Как найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы

Пошаговое построение сечения шестиугольной призмы

В этой статье приведено несколько примеров пошагового построения сечения правильной шестиугольной призмы методом следов. Иногда к методу следов был взят в помощь аксиоматический метод. Я старалась избегать пользоваться методом внутреннего проецирования намеренно, чтобы показать построение именно методом следов.

Задача 1.

Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Шаг 1. Проведем прямую , принадлежащую плоскости сечения. Благодаря тому, что точки и лежат в основании призмы, прямая также принадлежит плоскости основания, а значит, будет пересекаться с другими прямыми, также лежащими в этой плоскости. Тогда можно провести прямую , и определить точку пересечения и – . Точка принадлежит плоскости грани , поскольку прямая принадлежит ей.

Шаг 2. Точки и можно соединить прямой. Прямая пересечет ребро в точке . Проводим прямую в плоскости основания и находим ее пересечение с прямой – точку .

Шаг 3. Через точки и проводим прямую. Она принадлежит плоскости грани , поэтому обязательно пересечется с прямой этой плоскости – в точке . Точка лежит “под” призмой, ниже ее основания. Точка , благодаря принадлежности прямой , также принадлежит и плоскости грани , а в этой плоскости у нас имеется точка – точка .

Шаг 4. Следовательно, можно соединить точки и прямой. Эта прямая пересечет ребро в точке .

Шаг 5. Точка принадлежит прямой , а следовательно, лежит в плоскости грани , таким образом, ее можно соединить с точкой этой же плоскости прямой . Эта прямая пересечет ребро в точке . Для дальнейшего построения нам нужны точки в плоскости верхней грани призмы. Добудем их. Продлим прямую до пересечения с прямой . Отметим точку .

Шаг 6. Проведем прямую , принадлежащую грани , и найдем точку ее пересечения с прямой – точку . Тогда точки и принадлежат плоскости верхней грани (за счет принадлежности прямым этой плоскости) и их можно соединять прямой.

Шаг 7. Находим точки пересечения прямой с ребрами и – точки и .

Шаг 8. Соединяем все полученные точки отрезками.

Окончательный вид сечения:

Задача 2.

Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Шаг 1. Проведем прямую . Она принадлежит секущей плоскости. Также проведем проекцию этой прямой на плоскость нижнего основания призмы – прямую . Точка их пересечения одновременно принадлежит секущей плоскости и плоскости нижнего основания призмы. Обозначим ее .

Шаг 2. Аналогично поступим с точками и : проводим прямую и ее проекцию в плоскости нижнего основания. Их пересечение – точка секущей плоскости , одновременно лежащая в нижнем основании.

Шаг 3. Имея две точки в плоскости нижнего основания, проведем через них прямую , точки которой принадлежат секущей плоскости.

Проведем прямую . Она лежит в плоскости основания, но одновременно – в плоскости боковой грани, поэтому ее точки принадлежат этой боковой грани. Точка пересечения прямых и , таким образом, принадлежит плоскости боковой грани призмы и плоскости сечения.

Шаг 4. Проводим прямую в плоскости боковой грани и отыскиваем точку пересечения ею ребра – точку .

Осталось немного: найти точку плоскости сечения на ребре , и пару точек в плоскости основания.

Шаг 5. Проведем прямые и в плоскости основания. Они пересекут прямую секущей плоскости в точках и .

Шаг 6. Точки и принадлежат плоскости грани , проведем через них прямую. Найдем точку, где эта прямая пересечет ребро – точку . Точки и лежат в плоскости грани . Проводим через них прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром – .

Шаг 7. Соединяем точки отрезками.

Окончательный вид построенного сечения:

Задача 3.

Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Шаг 1. Проводим прямую секущей плоскости, а также ее проекцию в плоскости основания . Прямая принадлежит плоскости основания и пересечет прямую в точке . Заметим, что точка не является точкой секущей плоскости.

Шаг 2. Из точки проводим перпендикуляр к плоскости основания (к прямой ), его пересечение с прямой – точка – принадлежит секущей плоскости, а также плоскости грани .

Шаг 3. Соединим точки и . Прямая пересечет ребро призмы в точке .

Шаг 4. Заполучив точку , можем провести отрезок . Вот тут-то нам и понадобится аксиоматический метод. Так как грань    параллельна грани , то плоскость рассечет ее по прямой, которая будет параллельна . Вот и проведем через такую параллельную прямой прямую. Она пересечет ребро в точке .

Шаг 5. Проведем также через точку прямую, параллельную прямой . Это можно сделать, так как грань параллельна грани . Прямая эта пересечет ребро в точке .

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Окончательный вид:

Задача 4.

Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Шаг 1. Через точки и проводим прямую секущей плоскости. Также проведем проекции этой прямой на верхнее и нижнее основание – на верхнее, и – на нижнее. Точки пересечения прямой с проекциями – это точки прокола данной прямой оснований призмы. Верхнее основание прямая прошьет в точке , а нижнее – в точке . Таким образом, мы заполучили точки секущей плоскости в плоскостях верхнего и нижнего оснований.

Шаг 2. Точки и принадлежат одной плоскости, проводим через них прямую. Эта прямая даст нам две точки: точку , в которой она пересечет ребро , и точку , в которой она пересечет ребро .

Шаг 3. Приобретя точку в грани , проведем прямую . Она пересечет ребро в точке .

Шаг 4.  Проведем через точку в плоскости основания призмы прямую, параллельную прямой (или можно провести через точки и ). Эта прямая пересечет ребро в точке .

Шаг 5.  Соединяем точки  отрезками.

Окончательный вид:

Как найти площадь сечения призмы

Призма — это многогранник, основанием которого служат равные многоугольники, боковыми гранями — параллелограммы. Для того чтобы найти площадь сечения призмы, необходимо знать, какое сечение рассматривается в задании. Различают перпендикулярное и диагональное сечение.

Инструкция

Способ расчета площади сечения также зависит от данных, которые уже имеются в задаче. Кроме этого, решение определяется тем, что лежит в основании призмы. Если необходимо найти диагональное сечение призмы, найдите длину диагонали, которая равна корню из суммы (основания сторон в квадрате). Например, если основания сторон прямоугольника равны 3 см и 4 см, соответственно, длина диагонали равна корню из (4х4+3х3)= 5 см. Площадь диагонального сечения найдите по формуле: диагональ основания умножить на высоту.

Если в основании призмы находится треугольник, для вычисления площади сечения призмы используйте формулу: 1/2 часть основания треугольника умножить на высоту.

В случае, если в основании находится круг, площадь сечения призмы найдите умножением числа «пи» на радиус заданной фигуры в квадрате.

Различают следующие виды призм — правильные и прямые. Если необходимо найти сечение правильной призмы, вам нужно знать длину только одной из сторон многоугольника, ведь в основании лежит квадрат, у которого все стороны равны. Найдите диагональ квадрата, которая равна произведению его стороны на корень из двух. После этого перемножив диагональ и высоту, вы получите площадь сечения правильной призмы.

Призма имеет свои свойства. Так, площадь боковой поверхности произвольной призмы вычисляется по формуле, где — периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра. При этом перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым ребрам призмы, а его углы — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых ребрах. Перпендикулярное сечение перпендикулярно и ко всем боковым граням.

Источники:

• диагональное сечение призмы

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

было в ЕГЭ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 93    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 93    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

S_полн. = S_бок. + 2S_осн.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

S_бок. = P_осн. ⋅ h

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a². А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a².

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см². Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади: