Как найти площадь странной фигуры по клеткам

Площадь фигуры (треугольник, четырёхугольник, трапеция и др.) по клеточкам (клеткам).

Какие есть формулы?

Есть способ, при котором надо воспользоваться формулой, основой которой будет понятие узла, узла внутреннего и узла внешнего. Узел это пересечение линий, образующих эти самые клеточки. Внешние узлы, это узлы, находящиеся на сторонах и вершинах геометрических фигур, площади которых нам надо найти. А внутренние узлы, это узлы внутри этих фигур. Клеточки у нас со сторонами равными одному сантиметру (1 см).

Формула, о которой идет речь, называется формула Пика.

Выглядит она вот так:

И по ней очень просто посчитать площадь фигуры S. В этой формуле M это количество внешних узлов, N – количество внутренних узлов.

Приведем пример, возьмем геометрическую фигуру параллелограмм:

Внутренние узлы – синие – N – их у нас 20.

Внешние узлы – красные – М – их у нас 18 и их количество нам надо поделить на два, получится 18/2 = 9 узлов.

Складываем 9 + 20 и вычитаем единицу: 20 + 9 – 1 = 28 см².

Еще один пример:

S = 14/2 + 43 – 1 = 49 см².

Допустим, у нас есть произвольная фигура, построенная на листе в клетку. Необходимо вычислить её площадь.

Площадь фигуры по клеточкам

Для того, чтобы найти площадь любой фигуры по клеточкам, можно использовать формулу Пика.

Данная формула основана на подсчёте количества узлов, лежащих внутри фигуры и на её границе.

Узел – это точка, которая лежит на пересечении 2 линий данной сетки: вертикальных и горизонтальных.

Площадь фигуры по клеточкам находится по формуле:

N – количество узлов, которые находятся внутри фигуры.

M – количество узлов, которые находятся на границах (на вершинах и сторонах).

Примеры нахождения площади по клеточкам

1) Найдём площадь треугольника. Будем считать, что одна клетка – это 1 см.

Отметим внутренние узлы и узлы, которые находятся на границах.

N = 7 (внутренние).

M = 8 (узлы на границах).

Площадь треугольника S = 7 + 8/2 – 1 = 10 см².

2) Найдём площадь трапеции по клеточкам, одна клетка – это 1 см. Отметим все узлы и подсчитаем их количество.

N = 11 (внутренние).

M = 12 (узлы на границах).

Площадь трапеции S = 11 + 12/2 – 1 = 16 см².

3) Найдём площадь произвольного многоугольника. Одна клетка – это 1 см.

Отметим внутренние узлы и узлы, расположенные на границах фигуры. Подсчитаем их количество.

N = 6 (внутренние узлы).

M = 8 (узлы на границах).

Площадь многоугольника S = 6 + 10/2 – 1 = 10 см².

Такие задачи очень часто встречаются, когда известен размер клеточки и дана фигура.

Вот пример таких задач:

Решение зависит от того, какая фигура дана и как именно она размещена относительно клеточек.

Возьмем простой пример, необходимо вычислить площадь вот такого треугольника:

Вспоминаем правило:

Теперь считаем, сколько клеточек треугольник в длину и сколько в высоту. У нас получается 2 в высоту и 6 в длину.

Подставляем к формуле:

S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2.

Считаем по клеточкам, подставляя формулу Пика:

Целых клеточек у нас 3.

Теперь считаем, сколько не целых: 6. Делим их на 2.

S = 3 + 6:2 = 6 см2.

А теперь высчитываем по формуле Пика: количество узлов сетки внутри – 2, количество узлов сетки, лежащих на границах – 10.

Подставляем к формуле и получаем – 2 + 10:2 – 1 = 6 см2.

Теперь давайте рассмотрим вот такой треугольник:

Чтобы найти площадь, вспоминаем правило:

Считаем клеточки и подставляем в формулу:

S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2.

А теперь находим по клеточкам: целых клеточек 2, не целых клеточек 8. Подставляем в формулу: 2 + 8:2 = 6 см2.

Пробуем сделать по формуле Пика: количество узлов сетки внутри – 3, количество узлов сетки, лежащих на границах – 8.

Подставляем к формуле и получаем – 3 + 8:2 – 1 = 6 см2.

Найти площадь геометрической фигуры можно самыми разными способами:

Самый простой вариант – это вручную посчитать клеточки – целые и половинки также поскладывать. Простой, хотя и не самый быстрый и может не самый точный способ, но он работает. Чтобы легче было считать, достаточно расчертить фигуру на более простые.

Есть еще один способ – это использовать давно разработанную формулу. Это так называемая формула Пика. Для нее нужно посчитать количество узлов – точек пересечения клеточек, что окружены фигурой (находятся внутри нее), а также подсчитать количество пограничных узлов – по контуру фигуры.

Вот на картинке наглядно показано, как ее можно применять, чтоб посчитать площадь любой фигуры по клеточкам:

Площадь любого многоугольника можно посчитать по клеточкам. Для этого применяем формулу Пика. На нашем рисунке В – количество узловых клеточек внутри фигуры, Г – количество узлов на границе . Узлы – пересечение двух линий. многоугольника. Площадь равна S = В + Г/2 – 1 Считаем точки на рисунке и подставляем в формулу. – 10 + 7/2 -1 = 12,5.

Таким образом можно посчитать площадь, если вершины фигуры лежат в узлах.

Чтобы найти площадь фигуры по клеточкам, нужно посчитать сколько в фигуре целых клеточек. Потом нужно посчитать сколько не целых и поделить их количество на 2. Добавить к получившемуся числу количество целых клеточек – это и будет правильный ответ.

Например. В треугольнике 3 целых клетки и 4 не целых. 3+4/2=5 пощадь треугольника 5 клеток.

Для того, чтобы определить площадь фигуры на бумаге в клеточку есть универсальная формула Пика, позволяющая вычислить площадь изображения, но в только в том случае, если вершины искомой фигуры имеют целые (натуральные числа) координаты. Называется эта формула, в честь Георга Пика:

S=В + Г / 2 − 1

В этой формуле буквенные обозначения означают следующее:

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника;

Г — количество целочисленных точек на границе (вершинах и сторонах) многоугольника;

S – площадь фигуры.

Здесь используется понятие “целочисленные” – это те, точки, которые расположены на пересечениях сетки (в ее узлах).

Для примера, найдем площадь треугольника:

Обозначим внутренние точки нашей фигуры красными кружками, а те, что на границах – синим цветом. Считаем красные и синие точки:

В=12, Г=4.

Исходя из подсчетов определяем площадь треугольника по формуле:

S=В+Г/2-1=12+2-1=13.

Можно убедиться в правильность проведенных выше расчетах. Рассчитываем площадь квадрата, обведенного красным, и вычитаем площади зеленого, синего и фиолетового треугольников:

S квадрата равна 36, площади треугольников: синего – 6, зеленого – 2, фиолетового – 15.

Исходя из полученных данных, S белого треугольника равна 13:

S=36-6-15-2=13.

Подсчет клеточек – дело полезное. С их помощью можно найти площадь геометрической фигуры.

Достаточно воспользоваться формулой, доказанной Георгом Пиком в 1899 году.

Подходит для расчета площади фигур с прямыми сторонами и целым количеством углов, чаще всего применяют для нахождения площади разносторонних треугольников и многоугольников с числом углов больше 4-х.

На теорему Пика есть задания в ЕГЭ.

Сначала я подумал, что нужно будет фигуру, которая указана на рисунке в клеточку разбить по фигурам так, чтобы можно посчитать площадь каждой фигуры по-отдельности, но оказалось все намного проще. Существует для данной задачи специальная формула Пика, которая выглядит следующим образом:

Площадь = В + Г/2 – 1, где:

• В – количество целочисленных точек внутри многоугольника.
• Г – количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Теперь разберемся на примере, у нас есть такой пример:

Перед нами трапеция. Допустим площадь одной клетки 1 кв.см. Теперь можно воспользоваться формулой:

11+12/2-1=16 кв.см.

Найти площадь фигуры можно если вершины фигуры находятся в уголках клеточек, так называемые Целочисленные вершины или узловые точки. Решать задачу будем по формуле Пика, где

• В – количество внутренних узловых точек,
• Г – количество граничных узловых точек,

Вот такая фигура у нас –

Считаем точки и подставляем в формулу: S = 17 + 14/2 – 1 = 23

Ответ мы получаем в квадратных единицах, то есть клеточках.