Как найти площадь сечения параллелепипеда плоскости

Площадь сечения параллелепипеда

Параллелепипед – это геометрическое тело, представляющее собой многогранник, у которого шесть граней и каждая из них прямоугольник. Основными математическими характеристиками параллелепипеда являются длины его ребер.

Сечение параллелепипеда – это изображение фигуры, образованной рассечением параллелепипеда плоскостью в поперечном или продольном направлении.

Формула для расчета площади бокового сечения параллелепипеда:

a – длина или ширина параллелепипеда;
b – высота параллелепипеда.

Формула для расчета площади диагонального сечения параллелепипеда:

b – высота параллелепипеда;
c – диагональ параллелепипеда.

Смотрите также статью о всех геометрических фигурах (линейных 1D, плоских 2D и объемных 3D).

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета площади бокового или диагонального сечения параллелепипеда, если известны длина, диагональ и высота параллелепипеда. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать площадь сечения параллелепипеда (площадь бокового сечения параллелепипеда, площадь диагонального сечения параллелепипеда и площадь сечения параллелепипеда плоскостью).

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
2. Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
3. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

• Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
  Sб = Ро*h
  Ро — периметр основания
  h — высота
• Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
  Sп = Sб+2Sо
  Sо — площадь основания
• Объем прямого параллелепипеда
  V = Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

1. Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

• Объем прямоугольного параллелепипеда
  V = a · b · h
  a — длина, b — ширина, h — высота
• Площадь боковой поверхности
  Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
  Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
• Площадь поверхности
  Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

1. В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
2. Противолежащие грани параллельны друг другу.
3. Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
4. У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
5. Диагонали куба равны.
6. Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
7. Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

• Объем куба через длину ребра a
  V = a3
• Площадь поверхности куба
  S = 6a2
• Периметр куба
  P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a – длина, b – ширина, c – высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) – сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) – суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) – сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) – сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X – сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
BD₁ 2 = DD₁ 2 + BD 2
BD 2 = BD₁ 2 – DD₁ 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 – AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A₁B₁ = AB = 1.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁ 2 = 52 + 25 = 77
BD₁ = √77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

• прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
• параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
• основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
• три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
• диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$ – высота(она же боковое ребро);

$P_<осн>$ – периметр основания;

$S_<осн>$ – площадь основания;

$S_<бок>$ – площадь боковой поверхности;

$S_<п.п>$ – площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_<бок>=P_<осн>·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

$а$ – длина стороны.

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

• $S=/<2>$, где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $а$.
• $S=/<2>$, где $a,b$ – соседние стороны, $α$ – угол между этими соседними сторонами.
• Формула Герона $S=√$, где $р$ – это полупериметр $p=/<2>$.
• $S=p·r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.
• $S=/<4R>$, где $R$ – радиус описанной окружности.
• Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника.
• Для равностороннего треугольника $S=/<4>$, где $а$ – длина стороны.

В основании лежит четырехугольник.

1. Прямоугольник.
   $S=a·b$, где $а$ и $b$ – смежные стороны.
2. Ромб.
   $S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба.
   $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ – длина стороны ромба, а $α$ – угол между соседними сторонами.
3. Трапеция.
   $S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота трапеции.
4. Квадрат.
   $S=a^2$, где $а$ – сторона квадрата.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.

Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.

Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник

Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.

Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/pryamougolnyj-parallelepiped

http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/pryamiugolnyi_parallelepiped

[/spoiler]

Сегодня разберём несложную стереометрическую задачу №4335. На сайте ФИПИ её уровень обозначен, как «повышенный», однако, её решение доступно даже слабым ученикам, помнящим геометрию из средних классов.

Как всегда, напомню, поскольку Дзен плохо поддерживает формулы – я использую скриншоты из редактора.

В дальнейшем для подписчиков планируется возможность получения решений в “вордовском” .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.

Пока – кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл. Дальше – что-нибудь придумаем.

Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.

Задание

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 7, AD = 3, AA1 = 4. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1:

Рассуждаем.

В условии дан чертёж, из которого видно, что сечение является параллелограммом. Поэтому данный факт доказывать не надо. Но, надо вспомнить следующее правило:

Свойство параллелепипеда: Диагонали параллелепипеда равны.

Поскольку две диагонали параллелепипеда совпадают с диагоналями параллелограмма сечения, отсюда следует, что они равны, а значит, параллелограмм сечения является прямоугольником.

Одна из сторон этого прямоугольника известна, она совпадает с заданной стороной параллелепипеда. Вторую можно найти с помощью теоремы Пифагора. Зная обе стороны – находим площадь.

План решения

• Из теоремы Пифагора найдём длину боковых сторон прямоугольного сечения.
• Зная обе длины сторон прямоугольного сечения, найдём его площадь.

Решение

Замечание

Если бы в условии не было бы чертежа, то дополнительно надо было бы ещё доказать, что сечение проходит через точку D1. Для этого надо вспомнить свойство точки, лежащей на прямой, которая принадлежит плоскости:

Точка лежит в плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в плоскости.

Диагонали параллелепипеда совпадают с диагоналями сечения. Все их точки, включая середину диагоналей, лежат в плоскости сечения. Значит и вторая диагональ, в которую входит и точка D1, также принадлежит плоскости сечения.

Каталог заданий

Назад в каталог
Вернуться к списку прототипов этой категории
Версия для печати и копирования в MS Word

Сечение параллелепипеда: как рассчитать его площадь

Масса задач составлена на основе свойств многогранников. Грани объёмных фигур, как и конкретные точки на них, лежат в разных плоскостях. Если одну из таких плоскостей под определённым углом провести сквозь параллелепипед, то часть плоскости, лежащая в пределах многогранника и разделяющая его на части, будет его сечением.

Вам понадобится

• – линейка
• – карандаш

Инструкция

Постройте параллелепипед. Помните, что его основание и каждая из граней должны представлять собой параллелограмм. Это означает, что вам надо построить многогранник так, чтобы все противоположные рёбра параллельны. Если в условии сказано построить сечение прямоугольного параллелепипеда, то его грани сделайте прямоугольными. У прямой параллелепипед прямоугольные только 4 боковые грани. Если боковые грани параллелепипеда не перпендикулярны основанию, то такой многогранник называют наклонным. Если вы хотите построить сечение куба, изначально начертите прямоугольный параллелепипед с равными размерами. Тогда все шесть его граней будут представлять собой квадраты. Назовите все вершины для удобства обозначения.

Обозначьте две точки, которые будут принадлежать плоскости сечения. Иногда их положение указано в задаче: расстояние от ближайшей вершины, конец отрезка, проведённого по определенным условиям. Теперь проведите прямую через точки, лежащие в одной плоскости.

Найдите прямые на пересечении секущей плоскости с гранями параллелепипеда. Для выполнения этого шага найдите точки, в которых прямая, лежащая в плоскости сечения параллелепипеда, пересекается с прямой линией, принадлежащей грани параллелепипеда. Эти прямые должны находиться в одной плоскости.

Достройте сечение параллелепипеда. При этом помните, что ее плоскость должна пересекать параллельные грани параллелепипеда по параллельным прямым.

Стройте секущую плоскость в соответствии с исходными данными в задаче. Существует несколько возможностей построения плоскости сечения, проходящей:
– перпендикулярно заданной прямой линии через заданную точку;
– перпендикулярно заданной плоскости через заданную прямую;
– параллельно двум скрещивающимся прямым через заданную точку;
– параллельно другой заданной прямой через другую заданную прямую;
– параллельно заданной плоскости через заданную точку.
По таким исходным данным стройте сечение по принципу, описанному выше.

Видео по теме

Обратите внимание

Чтобы построить сечение параллелепипеда, нужно определить точки пересечения плоскости сечения с ребрами параллелепипеда, а затем соединить данные точки отрезками. Учтите, что соединять только те точки, которые лежат в плоскости одной грани. Параллельные грани параллелепипеда пересекайте секущей плоскостью по параллельным отрезкам. Если в плоскости грани только одна точка принадлежит плоскости сечения, постройте дополнительную такую точку. Для этого найдите точки пересечения построенных прямых с теми прямыми, которые лежат в нужных гранях.

Полезный совет

Параллелепипед имеет 6 граней. В его сечениях могут получиться треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и фигуры с шестью углами. Плоскость, в том числе и секущая, определяется:
– тремя точками;
– прямой линией и одной точкой;
– двумя линиями, параллельными друг другу;
– двумя прямыми, пересекающимися между собой.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Площадь диагонального сечения параллелепипеда

У прямоугольного параллелепипеда диагональное сечение представляет собой прямоугольник.

Значит, для нахождения его площади нужно воспользоваться формулой площади прямоугольника:

S = a * b.

Сторона a совпадает с диагональю основания параллелепипеда.

Длину диагонали основания можно найти по теореме Пифагора, поскольку данная диагональ разбивает прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника и является в каждом из них гипотенузой.

BD² = AB² + AD². => BD = √(AB² + AD²).

Сторона b равна высоте параллелепипеда (боковому ребру).

Высоту параллелепипеда можно, например, найти по его объёму и площади основания.

У прямоугольного параллелепипеда основание – это прямоугольник, поэтому площадь основания равна произведению его длины и ширины (на рисунке это AB и AD).

BB1 = V / (AB * AD).

Далее рассмотрим несколько примеров.

**

Пример 1

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 4 см, а высота равна 5 см.

Нужно найти площадь диагонального сечения.

S (сеч) = √(12² + 4²) * 5 = √140 * 5 = 2√35 * 5 = 10√35 см.

**

Пример 2

Стороны основания и высота прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3, а его объём равен 48 см².

Нужно найти площадь диагонального сечения.

1) Сначала найдём, чему равны стороны основания и высота.

V = abc = 48.

Пусть a = x, b = 2x, c = 3x.

x * 2x * 3x = 48.

6x³ = 48.

x³ = 8.

x = 2.

Таким образом, стороны основания равны 2 и 4 см соответственно, а высота равна 6 см.

2) Теперь всё решается так же, как и в 1 примере.

S (сеч) = √(2² + 4²) * 6 = √20 * 6 = 2√5 * 6 = 12√5 см.