Как найти площадь сечения тетраэдра плоскостью

я могу помочь с этим заданием

а) Пусть т. О – центр грани АВС. Построим МК || DB, MN || ВС.
 пл .MKN – искомое сечение.
Пусть ребро тетраэдра равно а. Тогда 


Т.к. ΔADB – равносторонний, а КМ || DB, то ΔАМК – также равносторонний, АМ=КМ= 
(углы с соответст­венно параллельными и одинаково на­правленными сторонами):



б) Построим отрезок в пл. ADO. Т.к. пл.то 
Т.к.  и то 
Значит, ΔKMN — искомое сечение, 
ΔAMN – равносторонний, MN = AM =

Из ΔADE по теореме косинусов имеем:
DE² = AD² + АЕ² – 2 ∙ AD ∙ АЕ ∙ cos  φ,

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

2023-03-27   

Дан правильный тетраэдр с ребром $a$. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через центры трёх его граней.

Решение:

Пусть $M$, $K$ и $N$ – центры граней соответственно $ABC$, $BCD$ и $ABD$ правильного тетраэдра $ABCD$, а $P$ и $Q$ – середины рёбер соответственно $AB$ и $BC$.
Поскольку $DN:NP=DK:KQ=2:1$, прямая $NK$ параллельна $PQ$. Значит, прямая $NK$ параллельна плоскости $ABC$. Секущая плоскость проходит через прямую $NK$, параллельную плоскости $ABC$ и имеет с плоскостью $ABC$ общую точку $M$, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой $l$, параллельной $NK$, а значит, и $PQ$ (см. задачу @H8003). Пусть прямая $l$ пересекает рёбра $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно, а $T$ – середина $AC$. Тогда

$BE:AB=BF:BC=BM:BT=2:3.$

Аналогично получим, что секущая плоскость пересекает ребро $BD$ в точке $L$, для которой $BL:BD=2:3$. Значит, сечение тетраэдра плоскостью $MKN$ – треугольник $ELF$, подобный треугольнику $ADC$ с коэффициентом $frac{2}{3}$. Следовательно,

$S_{Delta ELF}=left(frac{2}{3}right)^{2}S_{Delta ADC}=frac{4}{9}cdotfrac{a^{2}sqrt{3}}{4}=frac{a^{2}sqrt{3}}{9}.$