороны квадрата могут лежать на них, или центр пересечения диагоналей будет совпадать с точкой начала координат – это зависит от вашего желания или условий задачи. Возможно, ваша фигура будет отстоять от осей на некотором расстоянии. В любом случае, сначала отмечаете по числовым значениям (произвольно или условно) две точки, тогда вам будет известна длина стороны квадрата. Теперь можно вычислить координаты оставшихся двух вершин, помня, что стороны квадрата равны и между собой попарно параллельны. Последний шаг – соединить все точки последовательно между собой с помощью линейки.
Какие бывают квадраты?
Квадрат – фигура четко определенная и жестко ограниченная своими определениями, поэтому виды квадратов не отличаются многообразием.
В Неевклидовой геометрии квадрат воспринимается более широко – это четырехугольник с равными сторонами и углами, но градус углов не задан. Это значит, что углы могут быть и по 120 градусов (“выпуклый” квадрат) и, например, по 72 градуса (“вогнутый” квадрат).
Если вы спросите, что такое квадрат, у геометра или информатика, вам ответят, что – это полный или планарный граф (графы с К1 по К4). И это абсолютно справедливо. У графа есть вершины и ребра. Когда они встают в упорядоченную пару, образуется граф. Число вершин – это порядок графа, число ребер – его размер. Таким образом, квадрат – это планарный граф с четырьмя вершинами и шестью ребрами, или К4:6.
Сторона квадрата
Одно из главных условий существования квадрата – наличие равных по длине сторон – делает сторону очень важной для различных вычислений. Но в то же время дает много способов, чтобы длина стороны квадрата была вычислена при наличии самых разных исходных данных.
Итак, как найти значение стороны квадрата?
- Если вам известна только длина диагонали квадрата d, то вычислить сторону можно по следующей формуле: a=d/√2.
- Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата и, следовательно, двум радиусам, то есть: a=D=2R.
- Радиус описанной окружности тоже может помочь вычислить, чему равна сторона квадрата. Мы можем по радиусу R узнать диаметр D, который, в свою очередь, равен диагонали квадрата d, а формулу для стороны квадрата через диагональ мы уже знаем: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
- Из равенства сторон следует, что узнать сторону квадрата (a) можно при помощи его периметра P или площади S: a=√S=P/4.
- Если мы знаем длину линии, которая выходит из угла квадрата и пересекает середину его смежной стороны C, то нам также удастся узнать, какова же длина стороны квадрата: a=2C/√5.
Вот сколько способов существует, чтобы выяснить такой важный параметр, как длина стороны квадрата.
Объем квадрата
Сама фраза является абсурдом. Что такое квадрат? Это плоская фигура, имеющая всего два параметра – длину и ширину. А объем? Это количественная характеристика пространства, которое занимает объект, то есть ее можно вычислить только у объемных тел.
Объемное тело, всеми гранями которого являются квадраты, – куб. Несмотря на колоссальное и принципиальное различие, школьники довольно часто пытаются вычислить объем квадрата. Если это кому-то удастся, Нобелевская премия обеспечена.
А чтобы узнать объем куба V, достаточно перемножить все три его ребра – a, b, c: V=a*b*c. А так как они по определению равны, то формула может выглядеть иначе: V=a3.
Величины, части и характеристики
У квадрата, как и у любого многоугольника, есть вершины – это точки, в которых пересекаются его стороны. Вершины квадрата лежат на описанной вокруг него окружности. Через вершину в центр квадрата проходит диагональ, которая также является биссектрисой и радиусом описанной окружности.
Так как квадрат – это плоская фигура, то рассечь и построить сечение квадрата невозможно. Зато он может быть результатом пересечения многих объемных тел плоскостью. Например, цилиндра. Осевое сечение у цилиндра – прямоугольник или квадрат. Даже при пересечении тела плоскостью под произвольным углом может получиться квадрат!
Но у квадрата есть еще одно отношение к сечению, да не к какому-нибудь, а к Золотому сечению.
Все мы знаем, что Золотое сечение – это пропорция, в которой одна величина относится к другой так же, как их сумма к большей величине. В обобщенном процентном выражении это выглядит следующим образом: исходная величина (сумма) делится на 62 и 38 процентов.
Золотое сечение очень популярно. Оно используется в дизайне, архитектуре, да где угодно, даже в экономике. Но это далеко не единственная пропорция, выведенная Пифагором. Есть, например, еще выражение “√2”. На его основе проводится построение динамических прямоугольников, которые, в свою очередь, являются основоположниками форматов группы А (А6, А5, А4 и т.п.). Почему речь зашла о динамических прямоугольниках? Потому что их построение начинается с квадрата.
Да, для начала вам нужно построить квадрат. Его сторона будет равна меньшей стороне будущего прямоугольника. Затем необходимо провести диагональ этого квадрата и, воспользовавшись циркулем, длину этой диагонали отложить на продолжении стороны квадрата. Из полученной на пересечении точки выстраиваем прямоугольник, у которого снова строим диагональ и откладываем ее длину на продолжении стороны. Если продолжить работу по этой схеме, получатся те самые динамические прямоугольники.
Отношение длинной стороны первого прямоугольника к короткой будет 0,7. Это почти 0,68 в Золотом сечении.
Углы квадрата
Собственно, что-то свежее сказать об углах уже сложно. Все свойства, они же признаки квадрата, мы перечислили. Что касается углов, их четыре (как и во всяком четырехугольнике), каждый угол в квадрате – прямой, то есть имеет размер девяносто градусов. По определению, существует лишь прямоугольный квадрат. Если углы большего или меньшего размера – это уже другая фигура.
Диагонали квадрата делят его углы пополам, то есть являются биссектрисами.
Уравнение квадрата
При необходимости вычислить значение различных величин у квадрата (площади, периметра, длин сторон или диагоналей) используют различные уравнения, которые выводятся из свойств квадрата, основных законов и правил геометрии.
1. Уравнение площади квадрата
Из уравнений для вычисления площади четырехугольников мы знаем, что она (площадь) равна произведению длины и ширины. А так как стороны квадрата одинаковые по длине, то площадь его будет равна длине любой стороны, возведенной во вторую степень
S=a2.
Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить площадь квадрата, зная длину его диагонали.
S=d2/2.
2. Уравнение периметра квадрата
Периметр квадрата, как и всех четырехугольников, равен сумме длин его сторон, а так как они все одинаковые, то можно сказать, что периметр квадрата равен длине стороны, умноженной на четыре
P=a+a+a+a=4a.
Снова теорема Пифагора поможет нам найти периметр через диагональ. Нужно значение длины диагонали умножить на два корня из двух
P=2√2d
3. Уравнение диагонали квадрата
Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.
Найти их можно, исходя из вышеприведенных уравнений площади и периметра квадрата
d=√2*a, d=√2S, d=P/2√2
Есть еще способы узнать, какова же длина диагонали квадрата. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его диагонали, отсюда
d=√2D=2√2R, где D – диаметр, а R – радиус вписанной окружности.
Зная радиус описанной окружности, рассчитать диагональ еще проще, ведь она является диаметром, то есть d=D=2R.
Также есть возможность вычислить длину диагонали, зная длину линии, выходящей из угла к центру стороны квадрата C: d=√8/5*C.
Но не стоит забывать, что квадрат – это участок плоскости, ограниченный четырьмя пересекающимися линиями.
Для линий (и образованных ими фигур) существует достаточно уравнений, не нуждающихся в дополнительном описании, но линия бесконечна. А многоугольники ограничены пересечением линий. Для них можно использовать линейные уравнения, объединенные в систему, задающие прямые линии. Но необходимо указывать дополнительные параметры, условия.
Для определения многоугольников же необходимо составить такое уравнение, которое бы описывало не линию, а отдельный произвольный отрезок без вмешательства дополнительных условий и описаний.
[ x/xi ]*[ xi/x]*yi – вот это специальное уравнение для многоугольников.
Квадратные скобки в нем указывают на условие исключения дробной части числа, то есть мы должны оставить только целое число. yi – функция, которая выполнятся в диапазоне параметра от x до xi.
Используя это уравнение, можно вывести новые уравнения для вычисления отрезков и линий, состоящих из нескольких отрезков. Оно является базовым, универсальным для многоугольников.
Помним, что квадрат – это часть плоскости, поэтому его описание типа y=f(x) можно представить, чаще всего, только как многозначную функцию, которую, в свою очередь, можно выразить через однозначные, если представлять их параметрически, то есть зависящими от какого-либо параметра t:
x=f(t), y=f(t).
Так вот, если использовать в совокупности универсальное уравнение и параметрическое представление, то действительно можно вывести уравнение для выражения многоугольников:
x=((A2+A3)*A5+A4*P)*Cos(L)
y=((A1+A4)*A5+A3*P)*Sin(L),
где
A1=[1/[T/P]]*[T/P]; A2=[2/[T/P]]*[[T/P]/2]; A3=[3/[T/P]]*[[T/P]/3]; A4=[4/[T/P]]*[[T/P]/4]; A5=T-P*[T/P],
где P – диагональ прямоугольника, L – угол наклона к горизонтали диагонали P, T – параметр изменяющийся в диапазоне от P до 5P.
Если L=3,14/4, то уравнение будет описывать квадраты разной величины, в зависимости от размера диагонали P.
Применение квадрата
В современном мире технологии позволяют придавать различным материалам квадратную форму, точнее квадратное сечение.
Это во многом выгоднее, дешевле, долговечнее и безопаснее. Так, сейчас делают квадратные трубы, сваи, проволоку (провода) и даже квадратные нити.
Основные преимущества очевидны, они выходят из элементарной геометрии. При одинаковом размере площадь вписанного круга меньше площади квадрата, в который он вписан, следовательно, пропускная способность квадратной трубы или энергоемкость квадратного провода будут выше, чем у круглых аналогов.
Зачастую расходные материалы квадратного сечения более эстетичны и удобны в использовании, монтаже, креплении.
При выборе этих материалов важно правильно рассчитать сечение квадрата, чтобы провод или труба выдержали необходимую нагрузку. В каждом отдельном случае, конечно, будут необходимы такие параметры, как сила тока или давление, но и без основных геометрических правил квадрата тут не обойтись. Хотя размеры квадратных сечений уже не столько вычисляют, сколько выбирают по заданным параметрам из таблиц, установленных ГОСТами для разных отраслей.
{S = a ^2}
На этой странице вы найдете удобный калькулятор для расчета площади квадрата и формулы, которые помогут найти площадь квадрата через его сторону, диагональ, периметр, а также радиусы вписанной и описанной окружности.
Квадрат – четырёхугольник, у которого все углы прямые (90 градусов) и все стороны равны между собой. Из-за своих свойств квадрат часто называют правильным четырехугольником.
Содержание:
- калькулятор площади квадрата
- формула площади квадрата через сторону
- формула площади квадрата через диагональ
- формула площади квадрата через радиус вписанной окружности
- формула площади квадрата через радиус описанной окружности
- формула площади квадрата через периметр
- примеры задач
Формула площади квадрата через сторону
S = a ^2
a – сторона квадрата
Формула площади квадрата через диагональ
S=dfrac{d^2}{2}
d – диагональ квадрата
Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности
S = 4r^2
r – радиус вписанной окружности
Формула площади квадрата через радиус описанной окружности
S = 2R^2
R – радиус описанной окружности
Формула площади квадрата через периметр
S = dfrac{P^2}{16}
P – периметр квадрата
Примеры задач на нахождение площади квадрата
Задача 1
Найдите площадь квадрата если его диагональ равна 1.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой.
S = dfrac{d^2}{2} = dfrac{1^2}{2} = dfrac{1}{2} = 0.5 : см^2
Ответ: 0.5 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 2
Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.
Решение
Для решения этой задачи используем формулу площади квадрата через радиус описанной окружности.
S = 2R^2 = 2 cdot 83^2 = 2 cdot 6889 = 13778 : см^2
Ответ: 13778 см²
Проверим ответ с помощью калькулятора .
Задача 3
Найдите площадь квадрата если его сторона равна 8 см.
Решение
Используем первую формулу.
S = a ^2 = 8 ^2 = 64 : см^2
Ответ: 64 см²
Проверим результат на калькуляторе .
Задача 4
Найдите площадь квадрата периметр которого равен 456 см.
Решение
Используем формулу для площади квадрата через периметр.
S = dfrac{P^2}{16} = dfrac{456^2}{16} = dfrac{456 cdot cancel{456}^{ : 57}}{cancel{16}^{ : 2}} = dfrac{57 cdot cancel{456}^{ : 228}}{cancel{2}^{ : 1}} = 57 cdot 228 = 12996 : см^2
Ответ: 12996 см²
Проверка .
Задача 5
Найдите площадь квадрата со стороной 15 см.
Решение
Воспользуемся формулой площади квадрата через сторону.
S = a ^2 = 15 ^2 = 225 : см^2
Ответ: 225 см²
Проверка .
Поперечным сечением называется фигура, образованная пересечением продолговатого тела с воображаемой плоскостью, расположенных перпендикулярно друг другу, т.е. когда тело рассекается строго поперек его длины.
Площадь и размеры (длина и ширина) поперечного сечения равны соответствующим размерам этой фигуры.
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.
Математика ЕГЭ
Информатика ЕГЭ
Алексей Шевчук
- ведущий курсов и автор учебника ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — 18 лет;
- в 2021 году сдал ЕГЭ — 100 баллов (мат, физ) и 98 баллов (инф);
- рейтинг на Профи.ру — «4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Площадь поперечного сечения
В общем случае, площадь поперечного сечения имеющая сложную или составную форму определяется как сумма (иногда с вычитанием) составляющих ее простых фигур, таких как прямоугольник, треугольник и круг.
Формулы для расчета площади основных фигур.
Пример: Рассчитать площадь поперечного сечения сложной формы с квадратным отверстием и закруглением. Для расчета общей площади, сложное сечение раскладывается на простые фигуры:
Прямоугольник — 1, треугольник — 2, полукруг — 3 и прямоугольник — 4, площади которых определяются просто. В итоге площадь всего поперечного сечения будет получена сложением первых трех фигур с вычитанием фигуры номер 4:
A=A1+A2+A3-A4
Площадь поперечного сечения обозначается латинскими буквами S или A, и измеряется в квадратных единицах длины, например: м2, см2 или мм2.
Площадь составного сечения
Составными называют сечения, которые состоят из двух, трех и более отдельных фигур, не являющихся одним целым. Это может быть, например сечение балки, состоящее например из швеллера и двух уголков.
Эти сечения сами по себе тоже являются сложными. Площади поперечного сечения для таких стандартных профилей можно найти в специальном справочнике — сортаменте.
В результате сложив все составляющие профили, получим площадь всего сечения.
Таким образом, расчет площади составного сечения производится аналогично предыдущему порядку, только без вычитаний.
Особенности электрических проводов
При всём многообразии кабельной продукции и огромном выборе проводов для прокладки электрических сетей существуют правила подбора. Не обязательно учить наизусть все марки кабелей и проводов, нужно уметь читать и расшифровывать их маркировку. Для начала стоит выяснить различие между проводом и кабелем.
Провод – проводник, используемый для соединения двух участков цепи. Может иметь одну или несколько токопроводящих жил. Жилы могут быть:
- голые;
- изолированные;
- одножильные;
- многожильные.
Голые линии применяются там, где прикосновение к токоведущим жилам невозможно. В большинстве случаев они используются для воздушных линий электропередач.
Изоляционное покрытие применяется однослойное или двухслойное. Провода, имеющие два или три проводника в двойной изоляции, путают с кабелем. Путаница происходит из-за того, что изоляция покрывает каждую жилу, а снаружи выполнено общее полимерное или иное покрытие. Такие проводники нашли применение внутри электрических устройств, щитов или шкафов. В быту они скрыты в стене или проложены в специальных каналах.
Изолированная продукция используется повсеместно. В зависимости от степени электробезопасности помещения и места прокладки, выбирается класс изоляции.
Многожильные проводники используются там, где необходимы изгибы малого радиуса при прокладке сложных трасс, где не могут пройти одножильные аналоги. Такой тип тоководов удобно монтировать в кабельных каналах. Одножильные провода в таких условиях изгибать труднее, нужно прикладывать силу, и существует опасность повреждения жилы.
К сведению. Маркировка АППВ 3*2,5 обозначает провод с алюминиевыми жилами, поливинилхлоридной изоляцией, плоский, имеющий разделительное основание. Расшифровку маркировки уточняют в справочной литературе.
По строению кабель – это сколько-то жил, имеющих индивидуальную изоляцию, помещённых в защитный внешний слой из диэлектрического материала. Пространство между сердечниками и оболочкой, для предотвращения слипания, заполняется бумажными лентами, пластмассовыми нитями или кабельной пряжей. Дополнительно изделие может быть усилено бронёй из лент или стальной оплёткой для защиты от механических повреждений.
По диагонали и углу между диагоналями
Диагонали прямоугольника всегда равны.
Действия:
- Найти квадрат диагонали (умножить диагональ на саму себя).
- Найти половину этого квадрата – умножить его на 0,5.
- Найти синус угла между диагоналями.
- Умножить половину квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.
- Квадрат диагонали: 10*10 = 100 см.
- Половина этого квадрата: 0,5*100 = 50 см.
- Синус угла между диагоналями: sin 30 градусов = 0,5.
- Перемножаю половину квадрата и синус угла, чтобы найти площадь: 50*0,5 = 25 см.
Ответ: 25 см.
Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).
Приступаем к расчёту
Так как задача – найти истинную площадь, то из полученного значения необходимо вычесть величину толщины стенки. Следовательно, формула приобретает вид:
- S = π (D/2 – N) 2 ;
- В этой записи D – внешний диаметр окружности;
- N – толщина стенки трубы.
Чтобы вычисления были максимально точными, следует вписать больше знаков после запятой в числе π (пи).
D = 1 м.; N = 0,01 м.
Для упрощения возьмём π = 3,14. Подставляем значения в формулу:
S = π (D/2 – N) 2 = 3,14 (1/2 – 0,01) 2 = 0,754 м 2 .
Информация о прямоугольнике
Прямоугольник — четырехугольная геометрическая фигура, противолежащие стороны которой равны и углы являются прямыми. Частным случаем данной фигуры считается квадрат. У него все углы прямые, а также все стороны равны между собой. Для выполнения расчетов нужно знать основные соотношения, свойства и признаки.
Важным аспектом является идентификация фигуры и применение к ней формул и соотношений. В двухмерной геометрии, которую еще называют эвклидовой, можно встретить необычный признак, позволяющий определить принадлежность четырехугольника к прямоугольнику. Его формулировка следующая: достаточно хотя бы трех углов, равных 90 градусам, чтобы четырехугольник считался прямоугольником.
Утверждение легко доказывается. Это связано с тем, что по теореме о сумме внутренних углов произвольного четырехугольника, составляющей 360 градусов, четвертый угол тоже равен 90. Нужно выполнить следующие расчеты для определения градусной меры четвертого угла: D = 360 — (90 + 90 + 90) = 90. Необходимо отметить, что смежные с ними углы равны 90.
Свойства и признаки
Очень часто новички путают свойства и признаки фигуры. Однако это совсем различные понятия. Признаками фигуры называются характерные особенности, которые позволяют отнести ее к тому или иному классу. Свойства — совокупность аксиом, позволяющих использовать некоторые данные при решении или доказательстве теорем и тождеств. Прямоугольник обладает следующими признаками:
- Условие параллельности и равенства противоположных сторон.
- Наличие четырех прямых углов.
- Равенство диагоналей.
- Квадрат диагонали равен суммарному значению квадратов двух сторон, которые не противоположны.
- Все стороны не равны между собой.
Очень важно уметь различать геометрические фигуры. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то их часто путают. Основное его отличие — это равенство всех углов 90 градусов. У параллелограмма и ромба углы будут равняться 90 в том случае, когда они являются квадратами. Последний отличается от искомой фигуры (прямоугольника) равенством всех сторон. Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то обладает такими же свойствами:
- Углы равны между собой 90 градусов.
- Противолежащие параллельные стороны равны.
- Сумма всех внутренних углов составляет 360.
- Диагональ, проведенная внутри прямоугольника, делит его на два равнозначных треугольника, которые являются равновеликими. Они равны по третьему признаку равенства треугольников (размерности сторон одной фигуры равны значениям сторон другой фигуры).
- Треугольники, полученные при проведении двух диагоналей, равны по всем признакам (углам и сторонам).
- Диагонали пересекаются между собой в точке, которая делит их на четыре равные части.
- Точка пересечения диагоналей — центр симметрии.
- Сумма квадратов двух диагоналей соответствует суммарному значению квадратов всех сторон фигуры.
Однако свойств и признаков фигуры недостаточно для решения задач. Следует знать основные соотношения и формулы.
Периметр и размерность
Нужно ввести некоторые обозначения. Пусть стороны прямоугольника АВСД обозначаются литерами a и b. Поскольку диагонали равны, то можно только обозначить размерность одной буквой «d». Периметром называется сумма всех сторон заданной фигуры. Он обозначается литерой P. Для его нахождения применяется формула такого вида: P = 2 * (a + b). Однако бывает случай, когда известна только одна его сторона и диагональ. Формула приобретает следующий вид: P = 2a + [2 * (2d 2 — 2a 2 )]^(1/2) и P = 2b + [2 * (2d 2 — 2b 2 )]^(1/2).
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, следует воспользоваться таким соотношением: S = a * b. Эта базовая формула, которая используется также в строительной сфере и физике. Однако существует еще один способ, с помощью которого можно узнать площадь прямоугольника. Она находится с помощью формулы Герона для треугольников с площадями S1 и S2, а затем результат умножается на 2. Эта особенность основывается на свойстве фигуры, поскольку диагональ делит его на два равных треугольника.
Соотношение имеет следующий вид: S = S1 + S2 = 2S1= 2 * ^(1/2). Переменная «p» — полупериметр треугольника. Он находится таким методом: p = P / 2 = (a + b + d) / 2.
По радиусу описанной окружности и стороне
Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.
Другой способ:
- Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
- Умножить квадрат радиуса на 4.
- Найти квадрат известной стороны.
- Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
- Найти квадратный корень разности.
- Умножить корень на известную сторону.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.
- Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
- Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
- Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
- Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
- Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
- Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.
Ответ: 48 см.
Помните
Радиус = половине диаметра.
Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.
Как найти площадь равнобедренного треугольника
- Умножьте основание на высоту треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.
По стороне и диаметру описанной окружности
Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.
Действия:
- Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
- Найдите квадрат известной стороны.
- Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
- Найдите квадратный корень разности.
- Умножьте квадратный корень на известную сторону.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.
- Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
- Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
- Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
- Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
- Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.
Ответ: 48 см.
Лайфхак
Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:
А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.
Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
По диагонали и стороне
Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:
- Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
- Найти квадрат известной стороны.
- Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
- Найти квадратный корень получившейся разности.
- Умножить его на известную сторону.
Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.
- Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
- Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
- Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
- Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
- Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.
Ответ: 144 см.
Обратите внимание
Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.
По стороне и периметру – 2 способ
Действия такие:
- Умножьте периметр на сторону.
- Найдите квадрат стороны.
- Умножьте квадрат стороны на 2.
- Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье).
- Поделите на 2.
Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.
- Умножаю периметр на сторону: 8*28 = 224 см.
- Нахожу квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
- Умножаю квадрат стороны на два: 64*2 = 84 см.
- Отнимаю из первого третье: 224-84 = 140 см.
- Делю разность на два: 140/2 = 70 см.
Ответ: 70 см.
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм2);
- квадратный сантиметр (см2);
- квадратный дециметр (дм2);
- квадратный метр (м2);
- квадратный километр (км2);
- гектар (га).
Как и чем измерить диаметр провода (проволоки)
Для измерения диаметра провода подойдет штангенциркуль или микрометр любого типа (механический или электронный). С электронными работать проще, но они есть не у всех. Измерять надо саму жилу без изоляции, потому предварительно ее отодвиньте или снимите небольшой кусок. Это можно делать, если продавец разрешит. Если нет — купите небольшой кусок для тестирования и проводите измерения на нем. На очищенном от изоляции проводнике замеряете диаметр, после чего можно определить реальное сечение провода по найденным размерам.
Какой измерительный прибор в данном случае лучше? Если говорить о механических моделях, то микрометр. У него точность измерений выше. Если говорить об электронных вариантов, то для наших целей они оба дают вполне достоверные результаты.
Если нет ни штангенциркуля, ни микрометра, захватите с собой отвертку и линейку. Придется зачищать довольно приличный кусок проводника, так что без покупки тестового образца на этот раз вряд ли обойдетесь. Итак, снимаете изоляцию с куска провода 5-10 см. Наматываете проволоку на цилиндрическую часть отвертки. Витки укладываете вплотную один к другому, без зазора. Все витки должны быть полными, то есть «хвосты» провода должны торчать в одном направлении — вверх или вниз, например.
Количество витков не важно — около 10. Можно больше или меньше, просто на 10 делить проще. Витки считаете, затем прикладываете полученную намотку к линейке, совместив начало первого витка с нулевой отметкой (как на фото). Измеряете длину участка, занятого проводом, потом его делите на количество витков. Получаете диаметр провода. Вот так все просто.
Например, посчитаем каков размер проволоки, изображенной на фото выше. Количество витков в данном случае — 11, занимают они 7,5 мм. Делим 7,5 на 11, получаем 0,68 мм. Это и будет диаметр данного провода. Далее можно искать сечение этого проводника.
Формулы вычислений
При проведении вычислений нужно учитывать, что по существу трубы имеют форму цилиндра. Поэтому для нахождения площади их сечения можно воспользоваться геометрической формулой площади окружности. Зная внешний диаметр трубы и значение толщины его стенок, можно найти показатель внутреннего диаметра, который понадобится для вычислений.
Стандартная формула площади окружности такова:
S=π×R 2 , где
π – постоянное число, равное 3,14;
R – величина радиуса;
S – площадь сечения трубы, вычисленная для внутреннего диаметра.
