В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь шара (сферы) и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Формула вычисления площади шара/сферы
- 1. Через радиус
- 2. Через диаметр
-
Примеры задач
Формула вычисления площади шара/сферы
1. Через радиус
Площадь (S) поверхности шара/сферы равняется произведению четырех его радиусов в квадрате и число π.
S = 4 π R2
Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.
2. Через диаметр
Как известно, диаметр шара/сферы равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь поверхности фигуры можно, используя такой вид формулы:
S = 4 π (d/2)2
Примеры задач
Задание 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.
Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см)2 = 615,44 см2.
Задание 2
Площадь поверхности сферы равна 200,96 см2. Найдите ее диаметр.
Решение:
Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:
Шаром называют множество точек, удаленных от произвольно выбранной точки (центра шара) на расстояние не превышающее RR — радиус этого шара.
Онлайн-калькулятор площади поверхности шара
У шара, как и у круга, есть диаметр DD, который по длине в два раза превосходит радиус шара.
D=2⋅RD=2cdot R
Площадь поверхности шара можно найти используя как радиус, так и диаметр шара.
Формула площади поверхности шара по радиусу шара
S=4⋅π⋅R2S=4cdotpicdot R^2
RR — радиус шара.
Шар вписан в куб, диагональ которого dd равна 300sqrt{300} (см.). Найти площадь поверхности шара.
Решение
d=300d= sqrt{300}
Первым шагом в решении задачи будет нахождение длины стороны куба. Обозначим ее через aa. Тогда, по теореме Пифагора:
d2=a2+a2+a2d^2=a^2+a^2+a^2
d2=3⋅a2d^2=3cdot a^2
a=d3a=frac{d}{sqrt{3}}
a=3003=100=10a=frac{sqrt{300}}{sqrt{3}}=sqrt{100}=10
Радиус шара, вписаного в куб равен половине стороны этого куба:
R=a2=102=5R=frac{a}{2}=frac{10}{2}=5
Тогда площадь поверхности шара:
S=4⋅π⋅R2=4⋅π⋅52≈314S=4cdotpicdot R^2=4cdotpicdot 5^2approx314 (см. кв.)
Ответ: 314 см. кв.
Формула площади поверхности шара по диаметру шара
Формулу для площади поверхности шара легко получить через его диаметр, пользуясь соотношением между радиусом и диаметром шара:
S=4⋅π⋅R2=4⋅π⋅(D2)2=π⋅D2S=4cdotpicdot R^2=4cdotpicdotBig(frac{D}{2}Big)^2=picdot D^2
S=π⋅D2S=picdot D^2
DD — диаметр шара.
Диаметр шара равен 10 (см.). Найдите площадь его поверхности.
Решение
D=10D=10
По формуле получаем:
S=π⋅D2=π⋅102≈314S=picdot D^2=picdot 10^2approx314 (см. кв.)
Ответ: 314 см. кв.
Студворк – лучший сайт для заказа контрольных работ!
Тест по теме «Площадь поверхности шара»
Статья будет полезна школьникам и будущим абитуриентам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ.
Содержание
- Формула объема шара через радиус: значение
- Формула объема шара через диаметр: значение
- Примеры вычисления объема шара, через радиус и диаметр шара: описание
- Формула полной поверхности шара, сферы через радиус: значение
- Формула полной поверхности шара, сферы через диаметр: значение
- Примеры вычисления площади поверхности, сферы шара, через радиус и диаметр шара: описание
- Как найти объем шара через площадь поверхности шара, сферы: пример решения задачи
- Видео: ЕГЭ математика. Объем и площадь поверхности тел вращения.
Формула объема шара через радиус: значение
Объем шара V вычисляется по формуле (см. ниже), где R — радиус шара, число «пи» — π — математическая константа, ≈ 3,14.
Данная формула является базовой!
Формула объема шара через диаметр: значение
- Воспользуйтесь базовой формулой: V=4/3*π*R³.
- Радиус R — это ½ диаметра D или R=D/2.
- Отсюда: V=4/3*π*R³ → V=(4π/3)*(D/2)³ → V=(4π/3)*(D³/8)→ V= πD³/6.
Или
Примеры вычисления объема шара, через радиус и диаметр шара: описание
Задача 1.
Радиус шара равен 10 см. Найди его объем.
Задача 2.
Диаметр шара равен 10 см. Найди его объем.
Задача 3.
Соотношение диаметра Луны и диаметра Земли 1:4. Во сколько раз объем Земли больше объема Луны?
Решение:
Ответ: в 64 раза.
Важно: существует множество онлайн калькуляторов, позволяющих быстро найти заданную величину. Например, сервис Webmath.
Формула полной поверхности шара, сферы через радиус: значение
Площадь поверхности сферы/шара S вычисляется по формуле (см. ниже), где R — радиус шара, число «пи» — π — математическая константа, ≈ 3,14.
Данная формула является базовой!
Формула полной поверхности шара, сферы через диаметр: значение
- Воспользуйтесь базовой формулой: S = 4*π*R².
- Радиус R — это ½ диаметра D или R=D/2.
- Отсюда: S=4*π*R² → S=4*π*(D/2)² → S=(4π)*(D²/4)→ S = (4πD²)/4 → S = πD².
Или
Примеры вычисления площади поверхности, сферы шара, через радиус и диаметр шара: описание
Задача 4.
Задача 5.
Задача 6.
Как найти объем шара через площадь поверхности шара, сферы: пример решения задачи
Задача 7.
Задача 8.
Видео: ЕГЭ математика. Объем и площадь поверхности тел вращения.
Площадь поверхности шара, или как часто неправильно говорят просто площадь шара, вычисляется по очень простой формуле. Но даже простые вещи можно упростить и именно поэтому мы сделали калькулятор, который в режиме онлайн может рассчитать площадь поверхности шара, а также на странице вы найдете формулу для расчета.
Возможно вам дополнительно потребуется рассчитать и объем шара.
Шар — геометрическое тело, состоящее из точек пространства, которые удалены от центра на расстояние, не более заданного. Это расстояние называют радиусом шара.
Содержание:
- калькулятор площади поверхности шара
- формула площади поверхности шара через радиус
- формула площади поверхности шара через диаметр
- формула площади поверхности шара через длину окружности
- примеры задач
Формула площади поверхности шара через радиус
{S = 4pi R^2}
R – радиус шара
Формула площади поверхности шара через диаметр
{S = pi D^2}
D – диаметр шара
Формула площади поверхности шара через длину окружности
{S = dfrac{L^2}{pi}}
L – длина окружности шара
Примеры задач на нахождение площади поверхности шара
Задача 1
Найдите площадь поверхности шара диаметром 10см.
Решение
Так как в условии дан диаметр шара, мы воспользуемся второй формулой.
S = pi D^2 = pi cdot 10^2 = pi cdot 100 = 100pi : см^2 approx 314.15927 : см^2
Ответ: 100pi : см^2 approx 314.15927 : см^2
калькулятор поможет проверить правильность вычислений.
Задача 2
Найдите площадь поверхности шара, если его радиус равен 5см.
Решение
В этой задаче мы будем использовать первую формулу.
S = 4pi R^2 = 4pi cdot 5^2 = 4pi cdot 25 = 100pi : см^2 approx 314.15927 : см^2
Ответ: 100pi : см^2 approx 314.15927 : см^2
Проверка ответа.
Имея при себе всего одну формулу и зная изначально, чему равен диаметр или радиус, можно с лёгкостью вычислить площадь поверхности шара. Формула будет иметь вид S =4πR2, где число «пи» умножается на 4, затем на радиус шара в квадратной степени. Но перед непосредственными вычислениями следует сразу разобраться в терминах.
Трактовка значений
Это следует знать:
- Шар – геометрический объект, получившийся в результате вращательных полукруговых движений вокруг центра. Любая точка поверхности шара находится на одинаковом расстоянии от центра.
- Сфера – не то же самое, что шар. Если тот является объёмным объектом и включает в себя внутреннее пространство, то сфера – это лишь поверхность данного объекта и имеет только свою площадь. Иными словами – нельзя сказать, что сфера имеет такой-то объём, в отличие от шара.
- Число «пи» – это постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. В сокращённом виде его принято обозначать числом, равным 3,14. Но на самом деле, после тройки идёт больше тысячи цифр!
- Радиус шара равен ½ его диаметру. Точный диаметр можно вычислить с использованием нескольких плоских и ровных предметов. Нужно лишь зажать шар между этими предметами, которые зажимают шар и расположены перпендикулярно друг к другу, а затем измерить получившийся диаметр.
- Квадратная степень обозначается в виде двойки и означает то, что это число надо умножить на само себя один раз. Если бы степень числа была в виде тройки, то умножать на само себя нужно было бы два раза. Записав выражение на бумаге, можно понять, почему используются именно двойка и тройка, а не единица и двойка.
- Объём – величина, обозначающая размер в пространстве, занимающее объектом. От диаметра зависит объём шара. Формула будет равна четырём трети, умноженным на число «пи» и вновь умноженным на его радиус в кубе.
- Площадь – величина, обозначающая размер поверхности объекта, но не внутреннего пространства.
Занимательные факты
Это интересно:
- У числа «пи» есть собственные фан-клубы по всему миру. Члены общества пытаются запомнить как можно больше знаков из этого числа, а также пытаются разгадать вселенские тайны, сокрытые в числе.
- Площадь суши Земли составляет всего 29,2 % от её общей поверхности. Точное число площади сложно назвать из-за неравномерного рельефа Земли, такие как впадины и горы.
- Знания о формуле площади шара можно применять и в быту. Также этими знаниями можно подавлять соперника в споре.
Продемонстрировав объём своих знаний в области геометрии, можно изначально заставить вас уважать, а ремонтникам и продавцам можно дать понять, что вас просто так не обмануть.
Применение формулы
Рассмотрим на примере, как вычислить площадь круглого шара, диаметр которого равен 50 см. Следуя формуле, нужно 50 разделить на два (чтобы получить радиус), возвести полученное число в квадрат и умножить всё это дело сначала на 4, затем на 3,14. В итоге получим число в 7 850 квадратных сантиметров.
Формула вычисления площади применяется не только среди учителей в школе и научных сотрудников в лаборатории. Данная формула может пригодиться обычному маляру. Ведь если шар большой, а краски мало, то возникает вопрос – хватит ли ему этой смеси, чтобы покрасить весь объект. И это далеко не единственный бытовой случай, где может пригодиться формула.
Формула вычисления объёма может пригодиться и строительной бригаде, что делает ремонт. И неважно, какой это объект – промышленное здание, небольшой дом или обычная квартира. Этим и отличаются профессионалы – они умеют применять свои знания на практике.
Но как быть, если не представляется возможным измерить объект? Такой вопрос может возникнуть в случае огромных размеров объекта или его недосягаемости. В этом случае могут помочь электронные технологии, в основе работы которых лежит сканирование пространства определёнными частотами и лазерами. С современными технологиями необязательно знать все формулы наизусть. Достаточно иметь подключение к интернету и зайти на любой онлайн-калькулятор.
Рождение формулы
Принято считать, что первый, кто нашёл и вывел формулу объёма и площади шара, был Архимед. Это величайший древнегреческий учёный, живший за 300 лет до нашей эры. Он был не только математиком, но и физиком, и инженером. Он один из первых людей, кто попытался «оцифровать» окружающий нас мир. Его теоремы и труды используются по сей день.
Именно Архимед определил границы числа «пи» и обозначил их, не имея никаких современных гаджетов. Сам Архимед очень гордился найденной формулой, с помощью которой вычисляется объём шара. Его потомки в честь этого изобразили на его могильном камне цилиндр и шар.
Если бы каким-то чудом он переродился в наше время, то он сразу же смог бы преобразить этот мир и вывести его на новый уровень.
Видео
На примере этого видео вам будет легко понять, как найти площадь поверхности шара.
