Как найти площадь скругленного прямоугольника

Площадь скругленного угла при заданном периметре Калькулятор

Площадь скругленного угла при заданном периметре Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Периметр закругленного угла: 35 метр –> 35 метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

75.4563530975782 Квадратный метр –> Конверсия не требуется

4 Площадь скругленного угла Калькуляторы

Площадь скругленного угла при заданном периметре формула

Площадь закругленного угла = (1/4)*pi*((Периметр закругленного угла/(((1/2)*pi)+2))^2)

A = (1/4)*pi*((P/(((1/2)*pi)+2))^2)

Что такое круглый угол?

Скругленный угол, или, скорее, четверть круга — самая простая форма скругленного угла. Это пересекающееся множество квадрата с длиной ребра a и круга с радиусом a, где один угол квадрата находится в центре круга. Недостающая часть, часть квадрата за пределами четверти круга, также называется перемычкой.

У меня нет простой формулы, но так я бы с ней справился. Предполагая, что четыре угла являются круглыми с равным радиусом r, так что симметрия существует, первый момент площади одной половины сечения должен быть:

Shalf=Shalfrect−2Scorner

где

• Shalfrect=b(h/2)(h/4)=bh28 1-й момент площади половины прямоугольника (с неповрежденными углами) вокруг нейтральной оси и

• Scorner 1-й момент площади удаляемого материала с каждого угла, вокруг нейтральной оси.

  

Как найтиScorner

Нам нужно найти его площадь и расстояние до его центроида от нейтральной оси сечения. Это помогает рассматривать удаленный угол как четверть круга, вычтенную из квадрата rxr (см. Рисунок ниже). Затем область просто определяется путем вычитания из небольшого квадрата rxr круглой четверти (см. Рисунок ниже):

Acorner=r2−πr24

Центроид удаленного углового участка относительно верхнего края аналогичным образом определяется с учетом центроида квадрата rxr (красная точка), который расположен ниже верхнего края, и центроида четверть круга (синяя точка) который расположен от верхнего края. Комбинируя их обоих, мы получаем расстояние от центроида удаленного угла от верхнего края:y=r/2y=r−4r3π

ycorner=1Acorner(r2⋅r2−πr24(r−4r3π))

Обнаружив вышесказанное, первый момент площади одного удаленного угла вокруг нейтральной оси сечения:

Scorner=Acorner(h2−ycorner)

в заключение

Подставляя в 1-ю формулу, мы получаем 1-й момент площади половины сечения . Тогда пластический модуль полного сечения, использующий преимущества симметрии, составляет:ScornerShalf

Z=2Shalf

Для проверки результата может пригодиться калькулятор с закругленными прямоугольниками .

There are certain ambiguities in what are the sides and radius of a rounded polygon.
I will assume you start from a simple polygon and use circular arcs of a specific radius $r$ to smooth out the corners.

Let

• $A_r$ and $L_r$ be the area and perimeter of such a rounded polygon.
• $theta_i$ be the $i^{th}$ external angle (negative when internal angle $> 180^circ$).

When $r$ is small enough, the circular arcs don’t overlap. In this case, you can work out contribution from individual corner and sum the result. The end result is

$$A_r = A_0 – r^2 sumlimits_ileft( tanfrac{theta_i}{2} – frac{theta_i}{2}right)quadtext{ and }quad
L_r = L_0 – 2rsumlimits_ileft|tanfrac{theta_i}{2} – frac{theta_i}{2}right|$$

In general, $sumlimits_i theta_i = 2pi$ for any simple polygon. If the initial polygon is convex, then all $theta_i > 0$. Above formula reduces to

$$begin{cases}
A_r &= A_0 – r^2(lambda – pi)\
L_r &= L_0 – 2r(lambda – pi)
end{cases}
quadtext{ with }quad
lambda = sumlimits_i tanfrac{theta_i}{2}.$$
If the initial polygon is an equiangular $n$-gon (ie. all external angles $theta_i$ equal to $frac{2pi}{n}$), then $lambda = ntanfrac{pi}{n}$.

In particular, square and rectangles are equiangular $4$-gon. For them $lambda = 4tanfrac{pi}{4} = 4$ and this reproduces the formula you already knew.

Update

I was surprised I can’t find a derivation of this simple result online.
In any event, following is a picture illustrating the formula:

$hspace 0.5in$

As one can see, the area reduction at a rounded corner $A$ (the polygon occupies the region above the two red lines) is the area of the
curved triangle $ABC$. It in turn equals to the difference of areas of the kite $ABCD$ ( $r^2tanfrac{theta}{2}$ ) and the circular sector $DAC$ ($r^2frac{theta}{2}$).