Как найти площадь таврового сечения

ПОСОБИЕ

ЧАСТЬ 2

ТАВРОВЫЕ И ДВУТАВРОВЫЕ СЕЧЕНИЯ
3.20. Расчет сечений, имеющих полку в сжатой зоне (тавровых, двутавровых и т. п.), должен производиться в зависимости от положения границы сжатой зоны:
а) если граница сжатой зоны проходит в полке (черт. 5, а), т.е. соблюдается условие
(27)
расчет производится как для прямоугольного сечения шириной в соответствии с пп. 3.15 и 3.17;
б) если граница сжатой зоны проходит в ребре (черт. 5, б), т.е. условие (27) не соблюдается, расчет производится из условия
(28)
При этом высота сжатой зоны бетонах определяется по формуле
(29)
и принимается не более x_R h₀ (см. табл. 18 и 19).
Если х і x_R h₀ , условие (28) можно записать в виде
(30)
где a_R — см. табл. 18 и 19.
При этом следует учитывать рекомендации п. 3.16.
Примечания: 1. При переменной высоте свесов полки допускается принимать значение равным средней высоте свесов.
2. Ширина сжатой полки вводимая в расчет, не должна превышать величин, указанных в п. 3.23.

Черт. 5. Положение границы сжатой зоны в тавровом сечении изгибаемого железобетонного элемента
а — в полке; б — в ребре
3.21. Требуемая площадь сечения сжатой арматуры определяется по формуле
(31)
где a_R — см. табл. 18 и 19.
3.22. Требуемая площадь сечения растянутой арматуры определяется следующим образом:
а) если граница сжатой зоны проходит в полке, т. е. соблюдается условие
(32)
площадь сечения растянутой арматуры определяется как для прямоугольного сечения шириной в соответствии с пп. 3.18 и 3.19;
б) если граница сжатой зоны проходит в ребре, т. е. условие (32) не соблюдается, площадь сечения растянутой арматуры определяется по формуле
(33)
где x определяется по табл. 20 в зависимости от значения
(34)
При этом должно удовлетворяться условие a_m Ј a_R (см. табл. 18 и 19).
3.23 (3.16). Вводимое в расчет значение принимается из условия, что ширина свеса в каждую сторону от ребра должна быть не более 1/6 пролета элемента и не более:
а) при наличии поперечных ребер или при расстояния в свету между продольными ребрами;
б) при отсутствии поперечных ребер (или при расстояниях между ними больших, чем расстояния между продольными ребрами) и
в) при консольных свесах полки:
при
І
І — свесы не учитываются.
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Прямоугольные сечения
Пример 2. Дано: сечение размерами b = 300 мм, h = 600 мм; a = 40 мм; g_b2 = 0,9 (нагрузки непродолжительного действия отсутствуют); изгибающий момент М = 200 кН · м; бетон тяжелый класса В15 (R_b = 7,7 МПа); арматура класса A-II (R_s = 280 МПа).
Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.
Расчет. H₀ = 600 – 40 = 560 мм. Подбор продольной арматуры производим согласно п. 3.18. По формуле (22) вычислим значение a_m:

Из табл. 18 для элемента из бетона класса В15 с арматурой класса A-II при g_b2 = 0,9 находим a_R = 0,449.
Так как a_m = 0,276 < a_R = 0,449, сжатая арматура по расчету не требуется.
Из табл. 20 при a_m = 0,276 находим z = 0,835.
Требуемую площадь сечения растянутой арматуры определим по формуле (23):

Принимаем 2 Æ 28 + 1 Æ 25 (A_s = 1598 мм²).
Пример 3. Дано: сечение размерами b = 300 мм, h = 800 мм; а = 70 мм; растянутая арматура класса A-III (R_s = 365 МПа); площадь ее сечения А_s = 2945 мм² (6 Æ 25); g_b2 = 0,9 (нагрузки непродолжительного действия отсутствуют); бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа); изгибающий момент М = 550 кН · м.
Требуется проверить прочность сечения.
Расчет. h₀ = 800 – 70 = 730 мм. Проверку прочности сечения производим согласно п. 3.17.
Определим значение х:

Из табл. 18 для элементов из бетона класса В25 с арматурой класса A-III при g_b2 = 0,9 находим x_R = 0,604.
Так как прочность проверим из условия (20):

т. е. прочность сечения обеспечена.
Пример 4. Дано: сечение размерами b = 300 мм, h = 800 мм; а = 50 мм; арматура класса А-III (R_s = R_sc = 365 МПа); изгибающий момент с учетом крановой нагрузки М_II = 780 кН · м; момент без учета крановой нагрузки М_I = 670 кН · м; бетон тяжелый класса В15 (R_b = 8,5 МПа при g_b2 = 1,0).
Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.
Расчет производим на полную нагрузку, корректируя расчетное сопротивление бетона согласно п. 3.1.
Так как принимаем R_b = 8,5 · 1,05 = 8,93 МПа.
Вычислим h₀ = 800 – 50 = 750 мм.
Определим требуемую площадь продольной арматуры согласно п. 3.18. По формуле (22) находим значение a_m:

Так как a_m = 0,518 > a_R = 0,42 (см. табл. 18 при g_b2 = 1,0), при заданных размерах сечения и классе бетона необходима сжатая арматура. Далее расчет производим согласно п. 3.19.
Принимая а’ = 30 мм, по формулам (24) и (25) определим необходимую площадь сечения сжатой и растянутой арматуры:


Принимаем = 763 мм² (3 Æ 18); A_s = 4021 мм² (5 Æ 32).
Пример 5. Дано: сечение размерами b = 300 мм, h = 700 мм; а = 50 мм, а’ = 30 мм; бетон тяжелый класса В30 (R_b = 15,5 МПа при g_b2 = 0,9); арматура класса A-III (R_s = 365 МПа); площадь сечения сжатой арматуры = 942 мм² (3 Æ 20); изгибающий момент М = 580 кН · м.
Требуется определить площадь сечения растянутой арматуры.
Расчет. h₀ = 700 – 50 = 650 мм. Расчет производим с учетом площади сжатой арматуры согласно п. 3.19.
Вычислим значение a_m:

a_m = 0,187 < a_R = 0,413 (см. табл. 18).
По табл. 20 при a_m = 0,187 находим x = 0,21. Необходимую площадь растянутой арматуры определим по формуле (26):

Принимаем 3 Æ 36 (R_s = 3054 мм²).
Пример 6. Дано: сечение размерами b = 300 мм, h = 700 мм; a = 70 мм, aў = 30 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9); арматура класса A-III (R_s = R_sc = 365 МПа); площадь сечения растянутой арматуры A_s = 4826 мм² (6 Æ 32), сжатой = 339 мм² (3 Æ 12); изгибающий момент М = 600 кН · м.
Требуется проверить прочность сечения.
Расчет. h₀ = 700 – 70 = 630 мм. Проверку прочности сечения производим согласно п. 3.15.
По формуле (16) вычислим высоту сжатой зоны х:

По табл. 18 находим x_R = 0,604 и a_R = 0,422.
Так как х = 420 мм > x_R h₀ = 0,604 · 630 = 380 мм, прочность сечения проверим из условия (18):

т. е. прочность сечения обеспечена.
Тавровые и двутавровые сечения
Пример 7 . Дано: сечение размерами = 1500 мм, = 50 мм, b = 200 мм, h = 400 мм; a = 40 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9); арматура класса A-III (R_s = 365 МПа); изгибающий момент М = 300 кН · м.
Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.
Расчет. h₀ = 400 – 40 = 360 мм. Расчет производим согласно п. 3.22 в предположении, что сжатая арматура по расчету не требуется.
Проверим условие (32), принимая = 0; = 13 · 1500 · 50 (360 – 0,5 · 50) = 326,6 · 10⁶ Н · мм = 326,6 кН · м > М = 300 кН · м, т. е. граница сжатой зоны проходит в полке, и расчет производим как для прямоугольного сечения шириной b = = 1500 мм согласно п. 3.18. Вычислим значение a_m:
(см. табл. 18),
т. е. сжатая арматура действительно не требуется.
Площадь сечения растянутой арматуры вычислим по формуле (23). Для этого по табл. 20 при a_m = 0,119 находим z = 0,938, тогда
мм².
Принимаем 4 Æ 28 (A_s = 2463 мм²).
Пример 8. Дано: сечение размерами = 400 мм, = 120 мм, b = 200 мм, h = 600 мм; a = 60 мм; бетон тяжелый класса В15 (R_b = 7,7 МПа при g_b2 = 0,9); арматура класса A-III (R_s = 365 МПа); изгибающий момент M = 270 кН · м.
Требуется определить площадь сечения растянутой арматуры.
Расчет. h₀ = 600 – 60 = 540 мм. Расчет производим согласно п. 3.22 в предположении, что сжатая арматура не требуется.
Так как = 7,7 · 400 · 120 (540 – 0,5 · 120) = 177,4 · 10⁶ Н · мм = 177,4 кН · м < М = 270 кН · м, т. е. граница сжатой зоны проходит в ребре, площадь сечения растянутой арматуры определим по формуле (33).
Для этого вычислим значение a_m:

(см. табл. 18), следовательно, сжатая арматура не требуется.
Из табл. 20 при a_m = 0,404 находим x = 0,563, тогда

Принимаем 4 Æ 25 (A_s = 1964 мм²).
Пример 9. Дано: сечение размерами = 400 мм, = 100 мм, b = 200 мм, h = 600 мм; a = 70 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9); растянутая арматура класса A-III (R_s = 365 МПа); площадь ее сечения А_s = 1964 мм² (4 Æ 25); = 0; изгибающий момент М= 300 кН · м.
Требуется проверить прочность сечения.
Расчет. h₀ = 600 – 70 = 530 мм. Проверку прочности сечения производим согласно п. 3.20, принимая = 0. Так как R_sA_s = 365 · 1964 = 716 860 H > = 13 · 400 · 100 = 520 000 H, граница сжатой зоны проходит в ребре. Прочность сечения проверим из условия (28).
Для этого по формуле (29) определим высоту сжатой зоны х:

(x_R найдено из табл. 18) ;

т. е. прочность сечения обеспечена. ЭЛЕМЕНТЫ, РАБОТАЮЩИЕ НА КОСОЙ ИЗГИБ
3.24. Расчет прямоугольных, тавровых, двутавровых и Г-образных сечений элементов, работающих на косой изгиб, допускается производить, принимая форму сжатой зоны по черт. 6, при этом должно удовлетворяться условие
(35)
где М_x — составляющая изгибающего момента в плоскости оси х (за оси х и y принимаются две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения растянутой арматуры параллельно сторонам сечения; для сечения с полкой ось х принимается параллельно плоскости ребра);
(36)
A_b — площадь сжатой зоны бетона, равная:
(37)
А_ov — площадь наиболее сжатого свеса полки;
x₁ — размер сжатой зоны бетона по наиболее сжатой боковой стороне сечения, определяемый по формуле
(38)
b₀ — расстояние от центра тяжести сечения растянутой арматуры до наиболее сжатой боковой грани ребра (стороны);
S_ov,y — статический момент площади А_ov в плоскости оси у относительно оси х;
S_sy — статический момент площади в плоскости оси у относительно оси х;
M_y — составляющая изгибающего момента в плоскости оси у;
S_ov,x — статический момент площади А_ov в плоскости оси х относительно оси у;
S_sx — статический момент площади в плоскости оси х относительно оси у.

Черт. 6. Форма сжатой зоны в поперечном сечения железобетонного
элемента, работающего на косой изгиб
а — таврового сечения; б — прямоугольного сечения; 1 — плоскость действия изгибающего момента; 2 — центр тяжести сечения растянутой арматуры
Если учитываемые в расчете растянутые арматурные стержни располагаются в плоскости оси х (черт. 7), значение x₁ вычисляется по формуле
(39)
где
b — угол наклона плоскости действия изгибающего момента к оси х, т.е. ctgb = М_x/М_y.

Черт. 7. Сечение с растянутыми арматурными стержнями
в плоскости оси х
Формулой (39) также следует пользоваться независимо от расположения арматуры, если необходимо определить предельное значение изгибающего момента при заданном угле b.
При расчете прямоугольных сечений значения А_ov, S_ov,x и S_ov,y в формулах (35), (36), (38) и (39) принимаются равными нулю.
Если A_b < А_ov или x₁ < 0,2, расчет производится как для прямоугольного сечения шириной b =
Если выполняется условие
(40)
(где b_ov — ширина наименее сжатого свеса полки), расчет производится без учета косого изгиба, т. е. по формулам пп. 3.15 и 3.20, на действие момента М = М_x, при этом следует проверить условие (41), принимая x₁, как при косом изгибе.
При определении значения A_b по формуле (37) напряжение в растянутом стержне, ближайшем к границе сжатой зоны, не должно быть менее R_s, что обеспечивается соблюдением условия
(41)
где x_R — см. табл. 18 и 19;
b_0i, h_0i — расстояния от рассматриваемого стержня соответственно до наиболее сжатой боковой грани ребра (стороны) и до наиболее сжатой грани, нормальной к оси х (см. черт. 6);
— ширина наиболее сжатого свеса;
q — угол наклона прямой, ограничивающей сжатую зону, к оси у; значение tgq определяется по формуле

Если условие (41) не соблюдается, расчет сечения производится последовательными приближениями, заменяя в формуле (37) для каждого растянутого стержня величину R_s значениями напряжений, равными:
но не более R_s,
где y_c, w — принимаются по табл. 18 и 19, при этом оси х и у проводятся через равнодействующую усилий в растянутых стержнях.
При проектировании конструкций не рекомендуется допускать превышения значения x_i над x_R более чем на 20 %, при этом допускается производить только один повторный расчет с заменой в формуле (37) значений R_s для растянутых стержней, для которых x_i > x_R, на напряжения, равные:
(42)
При повторном расчете значение х₁ определяется по формуле (39) независимо от расположения растянутых стержней.
Расчет на косой изгиб производится согласно п. 3.27, если выполняются условия:
для прямоугольных, тавровых и Г-образных сечений с полкой в сжатой зоне
(43)
для двутавровых, тавровых и Г-образных сечений с полкой в растянутой зоне
(44)
где h_f, b_ov,t — высота и ширина наименее растянутого свеса полки (черт. 8).

Черт. 8. Тавровое сечение со сжатой зоной,
заходящей в наименее растянутый свес полки
При пользовании формулой (37) за растянутую арматуру площадью А_s рекомендуется принимать арматуру, располагаемую вблизи растянутой грани, параллельной оси у, а за сжатую арматуру площадью — арматуру, располагаемую вблизи сжатой грани, параллельной оси у, но по одну наиболее сжатую сторону от оси х (см. черт. 6).
3.25. Требуемое количество растянутой арматуры при косом изгибе для элементов прямоугольного, таврового и Г-образного сечений с полкой в сжатой зоне рекомендуется определять с помощью черт. 9. Для этого ориентировочно задаются положением центра тяжести сечения растянутой арматуры и по графику определяют a_s в зависимости от значений:


[обозначения — см. формулы (35) — (38)].
Если a_mx < 0, расчет производится как для прямоугольного сечения, принимая
Если значение a_s на графике находится по левую сторону от кривой, отвечающей параметру подбор арматуры производится без учета косого изгиба, т. е. согласно пп. 3.18, 3.19 и 3.22, на действие момента М = М_x.
Требуемая площадь растянутой арматуры при условии работы ее с полным расчетным сопротивлением определяется по формуле
(45)
где А_ov — см. формулу (36).
Центр тяжести сечения фактически принятой растянутой арматуры должен отстоять от растянутых граней не дальше, чем принятый в расчете центр тяжести. В противном случае расчет повторяют, принимая новый центр тяжести сечения растянутой арматуры.
Условием работы растянутой арматуры с полным расчетным сопротивлением является выполнение условия (41).
Для элементов из бетона класса В25 и ниже условие (41) всегда выполняется, если значения a_s на черт. 9 находятся внутри области, ограниченной осями координат и кривой, отвечающей параметру
Если условие (41) не выполняется, следует поставить (увеличить) сжатую арматуру либо повысить класс бетона, либо увеличить размеры сечения (особенно наиболее сжатого свеса).
Значения a_s на графике не должны находиться между осью a_my и кривой, соответствующей параметру h₀/h. В противном случае x₁ становится более h, и расчет тогда производится согласно п. 3.27.
3.26. Расчет на косой изгиб прямоугольных и двутавровых симметричных сечений с симметрично расположенной арматурой может производиться согласно п. 3.76, принимая N = 0.
3.27. Для не оговоренных в пп. 3.24—3.26 сечений, а также при выполнении условий (43) и (44) или если арматура распределена по сечению, что не позволяет до расчета установить значения А_s и и расположение центров тяжести растянутой и сжатой арматуры, расчет на косой изгиб следует производить, пользуясь формулами для общего случая расчета нормального сечения (см. п. 3.76) с учетом указаний п. 3.13.
Порядок пользования формулами общего случая рекомендуется следующий:
1) проводят две взаимно перпендикулярные оси х и у через центр тяжести сечения наиболее растянутого стержня по возможности параллельно сторонам сечения;
2) подбирают последовательными приближениями положение прямой, ограничивающей сжатую зону, так, чтобы при N = 0 удовлетворялось равенство (154) после подстановки в него значений s_si, определенных по формуле (155). При этом угол наклона этой прямой q принимают постоянным и равным углу наклона нейтральной оси, определенному как для упругого материала;
3) определяют моменты внутренних усилий относительно осей х и у соответственно M_yu и М_xu.

Черт. 9. График несущей способности прямоугольного, таврового
и Г-образного сечений для элементов, работающих на косой изгиб
Если оба эти момента оказываются больше или меньше соответствующих составляющих внешнего момента (M_y и М_x), прочность сечения считается соответственно обеспеченной или необеспеченной.
Если один из моментов (например, М_yu) меньше соответствующей составляющей внешнего момента M_y, а другой момент больше составляющей внешнего момента (т.е. М_xu > М_x), задаются другим углом q (большим, чем ранее принятый) и вновь производят аналогичный расчет.
Примеры расчета
Пример 10. Дано: железобетонный прогон кровли с уклоном 1:4 (ctgb = 4); сечение и расположение арматуры — по черт. 10; g_b2 = 0,9 (нагрузки непродолжительного действия отсутствуют); бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа); растянутая арматура класса A-III (R_s = 365 МПа); площадь ее сечения А_s = 763 мм² (3 Æ 18); = 0, изгибающий момент в вертикальной плоскости М = 82,6 кН · м.
Требуется проверить прочность сечения.
Расчет. Из черт. 10 следует:
мм;
мм;
мм;
мм.

Черт. 10. К примеру расчета 10
1 — плоскость действия изгибающего момента; 2 — центр тяжести
сечения растянутой арматуры
По формуле (37) определим площадь сжатой зоны бетона А_b:
мм².
Площадь наиболее сжатого свеса полки и статические моменты этой площади относительно осей х и у соответственно равны:
мм²;
мм³;
мм³.
Так как А_b >А_ov, расчет продолжаем как для таврового сечения.
мм².
Составляющие изгибающего момента в плоскости осей у и х соответственно равны (при ctgb = 4):
кН·м.
кН·м.
Определим по формуле (38) размер сжатой зоны бетона x₁ по наиболее сжатой стороне сечения, принимая S_sy = 0:

Проверим условие (40):

Следовательно, расчет продолжаем по формулам косого изгиба.
Проверим условие (41) для наименее растянутого стержня. Из черт. 10 имеем b_0i = 30 мм,
h_0i = 400 – 30 = 370 мм:


(см. табл. 18).
Условие (41) не соблюдается. Расчет повторим, заменяя в формуле (37) значение R_s для наименее растянутого стержня напряжением s_s, определенным по формуле (42), корректируя значения h₀ и b₀.
Из табл. 18 имеем w = 0,746 и y_c = 4,26.

Поскольку все стержни одинакового диаметра, новые значения А_b, b₀ и h₀ будут равны:
мм²;
мм;
мм.
Аналогично определим значения S_ov,y, S_ov,x и A_web:



Значение x₁ определим по формуле (39):


Проверим прочность сечения из условия (35), принимая S_sx = 0:

т. е. прочность сечения обеспечена.
Пример 11. По данным примера 10 необходимо подобрать площадь растянутой арматуры при моменте в вертикальной плоскости М = 64 кН·м.
Расчет. Составляющие изгибающего момента в плоскости осей у и х равны:


Определим необходимое количество арматуры согласно п. 3.25.
Принимая значения b₀, h₀, S_0v,x, S_0v,y, S_sy = = 0 из примера 10, находим значение a_mx и a_my:


Так как a_mx > 0, расчет продолжаем как для таврового сечения.
Поскольку точка с координатами a_mx = 0,227 и a_my = 0,114 на черт. 9 находится по правую сторону от кривой, отвечающей параметру и по левую сторону от кривой, отвечающей параметру арматура будет работать с полным расчетным сопротивлением, т. е. условие (41) выполнено. Требуемую площадь растянутой арматуры определим по формуле (45).
По черт. 9 при a_mx = 0,227 и a_my = 0,114 находим a_s = 0,25. Тогда, принимая = 0, имеем
мм².
Принимаем стержни 3 Æ 16 (A_s = 603 мм²) и располагаем их, как показано на черт. 10.
Пример 12. Дано: навесная стеновая панель общественного здания пролетом 5,8 м с поперечным сечением по черт. 11; бетон легкий класса В3,5, марки по средней плотности D1100; арматура класса А-III; нагрузки на панель в стадии эксплуатации: в плоскости панели — собственный вес и вес вышерасположенного остекления (включая простенки) высотой 3м 3,93 кН/м², из плоскости панели — ветровая нагрузка 0,912 кН/м²,
Требуется проверить прочность панели в стадии эксплуатации.

Черт. 11. К примеру расчета 12
1 — 8 — стержни
Расчет. Сначала определим изгибающие моменты, действующие в среднем сечении панели в плоскости и из плоскости панели.
Согласно п. 2.13 определим нагрузку от собственного веса панели. Поскольку класс легкого бетона ниже В12,5, плотность бетона панели равна g = 1,1D = 1,1·1100 = 1210 кг/м³. Тогда нагрузка от собственного веса панели будет равна:

а с учетом коэффициента надежности по нагрузке g_f = 1,2 (поскольку g < 1800 кг/м³)

Нагрузка от веса вышерасположенного остекления q_g = 3,93 · 3 = 11,8 кН/м.
Итого нагрузка, действующая в плоскости панели, равна:

а момент в середине панели от этой нагрузки

Ветровая нагрузка на 1 м длины панели, учитывая передачу нагрузки от выше- и нижерасположенного остекления, равна:

а момент от этой нагрузки равен:

Поскольку арматура распределена неравномерно по всему сечению, прочность проверим по формулам общего случая расчета согласно п. 3.76 (с учетом п. 3.13).
Все стержни обозначим номерами, как показано на черт. 11. Через центр наиболее растянутого стержня 1 проводим ось х параллельно размеру h = 1195 мм и ось у — параллельно размеру b = 340 мм.
Угол q между осью у и прямой, ограничивающей сжатую зону, принимаем как при расчете упругого тела на косой изгиб:

Определим в первом приближении площадь сжатой зоны бетона по формуле (37), т. е. приняв все стержни с полными расчетными сопротивлениями, при этом стержень 8 принимаем сжатым, а остальные стержни — растянутыми.
Для стержней 1, 2, 7, 8 (Æ 10) имеем R_s = R_sc = 365 МПа, а для стержней 3 — 6 (Æ 6) — R_s = 355 МПа, тогда:


Поскольку имеет место ветровая нагрузка, значение R_b принимаем с учетом коэффициента g_b2 = 1,1, т.е. R_b = 2,3 МПа.

Площадь сжатой зоны в предположении треугольной ее формы определяется по формуле где x₁ — размер сжатой зоны по стороне сечения h, отсюда x₁ равен:

Размер у₁ сжатой зоны по стороне сечения b равен:

т. е. действительно сжатая зона имеет треугольную форму.
Нанеся эти размеры на черт. 11, видим, что стержень 8 оказался в сжатой зоне, а все остальные — в растянутой. Проверим напряжение s_si в стержнях, ближайших к границе сжатой зоны, т. е. в стержнях 6—8, по формуле (155), определяя отношения по формуле где a_xi и a_yi — расстояния от i-го стержня до наиболее сжатой стороны сечения соответственно в направлении осей х и у.
Принимая s_sc,u = 400 МПа, w = 0,8 – 0,008R_b = 0,8 – 0,008 · 2,3 = 0,782, получим

Вычисления сведем в следующую таблицу:

Из таблицы видно, что только для стержня 6 было принято при вычислении A_b неправильное напряжение: 355 МПа вместо 120,9 МПа. Принимаем в этом стержне напряжение несколько большее, чем вычисленное, — s_s6 = 160 МПа. Из равенства (154) при N = 0 вычислим значение A_b:

Аналогично вычислим мм.
Отсюда для стержня 6 имеем:


т. е. значение s_s6 близко к принятому, и, следовательно, A_b и x₁ не следует пересчитывать.
Определим моменты внутренних сил относительно осей у и х соответственно М_xu и М_yu.



Поскольку оба внутренних момента превышают обе составляющие внешнего момента, прочность сечения обеспечена.

Окончательно значение R_sА_s принимается не более значения R_sА_s, определенного без учета g_s5 и N_w.
3.45. Для свободно опертых балок невыгоднейшее наклонное сечение начинается от грани опоры и имеет длину проекции с для балок с постоянной высотой сечения, равную:
(83)
но не более максимальной длины приопорного участка, за пределами которого выполняется условие (72) с умножением правой части на 0,8 и при значении с не более 0,8c_max.
В формуле (83):
Q — поперечная сила в опорном сечении;
F_i, q — нагрузки соответственно сосредоточенная и равномерно распределенная в пределах наклонного сечения;
A_s,inc — площадь сечения отгибов, пересекающих наклонное сечение;
q — угол наклона отгибов к продольной оси элемента;
q_sw — то же, что в формуле (55).
Если значение с, определенное с учетом сосредоточенной силы F_i, будет меньше расстояния от грани опоры до силы F_i, а определенное без учета силы F_i — больше этого расстояния, за значение с следует принимать расстояние до силы F_i.
Если в пределах длины с хомуты изменяют свою интенсивность с q_sw1 у начала наклонного сечения на q_sw2, значение с определяется по формуле (83) при q_sw = q_sw2 и при уменьшении числителя на величину (q_sw1 – q_sw2)l₁ (где l₁ — длина участка с интенсивностью хомутов q_sw1).
Для балок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой q, с постоянной интенсивностью хомутов без отгибов условие (77) можно заменить условием
(84)
где Q — поперечная сила в опорном сечении;
М₀ — момент в сечении по грани опоры.
Для консолей, нагруженных сосредоточенными силами (черт. 22, б), невыгоднейшее наклонное сечение начинается от мест приложения сосредоточенных сил вблизи свободного конца и имеет длину проекции с для консолей с постоянной высотой, равную:
(85)
но не более расстояния от начала наклонного сечения до опоры (здесь Q₁ — поперечная сила в начале наклонного сечения).
Для консолей, нагруженных только равномерно распределенной нагрузкой q, невыгоднейшее наклонное сечение заканчивается в опорном сечении и имеет длину проекции с, равную:
(86)
при этом, если с < l – l_an, расчет наклонного сечения можно не производить.
В формуле (86):
А_s — площадь сечения арматуры, доводимой до свободного конца;
z_{s —} см. п. 3.42; значение z_s определяется для опорного сечения;
l_an — длина зоны анкеровки (см. п. 3.44).
Для элементов с высотой сечения, увеличивающейся с увеличением изгибающего момента, при определении длины проекции невыгоднейшего сечения по формулам (83) или (85) числители этих формул уменьшаются на величину R_sA_stgb — при наклонной сжатой грани и на величину R_sA_ssinb — при наклонной растянутой грани (где b) — угол наклона грани к горизонтали) .
3.46. Для обеспечения прочности наклонных сечений на действие изгибающего момента в элементах постоянной высоты с хомутами продольные растянутые стержни, обрываемые в пролете, должны заводиться за точку теоретического обрыва (т. е. за нормальное сечение, в котором внешний момент становится равным несущей способности сечения без учета обрываемых стержней; черт. 23) на длину не менее величины w, определяемой по формуле
(87)
где Q — поперечная сила в нормальном сечении, проходящем через точку теоретического обрыва;
A_s,inc, q — обозначения те же, что в формуле (83);
d — диаметр обрываемого стержня;
q_sw — см. п. 3.31.
Для балок с наклонной сжатой гранью числитель формулы (87) уменьшается на R_sA_stgb, а для балок с наклонной растянутой гранью — на R_sA_ssinb (где b — угол наклона грани к горизонтали). Кроме того, должны быть учтены требования п. 5.44.
Для элементов без поперечной арматуры значение w принимается равным 10d, при этом место теоретического обрыва должно находиться на участке элемента, на котором выполняется условие (72), с умножением правой части на 0,8 и при значении с не более 0,8с_max.

Черт. 23. Обрыв растянутых стержней в пролете
1 — точка теоретического обрыва; 2 — эпюра М
3.47. Для обеспечения прочности наклонных сечений на действие изгибающего момента начало отгиба в растянутой зоне должно отстоять от нормального сечения, в котором отгибаемый стержень полностью используется по моменту, не менее чем на h₀/2, а конец отгиба должен быть расположен не ближе того нормального сечения, в котором отгиб не требуется по расчету.
РАСЧЕТ НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЙ В ПОДРЕЗКАХ
3.48. Для элементов с резко меняющейся высотой сечения (например, для балок и консолей, имеющих подрезки), производится расчет по поперечной силе для наклонных сечений, проходящих у опоры консоли, образованной подрезкой (черт. 24), согласно пп. 3.31—3.39, при этом в расчетные формулы вводится рабочая высота h₀₁ короткой консоли, образованной подрезкой.

Черт. 24. Невыгоднейшие наклонные сечения
в элементе с подрезкой
1 — наклонная сжатая полоса; 2 — при расчете по поперечной силе; 3 — то же, по изгибающему моменту; 4 — то же, по изгибающему моменту вне подрезки
Хомуты, необходимые для обеспечения прочности наклонного сечения, следует устанавливать за конец подрезки на участке длиной не менее w₀, определяемой по формуле (88).
3.49. Для свободно опертых балок с подрезками должен производиться расчет на действие изгибающего момента в наклонном сечении, проходящем через входящий угол подрезки (см. черт. 24), согласно пп. 3.42—3.45. При этом продольная растянутая арматура в короткой консоли, образованной подрезкой, должна быть заведена за конец подрезки на длину не менее l_an (см. п. 5.44) и не менее величины w₀, равной:
(88)
где Q₁ — поперечная сила в нормальном сечении у конца подрезки;
A_sw1 —площадь сечения дополнительных хомутов, расположенных у конца подрезки на участке длиной не более h₀₁/4 и не учитываемых при определении интенсивности хомутов q_sw у подрезки;
A_s,inc — площадь сечения отгибов, проходящих через входящий угол подрезки;
a₀ — расстояние от опоры консоли до конца подрезки;
d — диаметр обрываемого стержня.
Хомуты и отгибы, установленные у конца подрезки, должны удовлетворять условию
(89)
где h₀₁, h₀ — рабочая высота соответственно в короткой консоли подрезки и в балке вне подрезки.
Если нижняя арматура элемента не имеет анкеров, должна быть также проверена, согласно пп. 3.42—3.45, прочность наклонного сечения, расположенного вне подрезки и начинающегося за указанными хомутами на расстоянии не менее h₀—h₀₁ от торца (см. черт. 24). При этом в расчете не учитывается продольная арматура короткой консоли, а длина проекции с принимается не менее расстояния от начала наклонного сечения до конца указанной арматуры. Кроме того, длина анкеровки l_an для нижней арматуры элемента принимается как для свободных концов консолей.
Расчет короткой консоли подрезки производится согласно пп. 3.99 и 3.100, принимая направление наклонной сжатой полосы от наружного края площадки опирания до равнодействующей усилий в дополнительных хомутах площадью сечения A_sw1 на уровне сжатой арматуры балок, т. е. при (где l_sup — см. п. 3.99, a_x — см. черт. 24), при этом в формуле (207) коэффициент 0,8 заменяется на 1,0.
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Расчет наклонных сечений на действие поперечной силы
Пример 13. Дано: железобетонная плита перекрытия с размерами поперечного сечения по черт. 25; бетон тяжелый класса В15 (R_b = 7,7 МПа и R_bt = 0,67 МПа при g_b2 = 0,9; E_b = 20,5 · 10³ МПа); ребро плиты армировано плоским сварным каркасом с поперечными стержнями из арматуры класса А-III, диаметром 8 мм (A_sw = 50,3 мм²; R_sw = 285 МПа; E_s = 2 · 10⁵ МПа), шагом s = 100 мм; временная эквивалентная нагрузка v = 18 кН/м; нагрузка от собственного веса плиты и пола g = 3,9 кН/м; поперечная сила на опоре Q_max = 62 кН.
Требуется проверить прочность наклонной полосы ребра между наклонными трещинами, а также прочность наклонных сечений по поперечной силе.

Черт. 25. К примеру расчета 13
Расчет. h₀ = 350 – 58 = 292 мм. Прочность наклонной полосы проверим из условия (47).
Определим коэффициенты j_w1 и j_b1:


отсюда j_w1 = 1 + 5am_w = 1 + 5 · 9,76 · 0,0059 = 1,29 < 1,3;
для тяжелого бетона b = 0,01;

тогда
т. е. прочность наклонной полосы обеспечена.
Прочность наклонного сечения по поперечной силе проверим из условия (50).
Определим величины M_b и q_sw:
(см. табл. 21);
так как , принимаем – b = 150 мм, тогда:


Н/мм (кН/м).
Определим значение Q_b,min, принимая j_b3 = 0,6:

Поскольку
условие (57) выполняется, и, следовательно, значение М_b не корректируем.
Согласно п. 3.32 определим длину проекции невыгоднейшего наклонного сечения с:
кН/м (Н/мм),
поскольку 0,56q_sw = 0,56 · 143 == 80 кН/м > q₁ = 12,9 кН/м, значение с определим только по формуле
м.
Тогда
кН.
Длина проекции наклонной трещины равна:

Поскольку c₀ = 0,288 < h₀ = 0,292 м, принимаем c₀ = h₀ = 0,292 м, тогда Q_sw = q_swc₀ = 143 · 0,292 = 41,8 кН.
Проверим условие (50):

т. е. прочность наклонного сечения по поперечной силе обеспечена. Кроме того, должно выполняться требование п. 3.29:

Условия п. 5.69 s < h/2 = 350/2 = 175 мм и s < 150 мм также выполняются.
Пример 14. Дано: свободно опертая железобетонная балка перекрытия пролетом l = 5,5 м; временная равномерно распределенная эквивалентная нагрузка на балку v = 36 кН/м; постоянная нагрузка g = 14 кН/м; размеры поперечного сечения b = 200 мм, h = 400 мм, h₀ = 370 мм; бетон тяжелый класса В15 (R_b = 7,7 МПа; R_bt = 0,67 МПа при g_b2 = 0,9); хомуты из арматуры класса А-I (R_sw = 175 МПа).
Требуется определить диаметр и шаг хомутов у опоры, а также выяснить, на каком расстоянии от опоры и как может быть увеличен шаг хомутов.
Расчет. Наибольшая поперечная сила в опорном сечении равна:
кН,
где q = v + g = 36 +14 = 50 кН/м.
Определим требуемую интенсивность хомутов приопорного участка согласно п. 3.33б.
Из формулы (52) при j_f = 0 и j_b2 = 2,0 (см. табл. 21) получим

Согласно п. 3.32,
кН/м (Н/мм);
кН.
Так как

интенсивность хомутов определим по формуле (63) :
кН/м (Н/мм).
При этом, поскольку
Н/мм < 130 Н/мм,
оставляем q_sw = 130 Н/мм.
Согласно п. 5.69, шаг s₁ у опоры должен быть не более h/2 = 200 и 150 мм, а в пролете = 300 и 500 мм. Максимально допустимый шаг у опоры, согласно п. 3.29, равен:
мм.
Принимаем шаг хомутов у опоры s₁ = 150 мм, а в пролете — 2s₁ = 300 мм, отсюда
мм².
Принимаем в поперечном сечении два хомута диаметром по 10 мм (А_sw= 157 мм²).
Таким образом, принятая интенсивность хомутов у опоры и в пролете балки будет соответственно равна:
Н/мм;
Н/мм.
Проверим условие (57), вычислив Q_b,min:
H.
Тогда

Следовательно, значения q_sw1 и q_sw2 не корректируем.
Определим, согласно п. 3.34, длину участка l₁ с интенсивностью хомутов q_sw1. Так как q_sw1 — q_sw2 = q_sw2 = 91,6 H/мм > q₁ = 32 Н/мм, значение l₁ вычислим по формуле

(здесь мм).
Принимаем длину участка с шагом хомутов s₁ = 150 мм равной 1,64 м.
Пример 15. Дано: железобетонная балка покрытия, нагруженная сосредоточенными силами, как показано на черт. 26, а; размеры поперечного сечения — по черт. 26, б, бетон тяжелый класса В15 (R_bt = 0,67 МПа при g_b2 = 0,9); хомуты из арматуры класса А-I (R_sw = 175 МПа).
Требуется определить диаметр и шаг хомутов, а также выяснить, на каком расстоянии и как может быть увеличен шаг хомутов.
Расчет. Сначала определим, согласно п. 3.31, величину M_b:
(см. табл. 21);
мм (см. черт. 26, б);

мм;



Черт. 26. К примеру расчета 15
Определим требуемую интенсивность хомутов согласно п. 3.33а, принимая длину проекции наклонного сечения с равной расстоянию от опоры до первого груза — с₁ = 1,35 м.
Поперечная сила на расстоянии с₁ от опоры равна Q₁ = 105,2 кН (см. черт. 26).
Из формулы (51) имеем

Тогда
Поскольку с₁ = 1,35 м < 2р₀ = 2 · 0,81 = 1,62 м,
принимаем с₀ = с₁ = 1,35 м;

Так как c₀₁ = 0,417 < c₁ = 0,667 < с₁/с₀ = 1, значение q_sw(1) определим по формуле (59):
кН/м.
Определим q_sw при значении с, равном расстоянию от опоры до второго груза — c₂ = 2,85 м.

Принимаем Q_b2 = Q_b,min = 31,55 кН.
Соответствующая поперечная сила равна Q₂ = 58,1 кН. Поскольку c₂ = 2,85 м > 2h₀ = 1,62 м, принимаем c₀ = 2h₀ = 1,62 м.

Следовательно, значение q_sw(2) определим по формуле (58):
кН/м.
Принимаем максимальное значение q_sw = q_sw(1) = 31,18 кН/м.
Из условия сварки (см. п. 5.13) принимаем диаметр хомутов 6 мм (A_sw = 28,3 мм²), тогда шаг хомутов в приопорном участке равен:
мм.
Принимаем s₁ = 150 мм. Назначаем шаг хомутов в пролете равным s₂ = 2s₁ = 2 · 150 = 300 мм. Длину участка с шагом s₁ определим из условия обеспечения прочности согласно п. 3.34, при этом
Н/мм;
Н/мм;
Н/мм.
Зададим длину участка с шагом хомутов s₁ равной расстоянию от опоры до первого груза — l₁ = 1,35 м; проверим условие (50) при значении с, равном расстоянию от опоры до второго груза — с = 2,85 м > l₁. Значение c₀₁ определим по формуле (56) при q_sw1 = 33 кН/м:

Поскольку с – l₁ = 2,85 —1,35 = 1,5 м < c₀₁ = 1,6м, значение Q_sw в условии (50) принимаем равным:

кН;

т. е. прочность этого наклонного сечения обеспечена.
Большее значение с не рассматриваем, поскольку при этом поперечная сила резко уменьшается.
Таким образом, длину участка с шагом хомутов s₁ = 150 мм принимаем равной l₁ = 1,35м.


Условные обозначения:
– – – – расчетные наклонные сечения;
-·-·-·- рассматриваемые наклонные трещины
Черт. 27. К примеру расчета 16
Пример 16. Дано: железобетонная балка монолитного перекрытия с размерами поперечного сечения по черт. 27, а; расположение отогнутых стержней — по черт. 27, б; временная эквивалентная нагрузка на балку v = 96 кН/м, постоянная — g = 45 кН/м; поперечная сила на опоре Q_max = 380 кН; бетон тяжелый класса В15 (R_bt = 0,67 МПа при g_b2 = 0,9); хомуты двухветвевые диаметром 6 мм (A_sw = 57 мм²) из арматуры класса А-I (R_sw = 175 МПа), шагом s = 150 мм; отогнутые стержни класса А-II (R_sw = 225 МПа), площадью сечения: первой плоскости А_s,inc1 = 628 мм² (2 Æ 20), второй — А_s,inc2 = 402 мм² (2 Æ 16).
Требуется проверить прочность наклонных сечений по поперечной силе.
Расчет. h₀ = 600 – 40 = 560 мм. Согласно п. 3.31 находим значения M_b и q_sw:
(см. табл. 21);
мм;


Н/мм.
Согласно п. 3.32 находим q₁ = g + v/2 = 45 + 96/2 = 93 кН/м.
Проверим из условия (50) с учетом формулы (65) наклонное сечение с длиной проекции, равной расстоянию от опоры до конца второй плоскости отгибов, т. е. при с = 50 + 520 + 300 = 870 мм = 0,87 м.
Поперечная сила на расстоянии с = 0,87 м от опоры равна:
кН.
Определим проекцию опасной наклонной трещины c₀ согласно п. 3.35.
Сначала определим максимальное значение c₀ по формуле (56):

принимаем c_0,max = 1,12 м. Поскольку с = 0,87 м < c_0,max = 1,12 м, принимаем для этого наклонного сечения c₀ = с = 0,87 м. Наклонную трещину, расположенную между концом второй и началом первой плоскостей отгибов, т. е. не пересекающую отгибы, в расчете не рассматриваем, так как для нее c₀ = 0,30 м < c_0,max.
Для первой плоскости отгибов

Тогда

т. е. прочность данного наклонного сечения обеспечена.
Проверим наклонное сечение, оканчивающееся на расстоянии c₀ = 1,12 м от начала первой плоскости отгибов, т.е. при с = 0,05 + 0,52 + 1,12 = 1,69 м.
Поперечная сила на расстоянии с = 1,69 м от опоры равна Q = 380 –93 · 1,69 = 222,8 кН.
Для второй плоскости отгиба

Для этого сечения принимаем наклонную трещину, проведенную от конца наклонного сечения до начала первой плоскости отгибов, т.е. c₀ = c_0,max = 1,12 м. Наклонные трещины, проведенные от конца наклонного сечения до опоры и до начала второй плоскости отгибов, не рассматриваем, так как в первом случае c₀ = с = 1,69 м > c_0,max = 1,12 м, а во втором — трещина не пересекает отгибы при c₀ < c_0,max.
Тогда

т. е. прочность данного наклонного сечения обеспечена.
Проверим наклонное сечение, оканчивающееся на расстоянии c_0,max = 1,12 м от начала второй плоскости отгибов, т. е. при с = 0,05 + 0,52 + 0,30 + 0,52 + 1,12 = 2,51 м.
Поперечная сила на расстоянии с = 2,51 м от опоры равна Q = 380 –93 · 2,51 = 146,6 кН.
Для этого сечения, очевидно, c₀ = c_0,max = 1,12 м и наклонная трещина отгибы не пересекает, т. е. Q_s,inc = 0. Поскольку c = 2,51 м 1,87 м, принимаем
Q_b = Q_b,min = 76,5 кН
Тогда Q_b + q_swc₀ + Q_s,inc = 76,5 + 66,5 · 1,12 + 0 = 151 кН > Q = 146,6 кН, т. е. прочность любых наклонных сечений обеспечена.
Согласно п. 3.29 проверим расстояние между началом первой плоскости отгибов и концом второй плоскости, принимая поперечную силу у конца второй плоскости отгибов Q = 299,1 кН и j_b4 = 1,5:

т. е. требование п. 3.29 выполнено.
Пример 17. Дано: железобетонная двускатная балка покрытия пролетом 8,8 м; сплошная равномерно распределенная нагрузка на балку q = 46 кН/м (черт. 28, a); размеры поперечного сечения — по черт. 28, б; бетон тяжелый класса В25 (R_bt = 0,95 МПа при g_b2 = 0,9); хомуты из арматуры класса А-I (R_sw = 175 МПа), диаметром 8 мм (A_sw = 50,3 мм²), шагом s = 150 мм.
Требуется проверить прочность наклонных сечений по поперечной силе.

Черт. 28. К примеру расчета 17
Расчет производим согласно п. 3.37.
Рабочая высота опорного сечения равна h₀₁ = 600 – 80 = 520 мм (черт. 28, б).
Определим величины j_f1 и М_b1 по формулам (53) и (52) как для опорного сечения:
мм;


принимаем j_f1 = 0,5; j_b2 = 2 (см. табл. 21);

По формуле (55) определим величину q_sw:
Н/мм (кН/м).
Определим значение q_inc, принимая tgb = 1/12:
Н/мм (кН/м).
Поскольку нагрузка сплошная, принимаем q₁ = q = 46 кН/м.
Проверим условие (66):

Условие (66) не выполняется, и, следовательно, значение с вычислим по формуле (68):

при этом c₀ = с = 0,853 м.
Рабочая высота поперечного сечения h₀ на расстоянии с = 0,853 м от опоры равна:
м.
Определим величину M_b при h₀ = 591 мм:

принимаем j_f = 0,5;

Проверим условие (50), принимая поперечную силу в конце наклонного сечения равной:
кН;

т. е. прочность наклонных сечений по поперечной силе обеспечена.
Пример 18. Дано: консоль размерами по черт. 29; сосредоточенная сила на консоли F = 300 кН, расположенная на расстоянии 0,8 м от опоры; бетон тяжелый класса В15 (R_bt = 0,67 МПа при g_b2 = 0,9); хомуты двухветвевые диаметром 8 мм (A_sw = 101 мм²) из арматуры класса А-I (R_sw = 175 МПа), шагом s = 200 мм.
Требуется проверить прочность наклонных сечений по поперечной силе.

Черт. 29. К примеру расчета 18
Расчет. Согласно п. 3.38 проверим из условия (50) наклонное сечение, начинающееся от места приложения сосредоточенной силы, при значении с, определяемом по формуле (68).
Рабочая высота в месте приложения сосредоточенной силы равна мм (см. черт. 29).
По формуле (52) определим величину M_b1, принимая j_b2 = 2 (см. табл. 21) и j_f = 0:
Н · мм.
Значение q_sw равно:
Н/мм (кН/м).
Принимая (см. черт. 29), определим q_inc:
Н/мм,
отсюда, принимая q₁ = 0, имеем
мм,
при этом c₀ = c = 556 мм.
Поскольку значение с не превышает значения расстояния от груза до опоры, оставим с = 556 мм и определим рабочую высоту h₀ в конце наклонного сечения:
мм.
Поскольку 2h₀ = 2 · 510 мм > c₀ = 558 мм, оставим c₀ = 556 мм.
Значение M_b равно:

отсюда

т. е. прочность этого наклонного сечения обеспечена.
Для наклонного сечения, располагаемого от груза до опоры, по формуле (56) определим значение c₀, принимая h₀ = 650 – 50 = 600 мм:
Н · мм;

принимаем c₀ = 2h₀ = 1200 мм.
Поскольку c₀ = 1200 мм > с = 800 мм, указанное наклонное сечение можно не проверять. Следовательно, прочность любого наклонного сечения обеспечена.
Пример 19. Дано: сплошная плита перекрытия без поперечной арматуры размером 3х6 м, толщиной h = 160 мм, монолитно связанная по периметру с балками; эквивалентная временная равномерно распределенная нагрузка на плиту v = 50 кН/м²; нагрузка от собственного веса и пола g = 9 кН/м²; a = 20 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_bt = 0,95 МПа при g_b2 = 0,9).
Требуется проверить прочность плиты на действие поперечной силы.
Расчет. h₀ = h – а = 160 – 20 = 140 мм. Расчет производим для полосы шириной b = 1 м = 1000 мм, пролетом l = 3 м; полная нагрузка на плиту равна q = v + g = 50 + 9 = 59 кН/м.
Поперечная сила на опоре равна:
кН.
Проверим условие (71):

Проверим условие (72). Поскольку боковые края плиты связаны с балками, значение c_max определим с учетом коэффициента a = 1 + 0,05b/h = 1 + 0,05 · 6/0,16 > 1,25 (здесь b = 6 м — расстояние между боковыми краями плиты), т. е. a = 1,25:
мм.
Согласно п. 3.32 имеем:

(см. табл. 21).
Поскольку 356 Н/мм > q₁ = 34 Н/мм, принимаем с = c_max = 280 мм = 0,28 м.
Поперечная сила в конце наклонного сечения равна Q = Q_max – q₁c = 88,5 – 34 · 0,28 = 79 кН.

т. е. прочность плиты по поперечной силе обеспечена.
Пример 20. Дано: панель резервуара консольного типа с переменной толщиной от 262 (в заделке) до 120 мм (на свободном конце), вылетом 4,25 м; боковое давление грунта, учитывающее нагрузки от транспортных средств на поверхности грунта, линейно убывает от q₀ = 69 кН/м² в заделке до q = 7 кН/м² на свободном конце; а = 22 мм; бетон тяжелый класса В15 (R_bt = 0,82 МПа при g_b2 = 1,1).
Требуется проверить прочность панели по поперечной силе.
Расчет. Рабочая высота сечения панели в заделке равна h₀₁ = 262 – 22 = 240 мм.
Определим tgb (b — угол между растянутой и сжатой гранями):

Расчет производим для полосы панели шириной b = 1 м = 1000 мм.
Проверим условия п. 3.40. Поперечная сила в заделке равна:
кН.
Проверим условие (71), принимая h₀ = h₀₁ = 240 мм:

т. е. условие выполняется.
Поскольку панели связаны одна с другой, а ширина стенки резервуара заведомо более 5h, значение c_max определим с учетом коэффициента a = 1,25:
мм.
Средняя интенсивность нагрузки на приопорном участке длиной c_max = 464 мм равна q₁ = 69 – (69 – 7) = 65,6 Н/мм.
Из табл. 21 j_b4 =1,5.
Поскольку

= 464 мм, принимаем с = с_max = 464 мм.
Определим рабочую высоту сечения на расстоянии от опоры (т. е. среднее значение h₀ в пределах длины с):
мм.
Поперечная сила на расстоянии с == 464 мм от опоры равна:
кН.
Проверим условие (72):
кН,
т. е. прочность панели по поперечной силе обеспечена.
Расчет наклонных сечений на действие изгибающего момента
Пример 21. Дано: свободно опертая железобетонная балка пролетом l = 5,5 м с равномерно распределенной нагрузкой q = 29 кН/м; конструкция приопорного участка балки принята по черт. 30; бетон тяжелый класса В15 (R_b = 7,7 МПа; R_bt = 0,67 МПа при g_b2 = 0,9); продольная арматура без анкеров класса А-III (R_s = 365 МПа), площадью сечения A_s = 982 мм² (2 Æ 25) и = 226 мм² (2 Æ 12); хомуты из арматуры класса А-I (R_sw = 175 МПа), диаметром 6 мм, шагом s = 150 мм приварены к продольным стержням.
Требуется проверить прочность наклонных сечений на действие изгибающего момента.

Черт. 30. К примеру расчета 21
Расчет. h₀ = h – a = 400 – 40 = 360 мм. Поскольку растянутая арматура не имеет анкеров, расчет наклонных сечений на действие момента необходим.
Принимаем начало наклонного сечения у грани опоры. Отсюда l_x = l_sup – 10 мм = 280 – 10 = 270 мм (см. черт. 30).
По формуле (81) определим длину зоны анкеровки l_an, принимая w_an = 0,5 и Dl_an = 8:
мм.
Поскольку l_x < l_an, расчетное сопротивление растянутой арматуры снижаем путем умножения его на коэффициент = 0,340, отсюда R_s = 365 · 0,340 = 124,1 МПа.
Поскольку к растянутым стержням в пределах длины l_x приварены четыре вертикальных и два горизонтальных поперечных стержня (см. черт. 30), увеличим усилие R_sA_s = 124,1 · 982 = 121,9 · 10³ H на величину N_w.
Принимая d_w = 6 мм, n_w = 6, j_w = 200 (см. табл. 22), получим
H.
Отсюда R_sA_s = 121,9 + 20,26 = 142,2 кН.
Поскольку эта величина не превышает значения R_sA_s, определенного без учета g_s5 и N_w, т. е. равного 365 · 982 = 358 · 10³ H, оставляем R_sA_s = 142,2 кН.
Высоту сжатой зоны определим по формуле (16):

Согласно п. 3.42 принимаем z_s = h₀ – a’ = 360 – 35 = 325 мм.
По формуле (55) вычислим величину q_sw:
Н/мм.
Определим длину проекции невыгоднейшего наклонного сечения по формуле (83), принимав значение Q равным опорной реакции балки, т. е. Q = = 80 кН, а также F_i = 0 и A_s,inc =0:
мм.
Определим максимальную длину l_s приопорного участка, за которым выполняется условие (72), с умножением правой части на 0,8 и при с = c₁ Ј 0,8c_max = 2h₀, т. е. из решения уравнения

Предполагая, что l^s > 2h₀, принимаем максимальное значение c₁ = 2h_0. Тогда при j_b4 =1,5 получим

Поскольку l_s = 1760 мм > c = 821 мм, оставим с = 821 мм.
Момент внешних сил относительно оси, расположенной посредине высоты сжатой зоны наклонного сечения, в данном случае равен изгибающему моменту в нормальном сечении, проходящем через указанную ось, т. е. на расстоянии l₁ + с = l_sup/3 + с = 280/3 + 821 = 914 мм от точки приложения опорной реакции:

Проверим прочность из условия (77) с учетом формулы (78):

т. е. прочность наклонных сечений на действие изгибающего момента обеспечена.
Поскольку балка не имеет отгибов и нагружена равномерно распределенной нагрузкой, прочность наклонного сечения можно также проверить по более простой формуле (84), принимая М₀ = Ql₁ = 80 · 10³ · 93 = 7,4 · 10⁶ Н · мм:

Пример 22. Дано: ригель многоэтажной рамы с эпюрами изгибающих моментов и поперечных сил от равномерно распределенной нагрузки q = 228 кН/м по черт. 31; бетон тяжелый класса В25; продольная и поперечная арматура класса А-III (R_s = 365 МПа; R_sw = 290 МПа); поперечное сечение приопорного участка — по черт. 31; хомуты диаметром 10 мм, шагом s = 150 мм (А_sw = 236 мм²).
Требуется определить расстояние от левой опоры до места обрыва первого стержня верхней арматуры.

Черт. 31. К примеру расчета 22
Расчет. Определим предельный изгибающий момент, растягивающий опорную арматуру без учета обрываемого стержня, из условия (19), поскольку А_s = 1609 мм² < т. е. х < 0:
кН · м.
По эпюре моментов определим расстояние х от опоры до места теоретического обрыва первого стержня из уравнения

откуда

Поперечная сила в месте теоретического обрыва равна:
кН.
Определим величину q_sw:
Н/мм.
По формуле (87) вычислим длину w, на которую надо завести обрываемый стержень за точку теоретического обрыва:
мм.
Следовательно, расстояние от опоры до места обрыва стержня может быть принято равным x + w = 334 + 756 = 1090 мм.
Определим необходимое расстояние 1_an от места обрыва стержня до вертикального сечения, в котором он используется полностью, по табл. 45 :
= 930 мм < 1090 мм.
Следовательно, оборвем стержень на расстоянии 1090 мм от опоры.
Пример 23. Дано: примыкание сборной железобетонной балки перекрытия к ригелю с помощью подрезки, как показано на черт. 32, а; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа; R_bt = 0,95 МПа при g_b2 = 0,9); хомуты и отогнутые стержни из арматуры класса А-III, диаметром соответственно 12 и 16 мм (A_sw = 452 мм²; A_s,inc = 804 мм²); площадь сечения дополнительных хомутов у подрезки A_sw1 = 402 мм² (2 Æ 16); продольная арматура класса А-III по черт. 32, б; поперечная сила на опоре Q = 640 кН.
Требуется проверить прочность наклонных сечений.


Черт. 32. К примеру расчета 23
Расчет. Проверим прочность наклонного сечения подрезки по поперечной силе согласно п. 3.31, принимая h₀ = 370 мм, b = 730 мм (см. черт. 32), j_b2 = 2 (см. табл. 21):
Н · мм.
При значении с, равном расстоянию от опоры до первого груза — с = 1,5 м, имеем

(j_b3 = 0,6 — см. табл. 21),
следовательно, принимаем Q_b = 154 · 10³ H;
Н/мм;

при этом c₀ < c = 1,5 м и c₀ > h₀.
Тогда Q_b + q_swc₀ +R_swA_sw1 = 154 · 10³ + 1152 · 406 + 290 · 402 = 738 · 10³ H > Q = 640 кН, т.е. даже без учета отгибов прочность подрезки по поперечной силе обеспечена.
Проверим достаточность .дополнительных хомутов и отгибов из условия (89). Из черт. 32 q = 45°; h₀ = 700 – 60 – 80/2 = 600 мм; h₀₁ = 370 мм; R_swA_sw1 + R_swA_s,inc sin45° = 290 · 402 + 290 ·804 · 0,707 = 281 · 10³ H > Q = 640 = 245 кН.
Проверим прочность наклонного сечения, проходящего через входящий угол подрезки, на действие изгибающего момента.
Невыгоднейшее значение с определим по формуле (83), учитывая в числителе отгибы и дополнительные хомуты и принимая F_i = 0 и q = 0:

Поскольку продольная арматура короткой консоли заанкерена на опоре, учитываем эту арматуру с полным расчетным сопротивлением, т. е. с R_s = 365 МПа.
Из черт. 32 А_s = = 1256 мм² (4 Æ 20). Поскольку A_s = x = 0, тогда z_s = h₀₁ – а’ = 370 – 50 = 320 мм.
Согласно формуле (79) принимая a₁ = 30 мм, получим
мм.
Проверим условие (77), принимая:



т. е. прочность наклонного сечения обеспечена.
Определим необходимую длину заведения продольной растянутой арматуры за конец подрезки по формуле (88):

Выясним необходимость постановки анкеров для нижней арматуры балки. Для этого проверим наклонное сечение, расположенное вне подрезки и начинающееся на расстоянии h₀ – h₀₁ = 600 — 370 = 230 мм от торца балки. Тогда l_x = 230 – 10 = 220 мм.
Длину анкеровки для нижней арматуры определим по поз. 1 табл. 45, из которой при классе бетона В25 и классе арматуры А-III находим l_an = 29, отсюда l_an = 29 · 40 = 1160 мм > l_x = 220 мм.
Расчетное сопротивление нижней арматуры снизим умножением на коэффициент т. e. R_s = 365 · 0,19 = 69,2 МПа.
Из черт. 32 А_s = 5027 мм² (4 Æ 40).
Учитывая, что в пределах длины l_x = 220 м два верхних стержня имеют по два приваренных вертикальных стержня, а два нижних стержня имеют по два вертикальных и один горизонтальный приваренный стержень, увеличим усилие R_sA_s на величину N_w, определяемую по формуле (82), принимая n_w = 10, d_w = 12 мм, j_w = 100 (см. табл. 22):

Отсюда

Принимая b = = 730 мм, определим высоту сжатой зоны х:

и, следовательно, z_s = h₀ – a’ = 600 —50 = 550 мм.
Невыгоднейшее значение с равно:

т. е. при таком значении с наклонное сечение пересекает продольную арматуру короткой консоли. Принимаем конец наклонного сечения в конце указанной арматуры, т. е. на расстоянии w₀ = 953 мм от подрезки, при этом с = 723 мм. Расчетный момент М в сечении, проходящем через конец наклонного сечения, равен:
кН · м;
мм
[где a₁ = 300 – 230 = 70 мм (см. черт. 32)].
Проверим условие (77):

т. е. прочность наклонного сечения обеспечена, и, следовательно, анкера для нижней арматуры не требуются.
Проверим прочность короткой консоли подрезки согласно пп. 3.99 и 3.100 с учетом п. 3.31.
Проверим условие (207), принимая l_sup = 130 мм, a_x = 90 мм, h₀₁ – a’ = 370 – 50 = 320 мм (см. черт. 32). Тогда

Принимая m_w = 0 и заменяя 0,8 на 1,0, имеем R_bbl_supsin²q = 13 · 730 ·130 · 0,679 = 838 · 10³ H < 3,5R_btbh₀₁ = 3,5 · 0,95 · 730 · 370 = 898 · 10³ H, т. е. правую часть условия (207) оставляем равной 838 кН.
Поскольку Q = 640 кН < 838 кН, прочность сжатой полосы обеспечена.
Проверим условие (208), принимая l₁ = l_sup + a_x = 220 мм, h₀ = 320 мм, A_s = 1256 мм² (4 Æ 20):

т. е. продольной арматуры в короткой консоли поставлено достаточно.
Внецентренно сжатые элементы
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
3.50 (1.21). При расчете внецентренно сжатых железобетонных элементов должен приниматься во внимание случайный эксцентриситет e_a, обусловленный не учтенными в расчете факторами. Эксцентриситет e_a в любом случае принимается не менее:
1/600 длины элемента или расстояния между его сечениями, закрепленными от смещения;
1/30 высоты сечения;
10 мм (для конструкций, образуемых из сборных элементов, при отсутствии других экспериментально обоснованных значений e_a).
Для элементов статически неопределимых конструкций (в том числе для колонн каркасных зданий) значение эксцентриситета продольной силы относительно центра тяжести приведенного сечения e₀ принимается равным эксцентриситету, полученному из статического расчета конструкции, но не менее e_a.
В элементах статически определимых конструкций (например, фахверковых стойках, стойках ЛЭП) эксцентриситет е₀ находится как сумма эксцентриситетов — определяемого из статического расчета и случайного.
3.51. Расчет внецентренно сжатых элементов производят с учетом влияния прогиба элемента в плоскости эксцентриситета продольной силы (в плоскости изгиба) и в нормальной к ней плоскости. В последнем случае принимается, что продольная сила приложена с эксцентриситетом e₀, равным случайному эксцентриситету e_a (см. п. 3.50).
Влияние прогиба элемента учитывается согласно пп. 3.54 и 3.55.
Расчет из плоскости изгиба можно не производить, если гибкость элемента l₀/i (для прямоугольных сечений — l₀/h) в плоскости изгиба превышает гибкость в плоскости, нормальной к плоскости изгиба.
При наличии расчетных эксцентриситетов в двух направлениях, превышающих случайные эксцентриситеты e_a, производится расчет на косое внецентренное сжатие (см. пп. 3.73—3.75).
3.52. Для часто встречающихся видов сжатых элементов (прямоугольного сечения; двутаврового сечения с симметрично расположенной арматурой; круглого и кольцевого сечений с арматурой, равномерно распределенной по окружности) расчет по прочности нормальных сечений производится согласно пп. 3.61—3.75.
Для других видов сечений и при произвольном расположении продольной арматуры расчет нормальных сечений производится по формулам общего случая расчета нормального сечения внецентренно сжатого элемента согласно п. 3.76. При расчете элементов с применением ЭВМ во всех случаях рекомендуется пользоваться указаниями п. 3.76.
Если выполняется условие > 0,02A_b, в расчетных формулах пп. 3.61—3.76 рекомендуется учитывать уменьшение действительной площади бетона сжатой зоны на величину .
3.53. Расчет по прочности наклонных сечений внецентренно сжатых элементов производится аналогично расчету изгибаемых элементов в соответствии с пп. 3.28—3.49. При этом значение M_b определяется по формуле
(90)
где но не более 0,5; значение Q_b,min принимается равным j_b3 (1 + j_f + j_n) Х R_btbh₀, а в формулах (72)—(76) коэффициент j_b4 заменяется выражением j_b4 (1 + j_n).
Суммарный коэффициент 1 + j_f + j_n принимается не более 1,5.
Влияние продольных сил не учитывается, если они создают изгибающие моменты, одинаковые по знаку с моментами от действия поперечной нагрузки. Для внецентренно сжатых элементов статически неопределимых конструкций, при статическом расчете которых принимается, что продольная сила располагается в центре тяжести сечения, допускается всегда учитывать влияние продольных сил.
При отсутствии в пределах пролета внецентренно сжатого элемента поперечной нагрузки расчет наклонных сечений по прочности допускается не производить, если нормальные трещины не образуются [т.е. если выполняется условие (233) с заменой R_bt,ser на R_bt].
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ПРОГИБА ЭЛЕМЕНТА
3.54 (3.24, 3.6). При расчете внецентренно сжатых элементов следует учитывать влияние прогиба на их несущую способность, как правило, путем расчета конструкций по деформированной схеме, принимая во внимание неупругие деформации бетона и арматуры и наличие трещин.
Допускается производить расчет конструкций по недеформированной схеме, учитывая влияние прогиба элемента путем умножения эксцентриситета e₀ на коэффициент h, определяемый по формуле
(91)
где N_cr — условная критическая сила, определяемая по формулам:
для элементов любой формы сечения
(92)
для элементов прямоугольного сечения
(93)
В формулах (92) и (93):
I, I_s — моменты инерции соответственно бетонного сечения и сечения всей арматуры относительно центра тяжести бетонного сечения;
j_l — коэффициент, учитывающий влияние длительного действия нагрузки на прогиб элемента в предельном состоянии и равный:
(94)
но не более 1 + b (здесь b — см. табл. 16);
M₁, M_1l — моменты внешних сил относительно оси, параллельной линии, ограничивающей сжатую зону и проходящей через центр наиболее растянутого или наименее сжатого (при целиком сжатом сечении) стержня арматуры, соответственно от действия полной нагрузки и от действия постоянных и длительных нагрузок. Для элементов, рассчитываемых согласно пп. 3.61, 3.62, 3.65—3.68, допускается M₁ и M_1l определять относительно оси, проходящей через центр тяжести всей арматуры S. Если изгибающие моменты (или эксцентриситеты) от полной нагрузки и от суммы постоянных и длительных нагрузок имеют разные знаки, то при абсолютном значении эксцентриситета полной нагрузки e₀ > 0,1h принимают j_l = 1,0; если это условие не удовлетворяется, значение j_l принимают равным j_l = j_l1 + 10(1 – j_l1)е₀/h, где j_l1 определяют по формуле (94), принимая M₁ равным произведению продольной силы N от действия полной нагрузки на расстояние от центра тяжести сечения до оси, проходящей через центр наиболее растянутого (наименее сжатого) от действия постоянных и длительных нагрузок стержня арматуры;
d_e — коэффициент, принимаемый равным e₀/h, но не менее
(95)
(здесь R_b — в МПа, допускается принимать при g_b2 = 1,0; значение h для круглых и кольцевых сечений заменяется на D);
l₀ — принимается в соответствии с п. 3.55;
(96)
При расчете, согласно п. 3.63, прямоугольных сечений с арматурой, расположенной по высоте сечения, в значении А_s + не учитывается 2/3 арматуры, расположенной у граней, параллельных плоскости изгиба (2A_sl), а значение в формуле (93) принимается равным 1—2d₁.
Для элементов из мелкозернистого бетона группы Б в формулы (92) и (93) вместо цифр 6,4 и 1,6 подставляются соответственно 5,6 и 1,4.
Эксцентриситет e₀, используемый в настоящем пункте, допускается определять относительно центра тяжести бетонного сечения.
При гибкости элемента l₀/i < 14 (для прямоугольных сечений — при l₀/h < 4) принимается h =1.
При гибкости 14 Ј l₀/i < 35 (4 Ј l₀/h < 10) и при Ј 0,025 допускается принимать:
для прямоугольных сечений

для других форм сечения

При N > N_cr следует увеличивать размеры сечения.
При расчетных эксцентриситетах в двух направлениях коэффициент h допускается определять отдельно для каждого направления и умножать на соответствующий эксцентриситет.
3.55 (3.25). Расчетную длину l₀ внецентренно сжатых железобетонных элементов рекомендуется определять как для элементов рамной конструкции с учетом ее деформированного состояния при наиболее невыгодном для данного элемента расположении нагрузки, принимая во внимание неупругие деформации материалов и наличие трещин.
Для элементов наиболее часто встречающихся конструкций допускается принимать расчетную длину l₀ равной:
а) для колонн многоэтажных зданий при числе пролетов не менее двух и соединениях ригелей и колонн, рассчитываемых как жесткие, при конструкциях перекрытий:
сборных ………………… Н
монолитных …….. 0,7 Н
[где Н — высота этажа (расстояние между центрами узлов)];
б) для колонн одноэтажных зданий с шарнирным опиранием несущих конструкций покрытий, жестких в своей плоскости (способных передавать горизонтальные усилия), а также для эстакад — по табл. 23;
в) для элементов ферм и арок — по табл. 24.

Таблица 23 (32)

Обозначения, принятые в табл. 26 и 27:
N_l — продольная сила от действия постоянных и длительных нагрузок;
N — продольная сила от действия всех нагрузок

1 — рассматриваемая плоскость;
2 — промежуточные стержни

А_s,tot — см. п. 3.63;
при a_s > 0,5 можно, не пользуясь формулой (120), принимать j = j_sb.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ С НЕСИММЕТРИЧНОЙ АРМАТУРОЙ
3.65. Проверка прочности прямоугольных сечений с несимметричной арматурой, сосредоточенной у наиболее сжатой и растянутой (наименее сжатой) граней элемента, производится согласно п. 3.61, при этом формулы (107), (109) и (110) приобретут вид:
(107a)
(109a)
(110a)
где
3.66. Площади сечений сжатой и растянутой арматуры, соответствующие минимуму их суммы, определяются по формулам:
для элементов из бетона класса В30 и ниже:
(121)
(122)
для элементов из бетона класса выше В30:
(123)
(124)
где a_R, x_R — определяются по табл. 18 и 19 и принимаются соответственно не более 0,4 и 0,55.
При отрицательном значении А_s, вычисленном по формуле (122) или (124), площадь сечения арматуры S принимается минимальной из конструктивных требований, но не менее величины
(125)
а площадь сечения арматуры S определяется:
при отрицательном значении A_s,min — по формуле
(126)
при положительном значении A_s,min — по формуле
(127)
Если принятая площадь сечения сжатой арматуры значительно превышает ее значение, вычисленное по формуле (121) или (123) (например, при отрицательном значении ), площадь сечения растянутой арматуры может быть уменьшена исходя из формулы
(128)
где x — определяется по табл. 20 в зависимости от значения
(129)
Если сжатая арматура отсутствует или не учитывается в расчете, площадь сечения растянутой арматуры определяется всегда только по формуле (128), при этом должно удовлетворяться условие a_m < a_R.
ДВУТАВРОВЫЕ СЕЧЕНИЯ С СИММЕТРИЧНОЙ АРМАТУРОЙ
3.67. Проверка прочности двутавровых сечений с симметричной арматурой, сосредоточенной в полках (черт. 37), производится следующим образом.

Черт. 37. Схема усилий в поперечном двутавровом сечении
внецентренно сжатого элемента
Если соблюдается условие
(130)
(т. е. граница сжатой зоны проходит в полке), расчет производится как для прямоугольного сечения шириной в соответствии с п. 3.61.
Если условие (130) не соблюдается (т. е. граница сжатой зоны проходит в ребре), расчет производится в зависимости от высоты сжатой зоны
а) при х Ј x_R h₀ прочность сечения проверяется из условия
(131)
б) при х > x_R h₀ прочность сечения проверяется из условия (131), определяя высоту сжатой зоны по формуле
(132)
где
y_c, x_R, w — см. табл. 18 и 19;
А_ov — площадь сжатых свесов полки, равная
Если значение х, определенное по формуле (132), превышает h – h_f (т. е. граница сжатой зоны проходит по менее сжатой полке), можно учесть повышение несущей способности сечения за счет включения в работу менее сжатой полки. Расчет при этом (если = b_f) производится по формулам (131) и (132) с заменой b на , на (h + – h_f), принимая A_ov = – (b_f – b) (h –– h_f).
Примечание. При переменной высоте свесов полок значения h_f и принимаются равными средней высоте свесов.
3.68. Требуемое количество симметричной арматуры двутавровых сечений определяется следующим образом.
При соблюдении условия (130) подбор арматуры производится как для прямоугольного сечения шириной согласно п. 3.62.
Если условие (130) не соблюдается, подбор арматуры производится в зависимости от относительной высоты сжатой зоны x:
(133)
а) при x Ј x_R
(134)
б) при x > x_R
(135)
где относительная высота сжатой зоны x₁ = x/h₀ определяется из формулы (132), принимая
(136)
В формулах (133)—(136):
a_n, a_ov — см. п. 3.67;


КОЛЬЦЕВЫЕ СЕЧЕНИЯ
3.69. Проверка прочности кольцевых сечений (черт. 38) при соотношении внутреннего и наружного радиусов r₁/r₂ і 0,5 и арматуре, равномерно распределенной по окружности (при продольных стержнях не менее 6), производится следующим образом в зависимости от относительной площади сжатой зоны бетона x_cir.
(137)

Черт. 38. Схема, принимаемая при расчете кольцевого
сечения внецентренно сжатого элемента
а) при 0,15 < x_cir < 0,6 — из условия
(138)
б) при x_cir Ј 0,15 — из условия
(139)
где (140)
в) при x_cir і 0,6 — из условия
(141)
где (142)
В формулах (137)—(142):
A_s,tot — площадь сечения всей продольной арматуры;

r_s — радиус окружности, проходящей через центры тяжести стержней рассматриваемой арматуры.
Эксцентриситет продольной силы e₀ определяется с учетом прогиба элемента согласно пп. 3.54—3.56.
3.70. Проверку прочности, а также определение необходимого количества продольной арматуры для кольцевых сечений, указанных в п. 3.69, при r_s » r_m допускается производить с помощью графиков черт. 39, используя формулы:
(143)
(144)

Черт. 39. Графики несущей способности внецентренно
сжатых элементов кольцевого сечения

где значения a_m и a_s определяются по графику в зависимости от значений соответственно и а также . При этом эксцентриситет е₀ определяется с учетом прогиба элемента согласно пп. 3.54—3.56.
КРУГЛЫЕ СЕЧЕНИЯ
3.71. Прочность круглых сечений (черт. 40) с арматурой, равномерно распределенной по окружности (при числе продольных стержней не менее 6), при классе бетона не выше В30 проверяется из условия
(145)
где r — радиус поперечного сечения;
x_cir — относительная площадь сжатой зоны бетона, определяемая следующим образом:
при выполнении условия
(146)
из решения уравнения
(147)
при невыполнении условия (146) — из решения уравнения
(148)
j — коэффициент, учитывающий работу растянутой арматуры и принимаемый равным: при выполнении условия (146) j = 1,6 (1 – 1,55 x_cir) x_cir, но не более единицы; при невыполнении условия (146) j = 0;
A_s,tot — площадь сечения всей продольной арматуры;
r_s — радиус окружности, проходящей через центры тяжести стержней продольной арматуры.
Эксцентриситет продольной силы е₀ определяется с учетом прогиба элемента согласно пп. 3.54—3.56.

Черт. 40. Схема, принимаемая при расчете круглого сечения
внецентренно сжатого элемента
3.72. Проверку прочности, а также определение необходимого количества продольной арматуры для круглых сечений, указанных в п. 3.71, допускается производить с помощью графиков черт. 41, используя формулы:
(149)
(150)
где значения a_m и a_s определяются по черт. 41 в зависимости от значений соответственно и а также При этом эксцентриситет е₀ определяется с учетом прогиба элемента согласно пп. 3.54—3.56.

Условные обозначения:
——— при a/D = 0,05;
——— при а/D = 0,10 .
Черт. 41. Графики несущей способности внецентренно
сжатых элементов круглого сечения

РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ, РАБОТАЮЩИХ НА КОСОЕ ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ
3.73. Расчет нормальных сечений элементов, работающих на косое внецентренное сжатие, производится в общем случае согласно п. 3.76, определяя положение прямой, ограничивающей сжатую зону, с помощью последовательных приближений.
3.74. Расчет элементов прямоугольного сечения с симметричной арматурой на косое внецентренное сжатие допускается производить с помощью графиков черт. 42.
Прочность сечения считается обеспеченной, если точки с координатами и на графике, отвечающем параметру a_s, находятся внутри области, ограниченной кривой, отвечающей параметру a_n1, и осями координат.
Значения М_x и M_y представляют собой изгибающие моменты от внешней нагрузки относительно центра тяжести сечения, действующие соответственно в плоскостях симметрии х и у. Влияние прогиба элемента учитывается умножением моментов М_x и M_y на коэффициенты h_x и h_y, определяемые соответственно для плоскостей х и у согласно п. 3.54 при действующей продольной силе N.
Значения и представляют собой предельные изгибающие моменты, которые могут восприниматься сечением в плоскостях симметрии х и у с учетом действующей продольной силы N, приложенной в центре тяжести сечения.
Величины предельных моментов и представляют собой правые части условий (117) и (118). При этом дискретно расположенные стержни арматуры заменяются распределенным армированием.


Черт. 42. Графики несущей способности элементов прямоугольного
сечения с симметричной арматурой, работающих на косое внецентренное сжатие
a — при a_s = 0,2; б — при a_s = 0,4; в — при a_s = 0,6; г — при a_s = 1,0
(151)
(152)
где A_sx, A_sy — площадь арматуры, расположенной у граней, нормальных соответственно к осям симметрии х и у (черт. 43),
А_s1,x, A_s1,y — площадь каждого из промежуточных стержней, расположенных у граней, нормальных соответственно к осям симметрии х и у;
n_x — число промежуточных стержней площадью А_s1,x, расположенных по одной стороне сечения;
A_s0 — площадь углового стержня;

h_x, h_y — высота сечения при внецентренном сжатии соответственно в плоскостях х и у;
A_s,tot — площадь сечения всей продольной арматуры.
Параметры a_s и a_n1 определяются по формулам:


Черт. 43. Схемы расположения арматуры в прямоугольном
сечении при расчете на косое внецентренное сжатие
а — фактическая; б — расчетная
3.75. Расчет элементов симметричного двутаврового сечения при b_f/b = 3—5 и h_f/h = 0,15—0,25 с симметричной арматурой, расположенной в полках сечения, на косое внецентренное сжатие допускается производить с помощью графиков несущей способности, представленных на черт. 44.
Расчет производится аналогично расчету, приведенному в п. 3.74 для элементов прямоугольного сечения.
Предельный момент , воспринимаемый сечением в плоскости оси симметрии х, проходящей в ребре, представляет собой правую часть условия (131), уменьшенную на N (h₀ – a’)/2, а предельный момент во взаимно перпендикулярной плоскости симметрии у допускается определять как для прямоугольного сечения, составленного из двух полок, согласно п. 3.63.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТОГО ЭЛЕМЕНТА (ПРИ ЛЮБЫХ СЕЧЕНИЯХ, ВНЕШНИХ УСИЛИЯХ И ЛЮБОМ АРМИРОВАНИИ)
3.76 (3.28). Расчет сечений внецентренно сжатого элемента в общем случае (черт. 45) должен производиться из условия
(153)
где — расстояние продольной силы N до оси, параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону, и проходящей через центр тяжести сечения растянутого стержня, наиболее удаленного от указанной прямой;
S_b — статический момент площади сечения сжатой зоны бетона относительно указанной оси;
S_si — статический момент площади сечения i-го стержня продольной арматуры относительно указанной оси;
s_si — напряжение в i-м стержне продольной арматуры, определяемое согласно указаниям настоящего пункта.
Высота сжатой зоны х и напряжения s_si определяются из совместного решения уравнений:
(154)
(155)
В формулах (154) и (155):
A_si — площадь сечения i-го стержня продольной арматуры;
x_i — относительная высота сжатой зоны бетона, равная где h_0i — расстояние от оси, проходящей через центр тяжести сечения рассматриваемого i-го стержня и параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону, до наиболее удаленной точки сжатой зоны сечения (см. черт. 45);
w — характеристика сжатой зоны бетона, определяемая по формулам (15) или (104);
s_sc,u — см. пп. 3.14 и 3.59.



Черт. 44. Графики несущей способности элементов
симметричного двутаврового сечения, работающих
на косое внецентренное сжатие
а — при a_s = 0,2; б — при a_s = 0,6; в — при a_s = 1,0; г — при a_s = 1,4
д — при a_s = 1,8; е — при a_s = 2,8

Черт. 45. Схема усилий и эпюра напряжении в сечении, нормальном к продольной оси железобетонного элемента, в общем случае расчета по прочности
I – I — плоскость, параллельная плоскости действия изгибающего момента, или плоскость, проходящая через точки приложения продольной силы и равнодействующих внутренних сжимающих и растягивающих усилий; А — точка приложения равнодействующих усилий в сжатой арматуре и в бетоне сжатой зоны; Б — то же, в растянутой арматуре; 1 – 8 — стержни
Напряжение s_si вводится в расчетные формулы со своим знаком, полученным при расчете по формуле (155), при этом напряжения со знаком „плюс” означают растягивающие напряжения и принимаются не более R_si, а напряжения со знаком „минус” — сжимающие напряжения и принимаются по абсолютной величине не более R_sc.
Для определения положения границы сжатой зоны при косом внецентренном сжатии кроме использования формул (154) и (155) требуется соблюдение дополнительного условия: точки приложения внешней продольной силы, равнодействующей сжимающих усилий в бетоне и арматуре и равнодействующей усилий в растянутой арматуре должны лежать на одной прямой (см. черт. 45) .
Если в сечении можно выявить характерную ось (например, ось симметрии или ось ребра Г-образного сечения), при косом внецентренном сжатии вместо соблюдения вышеуказанного дополнительного условия рекомендуется производить расчет из двух условий: из условия (153), определяя значения , S_b и S_si относительно оси х, проходящей через центр наиболее растянутого стержня параллельно указанной характерной оси, и из того же условия (153), определяя значения , S_b и S_si относительно оси у, пересекающей под прямым утлом ось х в центре наиболее растянутого стержня. При этом положение прямой, ограничивающей сжатую зону, подбирается последовательными приближениями из уравнений (154) и (155), принимая угол наклона этой прямой q постоянным и равным углу наклона нейтральной оси, определенному как для упругого материала.
Прочность сечения будет обеспечена лишь при соблюдении условия (153) относительно обеих осей (х и у). Если при обеих проверках условие (153) не соблюдается, прочность не обеспечена и следует увеличить армирование, размеры сечения или повысить класс бетона. Если условие соблюдается только относительно одной оси, следует снова определить очертание сжатой зоны при другом угле q и произвести повторно аналогичный расчет.
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ С СИММЕТРИЧНОЙ АРМАТУРОЙ
Пример 24. Дано: колонна рамного каркаса с сечением размерами b = 400 мм, h = 500 мм; а = a’ = 40 мм; бетон тяжелый класса В25 (E_b = 2,7 · 10⁴ МПа); арматура класса A-III (R_s = R_sc = 365 МПа; Е_s = 2 · 10⁵ МПа); площадь ее сечения А_s = = 1232 мм² (2 Æ 28); продольные силы и изгибающие моменты: от постоянных и длительных нагрузок N_l = 650 кН, М_l = 140 кН·м; от ветровой нагрузки N_sh = 50 кН, М_sh = 73 кН·м; расчетная длина колонны l₀ = 6 м.
Требуется проверить прочность сечения колонны.
Расчет. h₀ = 500 – 40 = 460 мм. Поскольку имеют место усилия от нагрузки непродолжительного действия (ветровой), согласно п. 3.1 установим необходимость расчета по случаю „а”.
Усилия от всех нагрузок равны:
N = 650 + 50 = 700 кН; М = 140 + 73 = 213 кН·м.
Определим моменты внешних сил относительно растянутой арматуры М_I и М_II, подсчитанные соответственно с учетом и без учета нагрузки непродолжительного действия (ветровой):
кН·м;
кН·м.
Так как 0,82M_II = 0,82·360 = 295 кН·м > М_I = 276,5 кН·м, производим расчет только по случаю „б” (см. п. 3.1), т. е. на действие всех нагрузок, принимая R_b = 16 МПа (при g_b2 = 1,1).
Так как l₀/h = 6/0,5 = 12 > 10, расчет производим с учетом прогиба колонны согласно п. 3.54, вычислялось по формуле (93).
Для этого определим:

[здесь b = 1,0 для тяжелого бетона (см. табл. 16)];


следовательно, случайный эксцентриситет не учитываем.
Так как

принимаем

Коэффициент h определим по формуле (91):

Значение е равно:

Определим высоту сжатой зоны х по формуле (107):
мм.
x_R = 0,55 (см. табл. 18).
Так как х = 109,4 мм < x_Rh₀ = 0,55 · 460 = 253 мм, прочность сечения проверим из условия (108):

т. е. прочность сечения обеспечена.
Пример 25. Дано: сечение элемента размерами b = 400 мм, h = 500 мм; a = a’ = 40 мм; бетон тяжелый класса В25 (E_b = 2,7 · 10⁴ МПа); арматура симметричная класса A-III (R_s = R_sc = 365 МПа; E_s = 2 · 10⁵ МПа); продольные силы и изгибающие моменты: от постоянных и длительных нагрузок N_l = 600 кН, M_l = 170 кН·м; от ветровой нагрузки N_sh = 200 кН, М_sh = 110 кН·м; расчетная длина l₀ = 8 м.
Требуется определить площадь сечения арматуры.
Расчет. h₀ = 500 – 40 = 460 мм. Поскольку имеется усилие от ветровой нагрузки, проверим условие (1). Для этого вычислим:
кН·м;
кН·м;
кН;
кН·м.
Так как 0,82 M_II = 0,82 · 448 = 368 кН·м > M_I = 296 кН·м, расчет производим только по случаю „б”, т. е. на действие всех нагрузок, принимая R_b = 16 МПа (при g_b2 = 1,1).
Так как l₀/h = 8000/500 = 16 > 10, расчет производим с учетом прогиба элемента согласно п. 3.54, вычисляя N_cr по формуле (93).
Для этого определим:

[b = 1,0, см. табл. 16];

(см. п. 3.50).
Так как е₀/h = 350/500 = 0,7 > d_e,min = 0,5 – 0,01 – 0,01R_b, принимаем d_e = = 0,7.
В первом приближении принимаем m = 0,01, = 7,4,
тогда

Коэффициент h равен:

Значение е с учетом прогиба элемента равно:
мм.
Необходимое армирование определим согласно п. 3.62.
Вычислим значения:



Из табл. 18 находим x_R = 0,55.
Так как a_n < x_R , значение А_s = определим по формуле (112):

откуда

Поскольку полученное армирование существенно превышает армирование, принятое при определении N_cr (m = 0,01), значение А_s = 1413 мм² определено с „запасом”, и его можно несколько уменьшить, уточнив значение m.
Принимаем m = (0,01 + 0,014)/2 = 0,012 и аналогично вычислим значение А_s = :


мм;

мм².
Окончательно принимаем A_s = = 1362 мм² (2 Æ 25 + 1 Æ 22).
Пример 26. По данным примера 25 требуется определить площадь арматуры, используя графики прил. 3.
Расчет. В соответствии с примером 25: N = 800 кН; М = 280 кН·м; = 16; = 0,66.
Определим значения a_n и a_m:


По графику б прил. 3 при a_n = 0,272, a_m = 0,207 и l = 15 находим a_s = 0,16.
По графику в прил. 3 при a_n = 0,272, a_m = 0,207 и l = 20 находим a_s = 0,2.
Значение a_s, соответствующее l = 16, определим линейной интерполяцией:

Отсюда площадь сечения арматуры равна:
мм².
Принимаем А_s = = 1362 мм² (2 Æ 25 + 1 Æ 22).
Пример 27. Дано: колонна многоэтажного рамного каркаса с сечением размерами b = 400 мм, h = 500 мм; a = а’ = 40 мм; бетон тяжелый класса В25 (E_b = 2,7 · 10⁴ МПа); арматура симметричная класса А-III (R_s = R_sc = 365 МПа; Е_s = 2 · 10⁵ МПа); продольные силы и изгибающие моменты в опорном сечении колонны: от постоянных и длительных нагрузок на перекрытиях N_l = 2200 кН, M_l = 259 кН·м; от ветровых нагрузок N_sh = 0, M_sh = 53,4 кН·м; кратковременные нагрузки на перекрытиях отсутствуют; расчетная длина колонны l₀ = 6 м.
Требуется определить площадь сечения арматуры.
Расчет. h₀ = h – а = 500 – 40 = 460 мм. Поскольку имеется усилие от ветровой нагрузки, проверим условие (1). Для этого вычислим:
кН·м;
кН;
кН·м;
кН·м.
Так как 0,82 M_II = 0,82 · 784,4 = 643 кН·м < M_I = 721 кН·м, условие (1) не выполняется и расчет производим дважды: по случаю „а” — на действие длительных и постоянных нагрузок при R_b = 13 МПа (т. е. при g_b2 = 0,9) и по случаю „б” — на действие всех нагрузок при R_b = 16 МПа (т. е. при g_b2 = 1,1). Расчет производится для опорного сечения.
Расчет по случаю „а”. Так как l₀/h = 6000/500 = 12 > 4, согласно п. 3.54, следует учитывать прогиб колонны. Однако, согласно п. 3.56, для колонн многоэтажных рам коэффициент h_v, вводимый на момент M_v от нагрузок на перекрытиях, принимается равным 1,0, а момент М_h = M_sh от ветровых нагрузок в данном расчете не учитывается, поэтому расчетный момент равен М = М_v h_v = 259 кН·м.
Расчетная продольная сила равна N = N_l = 2200 кН, отсюда
= 118 мм > = 16,7 мм. Оставляем e₀ = 118 мм.
По формуле (111) определим е = e₀ + (h₀ – a’)/2 = 118 + (460 – 40)/2 = 328 мм.
Необходимое армирование определим согласно п. 3.62. Вычислим значения:



Из табл. 18 находим x_R = 0,604.
Так как a_n = 0,92 > x_R = 0,604, значение А_s = определим по формуле (113). Для этого по формулам (114) и (109) вычислим значения a_s и x:



Расчет по случаю „б”. Согласно п. 3.54 определим коэффициент h, задаваясь армированием, полученным из расчета по случаю „а”, т. е.:


[b = 1,0, см. табл. 16];
мм.
Так как e₀/h = = 0,293 > d_e,min = 0,5 – 0,01 l₀/h – 0,01 R_b = 0,5 –0,01 · 12 – 0,01 · 16 = 0,22, принимаем d_e = е₀/h = 0,293;

По формуле (93) определим N_cr:

отсюда коэффициент h равен:

Согласно п. 3.56, коэффициент h = h_h = 1,38 умножается на момент от ветровых нагрузок М_sh = M, а коэффициент h_v = 1,0, поэтому момент с учетом прогиба колонны равен:
кН·м.
Необходимое армирование определим согласно п. 3.62 аналогично расчету по случаю „а”, принимая R_b = 16 МПа:
мм;


Из табл. 18 находим x_R = 0,55.
Так как a_n > x_R, значение А_s = определим по формуле (113):


Отсюда

Окончательно принимаем A_s = = 1362 мм² (2 Æ 25 + 1 Æ 22) >1304 мм².
Пример 28. Дано: сечение элемента размерами b = 400 мм, h = 600 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 16 МПа при g_b2 = 1,1; E_b = 2,7 · 10⁴ МПа); арматура класса A-III (R_s = R_sc = 365 МПа; Е_s = 2 · 10⁵ МПа) расположена в сечении, как показано на черт. 46; продольные силы и изгибающие моменты: от всех нагрузок N = 500 кН, М = 500 кН·м; от постоянных и длительных нагрузок N_l = 350 кН, M_l = 350 кН·м; расчетная длина l₀ = 10 м.
Требуется проверить прочность сечения.

Черт. 46. К примеру расчета 28
Расчет производим согласно п. 3.63. Принимая A_s1,l = 491 мм² (Æ 25), h_l = 2 и A_s,tot = 6890 мм² (8 Æ 28 + 4 Æ 25), находим площади арматуры A_sl и А_st:
мм²;
мм².
Из черт. 46 имеем a₁ = 45 мм, тогда
Так как l₀/h = 10/0,6 = 16,7 > 10, расчет производим с учетом прогиба элемента согласно п. 3.54, вычисляя значение N_cr по формуле (93).
Для этого определим:

[b = 1,0 (см. табл. 16)];
м.
Так как e₀/h = = 1,67 > d_e,min = 0,5 – 0,01 l₀/h – 0,01 R_b, принимае d_e = е₀/h = 1,67.
Значение ma определим как для сечения с арматурой, расположенной по высоте сечения, согласно п. 3.54:

Отсюда

Коэффициент h равен:

Определим величины:



Из табл. 18 находим w = 0,722 и x_R = 0,55.
Так как 0,24 < x_R = 0,55, прочность сечения проверим из условия (117):


т. е. прочность сечения обеспечена.
Пример 29. Дано: сечение колонны размерами b = 600 мм, h = 1500 мм; бетон тяжелый класса В30 (R_b = 19 МПа при g_b2 = 1,1); арматура класса А-III (R_s = 365 МПа) расположена в сечении, как показано на черт. 47; продольные силы и изгибающие моменты, определенные из расчета рамы по деформированной схеме: от всех нагрузок N = 12 000 кН, М = 5000 кН·м; от постоянных и длительных нагрузок N_l = 8500 кН, М_l = 2800 кН·м; расчетная длина колонны в плоскости изгиба l₀ = 18м, из плоскости изгиба l₀ = 12 м; фактическая длина колонны l = 12 м.
Требуется проверить прочность сечения.

Черт. 47. К примеру расчета 29
Расчет в плоскости изгиба производим согласно п. 3.63.
Принимая A_s1,l = 615, 8 мм² (Æ 28), h_l = 5 и A_s,tot = 17 417 мм² (14 Æ 32 + 10 Æ 28), находим площади арматуры А_sl и А_st: А_sl = А_s1,l (h_l + 1) = 615, 8 (5 + 1) = 3695 мм², мм².
Центр тяжести арматуры, расположенной у растянутой грани (7 Æ 32), отстоит от этой грани на расстоянии
мм,
тогда

Определим величины:



Из табл. 18 находим w = 0,698 и x_R = 0,523. Так как 0,584 > x_R = 0,523, прочность сечения проверим из условия (118).
Для этого вычислим:





т. е. прочность сечения в плоскости изгиба обеспечена.
Расчет из плоскости изгиба. Так как расчетная длина из плоскости изгиба l₀ = 12 м и отношение l₀/b = 12/0,6 = 20 значительно превышает отношение l₀/h = 18/1,5 = 12, соответствующее расчету колонны в плоскости изгиба, согласно п. 3.51, следует рассчитывать колонну из плоскости изгиба, принимая эксцентриситет е₀ равным случайному эксцентриситету е_a. При этом заменим обозначения h и b соответственно на b и h, т. е. за высоту сечения принимаем его размер из плоскости изгиба h = 600 мм.
Поскольку случайный эксцентриситет, согласно п. 3.50, равен и l₀ = 12 м Ј 20h, расчет производим согласно п. 3.64.
Площадь сечения промежуточных стержней, расположенных по коротким сторонам, равна A_s,int = 4826 мм² (6 Æ 32). Поскольку = 5800 мм² > A_s,int = 4876 мм² и а = 50 мм < 0,15h = 0,15 · 600 = 90 мм, в расчете используем табл. 27 (разд. А). Из табл. 26 и 27 при и находим j_b = 0,674 и j_sb = 0,77.
Значение
По формуле (120) определим коэффициент j:

Проверим условие (119):

т. е. прочность сечения из плоскости изгиба обеспечена.
Пример 30. Дано: колонна сечением 400Х400 мм; расчетная длина равна фактической l = l₀ = 6 м; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9); продольная арматура класса A-III (R_sc = 365 МПа); центрально-приложенные продольные силы: от постоянных и длительных нагрузок N_l = 1800 кН; от кратковременной нагрузки N_sh = 200 кН.
Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.
Расчет, согласно п. 3.50, производим с учетом случайного эксцентриситета e_a.
Поскольку h/30 = 400/30 = 13,3 мм > = 10 мм, случайный эксцентриситет принимаем равным e_a = h/30, тогда расчет можно производить согласно п. 3.64, принимая N = N_l + N_sh = 1800 + 200 = 2000 кН.
Из табл. 26 и 27 для тяжелого бетона при N_l/N = 1800/2000 = 0,9, l₀/h = 6000/400 = 15, предполагая отсутствие промежуточных стержней при а = а’ < 0,15 h, находим j_b = 0,8 и j_sb = 0,858.
Принимая в первом приближении j = j_sb = 0,858, из условия (119) находим

Отсюда
Поскольку a_s < 0,5, уточняем значение j, вычисляя его по формуле (120):

Аналогично определяем

Полученное значение R_sA_s,tot существенно превышает принятое в первом приближении, поэтому еще раз уточняем это значение:



Поскольку полученное значение R_sA_s,tot близко к принятому во втором приближении, суммарную площадь сечения арматуры принимаем равной:
мм².
Окончательно принимаем A_s,tot = 1018 мм² (4 Æ 18).
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ С НЕСИММЕТРИЧНОЙ АРМАТУРОЙ
Пример 31. Дано: сечение элемента размерами b = 400 мм, h = 500 мм; a = a’ = 40 мм; бетон тяжелый класса B25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9; E_b = 2,7 · 10⁴); арматура класса A-III (R_s = R_sc = 365 МПа); продольная сила N = 800 кН; ее эксцентриситет относительно центра тяжести бетонного сечения е₀ = 500 мм; расчетная длина l₀ = 4,8 м.
Требуется определить площади сечения арматуры S и S’.
Расчет. h₀ = 500 – 40 = 460 мм. Так как 4 < l₀/h = 4,8/0,5 = 9,6 < 10, расчет производим с учетом прогиба элемента согласно п. 3.54. При этом, предположив, что m Ј 0,025, значение N_cr определим по упрощенной формуле

Коэффициент h вычислим по формуле (91):

Значение e с учетом прогиба элемента равно:
мм.
Требуемую площадь сечения арматуры S’ и S определим по формулам (121) и (122):


Поскольку 0,018 < 0,025, значения А_s и не уточняем.
Принимаем = 1232 мм² (2 Æ 28), А_s = 2627 мм² (2 Æ 32 + 1 Æ 36).
ЭЛЕМЕНТЫ С КОСВЕННЫМ АРМИРОВАНИЕМ
Пример 32. Дано: колонна связевого каркаса с размерами сечения и расположением арматуры по черт. 48; бетон тяжелый класса В40 (R_b = 20 МПа при g_b2 = 0,9; R_b,ser = 29 МПа; E_b = 3,25 · 10⁴ МПа); продольная арматура класса A-VI; сетки косвенного армирования из стержней класса A-III, диаметром 10 мм (R_s,xy = 365 МПа), расположенные с шагом s = 130 мм по всей длине колонны; продольная сила при g_f > 1,0: от всех нагрузок N = 6600 кН, от постоянных и длительных нагрузок N_l = 4620 кН; то же, при g_f = 1,0: N = 5500 кН и N_l = 3850 кН; начальный эксцентриситет продольной силы e₀ = e_a = 13,3 мм; расчетная длина колонны l₀ = 3,6 м.
Требуется проверить прочность колонны.

Черт. 48. К примеру расчета 32
Расчет. Проверим прочность сечения, заключенного внутри контура сеток, с учетом косвенного армирования согласно п. 3.57. Расчетные размеры сечения h_ef = b_ef = 350 мм. Поскольку l₀/h_ef = 3600/350 = 10,3 < 16, косвенное армирование можно учитывать при расчете, при этом следует учитывать прогиб колонны согласно пп. 3.54 и 3.58, так как l₀/h_ef > 4.
Принимая l₀/c_ef = l₀/h_ef = 10,3 и h = h_ef = 350 мм, получим

Следовательно, принимаем d_e = d_e,min = 0,297. Поскольку промежуточные стержни продольной арматуры располагаются в крайних четвертях расстояния между крайними стержнями, равного h –2a₁ = 350 – 2 · 22 = 306 мм [58 мм < = 76,5 мм (см. черт. 48)], согласно примечанию к п. 3.63 принимаем арматуру S и S’ как сосредоточенную по линиям их центров тяжести. Тогда, учитывая, что все стержни одинакового диаметра, имеем:
мм;
мм.
Коэффициент j_l определим по формуле (94), принимая b = 1,0 (см. табл. 16) и

Значение критической силы N_cr определим по формуле (93), принимая
мм² (6 Æ 25),

и умножая полученное значение на коэффициент j₁ = 0,25 + 0,05 = 0,25 + 0,05 · 10,3 = 0,764:

Коэффициент h равен:

Отсюда, согласно формуле (111),
мм.
Определим приведенную призменную прочность R_b,red согласно п. 3.57.
Принимая А_sx = А_sy = 78,5 мм² (Æ 10), n_x = n_y = 5, l_x = l_y = 350 мм и A_ef = h_efb_ef = 350 · 350 = 122 500 мм² (см. черт. 48), вычислим коэффициент

тогда


МПа.
Поскольку здесь применена высокопрочная арматура класса A-VI, приведенное расчетное сопротивление арматуры сжатию определим согласно п. 3.59:
мм²;

Принимаем q = 1,6.

Из табл. 25 l₁ = 2,04, l₂ = 0,77, R_sc = 500 МПа, R_s = 815 МПа,
тогда

Прочность сечения проверим из условия (108), определяя высоту сжатой зоны х = xh₀ по формуле (110а).
Для этого по формуле (104) определим значение w. Поскольку 10m_xy = 10 · 0,0173 = 0,173 > 0,15, принимаем d₂ = 0,15, тогда w = 0,85 – 0,008 R_b + d₂ = 0,85 – 0,008 · 20 + 0,15 = 0,84 Ј 0,9.
Определим, согласно пп. 3.61 и 3.65, необходимые коэффициенты a_n, a_s, и y_c, приняв R_b = R_b,red = 34,3 МПа; s_sc,u = 380 + 1000 d₃ = 380 + 1000 · 0,54 = 920 МПа < 1200 МПа и R_sc = R_sc,red = 742 МПа:





Отсюда

Значение x_R с заменой R_s на 0,8R_s равно:

т . е. использование формулы (110a) оправдано;
мм;

т. е. прочность сечения обеспечена.
Проверим трещиностойкость защитного слоя колонны аналогичным расчетом на действие силы N = 5500 кН (при g_f = 1,0), принимая, согласно п. 3.60, R_b = R_b,ser = 29 МПа, R_s = R_s,ser = 980 МПа, R_sc = 400 МПа, s_sc,u = 400 МПа, w = 0,85 – 0,006 R_b,ser = 0,85 – 0,006 · 29 = 0,679 и рассматривая полное сечение колонны, т. е. b = h = 400 мм, a = aў = 41 + 25 = 66 мм, h₀ = 400 – 66 = 334 мм.
Критическую силу N_cr определим по формуле (93), принимая l₀/h = 3600/400 = 9, e₀/h = 13,3/400 = 0,033, d_e,min = 0,5 – 0,01 – 0,008 R_b,ser = 0,5 – 0,01 · 9 – 0,008 · 29 = 0,178 > e₀/h, т. е. d_e = d_e,min = 0,178.
При определении коэффициента j_l учитываем продольные силы N и N_l при g_f = 1,0, т. е.
тогда j_l = 1 + 0,7 = 1,7;


Коэффициент равен:

мм.
Произведем расчет аналогично расчету на прочность:






мм;

т. е. трещиностойкость защитного слоя обеспечена.
ДВУТАВРОВЫЕ СЕЧЕНИЯ
Пример 33. Дано: размеры сечения и расположение арматуры ѕ по черт. 49; бетон тяжелый класса В30 (E_b = 2,9 · 10⁴ МПа; R_b = 19 МПа при g_b2 = 1,1); арматура класса А-III (R_s = R_sc = 365 МПа); площадь ее поперечного сечения A_s = Aў_s = 5630 мм² (7 Æ 32); продольные силы и изгибающие моменты: от постоянных и длительных нагрузок N_l = 2000 кН, M_l = 2460 кН·м; от всех нагрузок N = 2500 кН, М = 3700 кН·м; расчетная длина элемента: в плоскости изгиба l₀ = 16,2 м, из плоскости изгиба l₀ = 10,8 м; фактическая длина элемента l = 10,8 м.
Требуется проверить прочность сечения.

Черт. 49. К примерам расчета 33, 34 и 39
Расчет в плоскости изгиба. Принимаем расчетную толщину полки равной средней высоте свесов hў_f = h_f = 200 + 30/2 = 215 мм.
Вычислим площадь и момент инерции бетонного сечения:
мм²;

Радиус инерции сечения мм.
Так как l₀/i = 16 200/520 = 31,1 < 35 и l₀/i > 14, расчет производим с учетом прогиба элемента согласно п. 3.54, принимая значение N_cr равным:

Коэффициент h определим по формуле (91):

Центр тяжести площади арматуры A_s и Aў_s отстоит от ближайшей грани на расстоянии а = аў = мм, откуда h₀ = h – a = 1500 – 79 = 1421 мм.
Значение е с учетом прогиба элемента равно:

Проверим условие (130):

т. е. расчет производим как для двутаврового сечения.
Площадь сжатых свесов полки равна:
мм².
Определим высоту сжатой зоны:
мм.
Из табл. 18 находим x_R = 0,523. Так как х = 228 мм < x_R h₀ = 0,523 · 1421 = 743 мм, прочность сечения проверим из условия (131):

т. е. прочность сечения в плоскости изгиба обеспечена.
Расчет из плоскости изгиба. Определим радиус инерции сечения из плоскости изгиба:
мм⁴;
мм.
Так как гибкость из плоскости изгиба l₀/i = 10 800/134 = 80 значительно превышает гибкость в плоскости изгиба l₀/i = 31,1, согласно п. 3.51 проверим прочность сечения из плоскости изгиба, принимая эксцентриситет е₀ равным случайному эксцентриситету е_а. Высота сечения при этом равна h = 600 мм.
Поскольку случайный эксцентриситет, согласно п. 3.50, е_а = мм мм, принимаем е_а = что при позволяет производить расчет, согласно п. 3.64, как для прямоугольного сечения, не учитывая в „запас” сечение ребра, т. е. принимая b = 2 · 215 = 430 мм.
Площадь сечения промежуточных стержней, расположенных вдоль обеих полок, равна A_s,int = 4826 мм² (6 Æ 32), а площадь сечения всех стержней A_s,tot = 11 260 мм² (14 Æ 32). Поскольку A_s,tot/3 = 11 260/3 = 3750 мм² < A_s,int = 4826 мм², в расчете используем табл. 27 (разд. Б). Из табл. 27 для тяжелого бетона при N_l/N = 2000/2500 = 0,8 и l₀/h = 10,8/0,6 = 18 находим j_sb = 0,724.
Значение Следовательно, j = j_sb = 0,724.
Проверим условие (119):

т. е. прочность сечения из плоскости изгиба обеспечена.
Пример 34. Дано: размеры сечения и расположения арматуры ѕ по черт. 49; бетон тяжелый класса В30 (R_b = 19 МПа при g_b2 = 1,1; E_b = 2,9 · 10⁴ МПа); арматура симметричная класса A-III (R_s = R_sc = 365 МПа); продольная сила N = 6000 кН; изгибающий момент М = 3100 кН·м; расчетная длина элемента: в плоскости изгиба l₀ = 16,2 м, из плоскости изгиба l₀ = 10,8 м.
Требуется определить площадь сечения арматуры.
Расчет в плоскости изгиба. Из примера 33 имеем: hў_f = 15 мм; h₀ =1421 мм; аў = 79 мм; N_cr = 28 270 кН.
По формуле (91) определим коэффициент h:

Значение е с учетом прогиба элемента равно:

Проверим условие (130):

т. е. расчет производим как для двутаврового сечения.
Площадь сжатых свесов полки равна:
мм².
Определим значения a_n, a_m1, a_ov, a_m,ov, d:





Из табл. 18 находим x_R = 0,523.
Так как x = a_n – a_ov = 1,111 – 0,302 = 0,809 > x_R = 0,523, площадь арматуры определим по формуле (135). Для этого по формулам (136) и (132) вычислим значения a_s и

Из табл. 18 находим y_с = 3,0 и w = 0,698.


отсюда

Принимаем A_s = Aў_s = 5630 мм² (7 Æ 32).
Расчет из плоскости изгиба производим аналогично примеру 33.
КОЛЬЦЕВЫЕ СЕЧЕНИЯ
Пример 35. Дано: сечение с внутренним радиусом r₁ = 150 мм, наружным ѕ r₂ = 250 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 16 МПа при g_b2 = 1,1); продольная арматура класса A-III (R_s = R_sc = 365 МПа); площадь ее сечения A_s,tot = 1470 мм² (13 Æ 12); продольная сила от полной нагрузки N = 1200 кН, ее эксцентриситет относительно центра тяжести сечения с учетом прогиба элемента равен е₀ = 120 мм.
Требуется проверить прочность сечения.
Расчет. Вычислим площадь кольцевого сечения:
мм²
Относительная площадь сжатой зоны бетона равна:

мм.
Так как 0,15 < x_cir = 0,502 < 0,6, прочность сечения проверим из условия (138):

т. е. прочность сечения обеспечена.
КРУГЛЫЕ СЕЧЕНИЯ
Пример 36. Дано: сечение диаметром D = 400 мм; а = 35 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9; E_b = 2,7 · 10⁴ МПа); продольная арматура класса A-III (R_s =R_sc = 365 МПа; E_s = 2 · 10⁵ МПа); площадь ее сечения A_s,tot = 3140 мм² (10 Æ 20); продольные силы и изгибающие моменты: от постоянных и длительных нагрузок N_l = 400 кН·м; от всех нагрузок N = 600 кН, М = 140 кН·м; расчетная длина элемента l₀ = 4 м.
Требуется проверить прочность сечения.
Расчет. Вычислим:
площадь круглого сечения мм²;
радиус инерции сечения мм;
гибкость элемента
Следовательно, расчет производим с учетом влияния прогиба элемента согласно п. 3.54, а значение N_cr определим по формуле (92). Для этого вычислим:
мм;

[здесь b = 1,0 (см. табл. 16)];

Так как 0,583 > d_e,min = 0,5 – 0,01 l₀/D – 0,01 R_b, принимаем d_e = e₀/D = 0,583.
Моменты инерции бетонного сечения и всей арматуры соответственно равны:
мм⁴;
мм⁴;

Тогда

Коэффициент h определим по формуле (91):

Прочность сечения проверим с помощью графика черт. 41.
По значениям
0,702 и на графике находим a_m = 0,51.
Поскольку a_mR_bAr = 0,51 · 13 · 125 600 · 200 = 167 · 10⁶ Н·мм = 167 кН·м > Ne h = 600 · 0,233 · 1,12 = 156,6 кН·м, прочность сечения обеспечена.
Пример 37. По данным примера 36 необходимо подобрать продольную арматуру, пользуясь графиком черт. 41.
Расчет. Из примера 36 i = 100 мм, А = 125 600 мм², r_s = 165 мм. Поскольку l₀/i = 4000/100 40 > 35, арматуру подбираем с учетом влияния прогиба элемента, вычисляя значение N_cr по формуле (92).
В первом приближении принимаем A_s,tot = 0,01 A = 1256 мм², откуда
мм⁴.
Из примера 36 j_l = 1,695, d_e = 0,583, I = 1256 · 10⁶ мм⁴.
Тогда

Значение коэффициента
По значениям
находим a_s = 0,74, откуда
мм².
Поскольку полученное армирование существенно превышает принятое в первом приближении (A_s,tot = 1256 мм²), значение A_s,tot = 3310 мм² определено с „запасом”, и его можно несколько уменьшить, уточнив значение N_cr.
Принимаем мм² и производим аналогичный расчет:
мм⁴;
кН;

По значениям a_n = 0,367 и на графике черт. 41 находим a_s = 0,68.
мм².
Принимаем A_s,tot = 3142 мм² (10 Æ 20).
ЭЛЕМЕНТЫ, РАБОТАЮЩИЕ НА КОСОЕ ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ
Пример 38. Дано: прямоугольное сечение колонны размерами b = 400 мм, h = 600 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 16 МПа при g_b2 = 1,1); продольная арматура класса A-III (R_s = R_sc = 365 МПа) расположена в сечении согласно черт. 50; в сечении одновременно действуют продольная сила N = 2600 кН и изгибающие моменты: в плоскости, параллельной размеру h, – M_x = 240 кН·м и в плоскости, параллельной размеру b, – M_y = 182,5 кН·м; моменты М_х и М_y даны с учетом прогиба колонны.
Требуется проверить прочность сечения.

Черт. 50. К примерам расчета 38 и 40
I ѕ граница сжатой зоны в первом приближении; II ѕ окончательная граница сжатой зоны
Расчет. Прочность проверим согласно п. 3.74. Оси симметрии, параллельные размерам h и b, обозначим соответственно x и y. Определим предельные моменты и . Для этого вычислим распределенное армирование A_sx и A_sy. Из черт. 50 A_{s1, x} = 0, n_x = 0, A_s0 = 804,3 мм² (Æ 32), A_{s1, y} = 314,2 мм² (Æ 20),


мм² (4 Æ 32 + 2 Æ 20);
мм².
При определении, согласно п. 3.63, момента , действующего в плоскости оси х, принимаем: A_sl = A_sy = 1318 мм²; A_st = A_sx = 605 мм²; h = 600 мм; b = 400 мм.

Н;



Из табл. 18 находим w = 0,722, x_R = 0,55.
Так как 0,534 < x_R = 0,55, значение определим по формуле (117), вычислив = 0,74:

При определении момента , действующего в плоскости оси y, принимаем: A_sl = A_sx = 605 мм²; A_st = A_sy = 1318 мм²; h = 400 мм; b = 600 мм;


Так как 0,583 > x_R = 0,55, значение определим по формуле (118), вычислив:





Поскольку прочность сечения проверим по графикам черт. 42, а, б, соответствующим a_s = 0,2 и a_s = 0,4. На обоих графиках точка с координатами = 240/464,7 = 0,516 и = 182,5/322 = 0,566 лежит внутри области, ограниченной кривой, отвечающей параметру a_n1 = 0,677, и осями координат.
Следовательно, прочность сечения обеспечена.
Пример 39. Дано: сечение колонны, характеристики материалов и значение продольной силы от всех нагрузок ѕ из примера 33; в сечении одновременно действуют изгибающие моменты в плоскости, параллельной размеру h, – M_x = 3330 кН·м и в плоскости, параллельной размеру b, – M_y = 396 кН·м; моменты М_х и М_y даны с учетом прогиба колонны.
Требуется проверить прочность сечения.
Расчет. Прочность проверим согласно п. 3.75. Определим предельный момент , действующий в плоскости оси симметрии х, проходящей в ребре. Согласно примеру 33, правая часть условия (131) равна 5847 кН·м, тогда

Предельный момент , действующий в плоскости оси симметрии y, нормальной к ребру, определим как для прямоугольного сечения, составленного их двух полок, согласно п. 3.63. Тогда, согласно черт. 49, имеем: h = 600 мм; b = 2 · 215 = 430 мм.
Определим распределенное армирование A_sl и A_st:
мм² (Æ 32); h_l = 3;
мм² (14 Æ 32);
A_sl = A_{s1, l} (n_l + 1) = 804,3 (3 + 1) = 3220 мм²;
A_st = A_{s, tot}/2 – A_sl = 11 260/2 – 3220 = 2410 мм².
Из табл. 18 находим w = 0,698 и x_R = 0,523.
R_bbh = 19 · 430 · 600 = 4902 · 10³ H;
d₁ = a₁/h = 0,083;




Значение определим по формуле (117), вычислив

Проверим прочность сечения, принимая b = 200 мм, h = 1500 мм.
Поскольку прочность сечения проверим по графикам черт. 44, б, в, соответствующим a_s = 0,6 и a_s = 1,0.
На обоих графиках точка с координатами = 3330/4170 = 0,8 и = 396/1029 = 0,385 лежит внутри области, ограниченной кривой, отвечающей параметру a_n1 = N/(R_bbh) = 2500 · 10³/(19 · 200 · 1500) = 0,44, и осями координат.
Следовательно, прочность сечения обеспечена.
Пример 40. Дано: прямоугольное сечение колонны размерами b = 400 мм, h = 600 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 16 МПа при g_b2 = 1,1); продольная арматура класса A-III (R_s = 365 МПа) по черт. 50; в сечении одновременно действуют продольная сила N = 2600 кН и изгибающие моменты в плоскости, параллельной размеру h, – М_х = 250 кН·м и в плоскости, параллельной размеру b, M_y = 200 кН·м; изгибающие моменты М_х и M_y даны с учетом прогиба колонны.
Требуется проверить прочность сечения, пользуясь формулами п. 3.76 для общего случая расчета.
Расчет. Все стержни обозначим номерами, как показано на черт. 50. Через центр тяжести наиболее растянутого стержня 5 проводим ось х параллельно размеру h = 600 мм и ось y параллельно размеру b.
Угол q между осью y и прямой, ограничивающей сжатую зону, принимаем, как при расчете упругого тела на косое внецентренное сжатие, т. е.:

Задаваясь значением х₁ ѕ размером сжатой зоны по наиболее сжатой стороне сечения h, можно определить для каждого стержня отношение x_i = x/h_0i по формуле где a_xi и a_yi расстояния от i-го стержня до наиболее сжатой стороны сечения в направлении осей соответственно х и у.
По значениям x_i определим напряжение s_si, принимая s_sc,u = 400 МПа, w = 0,722 (см. табл. 18):
(МПа).
При этом, если s_si > R_s = 365 МПа, что равносильно условию x_i < x_R = 0,55 (см. табл. 18), принимаем s_si < R_s = 365 МПа.
Если s_si < –R_sc = –365 МПа, принимаем s_si = –365 МПа.
Последнее условие после подстановки в него выражения для s_si приобретет вид

Затем определим сумму усилий во всех стержнях åA_sis_si.
Задаваясь в первом приближении значением x₁ = h = 600 мм, произведем указанные вычисления, результаты которых приводим в следующей таблице: