Как найти площадь сжатия

Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату

В этом разделе рассматриваются расчёты на прочность и жёсткость при растяжении и сжатии. Растяжение и сжатие возникает:

–в опорных стержнях, поддерживающих какие либо конструкции (например, сооружения, плоские и пространственные рамы), – в целом эти системы называют стержневыми;

–в стержнях ферм (напомним, что фермы − это системы из прямолинейных стержней, соединённых по концам шарнирами);

–в элементах конструкций, имеющих вид прямого бруса постоянного или переменного сечения и нагруженных продольной нагрузкой.

Например, как прямой брус при действии растягивающей силы рассматривают болты и винты, применяемые в механических соединениях, трос подъёмного механизма; как прямой брус изображают следующие элементы, воспринимающих продольную нагрузку: колонны зданий и оборудования, фабричные трубы, столбчатые фундаменты, которые сжаты собственном весом и верхней нагрузкой.

При составлении схем расчёта при растяжении и сжатии учитываются геометрия всей системы, вид внешнего воздействия и способ присоединения (или опирания). Если присоединение фактически препятствует смещению и повороту, то на схеме изображается так называемая жёсткая заделка. Если опора не позволяет линейного перемещения, а поворот частей системы относительно друг друга происходит, то такое соединение называют шарнирным и на расчётной схеме изображают шарнир.

По количеству имеющихся опор схемы для расчёта могут быть как статически определимыми (количество опорных связей равно количеству уравнений равновесия), так и статически неопределимыми (количество опорных связей превышает количество уравнений равновесия). Ввиду этого в данном пособии рассматривается решение следующих задач, которые даны в курсовой работе и расчётно-графических заданиях по сопротивлению материалов.

Задача 1. Подбор размеров сечения стержней стержневой системы.

Задача 2. Подбор размеров сечения стержней фермы. Задача 3. Проектный расчёт ступенчатого бруса.

Задача 4. Проектный расчёт ступенчатого статически неопределимого бруса.

7

Задача 5. Проектный расчёт стержневой статически неопределимой системы.

Задача 6. Проверочный расчёт ступенчатого бруса.

Задача 7. Проверочный расчёт ступенчатого статически неопределимого бруса.

В каждой из названных задач необходимо выполнить расчёт на прочность, в ходе которого всегда требуется знать значение внутренней продольной силы N, т. к. в случае растяжения и сжатия в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы, которые и позволяют оценить сопротивление бруса внешним воздействиям.

Известно, что в общем случае нагружения в поперечном сечении бруса могут возникать шесть разных внутренних усилий, но при решении задач изображают и вычисляют только те усилия, которые не равны 0. Так, при растяжении и сжатии по виду внешних сил видно, что в сечении возникает лишь продольная сила N.

Выполним вычисление продольной силы N на примере бруса с нагрузкой общего вида: в начальном сечении бруса покажем сосредоточенную силу Р и по всей длине распределённую нагрузку интенсивности q (рис. 1.1, а). Введём правило знаков нагрузки: принимаем за положительное то направления, которое вызывает растяжение.

а

б

в

г

Рис. 1.1

Значения продольной силы вычисляют методом сечений, выполняя последовательно правило РОЗУ: Разрезать, Отбросить, Заменить, Уравновесить. Выполним разрез бруса на расстоянии z от свободного края (это бу-

8

дет текущее сечение) и изобразим правую часть (рис. 1.1, б). В текущем сечении поставим силу N. Если изобразить силу N от сечения, то она растягивает отсечённую часть бруса. Такое направление продольной силы принято считать положительным. Заметим, что, поставив силу N в текущем сечении, мы произвели замену воздействия отброшенной части бруса на оставленную. Составим уравнение равновесия. Как известно, для пространственного тела имеем шесть уравнений равновесия, но при растяжении-сжатии из шести уравнений равновесия только одно не превращается в тождество 0 = 0, − это сумма проекций всех сил на продольную ось бруса:

Как видно, продольная сила N в сечении равна алгебраической сумме проекций на ось z всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Получается закономерность: положительная внешняя нагрузка создаёт положительную продольную силу.

Принято изображать график изменения N вдоль оси, который называют эпюрой N. Этот график удобен, т. к. наглядно показывает изменение силы вдоль бруса и определяет опасное сечение: опасным является сечение, в котором продольная сила принимает максимальное значение (определяется максимальная растягивающая и максимальная сжимающая силы). Эти значения являются расчётными значениями силы и необходимы для составления условия прочности.

Для построения эпюры N вычислим значения силы в начале бруса (при z = 0) и в конце (при z = l). Получим граничные значения продольной силы: N (0) P, N (l) ql P. Отложив эти значения от базисной (нуле-

вой) линии, проведённой под брусом, соединим значения согласно (1.2) наклонной прямой и получим эпюру N. При положительных значениях нагрузки, показанной на чертеже бруса, она выглядит нарастающей от свободного края по линейному закону (рис. 1.1, в). Реальная нагрузка вносит свои коррективы. С одной стороны, подставляя значения реальной нагрузки в формулу (1.2), можно получить функцию продольной силы и построить эпюру N для любого грузового участка расматриваемого бруса. С другой – формула (1.2) позволяет проследить закономерности функции N, связанные с видом и направлением внешней нагрузки:

на участке, где интенсивность распределённой нагрузки q 0, продольная N = const , и на эпюре N – прямая, параллельная оси;

9

на участке с распределённой нагрузкой, где q ≠ 0, продольная N изменяется линейно, и на эпюре N – наклонная прямая, причём при q > 0 продольная сила растёт, при q < 0 продольная сила уменьшается.

Заметим следующие методические приёмы при нахождении силы N:

1.Силу N в сечении лучше предполагать положительной (т. е. направленной от сечения). Это удобно, т. к. получив её значение, автоматически указывается знак «+» при растяжении и знак «–» при сжатии, что особенно важно при расчёте бруса из материала, не одинаково работающего на растяжение и сжатие.

2.Определение продольной силы для бруса с заделкой удобно выполнять, рассматривая отсечённую часть со стороны свободного края, т. к. при этом не обязательно определение опорных реакций.

Расчёт элементов деталей машин и механизмов ведётся в пределах упругих деформаций, поэтому используют условие прочности по допус-

. Согласно этому усло-

вию напряжения σ не должны превышать допускаемого напряжения .

При растяжении-сжатии нормальные напряжения в поперечном сечении бруса σ равномерно распределены по площади (рис. 1.2) и определяются как отношение продольной силы к площади сечения:

В рассматриваемых задачах имеются, во-первых, стержни, в которых площадь сечения F и продольная сила вдоль оси постоянны, и, во-вторых, ступенчатый брус, имеющий несколько грузовых участков с разной площадью сечения F и различным характером нагрузки. Для первых стержней условие прочности по допускаемым напряжениям записываем как

а для ступенчатого бруса условие прочности принимает вид

Нужно помнить, что для пластичных материалов (например, для малоуглеродистых низколегированных сталей) имеем одинаковые допускае-

мые напряжения на растяжение и сжатие, т. е. σр = σ c = σ , а для хруп-

ких материалов (например, для чугуна) допускаемые напряжения на рас-

10

риалов составляем одно условие прочности, а для хрупких − два условия. По условию прочности возможно выполнение трёх видов расчёта на

прочность:

проектный расчёт (это определение размеров сечения);

проверочный расчёт (вычисление напряжений и проверка прочности);

определение несущей способности (нахождение величины на-

грузки).

В задачах рассмотрены два первых вида расчёта.

При работе реальных систем длина стержня или его части изменяется, что вносит свои особенности в обслуживание и сохранение работоспособности всей системы, поэтому в задачах предусмотрено вычисление деформаций и проверка жёсткости. Величина изменения длины стержня

где E – модуль продольной упругости (или модуль Юнга), для стали и чугуна Е = 2 · 105 МПа, для алюминиевых сплавов Е = 0,65 · 105 МПа; вели-

чина EF – жёсткость сечения при растяжении и сжатии.

За счёт деформации стержня происходит поступательное перемещение δ поперечных сечений стержня в продольном направлении. Поясним вычисление перемещений δ на нашем примере (рис. 1.1, г). Перемещение заделки δА равно 0, а свободный край бруса переместился на величину деформации всего бруса, которую найдём по (1.6):

Выражение, полученное после интегрирования, показывает, что имеем функцию 2-го порядка по отношению к переменной z (это результат действия распределённой нагрузки), значит, величина перемещения текущего сечения, задаваемого абсциссой z, изменяется вдоль бруса по квадратичной зависимости от z, – по квадратичной параболе.

При расчёте ступенчатого бруса для вычисления перемещений отдельных (так называемых характерных) сечений необходимо знать абсолютные деформации грузовых участков бруса, определяемые формулой (1.6). При этом перемещение i-го сечения будет равно перемещению (i-1)-го плюс деформация li i-го участка:

11

Используя полученные значения перемещений, строят эпюру δ, которая наглядно показывает изменение продольных перемещений вдоль бруса и позволяет выбрать его наибольшее значение δmax. Для бруса, изображённого на рис. 1.1, эпюра δ будет криволинейной, для которой нужно правильно выбрать форму кривой. Для определения угла наклона касательной к кривой перемещений возьмём производную от функции перемещений (1.7), с учётом (1.6) получим

Как видно, угол наклона касательной к кривой перемещений повторяет закон изменения силы N, поэтому эпюра N всегда позволяет определить наклон кривой δ. Так, в рассматриваемом примере сила N растёт от свободного края к заделке, поэтому угол наклона касательной увеличивается к заделке, и выпуклость обращена вверх (рис. 1.1, г).

Нужно заметить, что согласно (1.8) функция перемещений δ(z) на порядок выше функции N(z):

на участке бруса, где N = const и эпюра N – прямая, параллельная оси, на эпюре перемещений δ будет наклонная прямая;

на участке, где на эпюре N – наклонная прямая, на эпюре переме-

щений δ будет кривая 2-го порядка (парабола), изогнутость которой и определяется по значениям (1.8).

Для обеспечения нормальной работы конструкции необходимо, чтобы значение δmax не превышало допускаемого перемещения и чтобы выполнялось условие жёсткости

Это условие позволяет выполнять те же три вида расчётов, что и условие прочности. Поэтому, когда оно для рассматриваемого элемента не соблюдается, по нему определяют требуемые величины.

Для правильного контроля работы конструкций надо знать, какие напряжения возникают не только в осевом направлении, но и на любом наклонном к оси. Если стержень разрезать двумя поскостями (рис. 1.2, а): плоскостью 1–1, перпендикулярной оси, и плоскостью 2–2, наклонённой к поперечному сечению под углом α, далее выделить полученную часть стержня (рис. 1.2, б) и рассмотреть её равновесие по уравнению (1.1), − то получим в наклонном сечении напряжения pα , параллельные σ и равные

σ cosα. Разложим вектор напряжения pα на нормаль и касательную к на-

12

клонному сечению и получим, что при растяжении-сжатии в наклонных сечениях возникают и нормальные σα , и касательные τ напряжения

(см. рис. 1.2, б):

Формулы (1.10) показывают, что наибольшие нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях, а наибольшие касательные – на площадках под углом α = 45º, на которых касательные и нормальные напряжения одинаковы по величине:

τα 45 τmax σ2 ; σα 45 σ2 .

а

б

Рис. 1.2

Этот факт позволяет обьяснить реальное сопротивление растяжению и сжатию разных материалов. Рассмотрим широко распространённые конструкционные материалы: сталь и чугун. Сталь как пластичный материал при сжатии деформируется за счёт сдвига и наибольший сдвиг получает от наибольших касательных напряжений под углом 45 . Когда этими напряжениями достигается величина предела текучести стали при сдвиге τт (т. е. при α= 45 = Т ), наблюдается интенсивный сдвиг по этому направле-

нию, а образец принимает бочкообразную форму (рис. 1.3, а). Известно, что предел текучести стали при сдвиге τт составляет приблизительно 0,6 от предела текучести при растяжении-сжатии σт. Отсюда понятно, что

13

при τα = τт образец не разрушается ни от сжимающих напряжений в поперечном сечении FP , которые меньше предела текучести σT (т. е. не раскалывается), ни от растягивающих напряжений в наклонных сечениях–45 cos2 ( 45 ) 2PF , которые больше предела текучести σT (т. е. не

разрывается), а получает большую пластичную деформацию сдвига, приводящую к бочкообразной форме. При дальнейшем увеличении напряжений деформация сдвига нарастает с большой скоростью, образец сплющивается, − это говорит о том, что допускать предел текучести для стальных конструкций опасно.

При сжатии чугунного образца (рис. 1.3, б) наблюдается хрупкий скол по плоскости под углом α 45 к оси. Объяснить такое разрушение можно тем, что чугун хорошо сопротивляется сжатию и слабо – растяжению. Образец разрывается от действующих под углом α = 45 к оси бруса растягивающих напряжений, достигших предела прочности на растяже-

нию этих напряжений и наклонена под –45º к оси бруса. Для закрепления знаний о напряжениях при расчёте ступенчатого бруса можно предусмотреть вычисление напряжений под углом α = 45 к оси бруса по (1.10).

14

Задача 1 Подбор размеров сечения стержней стержневой системы

В плоской стержневой системе (рис. 1.4, а) абсолютно жёсткий брус АB имеет три опорных стержня и несёт нагрузку известной величины. Ис-

ходные значения: l 2 м; q 15 кН/м; P 2 ql ; стержни 1, 2 круглого сечения, стержень 3 – квадратного.

Требуется

1.С помощью уравнений равновесия определить усилия в опорных стержнях.

2.Подобрать площади поперечного сечения стержней из условия прочности по допускаемым напряжениям, если допускаемое напряжение

на сжатие σс 120 МПа, на растяжение σр = 40 МПа. Назначить размеры сечений, принимая два стержня круглого и один квадратного сечений.

Решение

1. Определение продольных усилий в опорных стержнях

Опорные стержни 1, 2, 3 имеют по концам шарниры (рис. 1.4, б). При действии внешних сил на жёсткий брус АВ эти стержни деформируются (изменяют длину) и за счёт деформаций шарниры B и C перемещаются: на рис. 1.4, в для шарнира С показано новое положение С1 , при котором

соединяемые элементы (брус АВ и стержень 2) повернулись друг относительно друга, и край С получил горизонтальное и вертикальное перемещения. Эти перемещение края С произошли от горизонтального и верти-

кального воздействия со стороны бруса АB . Обозначим их RСx и RСy , по-

кажем эти усилия на рис. 1.4, г. Законченный поворот стержня 2 говорит о том, что для него соблюдается условие равновесия момС2 0 :

ленная в противоположную сторону вектора RC .

15

а

б

Очевидно, для стержня, имеющего по концам шарниры, будут всегда верны эти рассуждения; используя их, будем сразу направлять реакции вдоль такого стержня.

Замечание 1: стержень, имеющий по концам шарниры, может быть только либо растянут, либо сжат.

16

Для подбора размеров сечений небходимо знать, какое внутреннее усилие возникает в каждом из стержней 1, 2, 3. Внутренние усилия определяют методом сечений. Например, разрежем стержень 2 в каком-либо месте и рассмотрим одну, пусть, нижнюю часть (рис. 1.4, д). Она нагружена реакцией R2 (это внешняя для стержня нагрузка) и силой N2 (это внут-

реннее для стержня усилие). Равновесие возможно, если N2 R2

(рис. 1.4, д). Ввиду этого можно обозначать реакции опорных стержней как N1 , N2 , N3 (рис. 1.4, б) и направлять их вдоль стержней.

Заметим, что для условия прочности важно знать направление продольной силы, которая оценивается знаком: если сила N направлена от проведённого сечения и растягивает стержень, то она считается положительной, если сжимает, то она направлена к сечению и в её цифровом значении ставится знак «–».

Чтобы автоматически при расчёте получить правильный знак N , поставим для всех стержней направление усилий N1 , N2 , N3 положитель-

ным, т. е. растягивающим.

Усилия N1 , N2 , N3 должны удовлетворять условиям равновесия бруса АB . Брус нагружен внешней нагрузкой P и q и усилиями N1 , N2 , N3 , которые представляют в совокупности плоскую систему сил, поэтому для бруса АB имеем три уравнения равновесия:

пр x 0;пр y 0;

момC 0.

Запишем эти уравнения:

P sin 45 N1 sin 30 0;

P cos 45 N1 cos30 N2 N3 q 2l 0;

P cos 45 l N2 2l q 2l l 0.

Из третьего уравнения получим

N2 21l ( Pcos45 l 2 ql2 ) 21l ( 2 ql cos45 l 2 ql 2 )

ql(cos 45 1) 1,707 ql 1,707 15 103 2 51 210 Н 51,21 кН.

Продольное усилие N2 отрицательно, значит, стержень 2 сжат. Из первого уравнения получим

17

Продольное усилие N1 положительно, значит, стержень 1 растянут. Из второго уравнения получим

N3 Pcos45 N1 cos30 N2 2 ql 2 ql cos45

2,828 ql cos30 ( 1,707 ql) 2 ql 1,328 ql 1,328 15 103 2 39,84 кН.

Продольное усилие N3 положительно, значит, стержень 3 растянут.

Для проверки правильности найденных усилий в опорных стержнях составим уравнение равновесия мом A 0:

N1 cos30 l N2 3l q 2l 2l N3l 0 ;

2,828 ql cos30 ( 1,707 ql) 3 4 ql 1,328 ql 0 ;

6,449 6,449 0 ,

значит, существует тождество 0 0 которое говорит, что проверка сошлась, следовательно, усилия в стержнях найдены верно.

2. Подбор размеров поперечного сечения стержней

Подбор размеров сечения стержней выполняется по условию прочности по допускаемым напряжениям при растяжении-сжатии (1.4), согласно которому для каждого стержня

σi Ni σ ,

Fi

где σi – нормальное напряжение; σ – допускаемое нормальное напряже-

ние, причём если стержень растянут, то принимаем σ = σр , если сжат,

то σ = σс ; Ni – продольное усилие в стержне; F – поперечное сечение

стержня.

Для стержня 1 круглого сечения площадь поперечного сечения

F 4d 2 0,25 d 2,

где d – диаметр стержня.

Стержень 1 растянут, поэтому условие прочности (1.11) для него принимает вид

σ1 N1 σр .

F1

18

Подставляя выражение площади стержня 1 F1 0, 25 πd 2 , получим

Принимаем в соответствии со знаком «больше либо равно» d1 3 cм.

Замечание 2: полученное из условия прочности значение размеров сечения назначается в бóльшую сторону.

Составим условие прочности для стержня 2. Стержень 2 сжат, тогда по условию (1.11)

Замечание 3: для сжатого стержня в условие прочности ставим модуль продольной силы.

Подставляя площадь круглого сечения F2 0,25 πd 2 , получим

Принимаем d2 2,4 cм.

Для стержня 3 квадратного сечения площадь

F3 a2 ,

где a – сторона квадрата.

Стержень 3 растянут, условие прочности (1.11) для него принимает

вид

σ3 N3 σр .

F3

19

Подставляя выражение площади квадратного сечения, получим

Na32 р .

Отсюда

Принимаем a 3,2 cм.

Задача 2 Подбор размеров сечения стержней фермы

Для плоской фермы (рис. 1.5, а) задана нагрузка. Исходные значе-

ния: l 0,8 м; q 40 кН/м; P 2,2 ql ; α 45 .

Требуется

1.С помощью уравнений равновесия определить опорные реакции.

2.Используяметодвырезанияузлов, вычислитьусилиявстержняхфермы.

3.Подобрать размеры поперечного сечения стержней из условия

прочности по допускаемым напряжениям, если σ 200 МПа. Сечение

сжатых стержней принять в форме кольца с соотношением внутреннего и внешнего диаметров 0,5, и сечением растянутых стержней в виде швеллера.

Решение

1. Определение опорных реакций

Обозначим реакции, возникающие в опорах A и B . Опора B шар- нирно-подвижная, имеем один вертикальный опорный стержень, вдоль которого возникает одна вертикальная реакция RB (см. замечание 1)

(рис. 1.5, б). Опора A шарнирно-неподвижная, она препятствует смещению узла A по вертикали и горизонтали, поэтому в ней в общем случае возникает две реакции: горизонтальная H A и вертикальная RA , но по-

скольку в горизонтальном направлении нет других сил, то из уравненияпр x 0 следует, что H A 0 .

20

а

б

Ферма нагружена системой параллельных сил P , RA и RB . Составим два уравнения равновесия:

мом A 0;

мом B 0.

Запишем эти уравнения:

Из (1.12) RB 21l P 3l P l P 2,2 ql 2,2 40 0,8 70,4 кН.

21

Из (1.13) RA 21l P 3l P l P 2,2 ql 2,2 40 0,8 70,4 кН.

Проверку найденных рекций выполним по неиспользованному уравнению, которое при правильном вычислении реакций удовлетворяется тождественно, пр y 0 :

RA RB P P 0;

2,2 ql 2,2 ql 2,2 ql 2,2 ql 0 ; 4,4 ql 4,4 ql 0 ; 0 0 ,

значит, реакции найдены верно.

Равенство RA RB есть следствие симметрии фермы, поэтому можно сформулировать следующее замечание.

Замечание 4: в симметричной схеме при симметричной нагрузке реакции равны друг другу, а величина их составляет половину нагрузки.

2. Определение усилий в стержнях фермы

Обозначим узлы и пронумеруем стержни (рис. 1.5, б). В стержнях ферм, которые имеют по концам шарниры, возникают только продольные силы (см. замечание 1). Их значение определим методом вырезания узлов, который основан на методе сечений. По этому методу последовательно вырезаем каждый узел фермы и рассматриваем его равновесие. В данной ферме в силу её симметрии необходимо и достаточно выделить три узла: узлы A , C , F .

Первым вырезаем узел C (рис. 1.5, в), в котором сходятся два стержня: 1 и 2. Продольные усилия в стержнях N1 и N2 направляем от сечения,

предполагая растяжение. Для этого, как и для каждого узла, имеем сходящуюся систему сил, поэтому составляем два уравнения равновесия, из которых и найдём неизвестные усилия:

Из полученных уравнений вычислим усилия N1 и N2 :

22

N1 sin7045,4 99,56 кН;

N2 N1 cos45 99,56 cos45 70,4 кН.

Продольное усилие N1 отрицательно, значит, стержень 1 сжат. Продольное усилие N2 положительно, поэтому стержень 2 растянут.

Следующим нужно рассматривать узел, в котором неизвестны два продольных усилия; в нашем примере вырезаем узел A (рис. 1.5, г), в котором неизвестны усилия в стержнях 3 и 4. Ставим усилия в стержнях N1 ,

N3 , N4 и реакцию RA . Составляем уравнения равновесия узла A по (1.14):

N4 N3 cos N1 cos 0;RA N3 sin N1 sin 0.

Подставив уже найденное значение N1 , получим систему двух уравнений относительно неизвестных N3 и N4 :

N4 N3 cos45 99,56 cos45 0;70,4 N3 sin 45 99,56 sin 45 0.

Отсюда

N3 sin145 70,4 99,56 sin 45 0 ;

N4 99,56 cos45 N3 cos 99,56 cos45 0 70,4 кН.

Стержень 3 не растягивается и не сжимается, поскольку продольное усилие в нём равно нулю. Так как продольное усилие N4 отрицательно, то

стержень 4 сжат.

Сдедующим вырезаем узел F (рис. 1.5, д), для которого уравнения

ся, поскольку продольное усилие в нём равно нулю. Усилие N5 отрица-

тельно, это означает, что стержень 5 сжат.

Поскольку конструкция симметричная, то достаточно рассмотреть лишь одну её половину и можно записать внутренние усилия в симметричных стержнях второй половины, т. е. усилия попарно равны:

23

N7 N3 N6 0 кН; N8 N2 70,4 кН;

N5 N4 70,4 кН; N9 N1 99,56 кН.

3. Подбор размеров сечения стержней

Размеры поперечного сечения стержней подбираем из условия прочности по допускаемым напряжениям, которое при растяжении-сжатии по (1.4) имеет вид

σi Ni σ ,

Fi

где σi – нормальное напряжение в стержне; σ – допускаемые нормальное напряжение, здесь при растяжении и сжатии они одинаковы; Ni – продольное усилие в стержне; Fi – поперечное сечение стержня.

Для растянутых стержней нужно выбирать номер швеллера. Если нет

дополнительных условий, считаем все растянутые стержни одинакового

сечения. Максимальные растягивающие усилия Nmaxр 70,4 кН, тогда из условия прочности требуемая площадь сечения растянутых стержней

По таблице ГОСТ 8240–93 (см. табл. 5 прил. 1) выбираем швеллер № 5 с площадью F 6,16 см2 для стержней 2 и 8.

Для сжатых стержней выбираем кольцевое сечение, для которого площадь F π4d 2 1 c2 . Считая все сжатые стержни одинаковой площа-

ди и взяв максимальное сжимающее усилие Nmaxс 99,56 кН, найдём тре-

буемую площадь сечения:

Принимаем диаметр d 3 cм для стержней 1, 4, 5, 9.

Стержни, в которых N 0 , можно взять также круглого сечения, поэтому для стержней 3, 6, 7 принимаем диаметр d 3 cм.

24

Задача 3 Проектный расчёт ступенчатого бруса

Для стального ступенчатого бруса (рис. 1.6, а) задана конфигурация и известна внешняя нагрузка. Исходные значения: l 1,2 м; q 20 кН/м;

P 3 ql .

Требуется

1.Построить эпюру продольных сил N .

2.Составить выражения для нормальных напряжений σ по всем участкам бруса, используя указанные на схеме бруса значения площадей сечения через неизвестную величину F .

3.Установить σmax , составить условие прочности бруса по допускае-

мым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение F приσ 200 МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая указан-

ное соотношение между ними.

4. Построить эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений δ, считая модуль упругости E 2 105 МПа. Указать δmax и проверить жёсткость при допускаемом продольном перемещении δ = 0,5 мм. Ес-

ли условие жёсткости не удовлетворяется, назначить новыеплощади сечений. 5. Для опасного сечения бруса вычислить касательные τα и нормаль-

ные σα напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом

α= 45° к оси бруса.

6.Определить силу P0 , которую нужно приложить к свободному

торцу бруса, чтобы вернуть его в первоначальное положение.

Решение

1. Построим эпюру продольных сил N

Вычислим значения продольных сил методом сечений. Данный брус состоит из 3 участков. Будем рассматривать отсечённые участки для каждого из них, начиная со свободного конца (рис. 1.6, б, в, г). При этом продольную силу в сечении, которая является внутренним усилием, всегда изображаем положительной, т. е. растягивающей рассматриваемый участок.

Уравнение равновесия для отсечённой части каждого участка при растяжении-сжатии представляет собой равенство нулю суммы проекций всех сил на продольную ось (1.1), т. е. пр z 0 .

25

Записывая это уравнение последовательно для всех участков, полу-

N3 P 2 q 2l 0,2 P 3 ql 4 ql 0,2 3 ql 0,4 ql .

По этим значениям построим эпюру N (рис. 1.6, д).

а

б

в

г

д

е

ж

Рис. 1.6

26

Принимаем F 3,6 см2 . Назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанные на схеме бруса соотношения между ними:

F1 2F 2 3,6 7,2 см2 ; F2 F 3,6 см2 ; F3 3F 3 3,6 10,8 см2 .

4. Эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений

Вычислим значения нормальных напряжений по участкам бруса, используя полученные выше выражения.

Откладывая полученные значения от базисной линии, построим эпюру распределения нормальных напряжений по длине балки (эпюру σ) (рис. 1.6, е).

Построим эпюры продольных перемещений δ. Перемещения δ поперечных сечений бруса вычисляют по (1.7) через продольные деформации участков бруса li . Сначаланайдёмдеформации li участковбруса.

Согласно формуле (1.6)

li li Ni d z , 0 EFi

где E – модуль упругости первого рода или модуль Юнга; Fi – площадь

поперечного сечения; li – длина участка бруса.

Заметим, что в случае постоянной по участку продольной силы

li NiFli .

E i

0,6 10 3 м 0,6 мм.

28

0,53 10 4 м 0,053 мм.

Теперь определим продольные перемещения δi характерных сечений, обозначив сечения буквами A, B , C , D . Так как точка A находится в заделке, то перемещение A 0 . Перемещения сечений B , C , D определяем

с помощью (1.7):

B l 3 0,053 мм;

C l 3 l 2 0,053 0,8 0,747 мм;

D l 3 l 2 l1 0,053 0,8 0,6 1,347 мм.

На участке 2 эпюра продольных сил пересекает нулевую линию в точке K (рис. 1.6, д), в этом сечении будет перегиб на эпюре перемеще-

ний, поэтому определим координату z2K . Из условия N2K 0 получаем

Используем условие жёсткости (1.9), для которого выбираем из полученных значений наибольшее по модулю: max 1,347 мм. Тогда условие жёсткости принимает вид

δmax 1,347 мм δ 0,5 мм.

Как видим, условие жёсткости не выполняется. Необходимо назначить новые площади сечений, чтобы соблюдалось условие жёсткости, которое в нашем примере должно иметь вид

Тогда условие жёсткости примет вид

5. Касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные и нормаль-

6. Определение силы P0

Определим, какую силу P0 нужно приложить к свободному торцу бруса, чтобы вернуть его в первоначальное положение. Сечение D получило отрицательное перемещение δ D 1,347 мм. Чтобы вернуть сечение в

первоначальное положение, нужно приложить растягивающую силу Р0, которая растянет брус на 1,347 мм, т. е. деформация всего бруса от силы Р0

составляет l(P0 ) 1,347 мм. Записывая эту деформацию как сумму деформаций участков, получим уравнение

Отсюда

P0 1,35 10 3 6 2 1011 3,6 10 4 47,6кН. 17 1,2

Задача4 Проектныйрасчёт ступенчатого статическинеопределимогобруса

Стальной ступенчатый брус (рис. 1.7, а) жёстко закреплён с торцов. Задана конфигурация бруса и известна внешняя нагрузка: l 0,6 м; P ql ;

q 80 кН/м.

Требуется

1.Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных сил, возникающих в жёстких заделках.

2.Построить эпюру продольных сил N.

3.Составить выражения для нормальных напряжений по всем участкам бруса, используя указанные на чертеже бруса значения площадей сечения через неизвестную величину F.

4.Установить max, составить условие прочности бруса по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение F при

31

= 200 МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

5.Построить эпюры нормальных напряжений и продольных пере-

мещений δ, считая модуль упругости E = 2· 5 МПа. Указать δmax и проверить жёсткость при допускаемом продольном перемещении [δ] = 0,5 мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, назначить новые площади сечений.

6.Для опасного сечения бруса вычислить касательные τα и нормаль-

ные α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α = 45°

коси бруса.

7.Вычислить температурные напряжения, возникающие при повышении температуры среды на 40°. Принять коэффициент линейного удли-

нения = 1,25·10–5 1/град.

8. Найти величины реактивных сил, если между правой заделкой и торцом бруса будет зазор величиной 0,0001·L.

Решение

1. Вычисление реактивных сил

Обозначим реактивные силы, возникающие в жёстких заделках под нагрузкой как RA и RD (рис. 1.7, а). Их величины должны удовлетворять

Как видно, это уравнение содержит два неизвестных RA и RD , поэтому брус является статически неопределимым. Для нахождения RA и RD

необходимо составить еще одно уравнение – уравнение перемещений. При растяжении-сжатии ступенчатого бруса уравнение перемещений

записывают через продольные деформации участков li . Данный брус состоит из трёх участков, поэтому

где Ni – продольное усилие на рассматриваемом участке; E – модуль упругости первого рода или модуль Юнга; Fi – площадь поперечного сечения; li – длина участка бруса.

32

Заметим, что в случае постоянной по участку продольной силы

li NiFli .

E i

а

б

в

г

д

е

ж

Рис. 1.7

33

Сначала запишем для каждого участка бруса продольные усилия и абсолютные деформации. Продольные силы определяем методом сечений, рассматривая отсечённые части каждого участка (рис. 1.7, б, в, г), начиная со свободного конца. При этом продольную силу изображаем положительной, т. е. растягивающей рассматриваемый участок.

Испльзуя уравнение равновесия отсечённой части пр z 0, записываем последовательно продольные силы для каждого участка:

N1 RA qz1 ;

N2 RA ql ;

N3 RA ql qz3 ;

Составим выражения деформаций участков бруса l 1, l 2 и l 3 ,

причём площади сечения возьмём по конфигурации бруса через неизвестное значение F:

Подставляя в (1.17) эти величины, получим уравнение перемещений, записанное через RA :

Уравнение равновесия (1.16) и уравнение перемещений (1.18) составляют систему 2 уравнений с двумя неизвестными – RA и RD ; решая

эту систему, найдём величины реактивных сил. Уравнение (1.18) есть уравнение с одним неизвестным RA . Тогда, умножая его на EF, получим

1,8 RA l 0,5ql 2 RA l ql 2 RA l 1,5ql 2 0 ;

34

3,8RA l 3,4ql 2 0 ;

RA 3,34,8ql 0,89ql .

Из уравнения (1.16) получим

RD –RA 2ql 0,89ql 2ql 1,11ql .

2. Построение эпюры продольных сил N

Подставив найденную реакцию RA в выражения продольных усилий по участкам, получим их значения:

Откладывая от базисной линии эти значения, построим эпюру N

(рис. 1.7, в).

3. Выражения нормальных напряжений

Составим выражения нормальных напряжений для каждого участ-

35

4. Условие прочности бруса

Условие прочности ступенчатого бруса при растяжении-сжатии по допускаемым нормальным напряжениям запишем по (1.5):

Выбираем max из полученных выше значений нормальных напряжений σi как наибольшее по модулю:

max 0,89F ql .

Теперь условие прочности получаем в виде

0,89F ql .

Найдём из этого условия требуемое значение F и назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними:

Принимаем F 2,2 см2 и назначаем площади всех участков бруса:

F1 F 2,2 см2 ; F2 F3 1,8F 1,8 2,2 3,96 см2 .

5. Эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений

Вычислим значения нормальных напряжений по участкам бруса, используя полученные выше выражения:

36

Откладывая полученные значения от базисной линии, построим эпюру распределения нормальных напряжений по длине балки (эпюру ) (рис. 1.7, е).

Построим эпюры продольных перемещений . Сначала подставим в полученные ранее выражения деформаций участков бруса найденные величины площадей и получаем значения деформаций:

0,22 10 3 м = –0,22 мм.

Определим продольные перемещения характерных сечений, обозначив сечения буквами A, B , C , D.

A 0, т. к. точкаA находится в заделке; перемещения сечений B , C , D определим с помощью (1.7):

δB l1 0,26 мм;

δC l1 l 2 0,26 0,04=0,22 мм;

D l 1 l 2 l 3 0,26 0,04 0,22 0.

Продольное перемещение в сечении D оказался равным нулю, т. к. это сечение находится в заделке.

По полученным значениям построим эпюры продольных перемещений (рис. 1.7, ж). Уточним линию на первом участке, где имеем линейный характер силы N1 и пересечение её эпюры с базисной линией в сече-

нии K при z 1 z K1 :

N K1 0,89ql qz K1 0 .

37

Вычислим координату z K1 0,89ql / q 0,89l . Перемещение этого сечения равно деформации участка AK, поэтому

Отложив это значение, проводим кривую с перегибом в точке K. Проверим условие жёсткости, для этого из эпюры перемещений

возьмём δmax δK 0,262 мм и запишем δmax δK 0,262 < δ = 0,5 мм, значит, условие жёсткости выполняется.

6. Касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные τα и нормальныеα напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α = 45° к оси бруса. Напряжения на наклонных площадках вычисляют по известным формулам (1.10):

τα σ2 sin 2α 1942 sin 2 45 = 97 МПа ;

σα σ cos2 α 194 cos2 45 194 0,5 = 97 МПа .

7. Температурные напряжения

Вычислим температурные напряжения, возникающие при повышении температуры среды на 40°. Для этого составим уравнение перемещений (1.17), учитывая удлинение от температуры и сжатие от реакций, возникающих в заделках. При этом удлинение определяем по формуле

l t l NEtFl .

38

Задача 5

Проектный расчёт стержневой статически неопределимой системы при растяжении и сжатии

В статически неопределимой стержневой системе абсолютно жёсткий брус AB опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен двумя упругими стержнями к неподвижной опорной поверхности (рис. 1.8, а). Брус несёт нагрузку известной величины: l 1,6 м, q = 20 кН/м; P 2 ql .

Требуется

1.Найти усилия в упругих стержнях, используя уравнения равновесия и уравнение перемещений.

2.Подобрать площади поперечных сечений стержней, используя условия прочности по допускаемым напряжениям и по методу предельного

состояния, если допускаемое напряжение = 200 МПа, предел текучести

т = 320 МПа, запас прочности n = 1,6.

3. Вычислить температурные напряжения, возникающие в стержнях при повышении температуры среды на 15 С. Принять коэффициент линейного удлинения = 1,25·10–5 1/град.

Решение

1. Нахождение усилий в стержнях

Статически неопределимые стержневые системы – это системы, в которых количество стержней превышает количество уравнений равновесия.

Брус АВ имеет шарнирно-подвижные опоры в точках А и В и шар- нирно-неподвижную в точке K. В опорах возникают реакции RAC, RBD, RK и HK (рис. 1.8, б). Для плоской системы можно составить три уравнения равновесия, а неизвестных четыре, значит, заданная система имеет одну «лишнюю» связь, и степень ее статической неопределимости 1.

При расчётах необходимо знать продольные силы, возникающие во всех стержнях. Для нахождения этих усилий дополнительно к уравнениям равновесия составляют уравнения, учитывающие характер деформации системы. Их называют уравнениями совместности деформаций (или уравнениями перемещений). Число их равно количеству «лишних» (с точки зрения статики) связей системы и характеризует степень её статической неопределимости. Использование уравнений перемещений основано на том, что деформации стержней можно выразить через неизвестные про-

дольные силы по формуле l EFNl и сравнить между собой.

40

Под действием внешней нагрузки брус АВ займет положение А1В1 (рис. 1.7, г). Горизонтальными перемещениями концов А и В пренебрегаем