Как найти площадь странного треугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Прежде, чем говорить всяко-разные, не обязательно печатные, выражения и оскорблять представителей вида Capra aegagrus hircus сравнением авторов учебника с этими животными – желательно бы видеть фото этой страницы учебника…

Четвёртый класс… Только вводятся основные понятия геометрии, абсолютно нет никаких сведений по тригонометрии, даже и намёка нет об основных аксиомах и теоремах геометрии, ноль понятия об иррациональных числах (и, соответственно, квадратных корнях) – и посчитай площадь разностороннего треугольника!

Единственный способ, который не использует ни тригонометрии, ни корней – через радиус вписаной окружности: площадь треугольника равна произведению радиуса вписаной окружности на полупериметр.

Если “четвертачкам” уже объяснили смысл биссектрисы и способы её построения, объяснили, что точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон треугольника, объяснили понятие вписаной окружности (в чём я капитально сомневаюсь) – построят и найдут. Но – “плюс-минус убежало”: радиус вписаной окружности можно будет только измерить линейкой.

А это – “не наш метод”: в геометрии построение считается правильным только тогда, когда оно выполнено линейкой без делений и циркулем без шкалы углов. Но зато – математически обосновано.

А математический аппарат таких обоснований излагают школярам далеко не в четвёртом классе…

Кому интересна методика построения вписаной окружности – пожалуйста:

1) Из вершины А любым (в разумных пределах…) раскрывом циркуля делаем засечки на прилегающих сторонах треугольника;

2) Из этих точек тем же раскрывом циркуля рисуем вспомогательные сегменты окружностей внутри угла между сторонами треугольника;

3) Через точку пересечения этих вспомогательных сегментов рисуем луч из точки А – это и будет биссектриса угла а;

4) Повторяем 1), 2) и 3) для остальных двух вершин. Точка пересечения трёх биссектрис и будет центром вписаной окружности;

5) Строим перпендикуляр к стороне треугольника, проходящий через центр вписаной окружности: из точки пересечения биссектрис делаем (подобрав подходящий раскрыв циркуля) две засечки на любой стороне треугольника. Из этих точек тем же раскрывом циркуля строим симметричную относительно стороны треугольника точку и проводим линию, соединяющую полученную точку и центр вписаной окружности. Точка пересечения этой линии со стороной треугольника будет точкой касания вписаной окружности к стороне треугольника. Расстояние от точки касания до центра вписаной окружности – и есть необходимый нам радиус вписаной окружности.

Можно повторить 5) для каждой из сторон треугольника – это ничего не изменит, поскольку вписаная окружность может быть только одна, и радиус её, естественно, тоже один. Единственный плюс: мы получим все три точки касания вписаной окружности к сторонам треугольника…

А теперь измеряйте длину этого радиуса милиметровой линейкой, микрометром, нанометром, … Всё это филькина грамота – до тех пор, пока мы математически не обоснуем формулу нахождения этого самого радиуса.

А это – не по “четвертачку” панамка!

Я могу поизголяться и через ещё тыщонку знаков результат по Герону (три корня из пятнадцати) подтвердить через “Пифагоровы штаны”. Но – снова упираемся в корни…

Источник

Формула расчета площади треугольника

Треугольник это плоская фигура, которая имеет три стороны и три угла. Сумма всех трех углов, равна 180 градусов.
Высота треугольника это – опущенный перпендикуляр из вершины угла на противоположенную сторону или ее продолжение, которую в этом случае, называют основанием.

Что бы найти площадь треугольника,

для этого надо основание умножить на высоту и разделить на два

1. Площадь разностороннего треугольника

h – высота треугольника

Формула площади треугольника (S):

Калькулятор для расчета площади треугольника

2. Площадь треугольника с тупым углом

h – высота треугольника

Формула площади треугольника с тупым углом (S):

Формулы для треугольника:

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

[spoiler title=”источники:”]

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

http://mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle

[/spoiler]

Источник

Трудная математическая задача, с которой могут справиться не все преподаватели: попытайтесь найти площадь треугольника

Все со школы помнят геометрию, кто-то как нечто хорошее, а кто-то как нечто плохое. На самом деле геометрия может быть увлекательной, главное знать формулы и как прийти к решению. Хотите попробовать свои силы? А узнать способ вычисления площади треугольника? Предлагаем решить очень простую, но по-своему остроумную геометрическую задачку. Ответ в статье.

Соцсети

Вопрос: какая часть площади квадрата закрашена розовым?

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Как найти площадь данного треугольника

Как вычислить площадь треугольника? Давайте разбираться. Площадь – это внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры. Каждая фигура в математике — то есть каждый квадрат, прямоугольник, треугольник, параллелограмм, трапеция и т. д. – имеет определенную площадь или определенное количество пространства, которое она занимает. Она определяется длиной определенных сторон фигуры и всегда указывается в квадратных единицах, которые могут быть общими единицами измерения или такими вещами, как футы, дюймы, метры или мили. Теперь внимательно посмотрите на данный треугольник.

Найдите площадь треугольника — изображенного на картинке выше. Получается — для того чтобы найти площадь треугольника, нам нужно знать длину стороны в основании и длину опущенной на нее высоты. Площадь каждого прямоугольного треугольника составляет 1/2 площади квадрата. Длину высоты мы не знаем.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Найти ее нам поможет верхний, самый маленький треугольник. Нетрудно видеть, что он подобен розовому: у них одинаковые углы, соотношения длин соответствующих сторон — и высот.

Примем длину стороны квадрата за 1. Длина нижнего ребра розового треугольника, таким образом, равна 1. Кроме того, их высоты образуют один отрезок, длина которого равна длине стороны квадрата — 1. Длина основания розового треугольника равна 1/3 длины стороны квадрата, то есть просто 1/3.

Соотношение длин ребер подобных треугольников и соотношение длин их высот одинаково и в нашем случае равно 1/2, а значит, длина высоты розового треугольника равна 2/3. Не забываем, что площадь треугольника можно вычислить по формуле. Поэтому нам осталось подставить эти значения в формулу площади треугольника: S=0,5*1*2/3=1/3 кв. ед. Площадь же квадрата равна 1 кв.ед, поэтому розовый треугольник составляет треть его площади.

Источник

Теперь вам не нужно тратить время на долгие вычисления, прежде чем вы сможете узнать площадь треугольника. Зная методы расчета, используемые для расчета площади треугольника, вы легко сможете это сделать самостоятельно. Действительно, всегда лучше знать формулы площади треугольника. Треугольники могут быть разными и вы это знаете, но как найти площадь треугольника если вам практически ничего неизвестно о треугольнике? И что нужно знать из размеров треугольника, чтобы найти его площадь. Давайте разбираться. При этом тема не так проста как кажется на первый взгляд, наверное, поэтому задачи нахождения площади треугольника есть и в ОГЭ и в ЕГЭ по математике.

Что такое треугольник
Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон
- Разносторонний треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
Площадь треугольника
- Площадь разностороннего треугольника
- Формула Герона определения площади треугольника
- Площадь равнобедренного треугольника
- Площадь прямоугольного треугольника
- Площадь равностороннего треугольника

Что такое треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.

Сумма трех углов треугольника должна быть равна 180°.

Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).

Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.

Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон

Разносторонний треугольник

Мы узнаем разносторонний треугольник по трем сторонам, которые имеют разную длину. Эта треугольная форма может быть построена только с тремя разными углами. Кроме того, один из них может быть прямым углом (или углом 90 °). В общем, название «произвольный треугольник» используется для разностороннего треугольника.

Равнобедренный треугольник

Мы говорим, что треугольник равнобедренный, если он имеет две стороны одинаковой длины и два равных угла при основании. Равнобедренный треугольник также можно узнать по тому факту, что его высота представляет его ось симметрии, его медиану и биссектрису.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник обязательно имеет прямой угол. Другими словами, сумма двух других его углов должна быть равна 90°. Прямоугольный треугольник также имеет гипотенузу.

Это противоположная сторона вершине с прямым углом. Прямой треугольник может быть разносторонним (или любым), если его три стороны имеют разную длину.

Кроме того, он может быть равнобедренным в том случае, если он имеет два одинаковых катета.

Равносторонний треугольник

Треугольник называется равносторонним, если он имеет три стороны одинаковой длины. Поэтому все его углы также равны и каждый по 60°. В равностороннем треугольнике любая высота также выступает в качестве медианы и биссектрисы.

Площадь треугольника

Площадь разностороннего треугольника

Вычисляем площадь треугольника без особенностей – все его стороны разные и все углы разные.

Если известны две стороны треугольника и угол между ними, то площадь разностороннего треугольника вычисляется по формуле “площадь треугольника через две стороны и угол между ними”:

$S=frac{1}{2} cdot ab cdot sin alpha$

Если известны высота в треугольнике и основание, то используется формула площади треугольника через основание и высоту:

$S=frac{1}{2} ah$

Формула Герона определения площади треугольника

Если известны стороны любого треугольника, то его площадь можно определить по формуле Герона.

, где $p=frac{a+b+c}{2}$

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь треугольника через основание и сторону можно найти, если известны сторона и основания равнобедренного треугольника.

$S=frac{1}{4}b sqrt{4a^2-b^2}$

К равнобедренному треугольнику также применима формула площади треугольника через основание, сторону и угол между ними:

$S=frac{1}{2}ab cdot sin alpha$

Найти площадь равнобедренного треугольника можно также через боковые стороны и угол между ними.

$S=frac{1}{2} a^2 cdot sin alpha$

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

$S=frac{b^2}{4 tg frac{alpha}{2}}$

Площадь прямоугольного треугольника

Приведем формулы площади прямоугольного треугольника. Формула площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол:

$S=frac{a^2 cdot tg alpha}{2}$

Площадь прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника, если в него вписана окружность:

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника можно найти через радиус описанной окружности.

$S=frac{3 sqrt{3} R^2}{4}$

Если дан радиус вписанной окружности, то площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

$S=3r^2 sqrt{3}$

Площадь равностороннего треугольника, если известна сторона треугольника:

$S=frac{sqrt{3}}{4} cdot a^2$

Площадь равностороннего треугольника, если известна высота треугольника:

$S=frac{h^2}{sqrt{3}}$

Источник

Формулы площади треугольника