Как найти площадь сечения шара егэ

Напомним,
что шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства,
находящихся на расстоянии не большем заданного от некоторой данной точки. Эта
точка – центр шара, а заданное расстояние – радиус шара.

Шар
так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается в
результате вращения полукруга вокруг его диаметра.

Поверхность,
образуемая при этом вращении полуокружности, называется сферой. Можно
сказать, что сфера – это как бы оболочка, или граница, шара. Как окружность
есть граница круга, так и сфера – это граница шара.

Назовём
элементы сферы и шара.

Радиус
сферы – это отрезок, соединяющий центр сферы и любую её точку.

Хорда
сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметр
сферы – хорда сферы, проходящая через её центр.

Радиус,
хорда, диаметр шара – это радиус, хорда, диаметр его сферы.

Любое
сечение шара плоскостью есть круг. Центром этого круга является основание
перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Плоскость,
которая проходит через центр шара, называется диаметральной плоскостью.
Сечение ею шара – большим кругом, а сечение сферы – большой
окружностью.

Любая
диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр
шара является его центром симметрии.

Плоскость,
проходящая через точку А сферы и перпендикулярно радиусу, проведённому в
эту точку, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой
касания.

Свойство
касательной плоскости к сфере: радиус сферы,
проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Признак
касательной плоскости к сфере: плоскость,
перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является
касательной к сфере.

Касательная
плоскость пересекается с шаром в единственной точке – в точке касания.

Касательной
прямой к сфере (шару) называется прямая, имеющая со сферой
единственную общую точку.

Отрезки
касательных к сфере, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы
с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Линией
пересечения двух сфер является окружность.

Площадь
сферы радиуса : .

Объём
шара
радиуса : .

Шаровым
сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Площадь боковой поверхности шарового сегмента:

 .

Объём
шарового сегмента:

,

где
 –
радиус шара,  –
высота шарового сегмента.

Шаровым
сектором называется тело, которое получается из шарового
сегмента и конуса, основанием которого является сечение плоскостью данного шара.

Площадь
боковой поверхности шарового сектора:

 .

Объём
шарового сектора:

,

где
 –
радиус шара,  –
высота сегмента.

Шар
называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным около
шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.

Шар
называется описанным около многогранника, а многогранник – вписанным
в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.

Шар
называется вписанным в цилиндр, а цилиндр – описанным около шара,
если поверхность шара касается оснований цилиндра и всех образующих.

Шар
называется описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра
принадлежат поверхности шара.

Шар
называется вписанным в конус (усечённый конус), а конус
(усечённый конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается
основания (оснований) конуса и всех образующих.

Шар
называется описанным около конуса (усечённого конуса), если окружность
основания и вершина (окружности оснований) конуса принадлежат поверхности шара.

Если
боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то в такую
пирамиду можно вписать шар.

Около
пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около её основания можно
описать окружность.

Если
боковые рёбра пирамиды равны между собой (или одинаково наклонены к плоскости
основания), то около такой пирамиды можно описать шар.

В
призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное
сечение этой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру
окружности, вписанной в это перпендикулярное сечение.

Описать
шар около призмы можно тогда и только тогда, когда призма прямая и около её основания
можно описать окружность.

Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.

Задача
первая. Радиус шара увеличили в  раза.
Во сколько раз увеличился объём шара?

Решение.

Задача
вторая. Объём шара равен  см³.
Найдите диаметр шара.

Решение.

Задача
третья. Шар пересечен плоскостью. Площадь сечения равна  см².
Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно  см.
Найдите площадь поверхности шара.

Решение.

Задача
четвёртая. В конус с радиусом основания, равным  см,
и высотой, равной  см,
вписан шар. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади
поверхности шара.

Решение.

Задача
пятая. Найдите объём шарового сектора, если радиус
окружности его основания равен  см,
а радиус шара –  см.

Решение.

Задача
шестая. Шар с радиусом  см
пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии  см
от центра шара. Найдите площадь сечения.

Решение.

Спрятать решение

Спрятать критерии

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

(blacktriangleright) Сфера – это множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки (O) (называемой центром сферы).

(blacktriangleright) Шар – это сфера вместе со своей внутренностью.

Основные формулы (где (R) – радиус сферы или шара):

(blacktriangleright) площадь сферы ({large{S=4pi R^2}})

(blacktriangleright) объем шара ({large{V=dfrac{4}{3}pi R^3}})

Задание
1

#1878

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем шара равен (displaystyle frac{36}{sqrtpi}). Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на (displaystyle frac{6}{sqrtpi})?

(displaystyle V_{text{шара}} = frac{4}{3}pi R^3 = frac{36}{sqrtpi}) (Rightarrow) (displaystyle R = frac{3}{sqrtpi}). Радиус нового шара равен: (displaystyle R_{text{нов.}} = R + frac{6}{sqrtpi} = frac{9}{sqrtpi}). Тогда найдем площадь поверхности: (displaystyle {S_{text{пов.}} = 4pi R_{text{нов.}}^2 = 4pi left(frac{9}{sqrtpi}right)^2 = 4pifrac{81}{pi} = 324}.)

Ответ: 324

Задание
2

#1877

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз объем шара больше объема сегмента, высота которого равна половине радиуса?

Необходимо объем шара разделить на объем соответствующего сегмента, высота которого равна (H = frac{1}{2}R)

[frac{V_{text{шара}}}{V_{text{сегм.}}} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{pi left(frac{1}{2}Rright)^2left(R — frac{1}{3}left(frac{1}{2}Rright)right)} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{frac{5}{24}pi R^3} = frac{4}{3} cdot frac{24}{5} = frac{32}{5} = 6,4.]

Ответ: 6,4

Задание
3

#2674

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Имеются две сферы (S_1) и (S_2), про которые известно, что радиус первой сферы в (2) раза больше, чем радиус второй сферы. Кроме того, сфера (S_2) целиком находится внутри сферы (S_1). Пусть объём шара, ограниченного второй сферой, равен (V_2), а объём тела, заключённого между сферами, равен (V). Найдите (V : V_2).

Пусть (V_1) – объём шара, ограниченного первой сферой. Так как радиус (S_1) в два раза больше, чем радиус (S_2), то (V_1 : V_2 = .

[V = V_1 — V_2 = 8V_2 — V_2 = 7V_2,,] следовательно, (V : V_2 = 7).

Ответ: 7

Задание
4

#2306

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь поверхности шара равна (frac{37}{pi}). На расстоянии (frac1{2pi}) от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то

[4pi R^2=dfrac{37}{pi} quad Rightarrow quad R^2=dfrac{37}{4pi^2}]

По условию задачи (OQ=frac1{2pi}). Рассмотрим (triangle OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{37}{4pi^2}-dfrac1{4pi^2}=dfrac{9}{pi^2}
quad Rightarrow quad r=dfrac3{pi}]

Таким образом, длина окружности сечения равна [C=2pi
r=2picdotfrac3{pi}=6.]

Ответ: 6

Задание
5

#2307

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь поверхности шара равна (64). На расстоянии (frac3{2sqrt{pi}}) от центра шара проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то

[4pi R^2=64 quad Rightarrow quad R^2=dfrac{64}{4pi}]

По условию задачи (OQ=frac3{2sqrt{pi}}). Рассмотрим (triangle
OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{64}{4pi}-dfrac9{4pi}=dfrac{55}{4pi}]

Таким образом, площадь сечения равна

[S=picdot r^2=picdot dfrac{55}{4pi}=dfrac{55}4=13,75.]

Ответ: 13,75

Задание
6

#951

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Центр большего основания усечённого конуса совпадает с центром сферы, а окружность его меньшего основания лежит на сфере. Отрезки (BC) и (AD) – диаметры меньшего и большего оснований этого усечённого конуса соответственно, (BCparallel AD), [S_{ABCD} = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},qquadqquad dfrac{r}{R} = dfrac{1}{sqrt{15}},] где (R) и (r) – радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, (angle ADC = 45^circ). Найдите объём шара, ограниченного данной сферой.

Рассмотрим (ABCD): т.к. (BCparallel AD), то (ABCD) – трапеция. Так как (AB) и (CD) – образующие усечённого конуса, то (AB = CD) и трапеция (ABCD) – равнобедренная.

Построим (CHperp AD). Так как (angle ADC = 45^circ), то (triangle CHD) – равнобедренный и (CH = HD).
[HD = dfrac{AD — BC}{2} = R — r,qquadqquad S_{ABCD} = dfrac{BC + AD}{2}cdot CH = (R + r)(R — r) = R^2 — r^2 = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},] но (r = dfrac{R}{sqrt{15}}), тогда [R^2left(1-dfrac{1}{15}right) = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}}qquadRightarrowqquad R = dfrac{15}{sqrt[3]{pi}}qquadRightarrowqquad V_{text{шара}} = dfrac{4}{3}pi R^3 = dfrac{4}{3}cdotpicdotdfrac{15^3}{pi} = 4500.]

Ответ: 4500

Задание
7

#3114

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан шар, диаметр которого равен (9). Плоскость (alpha) пересекает диаметр (SZ) шара под углом (90^circ) и делит его точкой пересечения в отношении (1:2), считая от вершины (S). Найдите объем пирамиды с вершиной в точке (S), в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью (alpha).

Пусть (O) – центр шара, (Q) – точка пересечения (SZ) и плоскости (alpha). Пусть (SABCD) – пирамида, объем которой нужно найти.
Рассмотрим сечение шара плоскостью (ASC).

Так как (SQ:QZ=1:2), то (SQ:SZ=1:3), следовательно, (SQ:SO=2:3), следовательно, (OQ:SO=1:3). Тогда [AQ=sqrt{AO^2-OQ^2}=sqrt{AO^2-left(dfrac13AOright)^2}=dfrac{2sqrt2}3AO
=dfrac{2sqrt2}3cdot dfrac92=3sqrt2] Следовательно, (AC=6sqrt2). Следовательно, (AB=AC:sqrt2=6).
Также [SQ=dfrac23SO=dfrac23cdot dfrac92=3] Заметим, что (SQ) – высота пирамиды, так как (SQperp alpha). Следовательно, [V=dfrac13cdot SQcdot AB^2=36.]

Ответ: 36

Задачи по стереометрии, в которых требуется произвести расчет объема сферы и измерение других неизвестных параметров, встречаются в ЕГЭ каждый год. Это означает, что знать основные формулы и уметь оперативно находить правильный ответ должны выпускники с разным уровнем подготовки. Понимая принцип решения задач ЕГЭ, в которых требуется вычислить объем или, к примеру, площадь сферы, старшеклассники смогут выполнять упражнения с любым количеством действий и при этом получить достаточно высокие баллы по итогам прохождения экзаменационного испытания.

Базовая информация

• Сферой называется поверхность, которая состоит из множества точек пространства. Все они располагаются на одинаковом расстоянии от точки О. Она является центром сферы.
• Геометрическое тело, которое ограничено сферой, называется шаром. Его осевое сечение представляет собой круг. Радиус последнего равен радиусу шара.
• Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в n2 раз, а объем — в n3 раз.

Занимайтесь с образовательным порталом «Школково» для качественной подготовки к экзамену!

Проблема поиска необходимой информации встает перед старшеклассниками достаточно остро. Не всегда школьный учебник оказывается под рукой. А поиск базовых формул для вычисления площади, объема шара и других неизвестных параметров бывает достаточно трудоемким даже в онлайн-режиме.

Наш образовательный проект поможет сэкономить время и эффективно подготовиться к сдаче экзаменационного испытания. Мы предлагаем учащимся и их преподавателям выстроить процесс подготовки к ЕГЭ от простого к сложному. Такой подход позволит старшеклассникам понять, какие темы требуют более детального изучения, и улучшить имеющиеся знания.

Базовая информация, которую стоит повторить еще до выполнения задач на нахождение объема шара, представлена в разделе «Теоретическая справка». Материал, подготовленный опытными преподавателями «Школково», поможет вам восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.

Чтобы задачи ЕГЭ по теме «Шар» или, например, по теме «Цилиндр», не вызывали затруднений, мы предлагаем также потренироваться в выполнении соответствующих упражнений. Множество заданий разной степени сложности вы найдете в разделе «Каталог». Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения. Попрактиковавшись в режиме онлайн и поняв принцип нахождения правильного ответа, школьники смогут без труда вычислить объем сферы.

При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему.

Выполнять онлайн-задания на нахождение площади боковой сферы могут не только школьники из столицы, но и выпускники из других российских городов.

Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике

11
Мар 2016

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачи

2016-03-11
2023-05-05

Автор: egeMax |

Нет комментариев