Как найти площадь сечения призмы под углом

Призма — это многогранник, основанием которого служат равные многоугольники, боковыми гранями — параллелограммы. Для того дабы обнаружить площадь сечения призмы, нужно знать, какое сечение рассматривается в задании. Различают перпендикулярное и диагональное сечение.

1. Метод расчета площади сечения также зависит от данных, которые теснее имеются в задаче. Помимо этого, решение определяется тем, что лежит в основании призмы. Если нужно обнаружить диагональное сечение призмы, обнаружьте длину диагонали, которая равна корню из суммы (основания сторон в квадрате). Скажем, если основания сторон прямоугольника равны 3 см и 4 см, соответственно, длина диагонали равна корню из (4х4+3х3)= 5 см. Площадь диагонального сечения обнаружьте по формуле: диагональ основания умножить на высоту.

2. Если в основании призмы находится треугольник, для вычисления площади сечения призмы используйте формулу: 1/2 часть основания треугольника умножить на высоту.

3. В случае, если в основании находится круг, площадь сечения призмы обнаружьте умножением числа «пи» на радиус заданной фигуры в квадрате.

4. Различают следующие виды призм — положительные и прямые. Если нужно обнаружить сечение положительной призмы, вам надобно знать длину только одной из сторон многоугольника, чай в основании лежит квадрат, у которого все стороны равны. Обнаружьте диагональ квадрата, которая равна произведению его стороны на корень из 2-х. Позже этого перемножив диагональ и высоту, вы получите площадь сечения верной призмы.

5. Призма имеет свои свойства. Так, площадь боковой поверхности произвольной призмы вычисляется по формуле, где — периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра. При этом перпендикулярное сечение перпендикулярно ко каждым боковым ребрам призмы, а его углы — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых ребрах. Перпендикулярное сечение перпендикулярно и ко каждому боковым граням.

Осевым именуется сечение, которое проходит через ось геометрического тела, образованного при вращении некой геометрической фигуры. Цилиндр получается в итоге вращения прямоугольника вокруг одной из сторон, и этим обусловлены многие его свойства. Образующие этого геометрического тела параллельны и равны между собой, что дюже главно для определения параметров его осевого сечения, в том числе диагонали.

Вам понадобится

1. Постройте цилиндр согласно заданным условиям. Для того дабы его начертить, вам нужно знать радиус основания и высоту. Впрочем в задаче на определение диагонали могут быть указаны и другие данные — скажем, угол между диагональю и образующей либо диаметром основания. В этом случае при создании чертежа используйте тот размер, тот, что вам задан. Остальные возьмите произвольно и укажите, что именно вам дано. Обозначьте точки пересечения оси и оснований как О и О’.

2. Начертите осевое сечение. Оно представляет собой прямоугольник, два стороны которого являются диаметрами оснований, а две другие — образующими. От того что и образующие перпендикулярны основаниям, они являются единовременно и высотами данного геометрического тела. Обозначьте получившийся прямоугольник как АВСD. Проведите диагонали АС и ВD. Припомните свойства диагоналей прямоугольника. Они равны между собой и делятся в точке пересечения напополам.

3. Разглядите треугольник АDC. Он прямоугольный, от того что образующая CD перпендикулярна основанию. Один катет представляет собой диаметр основания, 2-й — образующую. Диагональ является гипотенузой. Припомните, как вычисляется длина гипотенузы всякого прямоугольного треугольника. Она равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. То есть в данном случае d=?4r2+h2, где d – диагональ, r – радиус основания, а h – высота цилиндра.

4. Если в задаче высота цилиндра не дана, но указан угол диагонали осевого сечения с основанием либо образующей, используйте теорему синусов либо косинусов. Припомните, что обозначают данные тригонометрические функции. Это отношения противолежащего либо прилежащего заданному угол катета к гипотенузе, которую вам и необходимо обнаружить. Возможен, вам заданы высота и угол CAD между диагональю и диаметром основания. В этом случае используйте теорему синусов, от того что угол CAD находится наоборот образующей. Обнаружьте гипотенузу d по формуле d=h/sinCAD. Если же вам задан радиус и данный же угол, используйте теорему косинусов. В этом случае d=2r/cos CAD.

5. По тому же тезису действуйте и в тех случаях, когда заданы угол ACD между диагональю и образующей. В этом случае теорема синусов применяется, когда дан радиус, а косинусов — если вестима высота.

Видео по теме

Золотое сечение — пропорция, которую издавна считали особенно идеальной и слаженной. Она заложена в основу конструкций множества древних сооружений, от статуй до храмов, и дюже зачастую встречается в природе. Совместно с тем эта пропорция выражается изумительно изысканными математическими конструкциями.

1. Золотая пропорция определяется дальнейшим образом: это такое разбиение отрезка на две части, что меньшая часть относится к большей так же, как огромная часть — ко каждому отрезку.

2. Если длину каждого отрезка принять за 1, а длину большей части — за x, то желанная пропорция выразится уравнением:(1 – x)/x = x/1.Умножая обе части пропорции на x и перенося слагаемые, получаем квадратное уравнение:x^2 + x – 1 = 0.

3. Уравнение имеет два действительных корня, из которых нас, безусловно, волнует только позитивный. Он равен (?5 – 1)/2, что приблизительно равняется 0,618. Это число и выражает золотое сечение. В математике его почаще каждого обозначают буквой ?.

4. Число ? владеет рядом восхитительных математических свойств. Скажем, даже из начального уравнения видно, что 1/? = ? + 1. Подлинно, 1/(0,618) = 1,618.

5. Иной метод вычислить золотую пропорцию состоит в применении безграничной дроби. Начиная с всякого произвольного x, дозволено ступенчато возвести дробь:x1/(x + 1)1/(1/(x+1) + 1)1/(1/(1/(x+1) + 1) +1)и так дальше.

6. Для упрощения вычислений эту дробь дозволено представить в виде итеративной процедуры, в которой для вычисления дальнейшего шага необходимо прибавить единицу к итогу предыдущего шага и поделить единицу на получившееся число. Иными словами:x0 = xx(n + 1) = 1/(xn + 1).Данный процесс сходится, и его предел равен ? + 1.

7. Если заменить вычисление обратной величины извлечением квадратного корня, то есть провести итеративный цикл:x0 = xx(n + 1) = ?(xn + 1),то итог останется постоянным: самостоятельно от первоначально выбранного x итерации сходятся к значению ? + 1.

8. Геометрически золотое сечение дозволено возвести при помощи положительного пятиугольника. Если провести в нем две пересекающиеся диагонали, то всякая из них поделит иную сурово в золотом соотношении. Это слежение, согласно преданию, принадлежит Пифагору, тот, что был так ошеломлен обнаруженной обоснованностью, что счел положительную пятиконечную звезду (пентаграмму) священным священным символом.

9. Поводы, по которым именно золотое сечение кажется человеку особенно слаженным, незнакомы. Впрочем эксперименты многократно подтверждали, что испытуемые, которым было возложено особенно прекрасно поделить отрезок на две неравные части, делают это в пропорциях, крайне близких к золотому соотношению.

Вопрос относится к аналитической геометрии. Он решается с привлечением уравнений пространственных прямых и плоскостей, представления куба и его геометрических свойств, а также с применением векторной алгебры. Могут потребоваться методы рения систем линейных уравнений.

1. Выберите данные задачи так, дабы они были исчерпывающими, но не избыточными. Секущую плоскость ? следует задать всеобщим уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, что наилучшим образом согласуется с произвольным его выбором. Для задания куба абсолютно хватит координат всяких 3 его вершин. Возьмите, скажем, точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), в соответствии с рисунком 1. На этом рисунке проиллюстрировано сечение куба. Оно пересекает два боковых ребра и три ребра оснований.

2. Определитесь с планом последующей работы. Предстоит искать координаты точек Q, L, N, W, R пересечения сечения с соответствующими ребрами куба. Для этого придется находить уравнения прямых, содержащих эти ребра, и искать точки пересечения ребер с плоскостью ?. Позже этого последует разбиение пятиугольника QLNWR на треугольники (см. рис. 2) и вычисление пощади всякого из них с поддержкой свойств векторного произведения. Методология всякий раз одна и та же. Следственно дозволено ограничиться точками Q и L и площадью треугольника ?QLN.

3. Направляющий вектор h прямой, содержащий ребро М1М5 (и точку Q), обнаружьте как векторное произведение M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1} и M2M3={x3-x2, y3-y2, z3-z2}, h={m1, n1, p1}=[M1M2? M2M3]. Полученный вектор является направляющим и для всех прочих боковых ребер. Длину ребра куба обнаружьте как, скажем, ?=?( (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2). Если модуль вектора h |h|??, то замените его соответствующим коллинеарным вектором s={m, n, p}=(h/|h|)?. Сейчас запишите уравнение прямой, содержащей М1М5 параметрически (см. рис. 3). Позже подстановки соответствующих выражений в уравнение секущей плоскости получите А(x1+mt)+B(y1+nt)+C(z1+pt)+D=0. Определите t, подставьте в уравнения для М1М5 и запишите координаты точки Q(qx, qy, qz) (рис. 3).

4. Видимо, что точка М5 имеет координаты М5(x1+m, y1+n, z1+p). Направляющий вектор для прямой, содержащей ребро М5М8 совпадает с М2М3={x3-x2, y3-y2,z3-z2}. После этого повторите предыдущие рассуждения касательно точки L(lx, ly, lz) (см. рис. 4). Все последующее, для N(nx, ny, nz) – точная копия это шага.

5. Запишите векторы QL={lx-qx, ly-qy, lz-qz} и QN={nx-qx, ny-qy, nz-qz}. Геометрический толк их векторного произведения состоит в том, что его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах. Следственно площадь ?QLN S1=(1/2)|[QL? QN]|. Следуйте предложенной методике и вычислите площади треугольников ?QNW и ?QWR – S1 и S2. Векторное произведение комфортнее каждого находить с поддержкой вектора-определителя (см. рис. 5). Запишите окончательный результат S=S1+S2+S3.

Призма — это многогранник с двумя параллельными основаниями и боковыми гранями в форме параллелограмма и в числе, равном числу сторон многоугольника основания.

1. В произвольной призме боковые ребра расположены под углом к плоскости основания. Частным случаем является прямая призма. В ней боковые стороны лежат в плоскостях, перпендикулярных основаниям. В прямой призме боковые грани — прямоугольники, а боковые ребра равны высоте призмы.

2. Диагональное сечение призмы — часть плоскости, всецело заключенная во внутреннем пространстве многогранника. Диагональное сечение может быть ограничено двумя боковыми ребрами геометрического тела и диагоналями оснований. Видимо, что число допустимых диагональных сечений при этом определяется числом диагоналей в многоугольнике основания.

3. Либо границами диагонального сечения могут служить диагонали боковых граней и противоположные стороны оснований призмы. Диагональное сечение прямоугольной призмы имеет форму прямоугольника. В всеобщем случае произвольной призмы форма диагонального сечения – параллелограмм.

4. В прямоугольной призме площадь диагонального сечения S определяется по формулам:S=d*Hгде d — диагональ основания, H — высота призмы.Либо S=a*Dгде а — сторона основания, принадлежащая единовременно плоскости сечения, D — диагональ боковой грани.

5. В произвольной непрямой призме диагональное сечение — параллелограмм, одна сторона которого равна боковому ребру призмы, иная – диагонали основания. Либо сторонами диагонального сечения могут быть диагонали боковых граней и стороны оснований между вершинами призмы, откуда проведены диагонали боковых поверхностей. Площадь параллелограмма S определяется формулой: S=d*hгде d — диагональ основания призмы, h — высота параллелограмма — диагонального сечения призмы.Либо S=a*hгде а — сторона основания призмы, являющаяся и рубежом диагонального сечения, h — высота параллелограмма.

6. Для определения высоты диагонального сечения неудовлетворительно знать линейные размеры призмы. Нужны данные о наклоне призмы к плоскости основания. Последующая задача сводится к ступенчатому решению нескольких треугольников в зависимости от начальных данных об углах между элементами призмы.